MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
“Do maths and you see the world”
Integral atau Anti-turunan?
Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting)
dalam matematika disamping derivatif atau turunan.
Perhatikan:
y = f (x ) = x 2 , yang memiliki turunan
y 0 = f 0 (x ) = d
dx f (x ) = 2 x .
Sekarang, jika diketahui
f 0 (x ) = 2 x ,
maka f (x ) = x 2 adalah “salah satu” anti-turunan yang sesuai.
Secara umum, sering kita tuliskan
f (x ) = x 2 + C ,
dimana C konstanta.
Contoh diatas memberikan informasi bagi kita bahwa anti-turunan
bersifat “tidak tunggal” dan karenanya “lebih sulit” daripada
turunan.
Perhatikan bahwa kita dapat menuliskan df (x ) = f 0 (x ) dx . Atau,
Z
df (x ) = f (x ) + C = Z
f 0 (x ) dx .
Menentukan anti-turunan
Bagaimana kita dapat menyelesaikan atau menentukan suatu anti-turunan?
Gunakan “keterampilan teknis”
Manfaatkan “aturan dasar”
(Beberapa) aturan dasar anti-turunan:
1
Z
k dx = k x + C
2
Z
x r dx = 1
r + 1 x r +1 , r 6= −1
3
Z
e x dx = e x + C
4
Z
a x dx = 1
ln a a x + C
dst...
Metode substitusi
Metode substitusi merupakan salah satu metode/teknik/cara
menyelesaikan integral atau mencari anti turunan. Kuncinya
adalah menentukan pemisalan/substitusi untuk suatu fungsi
tertentu dengan tepat.
Contoh:
Z x 2 + 1 x − 2 dx
mungkinkah kita memisalkan y = x 2 − 1? atau y = x 2 dan mencari anti-turunan ?
atau memisalkan y = x − 2 ?
Contoh lain,
Z e x
4 + 9 e 2x dx . Selesaikan dengan memisalkan
y = e x ; y = e 2x ; y = 9 e x ; y = 9 e 2x ; y = 4 + 9 e x ; y = 4 + 9 e 2x ; ?
Metode anti-turunan parsial
Teknik lain mencari anti-turunan adalah dengan metode anti-turunan parsial atau integral parsial, dimana kita
memanfaatkan konsep turunan dua fungsi. Contoh, selesaikan Z
x cos x dx
Misalkan u = f (x ), v = g (x ), d
dx (u v ) = u 0 v + u v 0 d (u v ) = · · ·
u v = · · · Jadi,
Z
u dv = u v − Z
v du
Untuk contoh Z
x cos x dx , misalkan
u = x , atau
u = cos x , ?
Nampak bahwa metode integral parsial mendorong kita untuk
mencari substitusi yang tepat.
Bagaimana dengan
Z
ln x dx ,
yang terlihat seperti hanya melibatkan satu fungsi?
Metode substitusi yang merasionalkan
Metode ini dilakukan pada permasalahan mencari anti-turunan suatu fungsi yang memuat akar, seperti
Z p
n(ax + b) m dx
atau Z
p a 2 − x 2 dx ,
Merujuk namanya, metode/teknik ini mengharuskan kita melakukan pemisalan atau substitusi, seperti
(ax + b) = u n , untuk mencari anti-turunan
Z p
n(ax + b) m dx .
Contoh,
Z x √
3x − 4 dx , yang dapat diselesaikan dengan memisalkan
(x − 4) = u 3 atau
x = u 3 + 4,
sehingga anti-turunan diatas dapat diselesaikan sebagai
Z
Untuk kasus mencari anti-turunan
Z p
a 2 − x 2 dx , dapat digunakan substitusi
x = a sin t, −π/2 ≤ t ≤ π/2, sehingga diperoleh
p a 2 − x 2 = a cos t
Perhatikan bahwa substitusi lain adalah
x = a tan t, −π/2 < t < π/2, atau
x = a sec t, 0 ≤ t ≤ π, t 6= π/2
Integral fungsi rasional
Mencari anti-turunan berbentuk seperti Z 14x + 1
x 3 + 5x dx ,
adalah salah satu kajian penting karena melibatkan polinom P(x ) = 14x + 1
dan
Q(x ) = x 3 + 5x
yang perlu diperhatikan “derajat”-nya.
Perhatikan bahwa pada kasus diatas, derajat pembilang (satu) lebih kecil daripada derajat penyebut (tiga). Dengan demikian, dapat dituliskan
14x + 1 x 3 + 5x = A
x + Bx + C x 2 + 5
dimana derajat pembilang satu tingkat lebih rendah daripada derajat penyebut. Dengan manipulasi aljabar, diperoleh
A = 1/5; B = −1/5; C = 14.
Pada prinsipnya, kita ingin menguraikan fungsi rasional P(x )/Q(x ) menjadi jumlahan beberapa fungsi rasional dengan derajat
pembilang satu tingkat lebih rendah dari derajat penyebut baik secara “langsung”, seperti
Bx + C x 2 + 5 , ataupun “tidak langsung”, seperti
C (2x + 5) 2 ,
dimana kata “tidak langsung” merujuk pada pemisalan y = 2x + 5 dengan turunan konstan.
(untuk pandangan lain, lihat catatan kuliah W Djohan, 2012)
Diskusi:
Bagaimana kita mencari anti-turunan Z x 2 − 11x + 15
(x − 2) 2 (x + 1) dx ?
Apakah dengan menguraikan x 2 − 11x + 15
(x − 2) 2 (x + 1) = A
x − 2 + B
(x − 2) 2 + C
x + 1 ?
(dengan A = −2; B = −1; C = 3)
Atau,
x 2 − 11x + 15
(x − 2) 2 (x + 1) = B
(x − 2) 2 + C
x + 1 ?
Kuis
Selesaikan anti-turunan berikut:
Z 2 1
5x
2x 3 + 6x 2 dx
Kuis
Selesaikan anti-turunan berikut:
Z 3x + 2
x (x + 2) 2 + 16x dx
Integral fungsi trigonometri
Kita ingin menyelesaikan anti-turunan fungsi trigonometri, Z
sin n x dx ,
atau Z
cos n x dx , untuk n genap atau ganjil. Atau,
Z
sin m x cos n x dx ,
pada beberapa kemungkinan nilai m dan n.
Tentunya tidak dapat kita lupakan aturan dasar anti-turunan seperti berikut
1
Z
sin x dx = − cos x + C
2
Z
cos x dx = sin x + C
3
Z
sec 2 x dx = tan x + C
4
