FUNGSI BESSEL JENIS PERTAMA

FUNGSI BESSEL

DISUSUN OLEH

KELOMPOK III

Nama Anggota

: Desrianah

2007.121.246

Titin Yuniarti

2007.121.254

Okta Herlaiza

2007.121.2

Septia Julita

2007.121.278

Dessy Adetia

2007.121.440

Esca Oktarina

2007.121.459

Semester

: 6L

Program Studi

: Pendidikan Matematika

Mata Kuliah

: Matematika Lanjutan

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG

FUNGSI BESSEL

PERSAMAAN DIFERENSIAL BESSEL

Fungsi Bessel dibangun sebagai penyelesaian persamaan diferensial.

(

)

0

'

'' 2 2

2 + + − =

y n x xy y

x , n≥0 (1)

yang dinamakan persamaan diferensial Bessel. Penyelesaian umum (1) diberikan oleh

) ( )

( 2

1J x c Y x

c

y= n + n (2)

Penyelesaian J_n(x), yang mempunyai limit berhingga untuk x mendekati nol dinamakan fungsi Bessel jenis pertama dan berorde n. penyelesaian Y_n(x) yang tak mempunyai limit berhingga [yaitu tak terbatas] untuk x mendekati nol dinamakan fungsi Bessel jenis keduan dan berorde-n atau fungsi Neumann.

Jika peubah bebas x pada (1) diganti λx di mana λ suatu konstanta, persamaan yang dihasilkan adalah

(

)

0

'

'' 2 2 2

2 + + − =

y n x xy y

x λ (3)

Yang mempunyai penyelesaian umumy=c1Jn(λx)+c2Yn(λx) (4)

FUNGSI BESSEL JENIS PERTAMA

Didefinisikan fungsi Bessel jenis pertama berorde n sebagai

(

)

(

)

(

)(

)

  

 

− + +

⋅ + + −

+ Γ

= ...

4 2 2 2 4 2 2 2 2 1 1 2

) (

4 2

n n

x n

x n

x x

J _n

n

n (5)

Atau

( )

(

)

∑

∞

=

+

+ + Γ

     

− =

0

2

1 !

2 1 )

(

r

r n r

n

r n r

x

x

J (6)

Di mana Γ

(

n+1

)

adalah fungsi gamma [Bab 9]. Jika n bilanngan bulat positif,

(

n+1

)

=n!

... 6 4 2 4 2 2 1 )

( _{2 2 2}

6 2

2 4 2 2

0 = − + − +

x x

x x

J (7)

Deret (6) konvergen untuk setiap x. Grafik J0(x) dan J1(x) ditunjukkan pada

Gambar 10-1.

Jika n setengah atau bilangan ganjil positif, J_n(x) dapat dinyatakan dalam suku-suku sinus dan cosinus. Lihat Soal 10.4 dan 10.7.

Sebuah fungsi J−n(x), n > 0 dapat didefinisikan dengan mengganti n oleh –n pada (5) atau (6). Jika n suatu bilangan bulat, maka kita dapat menunjukkan bahwa [lihat Soal 10.3]

( )

1 ( ) )

(x J x

J n

n n = −

− (8)

Jika n bukan suatu bilangan bulat, maka Jn(x) dan J−n(x) bebas linear, dan

untuk kasus ini penyelesaian umum (1) adalah )

( )

(x B J x

AJ

y n

n n + −

= , n≠0,1,2,3,... (9)

FUNGSI BESSEL JENIS KEDUA

Kita akan mendefinisikan fungsi Bessel jenis kedua berorde n sebagai

( )

( )

( )

( )

( )



     

− −

=

− −

→ π

π π π

p

x J p x J

n

x J n x J

x Y

p p

n n

n

n

p sin

cos sin cos

lim

,... 3 , 2 , 1 , 0

,... 3 , 2 , 1 , 0 = ≠

n n

(10)

Untuk kasus di mana n =0,1,2,3,… diperoleh uraian deret berikut untuk Yn

( )

x .

( )

( )

(

)

n k n

k n

n

x k n x

J x

x Y

− −

=

     

− − −

   

 

+

     

=

∑

2 1

0 2

! 1 1

2 ln 2

π γ

π

( ) ( ) (

{

)

} ( )

! !

2 1 1

1

2

1

0 k n k

x

k k

n k n

k k

+

     

+ Φ + Φ − −

+

−

=

∑

π (11)

Di mana γ =0,5772156... adalah konstanta Euler dan

( )

p

p ... 1

3 1 2 1

1+ + + +

=

FUNGSI PEMBANGKIT UNTUK

( )

(GENERATING FUNCTION)

Fungsi

∑

( )

∞

−∞ =       ₋

=

n

n n t

t x

t x J

e

1 2

(13)

dinamakan fungsi pembangkit untuk fungsi Bessel jenis pertama berorde bulat, yang sangat banyak gunanya dalam memperoleh sifat-sifat fungsi ini untuk nilai n bulat dan kemudian seringkali dapat dibuktikan berlaku untuk semua n.

RUMUS-RUMUS PENGULANGAN (RECURRENCE FORMULA)

Hasil berikut ini berlaku untuk setiap nilai n. 1.

( )

J

( )

x J

( )

x

x n x

Jn 1 n n1

2

−

+ = −

2. J n

( )

x

[

Jn 1

( )

x Jn 1

( )

x

]

2 1

' = ₋ − ₊

3. xJ'n

( )

x =nJn

( )

x −xJn+1

( )

x

4. xJ'n

( )

x =xJn−1

( )

x −nJn

( )

x

5.

[

x J

( )

x

]

x J

( )

x dx

d

n n n

n

1

− =

6.

[

x J

( )

x

]

x J

( )

x dx

d

n n n

n

1

+ −

− ₌₋

Jika n adalah suatu bilangan bulat rumus tersebut dapat dibuktikan dengan fungsi pembangkit. Perhatikan bahwa hasil 3 dan 4 berturut-turut setara dengan 5 dan 6.

Fungsi Y_n

( )

x memenuhi hasil yang sama seperti di atas, di mana Y_n

( )

x

menggantikan J_n

( )

x .

FUNGSI-FUNGSI YANG BERHUBUNGAN DENGAN FUNGSI BESSEL

( )

( )

_{x J}

( )

_{x iY}

( )

_x

Hn = n + n

1

, Hn( )

( )

x =Jn

( )

x +iYn

( )

x

2

2.Fungsi Bessel yang Dimodifikasi. Fungsi Bessel yang dimodifikasi jenis

pertama berorde n didiefinisikan oleh

( )

x i J

( )

ix J

( )

ix

I n _{n n}

n

i n

e 2

π

= = −

(14)

Jika n bilangan bulat, I−n

( )

x =In

( )

x (15)

Tetapi jika n bukan bilangan bulat, I_n

( )

x dan I_−n

( )

x bebas linear.

Fungsi Bessel yang dimodifikasi jenis kedua berorde n didefinisikan oleh

( )

( ) ( )

( )

( )



     

   



 ₋

  

 −

=

− −

→ π

π π π

p x I x I

n x I x I

x K

p p

n n

n

n

p 2 sin

sin 2

lim

,... 3 , 2 , 1 , 0

,... 3 , 2 , 1 , 0 = ≠

n n

(16)

Fungsi ini memenuhi persamaan diferensial x2y"+xy'−

(

x2+n2

)

y=0 (17)

dan penyelesaian umum persamaan ini adalah y=c1In

( )

x +c2Kn

( )

x (18)

atau jika n≠0,1,2,3,... y=AI_n

( )

x +BI_−n

( )

x (19)

3.Fungsi Ber, Bei, Ker, Kei. Fungsi Bern

( )

x dan Bein

( )

x adalah bagian riil

dan imajiner dari _

     

x i Jn

2 3

di mana i e

( )

i

i

−

       

=

= 1

2 2

4 3 2

3 π

, yaitu

J_n i x_=Ber_n

( )

x +iBei_n

( )

x 

    

2 3

(20)

Fungsi Ker_n

( )

x dan Kei_n

( )

x adalah bagian riil dan imajiner dari

       

−

x i K e n

i n

2 1 2

π

di mana i e

( )

i

i

+

       

=

= 1

2 2

4 2

1 π

_{n n( )x n( )x}

i n

iKei Ker

x i K

e _= +

     

−

2 1 2

π

(21)

Fungsi-fungsi ini berguna sehubungan dengan persamaan 2 "+ '−

(

2+ 2

)

=0

y n ix xy y

x (22)

yang membangun teknik kelistrikan dan lapangan lainnya. Penyelesaian umum dari persamaan ini adalah

_

     

+

       

=cJ i x c K i x

y n n

2 1 2 2 3

1 (23)

PERSAMAAN-PERSAMAAN YANG DITRANSFORMASIKAN KE DALAM

PERSAMAAN BESSEL

Persamaan

(

2 1

)

'

(

)

0

" 2 2 2

2 + + − + =

y x

xy k y

x α r β (24)

di mana k, α, r, β konstanta mempunyai penyelesaian umum

    

  

       

+

       

= − r

r k r

r k k

r x Y c r

x J c x

y 1 α 2 α (25)

di mana = 2−β2

k

K . Jika α =0, persamaannya dapat diselesaikan

sebagai persamaan Euler atau Cauchy [lihat halaman 83]

RUMUS ASIMTOTIK UNTUK FUNGSI BESSEL

Untuk nilai x besar kita mempunyai rumus asimtotik berikut ini

( )

x

Jn ~ 

  

 

− −

2 4 cos

2 π π

π

n x

x ,Yn

( )

x ~   

 

− −

2 4 sin

2 π π

π

n x

x (26)

NILAI NOL FUNGSI BESSEL

Kita dapat menunjukkan bahwa jika n suatu bilangan riil, J_n

( )

x =0

Ini dapat dilihat dari (26). Kita dapat juga menunjukkan bahwa akar-akar

( )

x =0

Jn terletak di antara Jn−1

( )

x =0 dan Jn+1

( )

x =0. Catatan serupa dapat

juga dibuat untuk Yn

( )

x .

KETEGAK-LURUSAN (ORTHOGONALITY) FUNGSI BESSEL

Jika λ dan µ dua konstanta berbeda, kita dapat menunjukkan [lihat Soal 10.21] bahwa

( ) ( )

( ) ( )

2 2

( ) ( )

1

0

' '

µ λ

λ µ λ µ λ µ µ

λ

− − =

∫

n n n n

n n

J J J

J dx x J x

xJ (27)

sedangkan [lihat Soal 10.22]

( )

( )

( )

   

 

   

 

− + =

∫

λ

λ λ

λ 2

2 2 2

1 0

2

1 '

2 1

n n

n J

n J

dx x

xJ (28)

Dari (27) kita lihat bahwa λ dan µ adalah dua akar berbeda dari persamaan

( )

x +SxJ'

( )

x =0

RJ_{n n} (29) di mana R dan S konstanta, maka

( ) ( )

0

1

0 =

∫

xJ_n λxJ_n µx dx (30)

yang menyatakan bahwa fungsi xJ_n

( )

λx dan xJ_n

( )

µx tegaklurus pada (0,1). Perhatikanlah bahwa sebagai kasus khusus (29) kita melihat bahwa λ dan µ dapat merupakan dua akar berbeda dari J_n

( )

x =0 atau J'_n

( )

x =0. Kita dapat juga mengatakan bahwa fungsi-fungsi Jn

( )

λx , Jn

( )

µx tegaklurus

terhadap fungsi kepadatan x.

DERET FUNGSI-FUNGSI BESSEL

Seperti pada kasus Deret Fourier, kita dapat menunjukkan bahwa jika f(x) memenuhi syarat Dirichlet [di halaman 197] maka di setiap titik kekontinuan

( )

( )

( )

∑

∞

( )

= = + +

=

1 2

2 1

1 ...

p

p n p n

n x AJ x A J x J

A x

f λ λ λ (31)

di mana λ1,λ2,... adalah akar-akar positif (29) dengan ≥0

S R

, S ≠0 dan

( )

xJ

( )

x f

( )

x dx

J S R n

A n p

p n p

p

p λ

λ λ

λ

∫

   

 

+ −

= 1

0 2 2 2 2 2

2

2

(32)

Di titik ketak-kontinuan deret di ruas kanan (31) konvergen ke

(

) (

)

[

0 0

]

2

1 _{+ + −}

x f x

f yang dapat digunakan untuk menggantikan ruas kiri (31).

Dalam kasus S = 0 sehingga λ₁,λ₂,... adalah akar-akar dari J_n

( )

x =0,

( )

xJ

( )

x f

( )

x dx

J

A n p

p n

p λ

λ

∫

+

= 1

0 2

1

2

(33) Jika R = 0 dan n = 0, maka deret (31) dimulasi dengan suku tetap

( )

x dx f x A_p =

∫

1

0

2 (34)

SOAL-SOAL DAN PENYELESAIANNYA

PERSAMAAN DIFERENSIAL BESSEL

10.1 Gunakan metode Frobenius untuk menentukan deret penyelesaian persamaan diferensial Bessel x2y"+xy'+

(

x2+n2

)

y=0.

Andaikan suatu jawaban berbentuk y=

∑

ckxk+β di mana k bergerak

dari −∞ sampai ∞ dan c_k =0 untuk k < 0, maka

(

)

∑

∑

∑

+

∑

+

− +

+

+ _{− = −}

=

+ β β β k β

k k

k k

k k

kx n c x c x n c x c

y n

x2 2 2 2 ₂ 2

(

)

∑

₊ +

= _β k β

kx c k xy'

(

)(

)

∑

_{+ + −} +

= _{β β} k β

kx c k

k y

x2 " 1

(

)(

) (

)

[

]

∑

+ + − + + + − =

= +

− 0

1

" 2 2

2 β β β k β

k k

k

k k c c n c x c

k k y

x

dan karena koefisien xk+β harus nol, diperoleh

(

)

[

k+β 2−n2

]

c_k+c_k−2 =0 (1) Andaikan k = 0 pada (1); karena c₋₂ =0 maka diperoleh persamaan awal

(

)

0 0

2

2− =

c n

β ; atau andaikan c0≠0,

2 2

n

=

β . Kemudian, tinjaulah dua kasus, β =−n dan β =n. Pertama akan dipandang kasus pertama β =n, dan kasus kedua diperoleh dengan menggantikan n oleh –n.

Kasus 1, β =n.

Dalam kasus ini (1) menjadi

(

2n+k

)

ck +ck−2 =0

k (2) Ambillah k=1,2,3,4,... secara berurutan pada (2), kita mempunyai

0

1=

c ,

(

2 2

)

2

0

2 ₊

− =

n c

c , c₃ =0,

(

2 4

)

2 4

(

2 2

)(

2 4

)

4

0 2

4 ₊ = _{⋅ + +}

− =

n n

c n

c

c , …

Jadi deret yang diinginkan adalah

(

)

(

)(

)

   

 

− + +

⋅ + + − =

+ +

+

= + +

... 4 2 2 2 4 2 2 2 2 1 ...

4 2

0 4

4 2 2 0

n n

x n

x x

c x

c x c x c

y n n n n (3)

Kasus 2, β =−n.

Gantilah n oleh –n pada Kasus 1, diperoleh

(

)

(

)(

)

   

 

− − −

⋅ + − −

= −

... 4 2 2 2 4 2 2 2 2 1

4 2

0

n n

x n

x x

c

y n (4)

Sekarang, jika n = 0 kedua deret sama. Jika n=1,2,... deret kedua tidak mungkin ada. Tetapi bila n≠0,1,2,... kedua deret tersebut dapat ditunjukkan bebas linear sehingga untuk kasus ini penyelesaian umumnya adalah

(

)

(

)(

)

   

 

− + +

⋅ + + −

= ...

4 2 2 2 4 2 2 2 2 1

4 2

n n

x n

x Cx

y n

(

)

(

)(

)



  

 

− − − ⋅ + − −

+ − _...

4 2 2 2 4 2 2 2 2 1

4 2

n n

x n

x

Kasus untuk n=0,1,2,3,... akan dibicarakan kemudian [lihat Soal 10.15 dan 10.16].

FUNGSI BESSEL JENIS PERTAMA

Gunakan definisi (5) dari Jn(x) yang diberikan pada halaman 240 untuk menunjukkan bahwa jika n≠0,1,2,3,...maka penyelesaian umum pada persamaan bassel adalah y= AJn(x)+BJ−n(x) untuk kasus n≠0,1,2,3,... 1.Buktikanlah (a) 12( ) 2 sinx,

x x

J

π

= (b) 12( ) 2 cosx,

x x J π = −

(a) J12(x)

( )

( )

x x x x x x x x x x x r x r x r x r r r x r r r sin 2 sin ) 2 / 1 ( ) 2 ( ... ! 5 ! 3 1 ) 2 / 1 ( ) 2 ( ... ) 2 / 1 )( 2 / 3 ( 2 / 5 ! 2 ) 2 ( ) 2 / 1 )( 2 / 3 ( ! 1 ) 2 ( ) 2 / 1 ( ) 2 ( ... ) 2 / 7 ( ! 2 ) 2 ( 2 / 5 ! 1 ) 2 ( ) 2 3 ( ) 2 ( ) 2 3 ( ! ) 2 ( ) 1 ( 2 1 4 2 2 1 2 7 2 5 2 1 2 9 2 5 2 1 0 2 2 1 π π π π π π = =       − + − = − + − = − + − = + − =

∑

∞ = +

(b)

( )

( ) ( )

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

... 2 / 5 ! 2 2 / 2 / 3 ! 1 2 / 2 / 1 2 2 1 ! 2

1 7/2

0 2 / 3 2 / 1 2 2 1 2

1 = − + −

+ − =

∑

∞ = − + − − r x r x r x r r r x x J r r r

=

( )

x

x x x x cos 2 ... ! 4 ! 2 1

2 12 2 4

π π =     − + − −

2.Hitunglah (a)

∫

x J1

( )

xdx

4

, (b)

∫

x J3

( )

xdx

3

(a) Metode 1.Metode pengintralan parsial memberikan

∫

x4J₁

( )

xdx=

∫

( )

x2

[

x2J₁

( )

x dx

]

=x2

[

x2J₂

( )

x

]

−

∫

[

x2J₂

( )

x

]

[

2xdx

]

( )

( )

( )

x x J

( )

x c J x dx x J x x J x + − = − =

∫

2 3 2 4 2 3 2 4 2 2

(b) Metode 2. Gunakanlah J1(x)=−J0(x),diketahui

{

}

[

]

[

] [

][

]

{

∫

}

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

− − = − = − = = − − = − = dx x xJ x J x dx x J x dx x J x xdx x xJ x xJ x dx x xJ x dx x J x dx x J x x J x dx x J x dx x J x ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 ) ( ) ( ) ( 0 0 2 1 0 2 1 2 1 1 2 0 2 0 2 0 3 0 4 1 0 4 1 4

0( ) 2 1( )

Maka

∫

x J (x)dx=−x J (x)+4

[

x J (x)−2

{

−x2J₀(x)+2xJ₁(x)

}

]

+c

1 3 0

4 1

4

(8 ) ( ) (4 16 ) 1( )

2 0

4 2

x J x x x J x

x − + −

=

x J (x)dx x5

[

x 2J₃(x)dx

]

3

3

∫

−

∫

=

[

] [

]

∫

∫

+ −

=

− − −

= − −

dx x J x x J x

dx x x J x x

J x x

) ( 5 ) (

5 ) ( )

(

2 2 2

3

4 2 2 2

2 5

x J (x)dx x

[

x J2(x)

]

dx

1 3 2

2 −

∫

∫

=

[

] [

]

∫

∫

+ −

=

− − −

= − −

dx x xJ x

J x

dx x x J x x

J x x

) ( 3 ) (

3 ) ( )

(

1 1

2

2 1 1 1

1 3

∫

xJ (x)dx=−

∫

xJ1(x)dx=−

[

xJ₀(x)−

∫

J₀(x)dx

]

0 1

=−xJ₀(x)+

∫

J₀(x)dx

Maka x J (x)dx x J (x) 5

{

x J1(x) 3

[

xJ0(x) J0(x)dx

]

}

2 2

3 2

3 =− + − + − +

∫

=−x J (x)−5x J1(x)−15xJ0(x)+15

∫

J0(x)dx

2 2

3

Integral

∫

J0(x)dx tidak dapat diperoleh dalam bentuk tertutup.secara umum ,

∫

x2J₀(x)dx dapat diperoleh dalam bentuk tertutup jika p+q≥0dan p+q

genap hasilnya dapat diperoleh dalam suku-suku

∫

J₀(x)dx.

a) Buktikanlah

( ) ( )

( )

x n x

J x J x J x

Jn n n n

π π

sin 2 ) ( '

' _{− =}

− −

b) Bahaslah arti hasil (a) dipandang dari kebergantungan linear Jn(x)dan J−n(x) c) Karena Jn(x),dan,J−n(x),berturut-turut disingkat JndanJ−n(x),memenuhi

persamaan bassel,maka

(

2 2

)

0, 2 " '

(

2 2

)

0

' "

2 + + − = + + − =

− −

−n n n

n n

n xJ x n J x J xJ x n J J

x katakanlah

persamaan pertama dengan J_−n dan kedua dengan J_ndan kurangkanlah.

Maka yang dapat ditulis

[

] [

]

[

] [

]

0

0

' '

' '

' '

" "

2

= −

+ −

= −

+ −

− − −

−

− − −

−

n n n n n n n n

n n n n n n n n

J J J J J J J J dx

d x

Atau

{

x

[

Jn'J₋n−J₋'nJn

]

}

=0

dx d

Integralkanlah ,kita memperoleh

x c J J J

Jn −n− −n n =

' '

Untuk menentukan c gunakanlah uraian deret J_n dan J_−n,diperoleh

(

)

( )

(

)

( )

... 2 ..., 1 2 ..., 2 ..., 1 2 1 ' 1 ' − − = − + − = − = − + = − − ₋ − − − − + n r x J n r x J n r x J n r x J _n n n n n n n n n n n n

Dan kemudian subsitusikan pada (1), kita memperoleh

π π n n r n r n r n r n r n r

c 2sin

) 1 ( ) ( 2 ) ( ) 1 ( 1 ) 1 ( ) ( 1 ₌ − = − + − − =

Dengan menggunakan hasil 1,dihalaman 227. Ini memberikan hasil yang diinginkan.

a) Bentuk J_n'J_−n−J₋'_nJ_npada (a) adalah determinan Wronski dari J_ndan J_−n. Jika n bilangan bulat kita lihat dari (a) bahwa determinan wronski ini nol;sehingga J_ndan

n

J₋ bergantungan linear dan dan juga jelas dari soal 10.3(a). dalam hal lain,jika n bukan bilangan bulat , J_n dan J_−n keduanya bebas linear karena pada kasus ini determinan wronskinya tak nol.

FUNGSI PEMBANGKIT DAN HASIL-HASIL LAINNYA

1)Buktikanlah

( )( )

n n n t t x t x J e

∑

∞ −∞ = − = ( ) 1 2

Kita mempunyai

( )( )

∑

( )

∑

(

)

∑∑

∞

( )

= ∞ = − + ∞ = ∞ = − − ₌ −       ₋       = = 0 0 0 0 2 2 1 2 ! ! 2 ) 1 ( ! 2 ! 2 r k k r k r k k k r r x x xt t t x k r t x k t x r xt e e e

Andaikan r−k=nsehingga n bergerak dari −∞sampai +∞ , maka jumlahnya menjadi

( )

( )

n

n n n n k k n k n k n k n k t x J t k n k x k k n t x ) ( )! ( ! 2 ) 1 ( ! )! ( 2 ) 1 ( 0 2 0 2

∑

∑ ∑

∑ ∑

∞ −∞ = ∞ −∞ = ∞ = + ∞ −∞ = ∞ = + =       + − = + −

2)Buktikanlah (a) cos(xsinθ)=J0(x)+2J2(x)cos2θ+2J4(x)cos4θ+...

(b) sin(xsinθ)=2J₁(x)sinθ+2J₃(x)sin3θ+2J₅(x)sin5θ+...

[

θ θ

]

θ θ

θ θ

n i n x J e

x J e

e xe e ix _n in _n

i i

sin cos

) ( )

(

sin ) ( 2 1

+ =

=

=

∑

∑

∞

∞ − ∞

∞ − −−

{

[

]

[

]

}

[

]

[

]

{

( ) ( ) sin ( ) ( ) sin2 ...

}

... 2 cos ) ( ) ( cos

) ( ) ( ) (

2 2

1 1

2 2

1 1

0

+ +

+ +

+

+ +

+ +

+ =

− −

− −

θ θ

θ θ

x J x J x

J x J i

x J x J x

J x J x J

=

{

J₀(x)+2J₂(x)cos2θ+...

} {

+i 2J₁(x)sinθ+2J₃(x)sin3θ +...

}

Dimana kita telah menggunakan soal 10.3(a). samakan bagian riil dan imajinernya untuk peroleh hasil yang diinginkan.

3)Buktikanlah ( ) 1 cos( sin ) , 0,1,2,...

0

= −

=

∫

n x d n

x

Jn θ θ θ

π

π

Kalikan hasil pertama dan kedua soal 2.berturut-turut dengan cara cosnθ dan

θ

n

sin dan integralkan dari 0 sampai π dengan menggunakan

  

=

∫

0

2 0

cos

cos _π

π

θ θ θ n d

m

n m

n m

= ≠

  

=

∫

0

2 0

sin

sin _π

π

θ θ θ n d

m

0 ≠ = ≠

n m

n m

Kemudian jika n genap atau nol diperoleh :

θ θ θ

π

π

d n x

x

Jn cos( sin )cos

1 ) (

0

∫

= , θ θ θ

π

π

d n xsin )sin sin(

1 0

0

∫

=

Dan dengan menjumlahkannya diperoleh :

[

]

∫

∫

+ = −

= π π θ θ θ

π θ θ θ

θ θ

π 0 0

) sin cos(

1 sin

) sin sin( cos

) sin cos( 1 )

(x x n x n d n x d

Jn

Dengan cara serupa ,jika n ganjil ,maka

θ θ θ

π

π

d n x

x

J_n( ) 1 sin( sin )sin

0

∫

= , θ θ θ

π

π

d n xsin )sin cos(

1 0

0

∫

=

Dan dengan menjumlahkannya diperoleh

θ θ θ

π

π

d x n x

J_n =

∫

−

0

) sin cos(

1 ) (

Jadi kita memperoleh hasil yang berlaku untuk n genap atua ganjil ,yaitu n=0,1,2,…

4)Buktikanlah hasil soal 10.6(b) untuk nilai bulat n dengan menggunakan fungsi pembangkit.

Diferensialkan kedua ruas fungsi pembangkit terhadap t tanpa menuliskan limit

∞

( )(− ) =

∑

−

    

+ 1

2 1

2

) ( 1

1 2

n n t

t x

t x nJ t

x e

Atau 

∑

=

∑

−

    

+ 1

2 ( ) ( )

1 1 2

n n n

n x t nJ x t J

t x

Yaitu

∑

 =

∑

−

    

+ 1

2 ( ) ( )

1 1 2

n n n

n x t nJ x t J

t

π

Ini dapat ditulis sebagai

∑

+

∑

( ) −2 =

∑

( ) −1 2

) ( 2

n n n

n n

n x t J xt nJ x t

J π

π

Atau J_n x tn tn (n 1)J_n (x)tn

2 )

(

2

∑

∑

1

∑

π + π = + +

Yaitu J_n x J_n (x) tn (n 1)J_n (x)tn

2 ) (

2 2

∑

1

∑

+  = + +

 



+π

π

Karena koefisien tnharus sama ,maka

( ) ( 1) ( ) 2

) (

2Jn x + Jn+2 x = n+ Jn x

π π

Dan dari sini hasil yang diinginkan diperoleh dengan mengganti n oleh n-1.

FUNGSI BESSEL JENIS KEDUA

1 (a)Tunjukkan bahwa jika n bilangan bulat,penyelesaian umum persamaan Bessel adalah

y = EJ_n

( )

+ _

( )

− −

( )

_

π π

n

x J n x J F

x n n

sin cos

(b)Jelaskanlah bagaimana anda dapat menggunakan bagian (a) untuk memperoleh penyelesaian umum persamaan bessel dalam kasus n bulat.

FUNGSI BESSEL

(a) Karena J_−n dan J_n bebas linear,Penyelesaian umum persamaan bessel dapat ditulis :

dan hasil yang diinginkan diperoleh dengan mengganti konstanta sebarang

2 1 c

c ⋅ oleh E dimana

π π

π

n F c

n n F E c

sin ,

sin cos

2 1

− = − +

=

Perhatikanlah bahwa kita mendefinisikan fungsi bessel jenis kedua bila n bukan suatu bilangan bulat dengan

Y

( )

( )

( )

π π

n

x J n x J

x n n

n

sin

cos − ₋

=

(b) Bentuklah

( )

( )

π π

n

x J n x

Jn n

sin

cos − ₋

Menjadi suatu “tak tentu / indeterminate” yang berbentuk 0/0 untuk kasus n suatu bilangan bulat.Hal ini disebabkan untuk suatu bilangan n,diketahui

( )

danJ

( ) ( ) ( )

x J x n 1n _n 1n _n

cos π = − ₋ = − lihat soal 10.3. “ bentuk tak tentu” ini dapat dihitung dengan rumus L’Hospital,yaitu

( )

( )

   



 − ₋

→ π

π

p

x J p x

Jp n

n

p _sin

cos lim

Gunakanlah soal 1 untuk memperoleh penyelesaian umum persamaan untuk n=0

Dalam kasus ini harus dihitung

( )

( )

   



 − ₋

→ π

π

p

x J p x

Jp p

p _sin

cos lim

0

Gunakanlah rumus L’Hospital (turunkan pembilang dan penyebut terhadap p)pada limit (1),diperoleh

0 0

1 cos

/ ( cos ) / ( lim

= − −

→ _

 

 

∂ ∂ − ∂ ∂ =

   



 ∂ ∂ − ∂ ∂

p P P

P p

p _p

J p J p

Jp J

p p J

π π

Dimana lambang yang digunakan menyatakan bahwa kita mengambil turunan parsial dari JP

( )

x danJ−p

( )

x terhadap p dan kemudian mengambil p=0.Karena

( )

/ .

/ p J p

J _P ∂ − =−∂ _p ∂

∂ − − limit yang diinginkan juga sama dengan 0

2

= ∂ ∂

p p p J

π

Untuk memperoleh ∂Jp/∂p diturunkan deret

( )

∑

∞

( ) ( )

(

)

=

+

+ + − =

0

2

1 !

2 / 1

r

r p r p

r p r r

x x

J

Terhadap p dan diperoleh

( )

( )

(

)



 

 

+ + ∂

∂ − = ∂

∂ ∞ +

=

∑

1 2 / !

1 2

0 r p r

x p r p

J p r

r

r P

Sekarang jika seandainya

( )

(

p r

)

G r

x p r

= + +

+

1 2

/ 2

, maka

Ln G=

(

p+2r

) ( )

ln x/2 −lnr

(

p+r+1

)

Sehingga turunanya terhadap p memberikan

( ) (

(

)

)

1 1 1

2 / ln 1

+ +

+ + − =

∂ ∂

r p r

r p x

p G G

Maka untuk p=0 diperoleh

( )

( ) ( )

( )

(

)

   

 

+ + − +

= ∂ ∂

= 1

1 ' 2 / ln 1 2 / 2

0 r r

r r x r

r x p

G r

p

Gunakan (2) dan (3) , diperoleh

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

   

 

+ + − +

− =

∂ ∂

∑

∞

=

= 1

1 ' 2 / ln 1 !

2 / 1 2

2

0

2

0 r r

r r x r

r r

x p

J

r

r r

p p

π π

=

{

( )

} ( )

_

  

 

+

     

+ −

+

+ ...

2 1 1 4 2 2 2 2

/ ln 2

2 2

4 2 3 0

x x x

J x

π γ

Dimana deret terakhir diperoleh dengan menggunakan hasil (6)dihalaman 240.deret terakhir ini adalah deret untuk Y0(x).Dengan cara yang sama kita dapat memperoleh deret (11) dihalaman 241 untuk Yn(x)dimana n sebuah bilangan bulat.Jika n sebuah bilangan bulat,maka penyelesaian umumnya diberikan oleh y=c₁J_n

( )

x +c₂Y_n

( )

x

FUNGSI-FUNGSI YANG BERHUBUNGAN DENGAN FUNGSI BESSEL 2. Buktikanlah rumus pengulangan untuk fungsi bessel jenis pertama

yangtelah dimodifikasi l_n (x)yang diberikan oleh

I

( )

( )

I

( )

x x

n x I

x n n

n

2

1

1 = − −

+

Dari soal 10.6(b)kita memperoleh

) ( ) ( 2 )

( ₁

1 J x J x

x n x

J_n+ = _n − _n−

Gantilah x dengan ix untuk memperoleh

) ( ) ( 2 )

( 1

1 J ix J ix

x in ix

Jn+ n − n−

− =

Sekarang menurut definisinya In(x)=i−nJn(ix)atau i In(x) n

sehingga (2)menjadi 1 ₁( ) 2 i I (x) i 1I (x)

x in x

I

in+ _n+ =− n _n − n− _n

Bagilah dengan in+1,maka hasil yang diinginkan tercapai. 3. Jika n bukan suatu bilangan bulat,tunjukkanlah bahwa (a)

π

n i

x J e x J x

H n

inx n

n

sin

) ( )

( ) (

) 1 (

−

− −

=

Menurut definisi Hn (x)danYn(x),maka

) 1 (

  

 ₋

+ =

+

= −

π π

n

x J n x J i x J x iY x J x

H n n

n n

n n

sin

) ( cos

) ( )

( ) ( ) ( ) (

) 1 (

=

π π π

n

x iJ n x iJ n x

J_{n n n}

sin

) ( cos

) ( sin

)

( + − ₋

= _ − − − _

π π π

n

x J n i n x J

i n n

sin

) ( ) sin )(cos

=       − _{− −} π n x J e x J i n inx n sin ) ( ) ( = π n i x J e x J n inx n sin ) ( ) ( − − − (b) π n i x J x J e x

H n n

inx n sin ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ₌ − −

Karena Hn(2)(x)=Jn(x)−iYn(x),denhan mengganti i oleh –i pada hasil (a) maka diperoleh π n i x J e x J x H n inx n n sin ) ( ) ( ) ( ) 2 ( − − = − = π n i x J x J

e n n

inx sin ) ( ) ( − ₋

4. Tunjukkanlah (a) Ber ...

8 6 4 2 4 2 1 )

( _{2 2 2 2}

8 2

2 4

0 = − + −

x x x Bei ... 10 8 6 4 2 6 4 2 2 )

( _{2 2 2 2 2}

10 2 2 2 6 2 2

0 = − + −

x x x x FUNGSI BESEEL Diketahui:       + − +       − + − = − + − − + = − + − + − = −       +       −       +       − =       ... 6 4 2 2 ... 8 6 4 2 4 2 1 ... 8 6 4 2 6 4 2 4 2 2 1 ... 8 6 4 2 6 4 2 4 2 2 1 ... 8 6 4 2 6 4 2 4 2 2 1 2 2 2 8 2 2 2 2 2 2 8 2 2 4 2 2 2 2 8 2 2 2 6 2 2 4 2 2 2 2 2 2 8 12 2 2 2 6 9 2 2 4 6 2 2 3 2 2 2 2 8 2 3 2 2 2 6 2 3 2 2 4 2 3 2 2 2 3 2 3 0 z z i z z z iz z iz z i z i z i z i z i z i z i z i z i r

Dan hasil yang diinginkan tercapai dengan mengingat bahwa

( ) iBei( )dan Ber

J z z

z

i  = + 

  

 0

dicat bahwa kadang-kadang menghilangkan indeks nol dalam

( )

0

( )

.

0 z danBei z

Ber

PERSAMAAN-PERSAMAAN YANG DITRANSFORMASIKAN NKE DALAM PERSAMAAN BESSEL

1.. tentukan penyelesaian umum persamaan xy''+y'+ay=0.

Pesamaan tersebut dapat ditulis sebagai xzy''+xy'+axy=0 dan merupakan suatu ---khusus dari persamaan (24) di halaman 242dimana

, ,

0 a a

k = = r =

0 , 2 1

=

β maka penyelesaian seperti diberikan 242 adalah

( )

ax c y

( )

ax J

c

y= 1 0 2 + 2 0 2

KETEGAK LURUSAN FUNGSI BESEEL

2.Buktikanlah

( ) ( )

( ) ( )

_{2 2}

( ) ( )

' '

1

0 λ µ

λ µ λ µ λ µ µ

λ

− − =

∫

n n n n

n n

J J J

J dx x J x

xJ jika λ≠µ.

Dari (3) dan (4) dihalaman 240,kelihatan bahwa y₁ =J_n

( )

λx dan

( )

x J y₂ = _n µ

Adalah penyelesaian persamaan

(

)

0,

(

)

2 0

2 2 2 ' 2 '' 2 2 1 2 2 2 ' 1 '' 1

2 + + − = + + − =

y n x xy

y x y n x xy

y

x λ µ

Dengan pengalikan persamaan dengan y2dan 2 dengan y1 dan kemudian

kurangkan, kita memperoleh

[

] [

]

(

)

1 2

2 2 2 ' 2 1 ' 1 2 ''

2 1 '' 1 2 2

y y x y

y y y x y y y y

x − + − = µ −λ

Setelah dibagi dengan x dapat ditulis sebagai berikut

[

] [

]

(

)

1 2

2 2 ' 2 1 ' 1 2 ' 2 1 ' 1

2y y y y y y y xy y

y dx

d

x − + − = µ −λ

Atau

[

]

{

}

(

)

1 2

2 2 '

2 1 '' 1

2y y y xy y

y x dx

d _{− = µ −λ}

(

−

)

∫

=

[

− '

]

2 1 ' 1 2 2

1 2 2

y y y y x dx y xy

λ µ

Lalu gunakan y1 =Jn

( )

λx,y2 =Jn

( )

µx dan bagikan dengan 0,

2 2 −λ ≠

µ

maka

( ) ( )

[

( ) ( )

( ) ( )

]

∫

= _{2 −}− ₂

' '

λ µ

µ λ µ λ µ λ µ

λx J xdx x J x J x J x J x

xJ n n n n

n n

Jadi

( ) ( )

( ) ( )

_{2 2}

( ) ( )

' '

1

0 µ λ

µ λ µ λ µ λ µ

λ

− − =

∫

n n n n

n n

J J J

J dx x J x xJ

Yang ekivalen dengan hasil yang diinginkan.

3. buktikan

( )

( )

1

( )

.

2

1 2

2 2 2

1 0

2

   

 

   

 

− + =

∫

λ

λ λ

λ n n

n J

n J

dx x xJ

misalkan µ →λpada hasil soal no 2.dengan mengunakan rumus L hospital diperoleh

( )

λµ λ

( ) ( )

µ λ

( ) ( )

λ_µ µ µ

( ) ( )

λ µ

λ

µ 2

' '

' 1

0 2

lim

n n n n n n

n

J J J

J J

J dx

xJ = − −

→

∫

( )

( ) ( )

( )

λ

λ λ λ λ λ λ

λ

2

'' '

2 '

n n n

n

n J J J J

J − −

=

Tetapi karena λ2Jn''

( )

λ +λJn'

( )

λ +

(

λ2 −n2

)

Jn

( )

λ =0, dengan menyelesaikan untuk ''

( )

λ

n

J dan mensubstusikannya diperoleh

( )

( )

( )

   

 

   

 

− + =

∫

xJ_n x dx J_n n₂ J_n2 x

2 2

' 1

0 2

1 2

1

λ λ

λ

4.buktikan bahwa jika λdanµ adalah dua akar berbeda dari prsamaan N

( )

+ '

( )

=0

x SxJ x

RJn n dimana R dan S kostanta, maka

( ) ( )

∫

1 =

0xJn λx Jn µx dx 0

Yaitu xJn

( )

λx dan xJn

( )

µx saling tegak lurus pada (0,1).

( )

+SxJ'

( )

x =0,

RJn λ N

( )

( )

0

' =

+ µ

µ µ n n S J RJ

Kemudian, jika R≠0,S ≠0 dari (1) kita memperoleh

( ) ( )

λ ' µ −µ

( ) ( )

µ ' λ =0

µJn Jn Jn Jn

Sehingga dari soal 2.kita mendapatkan hasil yang diinginkan

( ) ( )

∫

1 =

0xJn λx Jn λxdx 0

Dalam kasus R≠0,S ≠0 atau R≠0,S =0,hasil tersebut juga dapat dibuktikan dengan mudah.

DERET FUNGSI BESSEL

1.Jika f

( )

x =

∑

ApJn

( )

λpx,0<x>1, dimana λp,p=1,2,3,...,akar positif dari

( )

x =0,

Jn ditunjukkan bahwa

( )

∫

( )

( )

+

= 1

0 2

1

2

dx x f x xJ J

A n p

p n

P λ

λ

Kalikan deret untuk f(x) dengan xJn

( )

λkx dan integralkan suku demi suku

dari 0 sampai 1.maka

( ) ( )

( )

( )

∫

∑ ∫

≈

= =

1 0

1

p

p n k n p k

n x f xdx A xJ x J xdx

xJ λ λ λ

=

∫

1

( )

0 2

dx x xJ Ak n λk

= AKJN

( )

λk

2 '

2 1

Dimana kita telah menggunakn soal 10.22.dan 10.23 bersama-sama dengan kenyataan bahwa

( )

∫

( ) ( )

= 1

0 2 '

2

dx x f x xJ J

A _{n k}

k n

K λ

λ

Untuk memperoleh hasil yang diinginkan dari sini,digunakan rumus pengulangan 3 dihalaman 240 yang ekivalen denga rumus 6 dihalaman itu, kita memperoleh

( )

k n

( )

k n

( )

k n

kJ λ nJ λ λJ λ

λ 1

'

Atau karena J_n

( )

λ_k =0

( )

k n

( )

k

n J

J' λ =− ₊₁ λ

2.uraikan f(x)=1 dalam suatu deret yang berbentuk

( )

∑

∞

=1 0

p

p pJ x A λ

Untuk 0<x<1,jika λp,p=1,2,3,…, adlah akar positif dari J0

( )

X =0,

( )

∫

( )

=

( )

∫

( )

= p

dv v vJ J

dx x xJ J

A

p p p

p p

λ

λ λ λ

λ 2 0 0

1 2 1

0 0

2 1

2 2

=

( )

( )

( )

p p p

i

p J

v vJ J

p

λ λ λ

λ

λ

1 0

1 2

2

2 2

=

Dimana kita telah menggunakan penggantian v=λpx dalam intergralnya

dan hasil soal 10.8 dengan n=1

Jadi kita memperoleh deret yangdiinginkan

( )

∑

∞

( ) ( )

= = =

1

0 1

2 1

p

p p k

x J J x

f λ

λ λ

Yang dapat ditulis sebagai

( )

( )

( )

( )

2 1 ...

2 2 2

2 0 1 1 1

1

0 + + =

λ λ

λ λ

λ λ

J x J J

x J

SOAL-SOAL TAMBAHAN PERSAMAAN DEFERENSIAL BESSEL

10.26. Tunjukanlah bahwa jika x diganti oleh λx dimana λ kostanta, maka persamaan Bessel x2y''+xy' +

(

x2 −n2

)

y=0 ditransformasikan menjadi

(

2 2 2

)

0

' ''

2 + + − =

y n x xy

y

x λ

10.27.(a) tunjukan

( )

... 8 6 4 2 6 4 2 4 2

2 2 2 2

7 2

2 5 2

5

1 = − + − +

x x

x x x

J dan periksalah bahwa

selang kekonvergenan adalah −∞<x<∞ 10.28.tunjukan J₀1

( )

X =−J₁

( )

x.

10.29. tunjukanlah

[

xJ

( )

x

]

xJ

( )

x dx

d

0

1 =

10.30.Hitunglah (a) J

( )

x

2

5 dan (b) J

( )

x 2 5

− dalam suku-suku sinus dan cosinus. 10.31.tentukanlah J₃

( )

3 dalam suku-suku J₀

( )

x danJ₁

( )

x.

10.32. buktikanlah bahwa

( )

a

( )

[

( )

( )

( )

]

( )

x

[

J

( )

x J

( )

x J

( )

x J

( )

x

]

J

x J x J x J x J

n n

n n

n

n n

n n

3 1

1 3

'' '

2 2

''

3 3

4 1

2 2

1

+ +

− −

+ −

− +

− =

+ −

=

Dan buatlah perumusan hasil ini. 10.33 hitunglah (a)

∫

2

( )

,

3

dx x J

x (b).

∫

1

( )

0 0

3

dx x J

x (c).

∫

x J0

( )

xdx

2

10.34 hitunglah (a)

∫

J

( )

3 x dx

1 (b).

( )

∫

dx x

x J

2 2

10.35.hitunglah

∫

J₀

( )

x sinxdx.

FUNGSI PEMBANGKIT DAN HASIL-HASIL TAMBAHAN 10.36 gunakanlah fungsi pembangkit untuk membuktikan bahwa

( )

x

[

J

( )

x J

( )

x

]

Jn n1 n 1

'

2 1

+

− +

= untuk kasus dimana n bulat.

10.37 gunakanlah fungsi pembangkit untuk mengerjakan soal 10.30 dalam kasus n bulat.

10.38 tunjukanlah

( )

=

∫

2

(

)

0

0 cos sin

2 π _{θ θ}

π x d

x J

10.39 tunjukanlah

∫

( )

∑

( )

∞

= +

=

x

k

k x J dt

t J

0

0 1 2

0 2

FUNGSI BESSEL JENIS KEDUA 10.40. Buktikanlah Y

( )

x Y1

( )

x

'

10.41. hitunglah (a). Y12

( )

x, (b). Y−12

( )

x.

10.42.buktikanlah Jn

( ) ( )

xYn x Jn

( ) ( )

xYn x 2πx

'

' − =

10.54. Tunjukanlah

( )

(

θ

)

θ

π

π

d x

x

I =

∫

2

0

0 cosh sin

2

.

10.55. Tunjukanlah (a) sinhx=2

[

I1

( )

x +I3

( )

x +...

]

(b) coshx= I₀

( )

x +2

[

I₂

( )

x +I₄

( )

x +...

]

10.56. Tunjukanlah (a)

( )

= _ − _

x x x

x x

I3 2 π2 cosh sinh

(b)

( )



  

 

− =

−

x x x

x x

I 3 2 2π sinh cosh . 10.57. (a) Tunjukanlah

( )

( )

K

( )

x

x n x K x

Kn n n

2

1

1 = − +

+

(b) Jelaskanlah mengapa fungsi K_n

( )

x memenuhi rumus pengulangan yang sama seperti untuk In

( )

x dengan In

( )

x diganti dengan Kn

( )

x .

10.58. Berikan rumus asimtotik untuk (a) In( )

( )

x

1

, (b) Hn( )

( )

x

2

. 10.59. Tunjukanlah

( )

{

( )

}

( )

( )

( )

( )

...

4 1 3 1 2 1 1 ! 4

2 2

1 1 ! 2

2 1 4

2

ln 2

8

2 0

0

0 _−

 

 

+ + + +

     

+ −

+ +

+ −

= x Ber x Bei x x x

x

Ker γ π

PERSAMAAN-PERSAMAAN YANG DUTRANSFORMASIKAN KEDALAM PERSAMAAN BESSEL

10.60. Selesaikan 4xy”+4y’+y = 0.

10.61. Selesaikan (a) xy”+2y’+xy = 0, (b) y”+x2y = 0. 10.62. Selesaikanlah y”+e2xy = 0. (misalkan ex = u).

10.64. (a) Tunjukan dengan pergantian langsung bahwa 

    

= 32

3 1

3 2

x J x

y adalah

suatu jawaban dari y”+xy = 0 dan (b) tuliskan penyelesaian umumnya.

10.65. (a) Tunjukanlah bahwa persamaan Bessel x2y,,+xy,+

(

x2−n2

)

y=0 dapat ditransformasikan kedalam 1 214 0

2 2

2

=

   



 ₋

−

+ u

x n dx

u d

dimana y=u x. (b) Bahaslah kasus dimana x besar dan jelaskan hubungannya dengan rumus

asimtotik dihalaman 243.

DERET TEGAK LURUS FUNGSI-FUNGSI BESSEL

10.66. Lengkapilah soal 10.23 dihalaman 253 untuk kasus (a)R≠0,S =0, (b)R=0,S≠0

10.67. Tunjukanlah

∫

xJ_n

( )

x dx= x

[

J_n

( )

x +J_n+

( )

x

]

−nxJ_n

( )

λx J_n+

( )

xλ +c

αλ λ λ

λ 1

2 1 2

2 2

2 10.68. Buktikanlah hasil

10.69. Tunjukanlah

( )

( )

...0 1 8

1

1 1

3 0 2

< < =

−

∑

∞

= J x

x J x

p p p p

λ λ

λ

dimana λp adalah akar positif

dari J₀

( )

λ =0.

10.70. Tunjukanlah 2

( )

( )

... 1 1

1 2 1

< < − =

∑

∞

=

x J

x J x

p p

p

λ λ

λ

dimana λ_p adalah akar positif dari J1

( )

λ =0.

10.71. Tunjukanlah 2

( ) ( )

8

( )

...0 1

1 1

3 1 2

2 =

∑

− ≤ <

∞

=

x J

x J x

p p p

p p

λ λ

λ λ

dimana λp adalah akar

positif dari J₁

( )

λ =0.

10.72. Gunakanlah soal 10.73 dan 10.75 untuk menunjukan

4 1 1

2 =

∑

p

λ dimana λp

JAWABAN SOAL-SOAL TAMBAHAN

10.28. (a)

(

)



  



 _{− −}

2 2

cos 3 sin 3

2

x

x x x x x

π (b)

(

)



 



 _{− −}

2 2

cos 3

sin 3 2

x

x x x

x x

π

10.29.

( )

J

( )

x

x x J x

x

0 1

2 2

4 8

−

   

  ₋

10.31. (a) x3J₃

( )

x +c (b) 2J₀

( )

1 −3J₁

( )

1 (c) x2J₁

( )

x +xJ₀

( )

x −

∫

J₀

( )

x dx

10.32. (a) xJ

( )

x − x J

( )

3 x +c

0 3 2 3

1 3

3 6

(b)

( )

j

( )

x J

( )

xdx x

x

J

∫

+ −

− 0

1 2

3 1 3 3

10.33. xJ₀

( )

x sinx−xJ₁

( )

x cosx+c

10.42. (a)

2 2

1

b

a + (b) 2 2

2 2

b a b

a b a

+ − +

(c)

(

)

2 2

2 2

b a b

a b a

n

n

+ − +

10.48. (a) x xcos

2

π

− (b) x

xsin

2

π

10.50. (a) xY3

( )

x +c

3

(b) −Y2

( )

x −2Y1

( )

x /x+c

(c)

( )

( )

Y

( )

x Y

( )

x dx

x x Y x x

Y − − +

∫

− 1 2 2 3 0

15 1 5

1 15

1 15

1

10.63. y= AJ₀

( )

x +BY₀

( )

x

10.64. (a)

x x B x A

y= sin + cos (b) = _ _ _+ ₋ _ 2__ 4

1 2

4 / 1

2 1 2

1

x BJ

x AJ x y