DISUSUN OLEH KELOMPOK III

(1)

FUNGSI BESSEL

DISUSUN OLEH

KELOMPOK III

Nama Anggota

: Desrianah

2007.121.246

Titin Yuniarti

2007.121.254

Okta Herlaiza

2007.121.2

Septia Julita

2007.121.278

Dessy Adetia

2007.121.440

Esca Oktarina

2007.121.459

Semester

: 6L

Program Studi

: Pendidikan Matematika

Mata Kuliah

: Matematika Lanjutan

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG

(2)

FUNGSI BESSEL

PERSAMAAN DIFERENSIAL BESSEL

Fungsi Bessel dibangun sebagai penyelesaian persamaan diferensial.

(

)

0 ' '' 2 2 2 + + − = y n x xy y x , n≥0 (1)

yang dinamakan persamaan diferensial Bessel. Penyelesaian umum (1) diberikan oleh ) ( ) ( 2 1J x c Y x c y= n + n (2)

Penyelesaian J_n(x), yang mempunyai limit berhingga untuk x mendekati nol dinamakan fungsi Bessel jenis pertama dan berorde n. penyelesaian Y_n(x) yang tak mempunyai limit berhingga [yaitu tak terbatas] untuk x mendekati nol dinamakan fungsi Bessel jenis keduan dan berorde-n atau fungsi

Neumann.

Jika peubah bebas x pada (1) diganti xλ di mana λ suatu konstanta, persamaan yang dihasilkan adalah

(

)

0 ' '' 2 2 2 2 + + − = y n x xy y x λ (3)

Yang mempunyai penyelesaian umumy=c1Jn(λx)+c2Yn(λx) (4)

FUNGSI BESSEL JENIS PERTAMA

Didefinisikan fungsi Bessel jenis pertama berorde n sebagai

(

)

(

)

(

)(

)

     − + + ⋅ + + − + Γ = ... 4 2 2 2 4 2 2 2 2 1 1 2 ) ( 4 2 n n x n x n x x J _n n n (5) Atau

( )

(

)

∑

∞ = + + + Γ       − = 0 2 1 ! 2 1 ) ( r r n r n r n r x x J (6)

Di mana Γ

(

n+1

)

adalah fungsi gamma [Bab 9]. Jika n bilanngan bulat positif,

(

n+1

)

=n!

(3)

... 6 4 2 4 2 2 1 ) ( ₂ ₂ ₂ 6 2 2 4 2 2 0 = − + − + x x x x J (7)

Deret (6) konvergen untuk setiap x. Grafik J0(x) dan J1(x) ditunjukkan pada

Gambar 10-1.

Jika n setengah atau bilangan ganjil positif, J_n(x) dapat dinyatakan dalam suku-suku sinus dan cosinus. Lihat Soal 10.4 dan 10.7.

Sebuah fungsi J−n(x), n > 0 dapat didefinisikan dengan mengganti n oleh –n pada (5) atau (6). Jika n suatu bilangan bulat, maka kita dapat menunjukkan bahwa [lihat Soal 10.3]

( )

1 ( ) ) (x J x J n n n = − − (8)

Jika n bukan suatu bilangan bulat, maka Jn(x) dan J−n(x) bebas linear, dan

untuk kasus ini penyelesaian umum (1) adalah ) ( ) (x B J x AJ y n n n + − = , n≠0,1,2,3,... (9)

FUNGSI BESSEL JENIS KEDUA

Kita akan mendefinisikan fungsi Bessel jenis kedua berorde n sebagai

( )

       − − = − − → π π π π p x J p x J n x J n x J x Y p p n n n n p sin cos sin cos

lim

,... 3 , 2 , 1 , 0 ,... 3 , 2 , 1 , 0 = ≠ n n (10)

Untuk kasus di mana n =0,1,2,3,… diperoleh uraian deret berikut untuk Yn

( )

x .

( )

(

)

n k n k n n x k n x J x x Y − − =       − − −       +       =

∑

2 1 0 2 ! 1 1 2 ln 2 π γ π

( ) ( ) (

{

)

} ( )

! ! 2 1 1 1 2 1 0 k n k x k k n k n k k +       + Φ + Φ − − + − =

∑

π (11)

Di mana γ =0,5772156... adalah konstanta Euler dan

( )

p p ... 1 3 1 2 1 1+ + + + = Φ , Φ

( )

0 =0 (12)

(4)

FUNGSI PEMBANGKIT UNTUK J_n

( )

x _{(GENERATING FUNCTION)} Fungsi

∑

( )

∞ −∞ =       ₋ = n n n t t x t x J

e

1 2 (13)

dinamakan fungsi pembangkit untuk fungsi Bessel jenis pertama berorde bulat, yang sangat banyak gunanya dalam memperoleh sifat-sifat fungsi ini untuk nilai n bulat dan kemudian seringkali dapat dibuktikan berlaku untuk semua n.

RUMUS-RUMUS PENGULANGAN (RECURRENCE FORMULA) Hasil berikut ini berlaku untuk setiap nilai n.

1.

( )

J

( )

x J

( )

x x n x Jn 1 n n1 2 − + = − 2. J n

( )

x

[

Jn 1

( )

x Jn 1

( )

x

]

2 1 ' = ₋ − ₊ 3. xJ'n

( )

x =nJn

( )

x −xJn+1

( )

x 4. xJ'n

( )

x =xJn−1

( )

x −nJn

( )

x 5.

[

x J

( )

x

]

x J

( )

x dx d n n n n 1 − = 6.

[

x J

( )

x

]

x J

( )

x dx d n n n n 1 + − − ₌₋

Jika n adalah suatu bilangan bulat rumus tersebut dapat dibuktikan dengan

fungsi pembangkit. Perhatikan bahwa hasil 3 dan 4 berturut-turut setara dengan 5 dan 6.

Fungsi Y_n

( )

x memenuhi hasil yang sama seperti di atas, di mana Y_n

( )

x

menggantikan J_n

( )

x .

FUNGSI-FUNGSI YANG BERHUBUNGAN DENGAN FUNGSI BESSEL 1.Fungsi Hankel Jenis Pertama dan Kedua, yang berturut-turut didefinisikan oleh

(5)

( )

_{( )}

_x _J

_{( )}

_x _iY

_{( )}

_x Hn = n + n

1

, Hn( )

( )

x =Jn

( )

x +iYn

( )

x

2

2.Fungsi Bessel yang Dimodifikasi. Fungsi Bessel yang dimodifikasi jenis

pertama berorde n didiefinisikan oleh

( )

x i J

( )

ix J

( )

ix I n _n _n n i n e 2 π = = − (14)

Jika n bilangan bulat, I−n

( )

x =In

( )

x (15)

Tetapi jika n bukan bilangan bulat, I_n

( )

x dan I₋_n

( )

x bebas linear.

Fungsi Bessel yang dimodifikasi jenis kedua berorde n didefinisikan oleh

( )

( ) ( )

( )

             ₋     − = − − → π π π π p x I x I n x I x I x K p p n n n n p 2 sin sin 2

lim

,... 3 , 2 , 1 , 0 ,... 3 , 2 , 1 , 0 = ≠ n n (16)

Fungsi ini memenuhi persamaan diferensial x2y"+xy'−

(

x2+n2

)

y=0 (17)

dan penyelesaian umum persamaan ini adalah y=c1In

( )

x +c2Kn

( )

x (18)

atau jika n≠0,1,2,3,... y=AI_n

( )

x +BI₋_n

( )

x (19)

3.Fungsi Ber, Bei, Ker, Kei. Fungsi Bern

( )

x dan Bein

( )

x adalah bagian riil

dan imajiner dari _

      x i Jn 2 3 di mana i e

( )

i i −         = = 1 2 2 4 3 2 3 π , yaitu J_n i x_=Ber_n

( )

x +iBei_n

( )

x       2 3 (20)

Fungsi Ker_n

( )

x dan Kei_n

( )

x adalah bagian riil dan imajiner dari

        − x i K e n i n 2 1 2 π di mana i e

( )

i i +         = = 1 2 2 4 2 1 π , yaitu

(6)

_n _n_{( )}_x _n_{( )}_x i n iKei Ker x i K e _= +       − 2 1 2 π (21)

Fungsi-fungsi ini berguna sehubungan dengan persamaan x2y"+xy'−

(

ix2+n2

)

y=0 (22)

yang membangun teknik kelistrikan dan lapangan lainnya. Penyelesaian umum dari persamaan ini adalah

_       +         =cJ i x c K i x y n n 2 1 2 2 3 1 (23)

PERSAMAAN-PERSAMAAN YANG DITRANSFORMASIKAN KE DALAM PERSAMAAN BESSEL Persamaan

(

2 1

)

'

(

)

0 " 2 2 2 2 + + − + = y x xy k y x α r β (24)

di mana k, α, r, β konstanta mempunyai penyelesaian umum

                +         = − r r k r r k k r x Y c r x J c x y 1 α 2 α (25) di mana = 2−β2 k

K . Jika α =0, persamaannya dapat diselesaikan

sebagai persamaan Euler atau Cauchy [lihat halaman 83]

RUMUS ASIMTOTIK UNTUK FUNGSI BESSEL

Untuk nilai x besar kita mempunyai rumus asimtotik berikut ini

( )

x Jn ~       − − 2 4 cos 2 π π π n x x ,Yn

( )

x ~      − − 2 4 sin 2 π π π n x x (26)

NILAI NOL FUNGSI BESSEL

Kita dapat menunjukkan bahwa jika n suatu bilangan riil, J_n

( )

x =0

mempunyai tak berhingga banyaknya akar yang semuanya riil. Perbedaan di antara akar-akar yang berurutan mendekati π jika nilai akarnya membesar.

(7)

Ini dapat dilihat dari (26). Kita dapat juga menunjukkan bahwa akar-akar

( )

x =0

Jn terletak di antara Jn−1

( )

x =0 dan Jn+1

( )

x =0. Catatan serupa dapat

juga dibuat untuk Yn

( )

x .

KETEGAK-LURUSAN (ORTHOGONALITY) FUNGSI BESSEL

Jika λ dan µ dua konstanta berbeda, kita dapat menunjukkan [lihat Soal 10.21] bahwa

( ) ( )

2 2

( ) ( )

1 0 ' ' µ λ λ µ λ µ λ µ µ λ − − =

∫

n n n n n n J J J J dx x J x xJ (27)

sedangkan [lihat Soal 10.22]

( )

            − + =

∫

λ λ λ λ 2 2 2 2 1 0 2 1 ' 2 1 n n n J n J dx x xJ (28) Dari (27) kita lihat bahwa λ dan µ adalah dua akar berbeda dari persamaan

( )

x +SxJ'

( )

x =0

RJ_n _n (29) di mana R dan S konstanta, maka

( ) ( )

0

1

0 =

∫

xJ_n λxJ_n µx dx (30)

yang menyatakan bahwa fungsi xJ_n

( )

λx dan xJ_n

( )

µx tegaklurus pada (0,1). Perhatikanlah bahwa sebagai kasus khusus (29) kita melihat bahwa λ dan µ dapat merupakan dua akar berbeda dari J_n

( )

x =0 atau J'_n

( )

x =0. Kita dapat juga mengatakan bahwa fungsi-fungsi Jn

( )

λx , Jn

( )

µx tegaklurus

terhadap fungsi kepadatan x.

DERET FUNGSI-FUNGSI BESSEL

Seperti pada kasus Deret Fourier, kita dapat menunjukkan bahwa jika f(x) memenuhi syarat Dirichlet [di halaman 197] maka di setiap titik kekontinuan

(8)

( )

∑

∞

( )

= = + + = 1 2 2 1 1 ... p p n p n n x AJ x A J x J A x f λ λ λ (31)

di mana λ1,λ2,... adalah akar-akar positif (29) dengan ≥0

S R , S ≠0 dan

( )

xJ

( )

x f

( )

x dx J S R n A n p p n p p p λ λ λ λ

∫

      + − = 1 0 2 2 2 2 2 2 2 (32)

Di titik ketak-kontinuan deret di ruas kanan (31) konvergen ke

(

) (

)

[

0 0

]

2 1 ₊ ₊ ₋ x f x

f yang dapat digunakan untuk menggantikan ruas kiri (31).

Dalam kasus S = 0 sehingga λ₁,λ₂,... adalah akar-akar dari J_n

( )

x =0,

( )

xJ

( )

x f

( )

x dx J A n p p n p λ λ

∫

+ = 1 0 2 1 2 (33) Jika R = 0 dan n = 0, maka deret (31) dimulasi dengan suku tetap

( )

x dx f x A_p =

∫

1 0 2 (34)

SOAL-SOAL DAN PENYELESAIANNYA PERSAMAAN DIFERENSIAL BESSEL

10.1 Gunakan metode Frobenius untuk menentukan deret penyelesaian persamaan diferensial Bessel x2y"+xy'+

(

x2+n2

)

y=0.

Andaikan suatu jawaban berbentuk y=

∑

ckxk+β di mana k bergerak

dari −∞ sampai ∞ dan ck =0 untuk k < 0, maka

(

)

∑

+

∑

+ − + + + ₋ ₌ ₋ = + β β β k β k k k k k k kx n c x c x n c x c y n x2 2 2 2 ₂ 2

(

)

∑

₊ + = _β k β kx c k xy'

(

)(

)

∑

₊ ₊ ₋ + = _β _β k β kx c k k y x2 " 1

(9)

(

)(

) (

)

[

]

∑

+ + − + + + − = = + − 0 1 " 2 2 2 β β β k β k k k k k c c n c x c k k y x

dan karena koefisien xk+β harus nol, diperoleh

(

)

[

k+β 2−n2

]

c_k+c_k₋₂ =0 (1) Andaikan k = 0 pada (1); karena c₋₂ =0 maka diperoleh persamaan awal

(

)

0 0 2 2− = c n β ; atau andaikan c0≠0, 2 2 n =

β . Kemudian, tinjaulah dua kasus, β =−n dan β =n. Pertama akan dipandang kasus pertama β =n, dan kasus kedua diperoleh dengan menggantikan n oleh –n.

Kasus 1, β =n.

Dalam kasus ini (1) menjadi

(

2n+k

)

ck +ck−2 =0

k (2)

Ambillah k=1,2,3,4,... secara berurutan pada (2), kita mempunyai

0 1= c ,

(

2 2

)

2 0 2 ₊ − = n c c , c₃ =0,

(

2 4

)

2 4

(

2 2

)(

2 4

)

4 0 2 4 ₊ = _⋅ ₊ ₊ − = n n c n c c , …

Jadi deret yang diinginkan adalah

(

)

(

)(

)

      − + + ⋅ + + − = + + + = + + ... 4 2 2 2 4 2 2 2 2 1 ... 4 2 0 4 4 2 2 0 n n x n x x c x c x c x c y n n n n (3) Kasus 2, β =−n.

Gantilah n oleh –n pada Kasus 1, diperoleh

(

)

(

)(

)

      − − − ⋅ + − − = − ... 4 2 2 2 4 2 2 2 2 1 4 2 0 n n x n x x c y n (4)

Sekarang, jika n = 0 kedua deret sama. Jika n=1,2,... deret kedua tidak mungkin ada. Tetapi bila n≠0,1,2,... kedua deret tersebut dapat ditunjukkan bebas linear sehingga untuk kasus ini penyelesaian umumnya adalah

(

)

(

)(

)

      − + + ⋅ + + − = ... 4 2 2 2 4 2 2 2 2 1 4 2 n n x n x Cx y n

(

)

(

)(

)

      − − − ⋅ + − − + − _... 4 2 2 2 4 2 2 2 2 1 4 2 n n x n x Dx n ₍₅₎

(10)

Kasus untuk n=0,1,2,3,... akan dibicarakan kemudian [lihat Soal 10.15 dan 10.16].

FUNGSI BESSEL JENIS PERTAMA

Gunakan definisi (5) dari Jn(x) yang diberikan pada halaman 240 untuk menunjukkan bahwa jika n≠0,1,2,3,...maka penyelesaian umum pada persamaan bassel adalah y= AJn(x)+BJ−n(x) untuk kasus n≠0,1,2,3,... 1.Buktikanlah (a) 12( ) 2 sinx,

x x J π = (b) 12( ) 2 cosx, x x J π = − (a) J12(x)

( )

x x x x x x x x x x x r x r x r x r r r x r r r sin 2 sin ) 2 / 1 ( ) 2 ( ... ! 5 ! 3 1 ) 2 / 1 ( ) 2 ( ... ) 2 / 1 )( 2 / 3 ( 2 / 5 ! 2 ) 2 ( ) 2 / 1 )( 2 / 3 ( ! 1 ) 2 ( ) 2 / 1 ( ) 2 ( ... ) 2 / 7 ( ! 2 ) 2 ( 2 / 5 ! 1 ) 2 ( ) 2 3 ( ) 2 ( ) 2 3 ( ! ) 2 ( ) 1 ( 2 1 4 2 2 1 2 7 2 5 2 1 2 9 2 5 2 1 0 2 2 1 π π π π π π = =       − + − = − + − = − + − = + − =

∑

∞ = + (b)

( )

( ) ( )

(

)

( )

... 2 / 5 ! 2 2 / 2 / 3 ! 1 2 / 2 / 1 2 2 1 ! 2 1 7/2 0 2 / 3 2 / 1 2 2 1 2 1 = − + − + − =

∑

∞ = − + − − r x r x r x r r r x x J r r r =

( )

x x x x x cos 2 ... ! 4 ! 2 1 2 12 2 4 π π =     − + − − 2.Hitunglah (a)

∫

x J1

( )

xdx 4 , (b)

∫

x J3

( )

xdx 3

(a) Metode 1.Metode pengintralan parsial memberikan

∫

x4J₁

( )

xdx=

∫

( )

x2

[

x2J₁

( )

xdx

]

=x2

[

x2J₂

( )

x

]

−

∫

[

x2J₂

( )

x

]

[

2xdx

]

( )

x x J

( )

x c J x dx x J x x J x + − = − =

_∫

2 3 2 4 2 3 2 4 2 2

(b) Metode 2. Gunakanlah J1(x)=−J0(x),diketahui

{

}

[

]

[

] [

][

]

{

∫

}

∫

− − = − = − = = − − = − = dx x xJ x J x dx x J x dx x J x xdx x xJ x xJ x dx x xJ x dx x J x dx x J x x J x dx x J x dx x J x ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 ) ( ) ( ) ( 0 0 2 1 0 2 1 2 1 1 2 0 2 0 2 0 3 0 4 1 0 4 1 4 0( ) 2 1( ) 2 x xJ x J x + =

(11)

Maka

∫

x J (x)dx=−x J (x)+4

[

x J (x)−2

{

−x J0(x)+2xJ1(x)

}

]

+c 2 1 3 0 4 1 4 =(8x2−x4)J₀(x)+(4x2−16x)J₁(x) x J (x)dx x5

[

x 2J₃(x)dx

]

3 3

∫

−

∫

=

[

] [

]

∫

+ − = − − − = − − dx x J x x J x dx x x J x x J x x ) ( 5 ) ( 5 ) ( ) ( 2 2 2 3 4 2 2 2 2 5 x J (x)dx x

[

x J2(x)

]

dx 1 3 2 2 −

∫

=

[

] [

]

∫

+ − = − − − = − − dx x xJ x J x dx x x J x x J x x ) ( 3 ) ( 3 ) ( ) ( 1 1 2 2 1 1 1 1 3

∫

xJ (x)dx=−

∫

xJ1(x)dx=−

[

xJ₀(x)−

∫

J₀(x)dx

]

0 1 =−xJ0(x)+

∫

J0(x)dx Maka x J (x)dx x J (x) 5

{

x J1(x) 3

[

xJ0(x) J0(x)dx

]

}

2 2 3 2 3 =− + − + − +

∫

=−x J (x)−5x J1(x)−15xJ0(x)+15

∫

J0(x)dx 2 2 3

Integral

∫

J0(x)dx tidak dapat diperoleh dalam bentuk tertutup.secara umum ,

∫

x2J₀(x)dx dapat diperoleh dalam bentuk tertutup jika p+q≥0dan p+q

genap hasilnya dapat diperoleh dalam suku-suku

∫

J₀(x)dx.

a) Buktikanlah

( ) ( )

( )

x n x J x J x J x Jn n n n π π sin 2 ) ( ' ' ₋ ₌ − −

b) Bahaslah arti hasil (a) dipandang dari kebergantungan linear Jn(x)dan J−n(x)

c) Karena Jn(x),dan,J−n(x),berturut-turut disingkat JndanJ−n(x),memenuhi

persamaan bassel,maka

(

2 2

)

0, 2 " '

(

2 2

)

0 ' " 2 + + − = + + − = − − −n n n n n n xJ x n J x J xJ x n J J x katakanlah

persamaan pertama dengan J₋_n dan kedua dengan J_ndan kurangkanlah.

Maka yang dapat ditulis

[

] [

]

[

] [

]

0 0 ' ' ' ' ' ' " " 2 = − + − = − + − − − − − − − − − n n n n n n n n n n n n n n n n J J J J J J J J dx d x J J J J x J J J J x

(12)

Atau

{

x

[

Jn'J₋n−J₋'nJn

]

}

=0

dx d

Integralkanlah ,kita memperoleh

x c J J J Jn −n− −n n = ' '

Untuk menentukan c gunakanlah uraian deret J_n dan J₋_n,diperoleh

(

)

( )

(

)

( )

... 2 ..., 1 2 ..., 2 ..., 1 2 1 ' 1 ' − − = − + − = − = − + = − − ₋ − − − − + n r x J n r x J n r x J n r x J _n n n n n n n n n n n n

Dan kemudian subsitusikan pada (1), kita memperoleh

π π n n r n r n r n r n r n r c 2sin ) 1 ( ) ( 2 ) ( ) 1 ( 1 ) 1 ( ) ( 1 ₌ − = − + − − =

Dengan menggunakan hasil 1,dihalaman 227. Ini memberikan hasil yang diinginkan.

a) Bentuk J_n'J₋_n−J₋'_nJ_npada (a) adalah determinan Wronski dari J_ndan J₋_n. Jika n bilangan bulat kita lihat dari (a) bahwa determinan wronski ini nol;sehingga J_ndan

n

J₋ bergantungan linear dan dan juga jelas dari soal 10.3(a). dalam hal lain,jika n bukan bilangan bulat , J_n dan J₋_n keduanya bebas linear karena pada kasus ini determinan wronskinya tak nol.

FUNGSI PEMBANGKIT DAN HASIL-HASIL LAINNYA

1)Buktikanlah

( )( )

n n n t t x t x J e

∑

∞ −∞ = − = ( ) 1 2 Kita mempunyai ( )( )

_∑

( )

_∑

(

)

_∑∑

∞

( )

= ∞ = − + ∞ = ∞ = − − ₌ −       ₋       = = 0 0 0 0 2 2 1 2 ! ! 2 ) 1 ( ! 2 ! 2 r k k r k r k k k r r x x xt t t x k r t x k t x r xt e e e

Andaikan r−k=nsehingga n bergerak dari −∞sampai +∞ , maka jumlahnya menjadi

( )

n n n n n k k n k n k n k n k t x J t k n k x k k n t x ) ( )! ( ! 2 ) 1 ( ! )! ( 2 ) 1 ( 0 2 0 2

∑

∑ ∑

∞ −∞ = ∞ −∞ = ∞ = + ∞ −∞ = ∞ = + =       + − = + −

2)Buktikanlah (a) cos(xsinθ)=J₀(x)+2J₂(x)cos2θ+2J₄(x)cos4θ+...

(b) sin(xsinθ)=2J₁(x)sinθ+2J₃(x)sin3θ+2J₅(x)sin5θ+...

(13)

[

θ θ

]

θ θ θ θ n i n x J e x J e e xe e ix _n in _n i i sin cos ) ( ) ( sin ) ( 2 1 + = = =

∑

∞ ∞ − ∞ ∞ − −−

{

[

]

[

]

}

[

]

[

]

{

( ) ( ) sin ( ) ( ) sin2 ...

}

... 2 cos ) ( ) ( cos ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 2 2 1 1 0 + + + + + + + + + + = − − − − θ θ θ θ x J x J x J x J i x J x J x J x J x J

=

{

J₀(x)+2J₂(x)cos2θ+...

} {

+i 2J₁(x)sinθ+2J₃(x)sin3θ +...

}

Dimana kita telah menggunakan soal 10.3(a). samakan bagian riil dan imajinernya untuk peroleh hasil yang diinginkan.

3)Buktikanlah ( ) 1 cos( sin ) , 0,1,2,...

0 = − =

_∫

n x d n x Jn θ θ θ π π

Kalikan hasil pertama dan kedua soal 2.berturut-turut dengan cara cosnθ dan

θ

n

sin dan integralkan dari 0 sampai π dengan menggunakan

   =

∫

0 2 0 cos cos _π π θ θ θ n d m n m n m = ≠    =

∫

0 2 0 sin sin _π π θ θ θ n d m 0 ≠ = ≠ n m n m

Kemudian jika n genap atau nol diperoleh :

θ θ θ π π d n x x

Jn cos( sin )cos

1 ) ( 0

∫

= , θ θ θ π π d n xsin )sin sin( 1 0 0

∫

=

Dan dengan menjumlahkannya diperoleh :

[

]

∫

+ = − = π π θ θ θ π θ θ θ θ θ π 0 0 ) sin cos( 1 sin ) sin sin( cos ) sin cos( 1 ) (x x n x n d n x d Jn

Dengan cara serupa ,jika n ganjil ,maka

θ θ θ π π d n x x

J_n( ) 1 sin( sin )sin

0

∫

= , θ θ θ π π d n xsin )sin cos( 1 0 0

∫

=

Dan dengan menjumlahkannya diperoleh

θ θ θ π π d x n x J_n =

∫

− 0 ) sin cos( 1 ) (

Jadi kita memperoleh hasil yang berlaku untuk n genap atua ganjil ,yaitu n=0,1,2,… 4)Buktikanlah hasil soal 10.6(b) untuk nilai bulat n dengan menggunakan fungsi

pembangkit.

Diferensialkan kedua ruas fungsi pembangkit terhadap t tanpa menuliskan limit

∞

(14)

( )(− ) =

∑

−      + 1 2 1 2 ) ( 1 1 2 n n t t x t x nJ t x e Atau 

∑

=

∑

−      + 1 2 ( ) ( ) 1 1 2 n n n n x t nJ x t J t x Yaitu

∑

 =

∑

−      + 1 2 ( ) ( ) 1 1 2 n n n n x t nJ x t J t π Ini dapat ditulis sebagai

∑

+

∑

( ) −2 =

∑

( ) −1 2 ) ( 2 n n n n n n x t J x t nJ x t J π π Atau J_n x tn tn (n 1)J_n (x)tn 2 ) ( 2

∑

1

∑

π + π = + + Yaitu J_n x J_n (x) tn (n 1)J_n (x)tn 2 ) ( 2 2

∑

1

∑

+  = + +    +π π

Karena koefisien tnharus sama ,maka

( ) ( 1) ( ) 2 ) ( 2Jn x + Jn+2 x = n+ Jn x π π

Dan dari sini hasil yang diinginkan diperoleh dengan mengganti n oleh n-1.

FUNGSI BESSEL JENIS KEDUA

1 (a)Tunjukkan bahwa jika n bilangan bulat,penyelesaian umum persamaan Bessel adalah y = EJ_n

( )

+ _

( )

− −

( )

_ π π n x J n x J F x n n sin cos

(b)Jelaskanlah bagaimana anda dapat menggunakan bagian (a) untuk memperoleh penyelesaian umum persamaan bessel dalam kasus n bulat.

FUNGSI BESSEL

(a) Karena J₋_n dan J bebas linear,Penyelesaian umum persamaan bessel _n

dapat ditulis :

(15)

dan hasil yang diinginkan diperoleh dengan mengganti konstanta sebarang 2 1 c c ⋅ oleh E dimana π π π n F c n n F E c sin , sin cos 2 1 − = − + =

Perhatikanlah bahwa kita mendefinisikan fungsi bessel jenis kedua bila n bukan suatu bilangan bulat dengan

Y

( )

π π n x J n x J x n n n sin cos − ₋ = (b) Bentuklah

( )

π π n x J n x Jn n sin cos − ₋

Menjadi suatu “tak tentu / indeterminate” yang berbentuk 0/0 untuk kasus n suatu bilangan bulat.Hal ini disebabkan untuk suatu bilangan n,diketahui

( )

danJ

( ) ( ) ( )

x J x n 1n _n 1n _n

cos π = − ₋ = − lihat soal 10.3. “ bentuk tak tentu” ini dapat dihitung dengan rumus L’Hospital,yaitu

( )

      − ₋ → π π p x J p x Jp n n p _sin cos lim

Gunakanlah soal 1 untuk memperoleh penyelesaian umum persamaan untuk n=0

Dalam kasus ini harus dihitung

( )

      − ₋ → π π p x J p x Jp p p _sin cos lim 0

Gunakanlah rumus L’Hospital (turunkan pembilang dan penyebut terhadap p)pada limit (1),diperoleh

0 0 1 cos / ( cos ) / ( lim = − − → _     ∂ ∂ − ∂ ∂ =       ∂ ∂ − ∂ ∂ p P P P p p _p J p J p Jp J p p J π π π π

(16)

Dimana lambang yang digunakan menyatakan bahwa kita mengambil turunan parsial dari JP

( )

x danJ−p

( )

x terhadap p dan kemudian mengambil p=0.Karena

( )

/ .

/ p J p

J _P ∂ − =−∂ _p ∂

∂ − − limit yang diinginkan juga sama dengan 0

2 = ∂ ∂ p p p J π

Untuk memperoleh ∂Jp/∂p diturunkan deret

( )

∑

∞

( ) ( )

₍

₎

= + + + − = 0 2 1 ! 2 / 1 r r p r p r p r r x x J

Terhadap p dan diperoleh

( )

(

)

     + + ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∞ + =

∑

1 2 / ! 1 2 0 r p r x p r p J p r r r P

Sekarang jika seandainya

( )

(

p r

)

G r x p r = + + + 1 2 / 2 , maka Ln G=

(

p+2r

) ( )

ln x/2 −lnr

(

p+r+1

)

Sehingga turunanya terhadap p memberikan

( ) (

₍

)

₎

1 1 1 2 / ln 1 + + + + − = ∂ ∂ r p r r p x p G G

Maka untuk p=0 diperoleh

( )

( ) ( )

( )

(

)

      + + − + = ∂ ∂ = 1 1 ' 2 / ln 1 2 / 2 0 r r r r x r r x p G r p

Gunakan (2) dan (3) , diperoleh

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

      + + − + − = ∂ ∂

∑

∞ = = 1 1 ' 2 / ln 1 ! 2 / 1 2 2 0 2 0 r r r r x r r r x p J r r r p p π π =

{

( )

} ( )

_      +       + − + + ... 2 1 1 4 2 2 2 2 / ln 2 2 2 4 2 3 0 x x x J x π γ π

(17)

Dimana deret terakhir diperoleh dengan menggunakan hasil (6)dihalaman 240.deret terakhir ini adalah deret untuk Y0(x .Dengan cara yang sama kita ) dapat memperoleh deret (11) dihalaman 241 untuk Yn(x)dimana n sebuah bilangan bulat.Jika n sebuah bilangan bulat,maka penyelesaian umumnya diberikan oleh y=c₁J_n

( )

x +c₂Y_n

( )

x

FUNGSI-FUNGSI YANG BERHUBUNGAN DENGAN FUNGSI BESSEL 2. Buktikanlah rumus pengulangan untuk fungsi bessel jenis pertama

yangtelah dimodifikasi l_n (x)yang diberikan oleh

I

( )

I

( )

x x n x I x n n n 2 1 1 = − − +

Dari soal 10.6(b)kita memperoleh ) ( ) ( 2 ) ( ₁ 1 J x J x x n x J_n₊ = _n − _n₋

Gantilah x dengan ix untuk memperoleh ) ( ) ( 2 ) ( 1 1 J ix J ix x in ix Jn+ n − n− − =

Sekarang menurut definisinya In(x)=i−nJn(ix)atau i In(x) n sehingga (2)menjadi 1 ₁( ) 2 i I (x) i 1I (x) x in x I in+ _n₊ =− n _n − n− _n

Bagilah dengan in+1,maka hasil yang diinginkan tercapai. 3. Jika n bukan suatu bilangan bulat,tunjukkanlah bahwa (a) π n i x J e x J x H n inx n n sin ) ( ) ( ) ( ) 1 ( − − − =

Menurut definisi Hn (x)danYn(x),maka

) 1 (     ₋ + = + = − π π n x J n x J i x J x iY x J x H n n n n n n sin ) ( cos ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( = π π π n x iJ n x iJ n x J_n _n _n sin ) ( cos ) ( sin ) ( + − ₋ = _ − − − _ π π π n x J n i n x J i n n sin ) ( ) sin )(cos (

(18)

=       − ₋ ₋ π n x J e x J i n inx n sin ) ( ) ( = π n i x J e x J n inx n sin ) ( ) ( − − − (b) π n i x J x J e x H n n inx n sin ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ₌ − −

Karena Hn(2)(x)=Jn(x)−iYn(x),denhan mengganti i oleh –i pada hasil (a) maka diperoleh π n i x J e x J x H n inx n n sin ) ( ) ( ) ( ) 2 ( − − = − = π n i x J x J e n n inx sin ) ( ) ( − ₋

4. Tunjukkanlah (a) Ber ...

8 6 4 2 4 2 1 ) ( ₂ ₂ ₂ ₂ 8 2 2 4 0 = − + − x x x Bei ... 10 8 6 4 2 6 4 2 2 ) ( ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ 10 2 2 2 6 2 2 0 = − + − x x x x FUNGSI BESEEL Diketahui:       + − +       − + − = − + − − + = − + − + − = −       +       −       +       − =       ... 6 4 2 2 ... 8 6 4 2 4 2 1 ... 8 6 4 2 6 4 2 4 2 2 1 ... 8 6 4 2 6 4 2 4 2 2 1 ... 8 6 4 2 6 4 2 4 2 2 1 2 2 2 8 2 2 2 2 2 2 8 2 2 4 2 2 2 2 8 2 2 2 6 2 2 4 2 2 2 2 2 2 8 12 2 2 2 6 9 2 2 4 6 2 2 3 2 2 2 2 8 2 3 2 2 2 6 2 3 2 2 4 2 3 2 2 2 3 2 3 0 z z i z z z iz z iz z i z i z i z i z i z i z i z i z i r

Dan hasil yang diinginkan tercapai dengan mengingat bahwa

( ) iBei( )dan Ber J z z z i  = +      0

(19)

dicat bahwa kadang-kadang menghilangkan indeks nol dalam

( )

0

( )

.

0 z danBei z

Ber

PERSAMAAN-PERSAMAAN YANG DITRANSFORMASIKAN NKE DALAM PERSAMAAN BESSEL

1.. tentukan penyelesaian umum persamaan xy''+y'+ay=0.

Pesamaan tersebut dapat ditulis sebagai xzy''+xy'+axy=0 dan merupakan suatu ---khusus dari persamaan (24) di halaman 242dimana

, , 0 a a k = = r = 0 , 2 1 =

β maka penyelesaian seperti diberikan 242 adalah

( )

ax c y

( )

ax

J c

y= 1 0 2 + 2 0 2

KETEGAK LURUSAN FUNGSI BESEEL

2.Buktikanlah

( ) ( )

₂ ₂

( ) ( )

' ' 1 0 λ µ λ µ λ µ λ µ µ λ − − =

∫

n n n n n n J J J J dx x J x xJ jika λ≠µ.

Dari (3) dan (4) dihalaman 240,kelihatan bahwa y₁ =J_n

( )

λx dan

( )

x J y₂ = _n µ

Adalah penyelesaian persamaan

(

)

0,

(

)

2 0 2 2 2 ' 2 '' 2 2 1 2 2 2 ' 1 '' 1 2 + + − = + + − = y n x xy y x y n x xy y x λ µ

Dengan pengalikan persamaan dengan y dan 2 dengan 2 y dan kemudian 1

kurangkan, kita memperoleh

[

] [

]

(

)

1 2 2 2 2 ' 2 1 ' 1 2 '' 2 1 '' 1 2 2 y y x y y y y x y y y y x − + − = µ −λ

Setelah dibagi dengan x dapat ditulis sebagai berikut

[

] [

]

(

)

1 2 2 2 ' 2 1 ' 1 2 ' 2 1 ' 1 2y y y y y y y xy y y dx d x − + − = µ −λ Atau

[

]

{

}

(

)

1 2 2 2 ' 2 1 '' 1 2y y y xy y y x dx d ₋ ₌ _µ ₋_λ

(20)

(

−

)

∫

=

[

− '

]

2 1 ' 1 2 2 1 2 2 y y y y x dx y xy λ µ

Lalu gunakan y1 =Jn

( )

λx,y2 =Jn

( )

µx dan bagikan dengan 0,

2 2 −λ ≠ µ maka

( ) ( )

[

( ) ( )

]

∫

= ₂ ₋− ₂ ' ' λ µ µ λ µ λ µ λ µ λx J xdx x J x J x J x J x xJ n n n n n n Jadi

( ) ( )

₂ ₂

( ) ( )

' ' 1 0 µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ − − =

∫

n n n n n n J J J J dx x J x xJ

Yang ekivalen dengan hasil yang diinginkan.

3. buktikan

( )

1

( )

. 2 1 2 2 2 2 1 0 2             − + =

∫

λ λ λ λ n n n J n J dx x xJ

misalkan µ →λpada hasil soal no 2.dengan mengunakan rumus L hospital diperoleh

( )

λµ λ

( ) ( )

µ λ

( ) ( )

λ_µ µ µ

( ) ( )

λ µ λ µ 2 ' ' ' 1 0 2

lim

n n n n n n n J J J J J J dx xJ = − − →

∫

( )

( ) ( )

( )

λ λ λ λ λ λ λ λ 2 '' ' 2 ' n n n n n J J J J J − − =

Tetapi karena λ2Jn''

( )

λ +λJn'

( )

λ +

(

λ2 −n2

)

Jn

( )

λ =0, dengan menyelesaikan untuk Jn''

( )

λ dan mensubstusikannya diperoleh

( )

            − + =

∫

xJ_n x dx J_n n₂ J_n2 x 2 2 ' 1 0 2 1 2 1 λ λ λ

4.buktikan bahwa jika λdan adalah dua akar berbeda dari prsamaan µ

NRJn

( )

x +SxJn'

( )

x =0dimana R dan S kostanta, maka

( ) ( )

∫

1 =

0xJn λx Jn µx dx 0

Yaitu xJn

( )

λx dan xJn

( )

µx saling tegak lurus pada (0,1).

(21)

( )

+SxJ'

( )

x =0, RJn λ N

( )

0 ' = + µ µ µ n n S J RJ

Kemudian, jika R≠0,S ≠0 dari (1) kita memperoleh

( ) ( )

λ ' µ −µ

( ) ( )

µ ' λ =0

µJn Jn Jn Jn

Sehingga dari soal 2.kita mendapatkan hasil yang diinginkan

( ) ( )

∫

1 =

0xJn λx Jn λxdx 0

Dalam kasus R≠0,S ≠0 atau R≠0,S =0,hasil tersebut juga dapat dibuktikan dengan mudah.

DERET FUNGSI BESSEL

1.Jika f

( )

x =

∑

ApJn

( )

λpx,0< x >1, dimana λp,p=1,2,3,...,akar positif dari

( )

x =0, Jn ditunjukkan bahwa

( )

∫

( )

+ = 1 0 2 1 2 dx x f x xJ J A n p p n P λ λ

Kalikan deret untuk f(x) dengan xJn

( )

λkx dan integralkan suku demi suku

dari 0 sampai 1.maka

( ) ( )

( )

∫

∑ ∫

≈ = = 1 0 1 p p n k n p k n x f xdx A xJ x J xdx xJ λ λ λ =

∫

1

( )

0 2 dx x xJ Ak n λk = AKJN

( )

λk 2 ' 2 1

Dimana kita telah menggunakn soal 10.22.dan 10.23 bersama-sama dengan kenyataan bahwa

( )

∫

( ) ( )

= 1 0 2 ' 2 dx x f x xJ J A _n _k k n K λ λ

Untuk memperoleh hasil yang diinginkan dari sini,digunakan rumus pengulangan 3 dihalaman 240 yang ekivalen denga rumus 6 dihalaman itu, kita memperoleh

( )

k n

( )

k n

( )

k n kJ λ nJ λ λJ λ λ 1 ' + − =

(22)

Atau karena Jn

( )

λk =0

( )

k n

( )

k

n J

J' λ =− ₊₁ λ

2.uraikan f(x)=1 dalam suatu deret yang berbentuk

( )

∑

∞ =1 0 p p pJ x A λ

Untuk 0<x<1,jika λp,p=1,2,3,…, adlah akar positif dari J0

( )

X =0,

( )

∫

( )

=

( )

∫

( )

= p dv v vJ J dx x xJ J A p p p p p λ λ λ λ λ 2 0 0 1 2 1 0 0 2 1 2 2 =

_{( )}

( )

_{( )}

p p p i p J v vJ J p λ λ λ λ λ 1 0 1 2 2 2 2 =

Dimana kita telah menggunakan penggantian v=λpx dalam intergralnya

dan hasil soal 10.8 dengan n=1

Jadi kita memperoleh deret yangdiinginkan

( )

∑

∞

_{( ) ( )}

= = = 1 0 1 2 1 p p p k x J J x f λ λ λ

Yang dapat ditulis sebagai

( )

2 1 ... 2 2 2 2 0 1 1 1 1 0 + + = λ λ λ λ λ λ J x J J x J SOAL-SOAL TAMBAHAN PERSAMAAN DEFERENSIAL BESSEL

10.26. Tunjukanlah bahwa jika x diganti oleh xλ dimana λ kostanta, maka persamaan Bessel x2y''+xy' +

(

x2 −n2

)

y=0 ditransformasikan menjadi

(

2 2 2

)

0 ' '' 2 + + − = y n x xy y x λ

(23)

10.27.(a) tunjukan

( )

... 8 6 4 2 6 4 2 4 2 2 2 2 2 7 2 2 5 2 5 1 = − + − + x x x x x

J dan periksalah bahwa

selang kekonvergenan adalah −∞<x<∞ 10.28.tunjukan J₀1

( )

X =−J₁

( )

x. 10.29. tunjukanlah

[

xJ

( )

x

]

xJ

( )

x dx d 0 1 = 10.30.Hitunglah (a) J

( )

x 2 5 dan (b) J

( )

x 2 5

− dalam suku-suku sinus dan cosinus. 10.31.tentukanlah J₃

( )

3 dalam suku-suku J₀

( )

x danJ₁

( )

x.

10.32. buktikanlah bahwa

( )

a

( )

[

( )

]

( )

x

[

J

( )

x J

( )

x J

( )

x J

( )

x

]

J x J x J x J x J n n n n n n n n n 3 1 1 3 '' ' 2 2 '' 3 3 4 1 2 2 1 + + − − + − − + − = + − =

Dan buatlah perumusan hasil ini.

10.33 hitunglah (a)

∫

x3J₂

( )

xdx, (b).

∫

1

( )

0 0 3 dx x J x (c).

∫

x J0

( )

xdx 2 10.34 hitunglah (a)

∫

J

( )

3 x dx 1 (b).

( )

∫

dx x x J 2 2 10.35.hitunglah

∫

J₀

( )

x sinxdx.

FUNGSI PEMBANGKIT DAN HASIL-HASIL TAMBAHAN 10.36 gunakanlah fungsi pembangkit untuk membuktikan bahwa

( )

x

[

J

( )

x J

( )

x

]

Jn n1 n 1 ' 2 1 + − +

= untuk kasus dimana n bulat.

10.37 gunakanlah fungsi pembangkit untuk mengerjakan soal 10.30 dalam kasus n bulat. 10.38 tunjukanlah

( )

=

∫

2

(

)

0 0 cos sin 2 π _θ _θ π x d x J 10.39 tunjukanlah

∫

( )

∑

( )

∞ = + = x k k x J dt t J 0 0 1 2 0 2

FUNGSI BESSEL JENIS KEDUA 10.40. Buktikanlah Y

( )

x Y1

( )

x

'

(24)

10.41. hitunglah (a). Y12

( )

x, (b). Y−12

( )

x. 10.42.buktikanlah Jn

( ) ( )

xYn x Jn

( ) ( )

xYn x 2πx ' ' − = 10.54. Tunjukanlah

( )

(

θ

)

θ π π d x x I =

∫

2 0 0 cosh sin 2 .

10.55. Tunjukanlah (a) sinhx=2

[

I1

( )

x +I3

( )

x +...

]

(b) coshx= I0

( )

x +2

[

I2

( )

x +I4

( )

x +...

]

10.56. Tunjukanlah (a)

( )

= _ − _ x x x x x I3 2 π2 cosh sinh (b) ₋

( )

= _ − _ x x x x x I 3 2 2π sinh cosh . 10.57. (a) Tunjukanlah

( )

K

( )

x x n x K x Kn n n 2 1 1 = − + +

(b) Jelaskanlah mengapa fungsi K_n

( )

x memenuhi rumus pengulangan yang sama seperti untuk In

( )

x dengan In

( )

x diganti dengan Kn

( )

x .

10.58. Berikan rumus asimtotik untuk (a) In( )

( )

x

1 , (b) Hn( )

( )

x 2 . 10.59. Tunjukanlah

( )

{

( )

}

( )

... 4 1 3 1 2 1 1 ! 4 2 2 1 1 ! 2 2 1 4 2 ln 2 8 2 0 0 0 _−     + + + +       + − + + + − = x Ber x Bei x x x x Ker γ π

PERSAMAAN-PERSAMAAN YANG DUTRANSFORMASIKAN KEDALAM PERSAMAAN BESSEL

10.60. Selesaikan 4xy”+4y’+y = 0.

10.61. Selesaikan (a) xy”+2y’+xy = 0, (b) y”+x2y = 0. 10.62. Selesaikanlah y”+e2xy = 0. (misalkan ex = u).

10.63. Tunjukanlah dengan pergantian langsung bahwa y= J₀

( )

2 x adalah suatu penyelesaian dari y"+xy=0 dan (b) tuliskanlah penyelesaian umumnya.

(25)

10.64. (a) Tunjukan dengan pergantian langsung bahwa       = 32 3 1 3 2 x J x y adalah

suatu jawaban dari y”+xy = 0 dan (b) tuliskan penyelesaian umumnya.

10.65. (a) Tunjukanlah bahwa persamaan Bessel x2y,,+xy,+

(

x2−n2

)

y=0 dapat ditransformasikan kedalam 1 214 0 2 2 2 =       ₋ − + u x n dx u d dimana y=u x. (b) Bahaslah kasus dimana x besar dan jelaskan hubungannya dengan rumus

asimtotik dihalaman 243.

DERET TEGAK LURUS FUNGSI-FUNGSI BESSEL

10.66. Lengkapilah soal 10.23 dihalaman 253 untuk kasus (a)R≠0,S =0, (b)R=0,S≠0 10.67. Tunjukanlah

∫

xJ_n

( )

x dx= x

[

J_n

( )

x +J_n₊

( )

x

]

−nxJ_n

( )

λx J_n₊

( )

xλ +c αλ λ λ λ 1 2 1 2 2 2 2 10.68. Buktikanlah hasil 10.69. Tunjukanlah

( )

...0 1 8 1 1 1 3 0 2 < < = −

_∑

∞ = J x x J x p p p p λ λ λ

dimana λp adalah akar positif

dari J₀

( )

λ =0. 10.70. Tunjukanlah 2

( )

... 1 1 1 2 1 < < − =

∑

∞ = x J x J x p p p λ λ λ

dimana λ_p adalah akar positif dari J1

( )

λ =0. 10.71. Tunjukanlah 2

( ) ( )

8

( )

...0 1 1 1 3 1 2 2 =

∑

− ≤ < ∞ = x J x J x p p p p p λ λ λ λ

dimana λp adalah akar

positif dari J₁

( )

λ =0.

10.72. Gunakanlah soal 10.73 dan 10.75 untuk menunjukan

4 1 1 2 =

∑

p λ dimana λp

(26)

JAWABAN SOAL-SOAL TAMBAHAN 10.28. (a)

(

)

      ₋ ₋ 2 2 cos 3 sin 3 2 x x x x x x π (b)

(

)

     ₋ ₋ 2 2 cos 3 sin 3 2 x x x x x x π 10.29.

( )

J

( )

x x x J x x 0 1 2 2 4 8 −       ₋ 10.31. (a) x3J₃

( )

x +c (b) 2J₀

( )

1 −3J₁

( )

1 (c) x2J₁

( )

x +xJ₀

( )

x −

∫

J₀

( )

x dx 10.32. (a) xJ

( )

x − x J

( )

3 x +c 0 3 2 3 1 3 3 6 (b)

( )

j

( )

x J

( )

xdx x x J

_∫

+ − − 0 1 2 3 1 3 3 10.33. xJ₀

( )

x sinx−xJ₁

( )

x cosx+c 10.42. (a) 2 2 1 b a + (b) 2 2 2 2 b a b a b a + − + (c)

(

)

2 2 2 2 b a b a b a n n + − + 10.48. (a) x xcos 2 π − (b) x xsin 2 π 10.50. (a) xY3

( )

x +c 3 (b) −Y2

( )

x −2Y1

( )

x /x+c (c)

( )

Y

( )

x Y

( )

x dx x x Y x x Y − − +

∫

− 1 2 2 3 0 15 1 5 1 15 1 15 1 10.63. y= AJ₀

( )

x +BY₀

( )

x 10.64. (a) x x B x A y= sin + cos (b) = _ _ _+ ₋ _ 2__ 4 1 2 4 / 1 2 1 2 1 x BJ x AJ x y 10.65. y= AJ0

( )

ex +BY0

( )

ex