TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL)

A. Pengertian Derivatif (turunan) suatu fungsi.

Perhatikan grafik fungsi y=f(x) (pengertian secara geometri) yang melalui garis singgung.

f(x)

y = f(x)

f(x+∆x)

Q

[ (

^x+∆x

) (

^{, f x+∆x}

) ]

f(x) P

(

x^, f⁽x⁾

)

0 x (x+∆x) x

jika terjadi perubahan penambahan x sebesar ∆x maka terjadi perubahan f(x) sebesar f(∆x). Laju perubahan rata-rata adalah :

x dalam perubahan

y dalam perubahan

x y ₌

∆

∆

x x f x x f x

x x

x f x x f x y

∆

−

∆ +

−

∆ +

−

∆ +

∆

∆ = = ( ) ( )

) (

) ( ) (

Untuk ∆x diambil sekecil-kecilnya (∆x mendekati nol), apabila x y

∆∆ mempunyai harga, maka harga dari

x y

∆

∆ _{maka ∆}x mendekati nol itu disebut Turunan (derivatif) /turunan pertama dari fungsi y=f(x) terhadap x.

Definisi : Apabila

x

x f x x f

x +∆∆ −

→

∆

) ( ) lim (

0 ada harganya, maka harga tersebut

dikatakan sebagai derivatif pertama fungsi y=f(x) terhadap x dan biasa ditulis dengan simbol :

), '( , '

)

( y f x

dx x df dx

dy = = Jadi

x x f x x x f

dx f dy

x +∆∆ −

=

= ∆ →

) ( ) lim (

) '(

0

x y

∆

∆ disebut koofisien differensi. Proses penarikan limit atas suatu koefisien diferensi dalam hal tambahan variabel bebasnya mendekati nol disebut proses penurunan suatu fungsi atau diferensiasi. Sedangkan hasil yang diperoleh dari differensiasi disebut turunan atau derivatif.

B. Menentukan Turunan Fungsi Melalui Proses Limit.

Langkah-langkah untuk mendapatkan turunan suatu fungsi melalui proses limit adalah sbb:

1. Tulis fungsinya, y=f(x)

2. Berikan tambahan terhadap x sebesar ∆x terhadap y sebesar ∆y, sehingga didapat, y+∆y = f(x+∆y)

3. Pindahkan y=f(x) keruas kanan untuk mendapatkan ∆y=f(x+∆y)- f(x).

4. Bagi di kedua ruas dengan ∆x, didapat x

x f x x f dx dy

∆ −

∆

= ( + ) ( )

5. Hitung limit untuk mendapatkan x y

∆

∆

x x f x x x f

dx f dy

x +∆∆ −

=

= ∆ →

) ( ) lim (

) '(

0

Contoh Soal : Tentukan

dxdy dari y=f(x)= x² x

x f x x f dx

dy

x +∆∆ −

=∆ →

) ( ) lim (

0 x

x x x

x +∆∆ −

=∆ →

2 2 0

) lim (

x

x x x x x

x + ∆ ∆ +∆ −

=∆ →

2 2 2

0

) .

2 lim (

x x x x

x ∆ ∆ +∆

=∆ →

2 0

. lim 2

²

0 2

lim x x

x +∆

=∆ → = 2x

C. Menentukan Turunan Fungsi Melalui Rumus-Rumus Diferensial.

Untuk memudahkan mencari turunan suatu fungai biasanya digunakan rumus-rumus diferensial sbb :

c.1. Turunan fungsi aljabar :

y = f(x) _{' x( )}

dx f dy =

1. y= f(x)=k =₀

dx dy

2. y= f(x)=k.xⁿ =k.n.xⁿ⁻¹ dx

dy

3. y=k

{

f(x)

}

ⁿ k.n.

{

f(x)

}

¹.f'(x) dx

dy = _n−

4. )y= f(x)±g(x f '(x) g'(x) dx

dy = ±

5. )y= f(x).g(x f '(x).g(x) f(x).g'(x) dx

dy = +

) (

) . (

6 g x

x y = f

{

( )

}

²

) ( . ) ( ' ) ( . ) ('

x g

x f x g x g x f dx

dy = −

Keterangan :

k = suatu konstanta n = bilangan bulat positif

Berikut ini adalah penjelasan peritem : 1. y= f(x)=k =0

dx dy

y = 5 =0

dx dy

2. y= f(x)=k.xⁿ =k.n.xⁿ⁻¹ dx

dy

y =4x³

4.3.x^{3 1} 12x² dx

dy = ⁻ =

3. y=k

{

f(x)

}

ⁿ k.n.

{

f(x)

}

¹.f'(x) dx

dy = _n−

disebut juga aturan Rantai, aturan ini juga bisa disebut deferensial fungsi dari suatu fungsi (komposit). Andaikan y = f(u) dan u = g(x) menentukan fungsi komposit y=f(g(x))=(f_og)(x). Jika terdeferensialkan di x dan f terdeferensialkan di u=g(x), maka f_og terdeferensial di x dan

(f og)'(x)= f'(g(x))g'(x) atau D_xy =D_uy D_xu atau

dx du du dy dx

dy = ⋅

Contoh :

a. y=5(x³+x)³ carilah ? dxdy misalkan u =(x³+x)

y=5 u( )³ 5.3.u²

dudy = ; = x(3 ²+1) dx

du

maka,

=5.3(x³+x)².(3x²+1) dx

dy

=15(x³+ x)².(3x²+1) b. y=sin³(4x) carilah ?

dy dx

dari persoalan ini maka ada 3 unsur yaitu sinus, pangkat dan nilai 4x maka diselesaikan dengan aturan rantai bersusun.

Misalkan : y=f(u), u=sin v dan v = h(x) Maka,

dx dv dv du du dy dx

dy = ⋅ ⋅ dari contoh di atas :

y=u³ , u=sin v dan v=4x

=4 dx

dv , v

dv

du =cos dan 3u² dudy =

3u².cosv.4 dxdy =

3sin²(4x).cos(4x).4 dxdy =

12sin²(4x).cos(4x) dxdy =

4. y= f(x)±g(x) f '(x) g'(x) dx

dy = ±

y =5x³+2x =5.3.x²+2.1

dx dy

= 15x²+2

5. y= f(x).g(x) f '(x).g(x) f(x).g'(x) dx

dy = +

y=(x² +2x+5)(x³+3x)

f(x)=(x²+2x+5) f'(x)= x(2 +2) g(x)=(x³+3x) g'(x)= x(3 ²+3) =(2x+2)(x³+3x)+(x²+2x+5)(3x² +3)

dx dy

=(2x⁴+6x²+2x³+6x)+(3x⁴ +3x²+6x³+6x+15x²+15) =(5x⁴+8x³+24x²+12x+15)

) (

) . (

6 g x

x y= f

{

( )

}

²

) ( . ) ( ' ) ( . ) ('

x g

x f x g x g x f dx

dy = −

2

2 1 +

= + x y x

f(x)= x( ²+1) f'(x)=2x g(x)= x( +2) g'(x)=1

{

( )

}

²

) ( . ) ( ' ) ( . ) ('

x g

x f x g x g x f dx

dy = −

2 2

) 2 (

) 1 ( ) 2 ( . 2

+

+

−

= +

x

x x

x dx dy

) 4 4 (

1 4

2

2

2 2

+ +

−

−

= +

x x

x x x

dx dy

=

4 4

1 4

2

2 2

+ +

−

− +

x x

x x x

c.2. Turunan Fungsi Logaritma

Dalam perhitungan ada dua basis yang biasanya dipakai yakni 10 dan e. Logaritma yang memakai basis 10 disebut logaritma biasa dan yang memakai basis e disebut Logaritma natural.

( )

^{1 1 2,71828}

lim0 + =

= → n ⁿ

e n

Rumus-rumus :

1. y =Log f(x) (log ). '( ) )

(

1 e f x

x dx f

dy =

2. y =Ln f(x) '( )

) ( ) 1 ( ' ).

)(ln (

1 f x

x x f

f x e

dx f

dy = =

Catatan :

ln e = ^eloge=1

a a x

x ^e

elog =ln ; log =ln

Rumus-rumus deferensiasi penjumlahan, perkalian dan pembagian juga berlaku bagi fungsi algoritma. Untuk lebih jelasnya perhatikan deferensiasi dengan memakai rumus-rumus di atas :

Rumus 1.

) f(x Log

y= (log ). '( )

) (

1 e f x

x dx f

dy =

x

y=log5 (log ).5 5

1 e

dx x dy = Rumus 2.

) ( ln f x

y= '( )

) (

1 f x

x dx f

dy =

x y=ln2

x dx x

dy .2 1 2

1 =

=

Didasarkan pada kenyataan bahwa

{ }

x x dx

d ln = dan bila z digantikan 1 dengan fungsi F, maka

{ }

dx dF F F

dx

d ln = 1 ⋅ . Dengan mengingat hal ini, marilah kita tinjau sebuah kasus

w

y=uv, dengan u,v,w dan y adalah fungsi x. Kita ambil logaritmanya dengan bilangan dasar e makabdidapat

ln y = ln u +ln v – ln w . Kita diferensiasikan masing-masing ruas diperoleh :

dx dw w dx dv v dx du u dx dy

y⋅ =1⋅ +1⋅ − 1 ⋅

1 maka,

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ⋅ + ⋅ − ⋅

= dx

dw w dx dv v dx du y u

dx

dy 1 1 1

atau

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ⋅ + ⋅ − ⋅

= dx

dw w dx dv v dx du u w uv dx

dy 1 1 1

Contoh : x

x y x

2 cos

2sin

= , tentukanlah ? dx dy

dimana u=x², v=sin x dan w=cos 2x maka,

dx x

du =2 , x

dx

dv =cos , x

dx

dw=−2sin2

Mengambil logaritma kedua ruasnya

x x y x

2 cos

2sin

= ln y = ln(x²) + ln(sin x)-ln(cos 2x)

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ⋅ + ⋅ − ⋅

= dx

dw w dx dv v dx du u w uv dx

dy 1 1 1

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ⋅ + ⋅ − ⋅ −

= ( 2sin2 )

2 cos cos 1

sin 2 1

1 2 sin

2 cos

2

2 x

x x x x

x x x

x dx

dy

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ + +

= x x

x x x x

x dx

dy 2 cot 2tan2

2 sin

2 cos

2 2

c.3. Turunan Fungsi Eksponen

Untuk menentukan turunan fungsi eksponen digunakan 2 basis rumus yakni basis e dan bukan e.

Rumus-Rumus :

1. y =e^f(x) e ^{( )}.f'(x) dx

dy = f x

2. y=a^f(x) a ^{( )}.lna.f'(x) dx

dy = f x

Contoh penggunaan rumus ini : Rumus 1.

) (x

ef

y= e ^{( )}.f'(x)

dx

dy = _{f x}

y=e^(5x2+4) ) 10 (

).

2 4 5

( x

dx e

dy = x +

Rumus 2.

) f(x

a

y = a ^{( )}.lna.f'(x) dx

dy = f x

y=10^{(x2 −x)}

) 1 2 ( . 10 ln .

10^{( 2 )} −

= ⁻ x

dx

dy _{x x}

D. Turunan Tingkat Tinggi.

Apabila fungsi y=f(x) dapat diturunkan/diderivatifkan sampai n kali terhadap x, maka didapat :

Jika y=f(x) maka ) ( f' x

dxdy = Turunan pertama

) (

2 ''

2

x f dx

y

d = Turunan kedua

) ('

3 '

3

x f dx

y

d = Turunan ketiga

) (x f dx

y

d _n

n

n = Turunan ke-n

Contoh soal :

Carilah turunan tingkat 3 dari persoalan berikut ini : Jika diketahui f(x)= y = 2x⁵ + 4x³

2 4 12

10x x

dx

dy = + Turunan pertama

x x

dx y

d 40 ³ 24

2

2 = + Turunan kedua

24 120 ²

3

3 = x +

dx y

d Turunan ketiga

Berikut ini diberikan cara penulisan diferensial : Derivatif Penulisan

F(x)

Penulisan y

Penulisan D

Penulisan Leibniz

Pertama f ' y' D_xy

dxdy

Kedua f '' y '' D_x²y

dx y d²

Ketiga f ' '' y' '' D_x³y

dx y d³

Ke - n f ⁿ yⁿ D_xⁿy

dx y dⁿ

E. Turunan Fungsi Implisit.

Fungsi Implisit adalah fungsi yang dinyatakan sebagai f(x,y)=0. Untuk mencari turunannya dapat dilakukan dengan dua cara.

Pertama, bentuk fungsi dirubah terlebih dahulu bentuk eksplisit, baru dipecahkan.

Kedua, tetap dalam bentuk implisit dengan pemecahan melalui difresiansi implisit.

Contoh Soal :

Bila diketahui sebuah persamaan sbb : 4x²+5xy+3y²-25=0, carilah ?

dy dx

⇒ 8 +5 + _⎟⎟+6 −0=0

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

dx ydy dx

xdy dx ydx dx

xdx

⇒ 8 +5 +5 +6 =0 dx ydy dx

xdy y

x

⇒ (8 +5 )+(5 +6 ) =0 dx y dy x

y

x

⇒

dx y dy x

y

x 5 ) (5 6 ) 8

( + = − +

⇒

y x

y x dx

dy

6 5

) 5 8 (

+

− +

=

F. Turunan Fungsi Trigonometrik.

Beberapa identitas trigonometri yang perlu diketahui.

a. sin²x+cos²x=1; sec²x=1+tan²x; cosec²x=1+cot²x b. sin(A+B)=sin AcosB+cosAsinB

sin(A+B)=cosAcosB−sinAsinB cos(A−B)=cosAcosB+sin AsinB

B A

B B A

A 1 tan tan

tan ) tan

tan( −

= + +

B A

B B A

A 1 tan tan

tan ) tan

tan( +

= −

−

c. misalkan A=B=x. ∴ sin2x=2sinx cosx cos2x=cos²x−sin²x

=1−2sin²x

=2cos²x−1

x

x ₂x

tan 1

tan 2 2

tan = −

d. misalkan 2 x= x

cos2 sin2 2

sinx= ^{x x}

∴

sin 2 cos 2

cosx= ^{2 x}− ^{2 x} =

sin 2 2

1− ^{2 x}

= 1

cos 2 2 ² x−

tan 2 1

tan2 tan 2

2 x x x= −

e. cos 2

sin 2 2 sin

sinC+ D = ^C+^{D C}−^D

sin 2

cos 2 2 sin

sinC− D = ^C+^{D C}−^D

cos 2 cos 2

2 cos

cos C D C D

D

C+ = + −

sin 2 sin 2

2 cos

cos D− C = ^C+^{D C}−^D f. 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A−B) 2cosAsinB=sin(A+B)−sin(A−B) 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A−B) 2sinAsinB=cos(A−B)−cos(A+B)

Jika x adalah fungsi x yang dapat dideferensiasi, maka y=f(x)

dx dy

1. sin x cos x 2. cos x -sin x 3. tan x sec² x 4. cot x -cosec² x 5. sec x sec x . tan x 6. cosec x -cosec x . cot x

Contoh soal :

a. Buktikan y=f(x)=sin x maka x dx

dy =cos dengan turunan fungsi,

x

x x

x dx

dy

x ∆

−

∆

= +

→

∆

sin ) lim sin(

0

x

x x

x x

x

x ∆

−

∆ +

= ∆

→

∆

sin sin

cos cos

lim sin

0

x x x x

x x

x ∆

+ ∆

∆

− −

=∆ →

cos sin cos

sin 1 lim

0

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣ + ⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

= ⎡

∆

− ∆

∆

∆

− −

→

∆

→

∆ x

x x x

x x

x x

lim sin ) cos cos (

lim 1 ) sin (

0 0

y

(cos t, sin t) t

t

(1,0) x

ini membuktikan bahwa : cos 0

lim 1

0

∆ =

∆

−

→

∆ x

x

x

; dan lim sin 1

0

∆ =

∆

→

∆ x

x

x

Sehingga,

D(sinx) = (-sin x).0 + (cos x). 1 = cos x b. Diketahui f(x)=

x

y ₌ cosx , hitung ? dx dy

x x

f x

x

f( )=cos ⇒ '( )=−sin g(x)=x ⇒ g'(x)= 1

maka dengan menggunakan rumus :

) (

) (

x g

x y= f ⇒

{

^{( )}

}

²

) ( . ) ( ' ) ( . ) ('

x g

x f x g x g x f dx

dy = −

didapat,

.sin ₂ cos x

x x

x dx

dy = − −

∆x

x x

∆

∆

− cos 1

x x

∆

∆ sin 1,0

0,5 0,1 0,01

↓ 0

↑ -0,01

-0,1 -0,5 -1,0

0,45970 0,24483 0,04996 0,00500

↓

?

↑ -0,00500 -0,04996 -0,24483 -0,45970

0,84147 0,95885 0,99833 0,99998

↓

?

↑ 0,99998 0,99833 0,95885 0,84147

G. Turunan Fungsi Invers.

a. Diferensiasi invers fungsi trigonometri Misalkan y=sin⁻¹x ⇒ x=siny

y

dy

dx =cos ⇒

y dx

dy

cos

= 1

Selanjutnya nyatakan cos dalam y x

Sebagaimana diketahui bahwa : sin² y+cos² y=1, maka ⇒ cos² y =1−sin² y=1−x² ( karena x =siny) ⇒ cos y= 1− x²

⇒

) 1 (

1 x2

dx dy

= −

⇒

) 1 ( sin 1

2 1

x dx x

d

= −

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ −

dengan cara yang sama dapat dicari

) 1 ( cos 1

2 1

x dx x

d

− −

⎭=

⎬⎫

⎩⎨

⎧ ⁻

Bagaimana dengan tan ¹ ?

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ − x

dx d

Misalkan y=tan⁻¹x ⇒ x=tan y

y

dy

dx =sec₂ =1+tan² y =1+x²

1 x²

dy

dx = + ⇒ ₂

1 1 dx x

dy

= +

b. Diferensiasi invers fungsi hiperbolik Misalkan y=sinh⁻¹x ⇒ x=sinhy

⇒ y

dy

dx =cosh ;

y dx

dy

cosh

= 1

Sebagaimana diketahui bahwa : sinh² y−cosh² y =1, maka ⇒ cosh² y =1+sinh² y=1+ x² ( karena x=sinhy) ⇒ cos y= (1+ x²)

⇒

) 1 (

1 x2

dx dy

= + ⇒

) 1 ( sinh 1

2 1

x dx x

d

= +

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ⁻

dengan cara yang sama dapat dicari

) 1 ( cosh 1

2 1

− −

⎭=

⎬⎫

⎩⎨

⎧ ⁻

x dx x

d

Bagaimana dengan tanh ¹ ?

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ − x

dx d

Misalkan y =tanh⁻¹x ⇒ x =tanh y; h y dy

dx =sec ₂ Sebagaimana diketahui : sech² x=1−tanh² y, maka

⇒ h y

dy

dx =sec 2

=1−tanh² y=1−x²

⇒ ₂

1 1 dx x

dy

= −

⇒ ₂

1 sin ¹ 1

x x dx

d

= −

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ −

Berikut ini tabel hasil turunan fungsi invers

Invers Fungsi Trigonometri Invers Fungsi Hiperbolik y

dx

dy y

dx dy

1x sin⁻

1x cos⁻

1x tan⁻

1x cot⁻

1x sec⁻

1x csc⁻

) 1 (

1 x2

−

) 1 (

1 x2

−

−

1 2

1 + x 1 2

1 +x

−

) 1 (

1

2 − x x

) 1 (

1

2 −

−

x x

1x sinh⁻

1x cosh⁻

1x tanh⁻

1x coth⁻

x h ¹ sec ⁻

x h ¹ csc ⁻

) 1 (

1

2+ x

) 1 (

1

2 − x

;(x>1)

1 2

1

−x ;(x² <1) 1 2

1

−x ;(x2 >1) )

1 (

1 x2

x −

− ;(0< x<1)

) 1 (

1

2 +

−

x x

;(u≠ 0)

Contoh soal :

a. Cari

dx

dy, jika diberikan _⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= 1 x²

y sin⁻¹x

_⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= 1 ² )

(x x

f ; f '(x)=2x g(x)=sin⁻¹x ; g'(x)=

) 1 (

1 x2

−

⇒ x x

x dx x

dy ₁

2

2 2 sin

) 1 (

1 1 + ⁻

+ −

= _⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

b. Cari

dx

dy, jika diberikan y =sinh⁻¹3x sebagaimana diketahui

) 1 (

sinh 1

2 1

= +

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ −

x dx x

d

dx

dy =

) 1 9 ( 3 3 ) 1 3 (

1

2 ⋅ = 2+

+ ⎭⎬⎫

⎩⎨

⎧ x x

H. Persamaan Parametrik.

Seringkali lebih enak mengungkapkan suatu fungsi dengan menyatakan suatu fungsi dengan menyatakan x dan y dalan suatu variabel bebas ketiga secara terpisah, contoh y =cos2t, x=sint. Dalam hal ini, sebuah harga t tertentu akan memberikan pasangan harga x dan y, yang jika perlu dapat saja digambarkan dalam grafik sebagai salah satu titik dari kurva y = f(x).

Variabel yang ketiga ini, misalnya t, disebut parameter, dan kedua pernyataan untuk x dan y disebut persamaan parametrik. Ada kalanya kita masih memerlukan koefisien diferensial fungsi tersebut terhadap x.

Contoh :

Persamaan untuk fungsi adalah : y =cos2t, x=sint, cari pernyataan dxdy dan ²₂

dx y d ? Jika,

y =cos2t ⇒ t dt

dy =−2sin ; x =sint ⇒ t dt

dx =cos

Dengan menggunakan kenyataan bahwa

dx dt dt dy dx

dy = ⋅ Sehingga,

t t dx

dy

cos . 1 2 sin

−2

=

karena sin2t=2sint cost maka,

t t dx t

dy

cos . 1 cos sin

−4

=

t

dx

dy =−4sin