MAKALAH KALKULUS LANJUT LIMIT DAN KONTINUITAS & KETERDIFERENSIASIAN

MAKALAH KALKULUS LANJUT

LIMIT DAN KONTINUITAS & KETERDIFERENSIASIAN

Disusun oleh:

1. Bagas Enggar Iantoro () 2. Rena Revina (230312604533)

OFFERING G

UNIVERSITAS NEGERI MALANG PROGRAM STUDI MATEMATIKA

2023/2024

RANGKUMAN MATERI

12.3 LIMIT DAN KONTINUITAS

Pada kalkulus edisi 1 purcel kita telah menelaah mengenai diferensiasi parsial, yang sebenarnya diferensiasi parsial merupakan gagasan yang sederhana karena hanya satu variabel yang tetap.

untuk menuju diferensiasi parsial, ada Basic konsep yang diperlukan untuk mendefinisikannya, yaitu konsep limit satu variabel yang di bahas pada bab 1.

Sebaliknya limit fungsi dua variabel (atau lebih) merupakan konsep yang lebih mendalam karena kita harus memperhitungkan semua cara (x,y) mendekati (a,b) yang mana hal tersebut tidak dapat direduksi ke perlakuan “satu variabel dalam satu waktu” seperti diferensiasi parsial.

Sasaran pada subbab ini adalah memberikan arti pada pernyataan : f(x , y)=¿L

lim

(x , y)→(a , b)

¿

membutuhkan definisi yang memberikan L yang sama, yang tidak

bergantung pada jalur (x,y) yang diambil untuk mendekati (a,b).

Definisi Limit Fungsi Dua Variable Untuk mengatakan bahwa lim

(x , y)→(a , b)f(x , y)=L berarti bahwa untuk setiap ε>0 Terdapat δ>0 yang berpadanan sedemikian sehingga

|

f(x , y)−L

|

^<_ℇ asalkan bahwa 0<

| |

(x , y)−(a ,b)

| |

^<δ

(gambar 0)

Catatan :

| |

^{(x , y)−(a , b)}

| |

di definisikan oleh

√

^{(x−a)2+(y−b)2} yang merupakan jarak antara titik (x,y) dengan (a,b) dan titik-titik yang memenuhi 0<

| |

^{(x , y)−(a ,b)}

| |

^<δ merupakan titik-titik di dalam lingkatan berjari jari δ terkecuali pusat (a,b) (lihat gambar 1)

Intisari dari definisi ini adalah kita dapat membuat f(x,y) sedekat mungkin dengan L

( didalam interval ε, dengan jarak diukur oleh

|

f(x , y)−L

|

selama kita mengambil (x,y) cukup dekat ke (a,b). Didalam jari-jari δ,dengan jarak diukur oleh

|

(x , y)−(a , b)

|

)

Beberapa hal hal dalam definisi:

 Jalur pendekatan (a , b) tidak penting, artinya jika jalur yang berlainan menuju nilai- nilai L yang berlainan pula, maka limitnya tidak ada

 Perilaku f(x , y) di (a , b) tidak penting, yang mana fungsi tidak harus di definisikan di titik (a,b). Ini sebagai akibat pembatasan o<

|

^{(x , y)−(a ,b)}

|

 Definisi dapat diperluas ke fungsi tiga variabel atau lebih.

Teorema A

Jika f(x , y) adalah polinomial, maka f(x , y)=¿f(a , b)

lim

(x , y)→(a ,b)

¿

Dan jika f(x , y)=p(x , y)

q(x , y) dengan p dan q polinomial, maka (a,b)

δ

(gambar 1)

f(x , y)=¿ p(x , y)

q(x , y);q(a ,b)≠0.

lim

(x , y)→(a ,b)

¿

Lebih lanjut jika

p(x , y)=¿L ≠0dan lim

(x , y)→(a ,b)

q(x , y)=0 lim

(x , y)→(a ,b)

¿

Maka f(x , y)=p(x , y)

q(x , y) tidak ada.

Contoh

Hitunglah limit-limit berikut jika ada

a.

x²y+3y lim¿

(x , y)→(a , b)

¿ )

b. lim

(x , y)→(a , b)

x²+y²+1 x²−y² Penyelesaian:

a. Fungsi yang limitnya kita cari adalah polinomial sehingga x²y+3y

(¿)=1²∙2+3∙2=8

(x , y)→(a ,b)lim ¿

b. Merupakan fungsi rasional sehingga lim

(x , y)→(a , b)

x²+y²+1 x²−y² =0+1

0 , karena limit penyebutnya sama dengan 0, maka limitnya tidak ada.

Dalam kasus tertentu, seringkali lebih mudah menganalisis limit fungsi dua variabel khususnya di titik asal, dengan mengubah fungsi ke koordinat polar. Poin yang perlu diingat adalah (x , y)→(0,0) jika dan hanya jika r=

√

^x2+y2→0 . Jadi limit fungsi dua variabel dapat diekspresikan sebagai limit satu variabel saja, r.

Contoh

Hitunglah limit berikut lim

(x , y)→(0,0)

sin⁡(x²+y²) 3x²+3y²

Penyelesaian:

(x , y)→(0,0)lim

sin⁡(x²+y²) 3x²+3y² =lim

r →0

sinr² 3r² =1

3lim

r →0

2rcosr² 2r =1

3

Kontinuitas pada suatu titik

Untuk mengatakan bahwa f(x , y) kontinu di titik (a , b) jika memenuhi syarat 1. f mempunyai nilai di (a , b).

2. f mempunyai limit (a , b) , dan

3. Nilai f di (a , b) sama dengan nilai limitnya.

Dapat kita simpulkan bahwa lim

(x , y)→(a , b)f(x , y)=f(a , b)

Teorema B Komposisi Fungsi

Jika sebuah fungsi dua variabel g kontinu di (a , b) dan sebuah fungsi satu variabel f kontinu di g(a , b) maka fungsi komposisi f o g yang didefinisikan oleh

(x , y)=f(g(x , y)) adalah kontinu di (a , b) . Contoh

Jelaskan titik-titik (x , y) dimana pada titik-titik tersebut fungsi berikut adalah kontinu a. H(x , y)=2x+3y

y−4x²

b. F(x , y)=cos⁡(x³−4x+y²) Penyelesaian:

a. H(x , y) adalah fungsi rasional, sehingga kontinu di setiap titik tempat yang penyebutnya bukan 0. Penyebut y−4x² sama dengan 0 di sepanjang parabola

y=4x². Jadi H(x , y) kontinu untuk semua (x , y) kecuali untuk titik di sepanjang parabola y=4x².

b. Fungsi g(x , y)=x³−4xy+y² merupakan polinomial, adalah kontinu untuk semua (x , y). Juga f(t)=cost kontinu untuk setiap bilangan t. Kita simpulkan bahwa F(x , y) kontinu untuk semua (x , y).

Kontinuitas pada himpunan untuk mengatakan bahwa f(x , y) kontinu pada himpunan S seharusnya bermakna bahwa f (x , y) kontinu di setiap titik dari himpunan.

Pertama kita perlu memperkenalakan beberapa bahasa relatif terhadap himpunan-himpunan di bidang (dan ruang dimensi lebih tinggi). Dengan longkungan (neighborhood) berjari-jari δ dari suatu titik P, kita maksudkan himpunan semua titik Q yang memenuhi ‖Q−P‖<δ . Di ruang-dua lingkungan adalah “bagian dalam” lingkaran ; di ruang-tiga, lingkungan adalah bagian dalam bola (gambar 4). Titik P adalah titik dalam (interior point) himpunan S jika terdapat suatu lingkaran dari P yang terkandung dalam S. Himpunan semua titik dalam S adalah bagian dalam (interior) dari S. Sebaliknya P adalah titik perbatasan (boundary) S jika semua lingkungan dari P mengandung titik-titik yang berada di S dan titik-titik yang bukan dalam S. Himpunan semua titik perbatasan dari S disebut perbatasan S. Pada gambar 5, A adalah titik dalam S dan B titik perbatasan S. Akhirnya, suatu himpunan adalah terbuka jika semua titiknya adalah titik dalam dan ia tertutup jika mengandung semua titik perbatasannya. Adalah mungkin untuk suatu himpunan bersifat tertutup.

Jika S himpunan terbuka, untuk mengatakan bahwa kontinu pada S secara tepatnya berarti bahwa f kontinu di setiap titik dari S. Sebaliknya jika S mengandung beberapa atau semua titik perbatasannya. Kita harus hati- hati untuk memberikan interpretasi yang benar dari kontinuitas titik-titik yang demikian. Untuk mengatakan bahwa f kontinu pada suatu titik perbatasan P dari S berarti bahwa f(Q) harus mendekati f(P) ketika Q mendekati P melalui titik-titik di S.

Terema C Kesamaan Parsial Campuran

Jika f_xy dan f_yx kontinu pada suatu himpunan terbuka S, maka f_xy=f_yx pada tiap titik dan S.