KALKULUS 2. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI

KALKULUS 2

Oleh :

SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 082334051324

Bahan Bacaan / Refferensi :

1. Frank Ayres J. R., Calculus, Shcaum’s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company.

2. Yusuf Yahya, D. Suryadi H. S. Dan Agus S, Matematika untuk Perguruan Tinggi, Gahlia Indonesia.

3. Edwin J. Purcell dan Dale Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis, Penerbit Erlangga

BAB I

INTEGRAL TAK TERTENTU

1. PENGERTIAN INTEGRAL TAK TERTENTU

Jika F(x) adalah sebuah fungsi yang turunannya F1(x) = f(x) berada pada suatu selang tertentu disebut sumbu x, maka F(x) disebut anti turunan atau integral tak tertentu dari f(x). Integral tak tertentu dari suatu fungsi tidak bersifat satu-satunya; sebagai contoh, misal, x2, x2 + 5, x2 – 3 adalah integral-integral tak tertentu dari f(x) = 2x, karena

x x dx d x dx d x dx d 2 ) 4 ( ) 5 ( ) ( 2  2   2   .

Kemudian semua integral-integral tak tertentu dari f(x) = 2x dikelompokkan dalam x2 + c, dimana c disebut konstanta integrasi dan adalah sembarang konstanta. Himpunan semua fungsi yang turunannya = f(x) dinyatakan dengan lambang



f(x)dx .



f(x)dx F(x)c , f(x) disebut integran untuk fungsi yang diintegrasikan. Contoh : 1.



x dx x c 4 4 3 2. c x c x dx x x d _{  }    





 1 1 1 2 2 3.



x dx x c 2 2

2. SIFAT-SIFAT DAN RUMUS DASAR INTEGRAL TAK TERTENTU

1.



f x dx f x c dx d ) ( )] ( [

2.



(uv)dx



udx



vdx, u danv fungsi dari x

3.



 udx



u dx,  konstanta,u fungsidari x

4. , 1 1 1     



 c n n u du u n n 5. u c u du _{ }



ln 6. , 0, 1 ln    



c a a a a du a u u

7.



eu du eu c

8.



sinu ducosuc

9.



cosudusinuc

10.



tanudu ln secu c

11.



ctg u duln sinu c

12.



secudu ln secutanu c

13.



cosecuduln cosecuctg u c

14.



sec2udutanuc

15.



cosec2u ductg uc

16.



secutanudusecuc

17.



cosecuctg u ducosecuc 18.



   a c u arc u a du sin 2 2 19.



   a c u arc a u a du tan 1 2 2 20.



   a c u arc a a u u du sec 1 2 2 21. c a u a u a a u du     



ln 2 1 2 2 22.



     a u c u a a u a du ln 2 1 2 2 23. u u a c a u du     



2 2 2 2 ln 24. u u a c a u du     



2 2 2 2 ln 25. c a u arc a u a u du u a     



sin 2 1 2 1 2 2 2 2 2 26.



u2 a2 du u u2 a2  a2ln u u2 a2 c 2 1 2 1

27.



u2 a2 du  u u2 a2  a2 ln u u2 a2 c 2

1 2

1

RUMUS DASAR TURUNAN 1. 2. 3. a. b. c. d. e. f. tg x 4. : a) b) 5. a) b) 6. a) √ b) √ c) d) e) √ f) √

3. INTEGRASI DENGAN SUBSTITUSI

Dalam menyelesaikan soal integral, kita usahakan pertama-tama mengubahnya ke bentuk rumus dasar di atas dengan substitusi. Metode ini disebut metode substitusi.

Contoh : a)



x dx x c 6 6 5 b) c x c x c x dx x x dx _{   }  _{  }   





3 3 1 3 1 3 1 3 4 3 4 3 3 c)



x  x dx



x dx



xdx



dx x  x 3xc 2 5 3 2 3 5 2 ) 3 5 2 ( 2 2 3 2 d)



₍₁x₎ x dx



₍ x x x dx



x dx



x x dx



x12 dx



x32 dx  x32  x52 c 5 2 3 2 Latihan soal : 1.



₃ x dx 9.



x6dx 2.



3 z dz 10.



(2x3 9x5)dx 3.



(3s4)2 ds 11.



x 3x20)dx 3 4 ( 3 4. dx x x x



 2  2 3 4 5 12.



3 2 x dx 5.



(3x6 4x) dx 13.



(2x3 5x) xdx 6. ∫ 14. ∫( ) 7. ∫( ) 15. ∫( ) 8. ∫( ) 16. ∫(√ √ )

4. INTEGRASI DENGAN MENGUBAH DIFFERENSIAL

Hitunglah :

a)



(x3 2)23x2 dx

Untuk mempermudah penyelesaian, dimisalkan x3 + 2 = u, maka differensial dari u adalah du = 3x2 dx → dx = ₂ 3x du c x c u du u x du x u dx x x  







    



2 3 3 3 2 2 2 2 2 3 ) 2 ( 3 1 3 1 3 3 3 ) 2 ( b)



 3 3 2 ) 2 ( 8 x dx x , misalkan x3 + 2 = u, maka du = 3x2 dx → dx = ₂ 3x du c u c u du u u du x du u x x dx x          









3 2 2 3 2 3 2 3 3 2 3 4 ) 2 1 ( 3 8 3 8 3 8 3 8 ) 2 ( 8 c x     2 ( 3 4 3 c)



₃x ₁₂x2 dx , misalkan 1 - 2x2 = u, maka du = - 4x dx → dx = - x du 4 c u c u du u x du u x dx x x  



     



2 12 32 32 2 1 3 2 4 3 4 3 4 3 2 1 3  (12x2) 12x2 c 2 1 d)



 xc x dx ln e)



3 2x dx , misalkan 2x – 3 = u, maka du = 2 dx → dx = 2 du c x c u u du du u x dx        







ln 2 3 2 1 ln 2 1 2 1 2 1 3 2 f)



exdx, misalkan –x = u, maka du = - dx → dx = - du







         c e c e du e du e dx e x u u u x g)



a2xdx, misalkan 2x = u, maka du = 2dx → dx = 2 du c a a du a du a dx a u u u x    







2 ₂ 1_{2 2}1 _ln

h)



sin2 x cosxdx, misalkan sin x = u, maka du = cos x dx → dx = x du cos c x c u du u x du x u dx x x 







   



sin cos cos _{cos 3} sin₃

2 3 2 2 2 i) arc x c x dx x dx _{ }   





tan 2₃ 6 1 3 ) 2 ( 2 2 1 9 4 2 2 2 j) c x x x dx x dx       





ln ₃3 ₄4 24 1 16 ) 3 ( 3 3 1 16 9 2 2 k)



 xx dx



 x dx x  xx  arc x c 2 1 sin 2 2 3 2 1 ) 1 ( 4 2 3 2 2 2 Latihan soal : 1. x x dx 2 2 1 3 ) 2 (



 2. dx x x



4 3 _ 2 2 3.



31x2 xdx 4.



_  3 1 2 ) 6 ( ) 3 ( x x dx x 5.



x2 2x4 dx 6. _x dx x



(1 )2 7.



1 2 x dx x 8. dx x x



_12 9.



dx x e x 2 1 10.



1 x e dx 5. INTEGRAL PARSIAL

Metode integral parsial umumnya digunakan pada integral yang mengandung fungsi logaritma atau perkalian polinom xn dengan fungsi trigonometri seperti x cos x, atau xn sin x, juga perkalian fungsi eksponensial xn eax, atau perkalian fungsi eksponensial dengan fungsi trigonometri seperti e2xsinx. Selain itu fungsi-fungsi yang tidak terdapat pada rumus dasar.

Pandang u dan v yang diferensiabel dari x, maka : d(uv) = u dv + v du

Bila ini diintegralkan diperoleh bentuk yang dinamakan integral parsial :

Yang perlu diperhatikan pada metode ini :

1) Bagian yang terpilih sebagai dv harus mudah diintegralkan 2)



vdu harus tidak lebih sukar daripada



udv

Contoh : 1.



lnxdx : ambil u = ln x → du = dx x 1 dv = dx → v = x



lnxdxuv



vdu  



dxx x



dx x xxc x x x xln 1 ln ln

2.



arctg xdx: ambil u = arc tg x → du = dx x2 1 1  dv = dx → v = x dx x x x tg arc x dx x tg arc



 



_{ 2} 1 1 dx x x



_ 2 1 : ambil 1 + x 2 = t → dt = 2x dx dx = x dt 2 maka t c x c x t dt x     



2 1 ln 2 1 ln 2 1 2 Jadi : c x x tg arc x dx x x x tg arc x dx x tg arc       





2 2 ln 1 2 1 1 Latihan soal :

1.



x sinxdx 6.



arc sinx dx

3.



x 1xdx 8.



x sin2 xdx

4.



x ln2 xdx 9.



x3e2xdx 5.



sin2 xdx 10.



x cosxdx

6. INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

Kesamaan-kesamaan berikut sangat bermanfaat untuk menghitung integral dari fungsi trigonometri : 1) sin2 x + cos2 x = 1 2) 1+ tg2 x = sec2 x 3) 1+ ctg2 x = cosec2 x 4) sin2 x = 1₂(1cos2_x) 5) cos2x = 1₂(1cos2_x) 6) 2 sin x cos x = sin 2x

7) sin x cos y =₂1



sin(_x_y)sin(_x_y)



8) sin x sin y =1₂



cos(_x_y)cos(_x _y)



9) cos x cos y =1₂



cos(_x_y)cos(_x _y)



10) (1 - cos x) = 2 sin2₂1x

11) (1 + cos x) = 2 cos 2₂1x

12) (1 ± sin x ) = 1 ± cos (₂1 π – x)

Contoh :

1.



sin xdx



(1cos2x)dx



dx



cos2xdx x₄1sin2xc

2 1 2 1 2 1 2 1 2

2.



cos 3xdx



(1cos6x)dx



dx



cos6xdx x₁₂1 sin6xc

2 1 2 1 2 1 2 1 2

3.



sin3xdx



sin2 xsinxdx



(1cos2 x)sinxdx



sinxdxcos2 xsinxdx

=



 xdx



2xd x  x₃1 3xc cos cos ) (cos cos cos Latihan soal :

1)



cos5 xdx 6)



₍₁_cos3x₎32dx

2)



sin2xsin3xdx 7)



tg4xdx

3)



cos42xsin32xdx 8)



sec42xdx

4)



sin2xcos2 xdx 9)



tg33xsec43xdx

5)



1cosx dx 10)



ctg 23 xdx

7. INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI TRIGONOMETRI

Sebuah integran, yang mengandung salah satu dari bentuk a2 b2x2 , a2 b2x2 atau 2

2 2

a x

b  tanpa faktor-faktor irrasional yang lain, bisa diubah bentuk menjadi bentuk lain yang berupa fungsi-fungsi geometris dari sebuah variabel seperti berikut :

Integran Substitusi Menjadi

2 2 2 x b a  z b a

x sin a 1sin2 z acosz

2 2 2 _{b x} a  tg z b a x a 1tg2z asecz 2 2 2 a x b  z b a x sec a sec2 z1atg z

Pada setiap kasus, integrasi menghasilkan ungkapan-ungkapan dalam variabel baru z. Padanannya dalam variabel semula bisa didapatkan melalui penggunaan sebuah segitiga siku-siku. Contoh : Carilah



 2 2 4 x x dx misalkan ; x= 2 tg z → dx = 2 sec2z dz z z tg x 4 4 2sec 4 2   2  2

x Terdapat bentuk dan tidak ada faktor irrasional yang lain

c x x c z z d z dz z z z z dz z z tg dz z z z tg dz z z z tg dz z x x dx               















  4 4 sin 4 1 ) (sin sin 4 1 cos sin 4 1 cos sin cos 4 1 sec 4 1 sec 2 4 sec 2 sec 2 ) 2 ( sec 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Latihan soal : 1. dx x x



_ 4 2 2 2.



 dx x x2 4 9 3.



16 25 2 2 x x dx 4.



 2 4 9 x x dx 5.



 dx x x 6 2 / 3 2 ) 9 16 (

8. INTEGRAL FUNGSI RASIONAL

Suatu fungsi ) ( ) ( ) ( x g x f x

F  dimana f(x) dan g(x) polinom (suku banyak) disebut suatu fungsi pecahan rasional. Jika derajat dari f(x) lebih kecil daripada derajat g(x), F(x) disebut sebenarnya di dalam hal lain disebut fungsi pecahan rasional tidak sebenarnya (improper).

Untuk menghitung integral fungsi pecahan rasional yang sebenarnya, kita berusaha menyatakan fungsi tersebut sebagai penjumlahan pecahan sederhana (partial fraction), dimana penyebutnya berbentuk (ax + b)n atau (ax2 + bx + c)n, n bilangan bulat positif. Bentuk dari pecahan sederhana tersebut tergantung pada faktor g(x), penyebut fungsi tersebut.

8.1. FAKTOR-FAKTOR LINIER YANG BERBEDA

g(x) = (a1x + b1) (a2x + b2) ……. (anx + bn)

n n n b a A b x a A b x a A x F         2 2 2 1 1 1 ) ( Contoh : Tentukan : dx x x x 12 4 1 2   



Penyelesaian : Penyebut : x2 – 4 – 12 = (x – 6)(x + 2)

Oleh karena itu, pecahan rasional dapat ditulis :

) 2 )( 6 ( ) 6 2 ( ) ( ) 2 )( 6 ( ) 6 ( ) 2 ( 2 6 ) 2 )( 6 ( 1 _{1 2 1 2 1 2 1 2}                    x x A A x A A x x x A x A x A x A x x x

Maka dipenuhi bentuk :

x + 1 = (A1 + A2)x + (2A1 -6A2) A1 + A2 = 1 2A1 + 2A2 = 2 A1 + 1/8 = 1 2A1 -6A2 = 1 2A1 - 6A2 = 1 _ A2 = 7/8 8A2 = 1 A2 = 1/8 Jadi: ) 2 ( 8 1 ) 6 ( 8 7 12 4 1 ) ( ₂         x x x x x x F c x x x dx x dx dx x x x            







ln 2 8 1 6 ln 8 7 ) 2 ( 8 ) 6 ( 8 7 12 4 1 2

8.2. FAKTOR-FAKTOR LINIER YANG BERULANG

Kalau pada g(x) terdapat (ax + b) berulang m kali, misalnya : g(x) = (ax + b)m, maka :

m b ax A b ax A b ax A x F ) ( ) ( ) ( 2 2 2 1         12 4 1 ) ( ₂     x x x x F

Contoh: Tentukan dx x x



_ 2 ) 3 ( Penyelesaian : 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 ) 3 ( 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( 3 ) 3 ( ) (               x A A x A x A x A x A x A x x x F diperoleh : A1=1 -3A1 + A2 = 0 → -3 + A2 = 0 A2 = 3 Jadi : c x x x dx x dx dx x x          







ln 3 3₃ ) 3 ( 3 3 ) 3 ( 2 2 Latihan soal : 1.



  dx x x x 2 ) 2 ( 4 2. dx x x x



32_71_6 3. dx x x x x x



25₍ 2_₁₎₍20_₄₎2 4.



    2 2 ) 3 )( 2 ( ) 19 22 3 ( x x dx x x 5.



  2 3 2 ) 2 ( ) 2 ( x x dx x

8.3. FAKTOR KUADRAT YANG BERBEDA

g(x) = (a1x2 + b1x + c1) (a2x2 + b2x + c2) ... (anx2 + bnx + cn) Maka : 2 2 ) 3 ( 3 3 1 ) 3 ( ) (       x x x x x F

F(x) = n n n n n c x b x a B x A c x b x a B x A c x b x a B x A             2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 _... Contoh : Tentukan ∫_{( )( )} Penyelesaian : ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Diperoleh: ... (1) 0 + ... (2) ... (3) -2A1 = 0 ... (4) A1 = 0 1 + -2B1 = -2 B1 = 1 Jadi: ∫ ( )( ) ∫ ( ) ∫ ( ) | | Latihan soal: 1. ∫ 2. ∫_{( )( )} 3. ∫_{( )( )}

8.4 FAKTOR KUADRAT YANG BERULANG

Kalau terdapat faktor kuadrat yang berulang m kali pada g(x) mis. g(x) = (ax2 + bx + c)m, maka : F(x) = ( ) ( ) ( )

Contoh: ∫_{( )}

Latihan soal: 1. ∫ _{( )} 2. ∫_{( )}

BAB II

INTEGRAL TERTENTU

1. PENGERTIAN INTEGRAL TERTENTU



b

a

dx x

f( ) , disebut integral tertentu dari f(x) terhadap x, dari x = a sampai x = b, f(x) disebut integrand, a dan b masing-masing disebut batas bawah dan batas atas

2. THEOREME NEWTON – LEIBMIZTZ

Bila f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan F(x) suatu integral tak tentu dari f(x) maka :

Contoh : 1. 4 15 4 1 4 16 4 1 4 2 4 4 4 2 1 4 2 1 3      



x dx x 2. 2 1 0 sin 2 1 2 sin 2 1 ) 0 . 2 ( sin 2 1 ) 4 . 2 ( sin 2 1 2 sin 2 1 2 cos 4 0 4 0      



    x dx x 3.                   _          



e e e e e e e dx e x 2 x 2 2 22 22 2( 1 ) 2 1 2 2 2 2 2

3. SIFAT-SIFAT INTEGRAL TERTENTU

1.



 a a dx x f( ) 0 2.







b a a b dx x f dx x f( ) ( ) 3.

















b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f( ) ( ) ( ) ( )

4.







 b a b a ta kons untuk dx x f dx x f( )  ( ) ,  tan  5.











  c a b c b a b c a bila dx x f dx x f dx x f( ) ( ) ( ) , Latihan soal : 1)



 2 0 2 ) 2 ( x dx 2)



 2 0 ) 2 ( x dx 3)



  3 0 2 ) 2 3 ( x x dx 4)



  2 1 2 ) 1 ( t t dt 5)



 4 1 ) 1 ( u u du

4. INTEGRAL TAK WAJAR

Integral tertentu



b a

dx x

f( ) disebut integral tak wajar (improper integral) bila :

1. Integrand f(x) mempunyai satu atau lebih titik diskontinu pada a ≤ x ≤ b; atau bila : 2. Paling sedikit satu dari batas integral adalah tak terhingga

Kasus (1) :

a) Jika f(x) dx kontinu pada a≤x<b tetapi diskontinu pada x = b didefinisikan :





     b a b a o dx x f dx x

f( ) lim ( ) , asalkan harga limit tsb ada Contoh : 2 1 sin 3 ) 0 3 ( sin lim 9 0 3 0 2        



arc arc x dx





   b a b a o dx x f dx x f  lim ( ) )

( , asalkan harga limit tsb ada

Contoh :

∫ ∫

Harga limit tersebut tidak ada, integral tersebut tidak mempunyai arti (divergen)

c) Jika f(x) kontinyu di semua x pada a ≤ x ≤ b, kecuali di x = c, a < c < b didefinisikan ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )

Asalkan harga kedua limit ada.

Contoh : I = ∫ √ I = ∫ √ ∫ √ = ( ) ⌈ ( ) | = { ( ) } { √ } = ( √ ) Kasus (2)

i. Jika f(x) kontinu pada interval a ≤ x ≤ u didefinisikan ∫ ( ) ∫ ( )

, asalkan harga limit tersebut ada.

ii. Jika f(x) kontinu pada interval v ≤ x ≤ b didefinisikan ∫ ( ) ∫ ( ) ,

asalkan harga limit tersebut ada.

iii. Jika f(x) kontinu pada interval v ≤ x ≤ u didefinisikan ∫ ( ) ∫ ( )

∫ ( ) , asalkan harga limit tersebut ada.

Contoh : 1) I = ∫ ∫ | ( ) 2) I = ∫ ∫ ∫ | | 3) I = ∫ ∫ |

Latihan soal: 1. ∫ √ , diskontinu pada x = 0 2. ∫ , diskontinu pada x = 4 3. ∫ √ , diskontinu pada x = 1 4. ∫ 5. ∫ _{( )} 6. ∫