BUKU RANCANGAN PENGAJARAN. Kalkulus I

BUKU RANCANGAN PENGAJARAN

Mata Ajaran

Kalkulus I

Disusun oleh:

Kasiyah M Junus Heru Suhartanto

Fakultas Ilmu Komputer

Universitas Indonesia

Agustus 2008

PENGANTAR

Kalkulus I merupakan mata ajaran wajib di Fasilkom dengan bobot 3 SKS. Ada dua masalah dasar dalam Kalkulus, yaitu masalah garis singgung dan luas. Masalah garis singgung adalah bagaimana menemukan gradien garis singgung di suatu titik pada kurva. Sedangkan masalah luas adalah bagaimana menentukan luas daerah bidang diantara suatu kurva sumbu-x pada interval [a, b]. Kedua masalah tersebut melibatkan grafik fungsi bernilai nyata y = f(x), dan jawabannya merupakan limit perubahan dan limit jumlahan, yang kemudian kita kenal sebagai turunan dan integral tertentu. Oleh karena itu, Kalkulus sering disebut sebagai ilmu yang mempelajari limit. Jawaban dua masalah geometris (yang amat matematis) tersebut ternyata merupakan kunci dari berbagai masalah terapan dalam ilmu pengetahuan dan teknologi.

Pada mata ajar Kalkulus I di Fasilkom dibahas turunan dan integral fungsi nyata dengan satu perubah bebas. Sebagaimana tujuan pemelajaran matematika secara umum, tujuan pemelajaran Kalkulus I adalah membekali pemelajar dengan berbagai teknik untuk menyelesaikan masalah (problem solving) terkait dan penalaran matematis (intelletual sports). Dua hal ini diperlukan oleh mahasiswa Fasilkom sebagai dasar untuk mengikuti mata ajar lain selanjutnya.

Pendekatan yang dilakukan adalah pemelajaran aktif (active learning) bukan pembelajaran (instruction). Kuliah yang diselenggarakan bersifat interaktif dan melibatkan pemelajar secara aktif dalam bentuk antara lain pengerjaan lembar kerja (worksheet). Lembar kerja dirancang secara hati-hati dengan memperhatikan tujuan pemelajaran, pemelajar, dan metode yang diterapkan. Lembar kerja menjadi bagian terintegrasi dari pemelajaran, bukan sekedar lembar latihan saja. Lembar kerja dapat berfungsi sebagai sarana untuk membangkitkan kembali pengetahuan dasar yang diperlukan, orientasi, latihan, dan umpan balik.

Pemelajar dipacu untuk bekerjasama dan saling tergantung secara positif (positive dependent) dengan pemelajar lain dalam proses pembentukan pengetahuan.

DAFTAR ISI

PENGANTAR iii

DAFTAR ISI Iv

BAB I INFORMASI UMUM 1

BAB II SASARAN PEMELAJARAN Sasaran Pemelajaran Terminal Sasaran Pemelajaran Penunjang Diagram Alur

2 2-3 4

BAB III BAHASAN DAN RUJUKAN

Pokok Bahasan dan Subpokok Bahasan Rujukan

5-6 6

BAB IV METODE PEMBELAJARAN Metode Pembalajaran Sumber Pembelajaran Media Instruksional

Matriks Kegiatan Perkuliahan Matriks Kegiatan Tutorial

7 7 7 7 8

BAB V TUGAS LATIHAN Tugas Individu Tugas Kelompok

9 10

BAB VI EVALUASI HASIL PEMBELAJARAN Jenis Instrumen

Kisi-kisi Soal UTS Kisi-kisi soal UAS Contoh Soal Ujian

11 11 12 12-13

BAB I

INFORMASI UMUM

Nama mata ajar : Kalkulus I

Kode mata ajar : IKI10041

Diberikan pada semester ke- : 2

Jumlah sks : 3

Jenis sks : 2 x 50 menit tatap muka,

50 menit tutorial,

50 menit latihan mandiri/ berkelompok

Prasyarat : -

Kaitan dengan mata ajar lain : Kalkulus II

Persamaan Differensial Grafika Komputer Pengolahan Citra Analisa Numerik

Aljabar Linier Numerik

Aproksimasi Sistem Non-Linier

Jadwal

Dosen : Dra. Kasiyah, MSc

Heru Suhartanto, PhD

Tutor :

Bagan hubungan dengan mata kuliah lain:

Kalkulus I Kalkulus II Persamaan Differensial – KI

Grafika Komputer – TPL Pengolahan Citra – TPL / KI

Analisa Numerik Aljabar Linier Numerik – KI

Aproksimasi Sistem Non- Linier – KI

Petunjuk Pemelajaran

Untuk menjaga kelancaran proses pemelajaran dan menjamin efektifitasnya, maka diberlakukan aturan berikut ini.

1. Pemelajar diharapkan mempersiapkan diri sebelum masuk kelas dengan membaca materi yang akan dipelajari.

2. Pada setiap sesi, pemelajar diwajibkan membawa lembar kerja yang sesuai.

3. Selama proses pemelajaran, pemelajar diharapkan aktif terlibat dan tidak melakukan kegiatan lain (misanya mengerjakan tugas kuliah lain).

4. Mahasiswa dilarang keras menganggu jalannya pemelajaran dengan menghidupkan dering HP, menerima telepon, maupun pesan singkat.

5. Jika terlambat dan pintu sudah ditutup, mahasiswa diharapkan untuk tidak masuk kelas supaya tidak menganggu jalannya pemelajaran.

6. Dalam mengerjakan tugas rumah, pemelajar diperbolehkan (didorong) untuk melakukan belajar kelompok. Namun, dalam memberikan jawaban tidak boleh menyalin pekerjaan orang lain meskipun dalam kelompok belajar yang sama. Mahasiswa diminta untuk meluliskan teman belajarnya dalam

mengerjakan pekerjaan rumah.

7. Dalam tugas kelompok, penilaian teman akan menjadi faktor pengali untuk nilai ndividual.

8. Keterlambatan mengumpulkan tugas akan mengurangi nilai.

9. TIDAK akan diberikan susulan quiz, ujian tengah semester, ujian akhir semester tanpa surat keterangan dokter. Surat keterangan dokter harap diberikan sesegera mungkin, dan pada saat jadwal quiz atau ujian, kondisi ini sudah harus diketahui dosen.

10. Dosen tidak wajib memberitahu jadwal quiz. Jadwal ujian tengah dan akhir semester diberikan.

11. TIDAK ada tugas tambahan dengan tujuan untuk memperbaiki nilai.

Kesempatan untuk menunjukkan prestasi belajar diberikan selama satu semester penuh.

12. Mahasiswa diharapkan datang pada saat sesi perkuliahan, karena pada pemelajaran kolaboratif pemelajar harus memberikan kontribusinya.

13. Pemelajar diharapkan mengisi daftar hadir.

14. Kecurangan (mengabsenkan orang lain, menyontek, dll) bisa didiskualifikasi dan mendapat nilai E.

BAB II

SASARAN PEMELAJARAN

Sejalan dengan tujuan pengajaran Matematika, tujuan pemelajaran Kalkulus I meliputi aspek problem solving dan intellectual sport. Secara rinci, kedua tujuan tersebut dijabarkan dalam tujuan pemelajaran terminal (tujuan instruksonal umum) dan tujuan pemelajaran penunjang (tujuan instruksional khusus) sebagai berikut.

Sasaran pemelajaran terminal

Setelah mengikuti mata ajaran Kalkulus I selama satu semester, mahasiswa diharapkan memiliki kemampuan berikut ini.

1. Dapat menyelesaikan masalah terkait dengan turunan: menentukan

karakteristik fungsi berdasarkan turunannya, menentukan nilai ekstrem fungsi kontinu pada interval tertutup, dan laju perubahan.

2. Memahami kaitan dua konsep dasar Kalkulus (turunan dan intergral tertentu) secara tepat.

3. Dapat menghitung luas antara dua kurva sederhana, panjang kurva pada suatu interval, dan volume benda putar terhadap sumbu koordinat dengan tepat.

Untuk mencapai sasaran pemelajaran terminal tersebut, secara bertahap pemelajar diharapkan mencapai sasaran penunjang terlebih dahulu. Berikut ini sasaran

penunjang yang terkait.

Sasaran pemelajaran penunjang

1. Pemelajar memahami konsep bilangan nyata yang meliputi sifat-sifat operasi biner di dalamnya, pertidaksamaan, nilai mutlak, konvensi yang berlaku, dan jenis-jenis interval.

2. Pemelajar memahami fungsi, dapat menggambar grafik fungsi-fungsi sederhana, dapat melakukan operasi aljabar pada fungsi nyata yang diberikan, dan dapat mengidentifikasi jenisnya.

3. Jika diberikan fungsi aljabar dan trigonometri dan titik pada domain, mahasiswa dapat menentukan limitnya jika ada.

4. Mahasiswa dapat menurunkan sifat-sifat limit fungsi aljabar dan trigonometri dan dapat menerapkannya untuk mengevaluasi limit fungsi yang diberikan.

5. Jika diberikan fungsi, pemelajar mampu menentukan kontinuitasnya pada titik atau interval yang diberikan.

6. Jika diberikan fungsi bernilai nyata, pemelajar dapat menentukan limitnya jika x menuju tak hingga, dan dapat menentukan kapan fungsi mempunyai limit tak hingga.

7. Pemelajar memahami interpretasi geometris dari turunan fungsi bernilai nyata.

8. Pemelajar memahami bagaimana memperoleh aturan penurunan, dan dapat secara tepat menerapkan aturan tersebut untuk menurunkan fungsi yang diberikan.

9. Pemelajar dapat menentukan nilai pendekatan nilai fungsi aljabar di sekitar suatu titik yang diberikan dengan menggunakan diffenrensial.

10. Pemelajar dapat menentukan (secara aljabar) nilai ekstrem fungsi di interval yang diberikan.

11. Pemelajar dapat memanfaatkan turunan untuk mengidentifikasi perilaku fungsi (naik-turun, kecekungan, titik belok, dsb).

12. Jika diberikan suatu fungsi, pemelajar dapat menentukan anti turunannya.

13. Pemelajar memahami masalah luas dan penyelesaiannya dalam bentuk integral tertentu.

14. Pemelajar memahami kaitan integral tertentu, dan anti turunan.

15. Pemelajar memahami dan dapat menerapkan teorema nilai rata-rata untuk turunan dan integral.

16. Pemelajar dapat menghitung luas daerah antara dua kurva yang diberikan dan pada interval tertentu.

17. Pemelajar dapat menghitung volume benda yang diperoleh dengan memutar kurva sederhana terhadap sumbu koordinat.

18. Pemelajar dapat menghitung panjang kurva sederhana sepanjang interval tertentu.

19. Pemelajar memahami definisi fungsi-fungsi transenden, dapat membuat sketsa grafiknya, dapat mengaitkan fungsi transenden dan inversenya, menentukan turunan dan antiturunannya.

20. Jika diberikan fungsi, pemelajar dapat memilih metode yang tepat untuk menentukan integralnya.

21. Jika diberikan bentuk-bentuk tak tentu (sederhana) dalam limit, pemelajar dapat memilih metode yang tepat untuk mengevaluasinya.

22. Pemelajar dapat memanfaatkan limit untuk mengevaluasi integral tak sebenarnya.

Diagram alur tujuan pembelajaran

Sistem Bilangan Nyata

Fungsi

Limit

Masalah garis singgung Masalah luas

Turunan Teorema Dasar Kalkulus Integral

Kontinuitas fungsi

Aplikasi integral Teknik pengintegralan

Aplikasi turunan

Fungsi transenden

Diagram alur tujuan pembelajaran di atas juga memperlihatkan keterkaitan antara pokok-pokok pembahasan. Urutan penyampaian materi sedikit berbeda dengan diagram alur. Determinan dan Aturan Cramer dibahas terlebih dahulu sebelum pembahasan vektor pada bidang dan ruang, dengan dua pertimbangan. Pertama, mahasiswa sudah mempunyai dasar pengetahuan yang cukup dari SMU; kedua, pokok bahasan ini terkait erat dengan pokok bahasan operasi baris pada matriks.

BAB III

BAHASAN DAN RUJUKAN

Pokok Bahasan dan Sub Pokok Bahasan

No Pokok Bahasan Subpokok bahasan Rujukan

1 Sistem Bilangan Nyata

1.1 Sistem Bilangan Nyata 1.2 Nilai Mutlak

1.3 Pertaksamaan dan Interval

[1] chap 1

2 fungsi 2.1 Pengertian Fungsi 2.2 Grafik Fungsi 2.3 Fungsi Genap, Ganjil 2.4 Katalog Fungsi-fungsi

[1] chap 2 [2] chap 1 [3] chap 0

3 limit 3.1 Konsep Limit

3.2 Sifat dan teorema limit 3.3 Kontinuitas

[1] chap 2 [2] chap 2 [3] chap 1

4 Turunan Turunan

4.1 Pengetian turunan 4.2 Fungsi terdeferensial 4.3 Aturan Penurunan dasar 4.4 Aturan Rantai

4.5 Turunan fungsi-fugsi aljabar 4.6 Turunan fungsi trigonometri 4.7 Kontinuitas

[1] chap 3 [2] chap 3 [3] chap 2

5 Aplikasi turunan 5.1 Fungsi naik dan turun, dan Teorema Nilai Mean

5.2 Titik esktrem fungsi 5.3 Kecekungan

5.4 Penurunan implisit dan laju perubahan 5.5 Increament, differensial, dan pendekatan

linier

[1] chap 4 [2] chap 4 [3] chap 3

6 Integral 6.1 Antiturunan dan Masalah nilai awal 6.2 Notasi sigma

6.3 Limit jumlahan Riemann dan integral 6.4 Mengevaluasi integral

6.5 Nilai rata-rata fungsi 6.6 Teorema dasar kalkulus

6.7 Pengintegralan dengan substitusi

[1] chap 5 [2] chap 5 [3] chap 4

7 Aplikasi integral 7.1 Mengembangkan integral [1] chap 6

7.3 Volume benda putas 7.4 Panjang kurva

7.5 Luas permukaan benda putar

[3] chap 5

8 Fungsi transenden 8.1 Fungsi logaritma alam dan eksponensial 8.2 Fungsi-fungsi trigonometri dan inversenya 8.3 Fungsi-fungsi hiperbolik dan inversenya

[1] chap 7 [2] chap 7, 8 [3] chap 6 9 Teknik

pengintegralan

9.1 Pengintegralan dengan substitusi 9.2 Integral trigonometri

9.3 Pengintegralan dengan rasionalisasi 9.4 Pengintegralan bagian demi bagian 9.5 Pengintegralan fungsi rasional

[1] chap 8 [2] chap 9 [3] chap 7

10 Bentuk tak tentu dan integral tak wajar

10.1 Bentuk-bentuk tak tentu

10.2 Integral tak wajar: batas tak hingga 10.3 Integral tak wajar: integrand tak hingga

[1] chap 9 [2] chap 8 [3] chap 7

Rujukan

Utama

[1] Varberg, Dale; Edwin J. Purcell; Steven E. Rigdon. Calculus, 8^th Edition, Prentice Hall Inc, 2000

Penunjang

[2] Edwards, Henry C., Davis E Penney, Calculus with Analytic Geometry 5^th Edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 1998

[3] Finney, Ross L., Maurice D. Weir; Frank R. Giordano (ed),Thomas’ Calculus, Addison Wesley Publ. Co. 2001

BAB IV

MATRIKS KEGIATAN

Metode pembelajaran:

1. Kuliah Interaktif (KI) 2. Tutorial (T)

3. Diskusi Kelompok (DK) 4. Tugas Individu (TI) 5. Tugas Kelompok (TK)

Sumber Pembelajaran 1. Buku Teks

2. Handout 3. Internet 4. Manual Matlab

Media Instruksional 1. Whiteboard

2. OHP

Matriks Kegiatan Perkuliahan

Sasaran Pembelajaran

Metode Pemelajaran Minggu Tanggal

Termin al

Penunjang O L U

Pokok Bahasan Media

1 1 KI T, TI TI System Bil

2 2 KI T, TK Q ^fungsi

3 3 KI T, TI TI Limit fungsi

4 4, 5, 6 ^{Limit dan}

kontinuitas

5 7 KI T, TI TI ^turunan

6 8, 9 KI T, TI TI Aplikasi turunan:

perilaku grafik, maks min 7

1

10, 11, 12

KI T, TI Q Aplikasi turunan dalam beberapa

bidang

8 ^UTS

9 13 KI T, TI TI ^Integral

10 14, 15 KI T, TI Q Aplikasi integral

11 16, 17,18 DK TK TK Aplikasi integral

12 12, 13 KI TK TK,

pleno

Teknik pengintegralan

13 19 TK TK TK Fungsi-fungsi

transenden

14 19, 20 KI T, TI TI Turunan dan

integral fungsi transenden

15 20, 21 KI KI KI Bentuk-bentuk

tak tentu

16 UAS

Matriks Kegiatan Tutorial

Pertemuan Tangggal Jam Kegiatan Subpokok

Bahasan

Penanggung

jawab Ruang

1 2 3 4 5 6 7

8 UTS

9 10 11 12 13 14 15

16 UAS

8

BAB V

CONTOH TUGAS LATIHAN

Tugas Individu

Pokok bahasan Bahan Tugas Individu Keterangan

1. Sistem bilangan nyata

Mengidentifikasi sifat-sifat bilangan nyata, menjelaskan sifat operasi bilangan nyata, konvensi yang berlaku dengan operasi bilangan nyata tertentu, menyatakan himpunan dalam beberapa notasi, menyelesaikan pertaksamaan.

2. fungsi Menjelaskan pentingnya fungsi dalam kehidupan sehari-hari dan matematika, menjelaskan jenis fungsi, test garis vektikal

3. limit Mengevaluasi/ mengevaluasi limit

4. turunan Menjelaskan makna geometris turunan fungsi, mengevaluasi turunan fungsi, menjelaskan teorema penting dan aplikasinya

5. aplikasi turunan Menentukan sifat grafik fungsi lewat turunan pertama dan ke dua, menghitung nilai rata-rata fungsi, menentukan titik ekstrem

6. integral menentukan anti turunan fungsi, menjelaskan proses pengembangan integral tertentu dan contohnya

7. aplikasi integral Menghitung besaran-besaran tertentu.

8. fungsi transenden Menentukan grafik inverse fungsi, 9. teknik

pengintegralan

Membuat prosedur umum pengevaluasian integral, menentukan integral tak tentu dengan berbagai teknik

10. bentuk tak tentu dan integral tak wajar

Mengevaluasi kapan aturan L’Hopital dapat diterapkan, mengevaluasi integral tak wajar dengan limit, menentukan limit bentuk-bentuk tertentu

Topik Diskusi dan Tugas Kelompok

Pokok bahasan Bahan Diskusi Kelompok

7. Aplikasi Integral Anda diminta membuat prosedur umum penggunaan integral tertentu untuk menghitung besaran yang terkait dengan perubahan yang mengikuti sebuah fungsi. Jelaskan rincian

prosedur tersebut untuk menghitung besaran berikut: luas daerah diantara dua kurva dan dua garis vertical, volume benda putar (dengan dua pendekatan), panjang kurva, massa, pusat massa, dan satu aplikasi lain yang serupa.

10

BAB VI

EVALUASI HASIL PEMELAJARAN

Bentuk/jenis instrumen

1. Tugas individu (essay: penyelesaian soal secara aljabar, manual, atau dengan komputer)

2. Tugas Kelompok (laporan hasil diskusi, penyelesaian soal secara berkelompok)

3. Kuis (isian singkat, pilihan ganda)

4. Ujian Tertulis (essay, jawaban singkat, pilihan ganda)

Skema Penentuan Nilai Akhir

No Komponen Bobot

1. Tugas Individu (10 kali) 10%

2. Tugas Kelompok (1 kali) 5%

3. Kuis (2 kali) 20%

5. Ujian Tengah Semester ( 1 kali) 30%

6. Ujian Akhir Semester 35%

Total 100%

Kisi-kisi naskah UTS

Ranah Kognitif Instrumen Jumlah soal bobot

K4 Extended response essay (menentukan, menerapkan,

memilih/ menilai prosedur-prosedur penyelesaian, memberi

argumentasi)

2 50%

K3 Restricted response essay

(menghitung, menginterpresikan, imengidentifikasi, mengklasifikasi)

2 30%

K5 Pilihan ganda (menganalisa, menilai, memilih)

5 20%

Jumlah 9 100%

Kisi-kisi naskah UAS

Ranah Kognitif *) Instrumen Jumlah

soal

bobot

K3-K6 Extended response essay (menentukan, menerapkan, memilih/ menilai prosedur- prosedur penyelesaian, memberi argumentasi)

2 50%

K3-K5 Restricted response essay (menghitung,

menginterpresikan, imengidentifikasi, mengklasifikasi)

3 30%

K6 Pilihan ganda (menilai, memilih)

5 20%

Jumlah 10 100%

*) Bloom’s Taxonomy

12

BAB VII

CONTOH SOAL-SOAL UJIAN

FAKULTAS ILMU KOMPUTER UNIVERSITAS INDONESIA

Ujian Tengah Semester

Kalkulus 1

Tanggal : 26 Maret 2006 Waktu : 100 menit

Sifat : closed book, tanpa kalkulator Dosen :Heru Suhartanto

Kasiyah M. Junus

Petunjuk:

• Baca baik-baik semua soal, sebelum menjawabnya.

• Pergunakan sifat-sifat penting yang mempermudah perhitungan /evaluasi

• Bobot setiap soal adalah sama (10).

• Ketelitian dan kecermatan sangat diperlukan.

• JAWABAN langsung ditulis di LEMBAR SOAL. Aturlah ukuran huruf Anda supaya tempat yang disediakan mencukupi.

1. Seorang petani ingin memagari tiga petak sawahnya yang berbentuk persegi

panjang. Ketiga petaksawah tersebut mempunyai ukuran yang sama dan luasnya 300 m². Berapa panjang dan lebar petak tersebut agar pagar yang dibutuhkan

panjangnya minimum?

2. Jika f(x)= x², g(x)=x−2, maka

a. f ²(r)g(r)= …..

b. (g of)(t) = ….

c. domain dari fungsi ( ) ) (

x g x

f adalah ………….

3. Tunjukkan bahwa jumlahan dua bilangan rasional adalah bilangan rasional .

4. Tentukan nilai limit fungsi h(x) berikut ini (jika ada). Jika tidak ada berikan penjelasan.

a. | 1|

) 1

( −

= − x x x

h , untuk x→1

b.

) (

) ) (

( 2

x f

x x g

h = , untuk x→c^{, dengan f x L g x K}

c x c

x = =

→

→ ( ) , lim ( ) lim

f(c)≠0

5. Kesimpulan apa yang dapat diperoleh mengenai grafik fungsi y = f(x) jika dilakukan test turunan pertama pada f ’(x) di titik-titik kritis dari f ’(x).

6. Apakah Test Turunan Kedua dapat membedakan titik ekstrem lokal dari ekstrem global? Kapan Test Turunan Kedua tidak memberikan informasi apa-apa? Jelaskan

7. Diberikan grafik fungsi f ’(x) pada interval [-4 , 6]

-3 -2 -1 1 2 3 4 5

a. Tentukan selang (interval) dimana f naik dan turun.

b. Tentukan untuk x berapa grafik fungsi y = f(x) mempunyai titik belok (inflection point)?

c. Tentukan untuk x berapa f mencapai titik ekstrem?

Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan melingkari huruf yang sesuai.

8. Berikut ini adalah grafik fungsi y = f(x). Tentukan grafik mana yang merupakan grafik fungsi yang mempunyai inverse.

(A) (B) (C) (D)

9. Diasumsikan bahwa setiap grafik berikut ini adalah grafik dari fungsi polinomial.

(1) (2) (3) (4) Urutan grafik berdasarkan derajat (polinomoal) terkecil yang mungkin adalah:

A. (1) (4) (3) (2) B. (2) (3) (4) (1) C. (3) (1) (2) (4) D. (1) (3) (4) (2)

10. Nyatakanlah apakah pernyataan berikut benar atau salah, dan berikan penjelasannya a. Jumlah dua fungsi genap adalah fungsi genap

b. Jumlah dua fungsi ganjil adalah fungsi ganjil

c. Perkalian fungsi genap dan fungsi ganjil adalah fungsi ganjil

d. Komposisi dua fungsi ganjil adalah fungsi genap