Kalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 1. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018

Kalkulus 2

Teknik Pengintegralan ke - 1

Tim Pengajar Kalkulus ITK

Institut Teknologi Kalimantan

Januari 2018

1 Teknik Pengintegralan

Aturan Dasar Pengintegralan Integrasi Substitusi

Integrasi Parsial

Latihan Soal Integrasi Parsial

Beberapa Integral Trigonometri

Jenis 1 ( Z

sinⁿx dx dan Z

cosⁿx dx) Jenis 2 (

Z

sin^mx cosⁿx dx) Jenis 3 (

Z

sin mx cos nx dx, Z

sin mx sin nx dx, dan Z

cos mx cos nx dx) Jenis 4 (

Z

tanⁿx dx dan Z

cotⁿx dx) Jenis 5 (

Z

tan^mx secⁿx dx dan Z

cot^mx cscⁿx dx) Latihan Soal Integral Trigonometri

Kemampuan yang diinginkan pada Bab Ini adalah mahasiswa memiliki kejelian melihat bentuk soal.

sehingga faktor latihan sangat penting untuk memperoleh hasil yang diinginkan.

Jadi BANYAK BERLATIH dengan soal-soal, maka anda InsyaAllah akan menuai kesuksesan.

Fungsi - fungsi yang telah kita ketahui bersama adalah fungsi - fungsi Elementer, yaitu fungsi konstanta, fungsi pangkat, fungsi logaritma dan eksponen, trigonometri, dan fungsi invers, serta fungsi yang kita peroleh dari hasil penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan komposisi fungsi - fungsi tersebut. jadi

f(x) = ^e

x+e^−x

2 =cosh x adalah fungsi elementer.

Integrasi (anti diferensiasi) adalah persoalan yang berbeda dengan diferensiasi/turunan. Integrasi melibatkan sedikit teknik dan lebih banyak akal. dan perlu diingat hasilnya tidak selalu berupa fungsi elementer. misalnya anti turunan dari e^x2 bukan fungsi elementer.

Aturan Dasar Pengintegralan

Dua Teknik dasar untuk integrasi adalah substitusi dan integrasi parsial. metode substitusi telah kita kenal pada bab sebelumnya.

tetapi yang perlu diingat teknik ini juga banyak digunakan pada bab selanjutnya.

Bentuk Baku. Penggunaan secara efektif metode substitusi bergantung ketersediaan daftar integral - integral yang sudah dikenal.

Beberapa bentuk Integral Baku

Konstanta dan pangkat

Z

k du=ku+C Z

u^rdu =





 u^r+1

r+₁+C r6= −1 ln |u| +C r= −1

e^xdx=e^x+C a^xdx= _{ln a}^ax +C, a6=1, a>0 Fungsi Trigonometri

Z

cos u du=sin u+C Z

sin u du= −cos u+C Z

sec²u du =tan u+C Z

csc²u du= −cot u+C

Beberapa bentuk Integral Baku

Konstanta dan pangkat Z

k du=ku+C Z

u^rdu =





 u^r+1

r+₁+C r6= −1 ln |u| +C r= −1 Eksponensial

Z

e^xdx =e^x+C Z

a^xdx= _{ln a}^ax +C, a6=1, a>0

Fungsi Trigonometri Z

cos u du=sin u+C Z

sin u du= −cos u+C Z

sec²u du =tan u+C Z

csc²u du= −cot u+C

Konstanta dan pangkat Z

k du=ku+C Z

u^rdu =





 u^r+1

r+₁+C r6= −1 ln |u| +C r= −1 Eksponensial

Z

e^xdx =e^x+C Z

a^xdx= _{ln a}^ax +C, a6=1, a>0 Fungsi Trigonometri

Z

cos u du=sin u+C Z

sin u du= −cos u+C Z

sec²u du =tan u+C Z

csc²u du= −cot u+C

Review Integral Substitusi

Teknik pengintegralan ini sudah kita kenal dalam bab sebelumnya.

berikut teorema yang mendasari teknik integral substitusi, Teorema

(Substitusi dalam integral tak tentu) Misalkan g adalah fungsi yang terdiferensiasikan dan misalkan F adalah anti turunan f . Maka, jika u=g(x),

Z

f(g(x))g⁰(x)dx =

Z

f(u)du=F(u) +C=F(g(x)) +C

Contoh Carilah

Z

x cos x²dx.

Di dalam pikiran kita, substitusikan u=x²sehingga du=2xdx.

Sehingga diperoleh Z

x cos x²dx= ¹ 2 Z

cos x²(2x dx) = ¹ 2 Z

cos x²dx² = ¹

2sin x²+C

Contoh Integral Substitusi

Contoh Hitunglah

Z t√

t²−_{4 dt.}

Misalkan u=t²−4, sehingga du=2t dt, sehingga diperoleh Z

tp

t²−4dt= ¹ 2 Z

t²−4
¹₂

2t dt= ¹ 2 Z

u¹²du

= ¹ 2 ·²

3u³² +C= ¹ 3u√

u+C

= ¹

3 t²−4
pt²−4+C

Jika integrasi menggunakan substitusi gagal, kita mungkin saja menggunakan substitusi ganda (double substitusion), yang lebih dikenal sebagai integrasi Parsial. Metode ini didasarkan pada integrasi dari rumus untuk turunan dari hasil kali dua fungsi.

Misalkan u=u(x)dan v=v(x), maka

D_x[u(x)v(x)] =u⁰(x)v(x) +u(x)v⁰(x) atau

u(x)v⁰(x) =D_x[u(x)v(x)] −u⁰(x)v(x) dengan mengintegrasi kedua ruas persamaan diperoleh

Z

u(x)v⁰(x)dx=u(x)v(x) −

Z

u⁰(x)v(x)dx dengan dv=v⁰(x)dx dan du=u⁰(x)dx.

Bentuk rumus Integrasi

Definisi

Misalkan u=u(x)dan v=v(x), maka rumus integrasi parsial adalah Z

u dv=uv−

Z v du

yang perlu diperhatikan adalah pemilihan yang tepat untuk u dan dv, kecakapan dan ketepatan dapat diasah melalui banyak berlatih mengerjakan soal latihan.

Catatan : Ketentuan bahwa biasanya u adalah fungsi yang mudah jika diturunkan dan dapat habis diturunkan terhadap x, dv adalah bagian yang mudah diintegralkan.

Contoh Carilah

Z

x cos x dx.

Kita dapat menuliskan x cos x dx=u dv. Salah satu kemungkinan ialah dengan memisalkan u=x dan dv=cos x dx. Kemungkinan sudah tepat, (ingat dengan ketentuan pada halaman sebelumnya). Karena u=x maka du/dx=1 diperoleh du=dx dan untuk dv=cos x dx jika diintegralkan kedua ruas diperolehR

dv=v=R

cos x dx=sin x.

Ringkasannya sebagai berikut,

u=x dv =cos x dx du=dx v=sin x Rumus integrasi parsial memberikan

Z x

|{z}u

cos x dx

| {z }

dv

= x

|{z}u

sin x

| {z }

v

−

Z sin x

| {z }

v

dx

|{z}

du

=x sin x+cos x+C

Integrasi Parsial

Contoh Carilah

Z

ln x dx.

Kita buat substitusi sebagai berikut. (ingat dengan ketentuan pada halaman sebelumnya)

u=ln x dv=dx du=^{ 1}

x



dx v=x maka

Z

ln x dx=x ln x−

Z x1

x dx

=x ln x−

Z dx

=x ln x−x+C

Contoh Carilah

Z

x²sin x dx.

Misalkan

u=x² dv=_{sin x dx} du=2x dx v= −cos x

maka _Z

x²sin x dx= −x²cos x+₂

Z

x cos x dx

Setelah ini lakukan lagi integrasi parsial pada bagian yang masih harus diintegralkan. karena telah diperoleh pada contoh sebelumnya, maka

Z

x²sin x dx= −x²cos x+2(x sin x+cos x+C)

= −x²cos x+2x sin x+2 cos x+K

Integrasi Parsial

Perhatikan contoh soal berikut, hal ini menarik karena hasil integrasi seperti terus berulang.

Contoh Carilah

Z

e^xsin x dx.

Gunakan u=e^xdan dv=sin x dx. Maka du=e^xdx dan v= −cos x.

Jadi, Z

e^xsin x dx= −e^xcos x+

Z

e^xcos x dx

| {z }

i)

Perhatikan bagian i)harus diselesaikan dengan cara yang sama dengan memisalkan u=e^xdan dv=cos x dx. Maka du=e^xdx dan v=sin x. Maka

Z

e^xcos x dx

| {z }

i)

=e^xsin x−

Z

e^xsin x dx

Jika kita substitusikan lagi bagian i)maka kita peroleh Z

e^xsin x dx= −e^xcos x+e^xsin x−

Z

e^xsin x dx

dengan memindahkan suku terakhir ke ruas kiri dan menggabungkan suku - sukunya, maka diperoleh

2 Z

e^xsin x dx= −e^xcos x+e^xsin x+C Z

e^xsin x dx= ¹

2e^xsin x−¹

2e^xcos x+K

perhatikan bahwa integral yang hendak kita cari muncul seperti berulang di ruas kanan.

Latihan Soal

Gunakan Integrasi Parsial untuk menghitung Integral - integral di bawah ini.

1

Z

xe^3xdx.

2

Z

x sin 2x dx.

3

Z

ln 3x dx.

4

Z t√³

2t+7 dt.

5

π/2Z

π/6

x csc²x dx.

Latihan Soal

Gunakan Integrasi Parsial untuk menghitung Integral - integral di bawah ini.

1

Z

xe^3xdx.

2

Z

x sin 2x dx.

4

Z t√³

2t+7 dt.

5

π/2Z

π/6

x csc²x dx.

Latihan Soal

Gunakan Integrasi Parsial untuk menghitung Integral - integral di bawah ini.

1

Z

xe^3xdx.

2

Z

x sin 2x dx.

3

Z

ln 3x dx.

4

Z t√³

2t+7 dt.

5

π/2Z

π/6

x csc²x dx.

Latihan Soal

Gunakan Integrasi Parsial untuk menghitung Integral - integral di bawah ini.

1

Z

xe^3xdx.

2

Z

x sin 2x dx.

3

Z

ln 3x dx.

4

Z t√³

2t+7 dt.

π/6

Latihan Soal

Gunakan Integrasi Parsial untuk menghitung Integral - integral di bawah ini.

1

Z

xe^3xdx.

2

Z

x sin 2x dx.

3

Z

ln 3x dx.

4

Z t√³

2t+7 dt.

5

π/2Z

π/6

x csc²x dx.

Beberapa Integral Trigonometri

Ketika kita menggabungkan metode substitusi dengan penggunaan identitas trigonometri, kita dapat mengintegrasikan banyak bentuk trigonometri. Ada lima bentuk jenis integral yang sering muncul.

1

Z

sinⁿx dx dan Z

cosⁿx dx

3

Z

sin mx cos nx dx, Z

sin mx sin nx dx, dan Z

cos mx cos nx dx

4

Z

tanⁿx dx dan Z

cotⁿx dx

5

Z

tan^mx secⁿx dx dan Z

cot^mx cscⁿx dx

Beberapa Integral Trigonometri

Ketika kita menggabungkan metode substitusi dengan penggunaan identitas trigonometri, kita dapat mengintegrasikan banyak bentuk trigonometri. Ada lima bentuk jenis integral yang sering muncul.

1

Z

sinⁿx dx dan Z

cosⁿx dx

2

Z

sin^mx cosⁿx dx.

3

Z

sin mx cos nx dx, Z

sin mx sin nx dx, dan Z

cos mx cos nx dx

4

Z

tanⁿx dx dan Z

cotⁿx dx

5

Z

tan^mx secⁿx dx dan Z

cot^mx cscⁿx dx

Beberapa Integral Trigonometri

Ketika kita menggabungkan metode substitusi dengan penggunaan identitas trigonometri, kita dapat mengintegrasikan banyak bentuk trigonometri. Ada lima bentuk jenis integral yang sering muncul.

1

Z

sinⁿx dx dan Z

cosⁿx dx

2

Z

sin^mx cosⁿx dx.

3

Z

sin mx cos nx dx, Z

sin mx sin nx dx, dan Z

cos mx cos nx dx

5

Z

tan^mx secⁿx dx dan Z

cot^mx cscⁿx dx

Beberapa Integral Trigonometri

Ketika kita menggabungkan metode substitusi dengan penggunaan identitas trigonometri, kita dapat mengintegrasikan banyak bentuk trigonometri. Ada lima bentuk jenis integral yang sering muncul.

1

Z

sinⁿx dx dan Z

cosⁿx dx

2

Z

sin^mx cosⁿx dx.

3

Z

sin mx cos nx dx, Z

sin mx sin nx dx, dan Z

cos mx cos nx dx

4

Z

tanⁿx dx dan Z

cotⁿx dx

5

Z

tan^mx secⁿx dx dan Z

cot^mx cscⁿx dx

Ketika kita menggabungkan metode substitusi dengan penggunaan identitas trigonometri, kita dapat mengintegrasikan banyak bentuk trigonometri. Ada lima bentuk jenis integral yang sering muncul.

1

Z

sinⁿx dx dan Z

cosⁿx dx

2

Z

sin^mx cosⁿx dx.

3

Z

sin mx cos nx dx, Z

sin mx sin nx dx, dan Z

cos mx cos nx dx

4

Z

tanⁿx dx dan Z

cotⁿx dx

5

Z

tan^mx secⁿx dx dan Z

cot^mx cscⁿx dx

Beberapa Identitas Trigonometri

Beberapa identitas yang perlu diingat dan berguna, antara lain : Identitas Pythagoras

sin²x+cos²x=1 sec²x−tan²x=1 csc²x−cot²x=1

Identitas Setengah Sudut

sin²x= ¹−cos 2x 2 cos²x= ¹+cos 2x

2

Beberapa identitas yang perlu diingat dan berguna, antara lain : Identitas Pythagoras

sin²x+cos²x=1 sec²x−tan²x=1 csc²x−cot²x=1 Identitas Setengah Sudut

sin²x= ¹−cos 2x 2 cos²x= ¹+cos 2x

2

Jenis 1

Pada bentuk Z

sinⁿx dx dan Z

cosⁿx dx, pertama perhatikanlah untuk n adalah bilangan bulat positif ganjil. setelah mengeluarkan salah satu faktor sin x atau cos x dan selanjutnya gunakan identitas.

Contoh

(n Ganjil) Carilah Z

sin⁵x dx.

Z

sin⁵x dx=

Z

sin⁴x sin x dx=

Z

1−cos²x
2

sin x dx

=

Z 

1−2 cos²x+cos⁴x

sin x dx

= −

Z 

1−2 cos²x+_cos⁴x

(−sin x dx)

= −cos x+ ²

3cos³x− ¹

5cos⁵x+C

Contoh

(n Genap) Carilah Z

sin²x dx dan Z

cos⁴x dx

Z

sin²x dx=

Z 1−cos 2x

2 dx=

Z 1

2 −^{cos 2x} 2 dx

= ¹ 2

Z

dx−¹ 4

Z

cos 2x(2 dx)

= ¹ 2x−¹

4sin 2x+C

Z

cos⁴x dx=

Z  1+_{cos 2x} 2

2

dx= ¹ 4

Z

1+2 cos 2x+cos²2x
dx

= ¹ 4

Z

dx+¹ 4

Z

cos 2x(2 dx) +¹ 8

Z

(1+cos 4x) dx

= ³ 8

Z

dx+¹ 4

Z

cos 2x(2 dx) + ¹ 32

Z

cos 4x(4 dx)

= ³ 8x+¹

4sin 2x+ ¹

32sin 4x+C

Perhatikan bentuk sin^mx cosⁿx dx.Jika salah satu dari m atau n adalah bilangan bulat positif ganjil sedangkan yg lainnya sembarang, kita faktorkan sin x atau cos x dan gunakan identitas.

Contoh

(m atau n ganjil) CarilahR

sin³x cos²x dx.

Z

sin³x cos²x dx=

Z

(sin²x) cos²x

(sin x) dx

=

Z

(1−cos²x) cos²x

(sin x) dx

= −

Z 

cos²x−_cos⁴x

(−_{sin x dx})

= −¹

3cos³x+ ¹

5cos⁵x+C

Jika m dan n keduanya adalah bilangan bulat positif genap, maka gunakanlah identitas setengah sudut.

Contoh

(m dan n genap) CarilahR

sin²x cos⁴x dx.

Z

sin²x cos⁴x dx=

Z  1−cos 2x 2

  1+cos 2x 2

2

dx

= ¹ 8

Z

1+cos 2x−cos²2x−cos³2x
dx

= ¹ 8

Z  1 2 −¹

2cos 4x+sin²2x cos 2x

 dx

= ¹ 8

 1 2x− ¹

8sin 4x+¹

6sin³2x

 +C

Jenis 3

Integral jenis Z

sin mx cos nx dx, Z

sin mx sin nx dx, dan Z

cos mx cos nx dx muncul dalam banyak aplikasi fisika dan engineering (Baca Hal 14, Bab 7 Teknik Pengintegralan, Purcell edisi 9, jilid 2). Untuk menangani integral - integral ini, kita gunakan identitas hasil kali.

1 sin mx cos nx= ¹

2[sin(m+n)x+sin(m−n)x].

2 sin mx sin nx= −¹

2[cos(m+n)x−cos(m−n)x].

3 cos mx cos nx= ¹

2[cos(m+n)x+_cos(m−n)x]

Jenis 3

Integral jenis Z

sin mx cos nx dx, Z

sin mx sin nx dx, dan Z

cos mx cos nx dx muncul dalam banyak aplikasi fisika dan engineering (Baca Hal 14, Bab 7 Teknik Pengintegralan, Purcell edisi 9, jilid 2). Untuk menangani integral - integral ini, kita gunakan identitas hasil kali.

1 sin mx cos nx= ¹

2[sin(m+n)x+sin(m−n)x].

2 sin mx sin nx= −¹

2[cos(m+n)x−cos(m−n)x].

Jenis 3

Integral jenis Z

sin mx cos nx dx, Z

sin mx sin nx dx, dan Z

cos mx cos nx dx muncul dalam banyak aplikasi fisika dan engineering (Baca Hal 14, Bab 7 Teknik Pengintegralan, Purcell edisi 9, jilid 2). Untuk menangani integral - integral ini, kita gunakan identitas hasil kali.

1 sin mx cos nx= ¹

2[sin(m+n)x+sin(m−n)x].

2 sin mx sin nx= −¹

2[cos(m+n)x−cos(m−n)x].

3 cos mx cos nx= ¹

2[cos(m+n)x+_cos(m−n)x]

Contoh Carilah

Z

sin 2x cos 3x dx.

Z

sin 2x cos 3x dx= ¹ 2

Z

[sin(5)x+sin(−1)x] dx

= ¹ 10

Z

sin 5x(5 dx) −¹ 2

Z

sin x dx

= − ¹

10cos 5x+¹

2cos x+C

Bentuk Kedua

Contoh Carilah

Z

sin 3u sin u du.

Z

sin 3u sin u du = −¹ 2

Z

[cos(4)u−cos(2)u] du

= −¹ 8

Z

cos 4u(4 du) +¹ 4

Z

cos 2u(2 du)

= −¹

8sin 4u+ ¹

4sin 2u+C

Contoh Carilah

Z

cos t cos(−2t)dt.

Z

cos t cos(−2t)dt= ¹ 2

Z

[cos(−1)t+cos(3)t] dt

= ¹ 2

Z

cos t dt+¹ 6

Z

cos 3t(3 dt)

= ¹

2sin t+ ¹

6sin 3t+C

Jenis 4

Pada Bentuk Z

tanⁿx dx dan Z

cotⁿx dx ini, sesungguhnya serupa dengan jenis 1. Namun alat yang diperlukan adalah identitas sec²x−1=tan²x dan csc²x−1=cot²x.

Contoh Carilah

Z

cot⁴x dx.

Z

cot⁴x dx=

Z

cot²x csc²x−1
dx

=

Z

cot²x csc²x dx−

Z

cot²x dx

= −

Z

cot²x(−csc²x dx) −

Z

csc²x−1
dx

= −¹

3cot³x+cot x+x+C

Untuk bentuk Z

tanⁿx dx, cobalah cari Z

tan²x dx dan Z

tan⁵x dx

Jenis 5

Pada jenis terakhir ini yaitu Z

tan^mx secⁿx dx dan Z

cot^mx cscⁿx dx serupa dengan bentuk pada jenis 2. sekali lagi ingatlah dengan identitas sec²x−tan²x=1 dan csc²x−cot²x=1.

Contoh

(m sembarang bilangan, n genap) Carilah Z

tan^−3/2x sec⁴x dx.

Z

tan^−3/2x sec⁴x dx=

Z 

tan^−3/2x

1+tan²x
sec²x dx

=

Z 

tan^−3/2x

sec²x dx+ +

Z 

tan^1/2x

sec²x dx

= −2 tan^−1/2x+²

3tan^3/2x+C

(m ganjil, n Sebarang Bilangan) Carilah tan x sec x dx.

Z

tan³x sec^−1/2x dx=

Z

tan²x


sec^−3/2x

(sec x tan x) dx

=

Z

sec²x−1


sec^−3/2x

(sec x tan x dx)

=

Z

sec^1/2x(sec x tan x dx) − +

Z

sec^−3/2x(sec x tan x dx)

= ²

3sec^3/2x+2 sec^−1/2x+C

Latihan Soal Integral Trigonometri

Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral Trigonometri, cobalah beberapa soal di bawah ini

Lakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini.

1

Z

cos³θ dθ

2

Z

sin⁴6x dx.

3

Z _π/2

0 cos⁵θ dθ.

4

Z

sin⁻²3x cos³3x dx.

5

Z

cos y cos 4y dy.

Latihan Soal Integral Trigonometri

Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral Trigonometri, cobalah beberapa soal di bawah ini

Lakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini.

1

Z

cos³θ dθ

2

Z

sin⁴6x dx.

4

Z

sin⁻²3x cos³3x dx.

5

Z

cos y cos 4y dy.

Latihan Soal Integral Trigonometri

Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral Trigonometri, cobalah beberapa soal di bawah ini

Lakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini.

1

Z

cos³θ dθ

2

Z

sin⁴6x dx.

3

Z _π/2

0 cos⁵θ dθ.

4

Z

sin⁻²3x cos³3x dx.

5

Z

cos y cos 4y dy.

Latihan Soal Integral Trigonometri

Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral Trigonometri, cobalah beberapa soal di bawah ini

Lakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini.

1

Z

cos³θ dθ

2

Z

sin⁴6x dx.

3

Z _π/2

0 cos⁵θ dθ.

4

Z

sin⁻²3x cos³3x dx.

Latihan Soal Integral Trigonometri

Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral Trigonometri, cobalah beberapa soal di bawah ini

Lakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini.

1

Z

cos³θ dθ

2

Z

sin⁴6x dx.

3

Z _π/2

0 cos⁵θ dθ.

4

Z

sin⁻²3x cos³3x dx.

5

Z

cos y cos 4y dy.

Kerjakanlah sebagai latihan dan tugas nomor - nomor ganjil dari no. 17 s.d 29 pada buku Purcell edisi 9, jilid 2 Bab 7 Teknik Pengintegralan, hal 17)

Daftar Pustaka

Varberg, Purcell, Rigdon, “ Calkulus Ninth Edition”, Pearson Education, 2007.

Azka, M, ”R

2³statistic”, 2017

Varberg, Purcell, Rigdon, “ Calkulus Ninth Edition”, Pearson Education, 2007.

Azka, M, ”R

2³statistic”, 2017