Kalkulus Multivariabel I
Integral dalam Ruang Berdimensin:
Integral Lipat-Dua atas Persegi Panjang
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
Pendahuluan
Masalah-masalah yang dipecahkan dengan menggunakan
integral pada ruang berdimensin memiliki prinsip yang sama
dengan integral pada satu variabel
Kita akan menggunakan integral lipat untuk menghitung volume benda padat, luas permukaan, dan pusat massa dari
lapisan tipis (lamina), dan benda-benda padat dengan
berbagai kerapatan
Ingat kembali mengenai integral Riemann pada fungsi satu variabel
di mana kita membagi interval [a,b] menjadi interval-interval kecil
dengan panjang ∆xk,k = 1,2, . . . ,n, berdasarkan partisi p:x1<x2 < . . . <xk mengambil sebuah titik contoh ¯xk dari
interval ke-k, kemudian
b
Z
a
f(x)dx = lim |p|→0
n
X
k=1
Integral Lipat-Dua
Misalkanf(x,y) kontinu pada himpunan berbentuk persegi
panjangR yaitu
R={(x,y) :a≤x≤b,c ≤y ≤d}
Bentuk partisip pada himpunan R yaitu garis-garis yang sejajar
dengan sumbux dan sumbu y menjadi persegi panjang-persegi
panjang kecil dengan panjang sisi-sisinya masing-masing ∆xk dan
Misalkan luas persegi panjang ke-k yaitu ∆Ak = ∆xk∆yk. Pada
persegi panjangRk ambil sebuah titik ( ¯xk,y¯k) sehingga dapat
ditentukan bentuk jumlah Riemann-nya yaitu
n
X
k=1
Definisi: Integral Lipat-Dua
Misalkanf adalah fungsi dengan dua peubah yang didefinisikan
pada sebuah persegi panjang tertutupR. Jika
lim
ada, makaf dapat diintegralkan di R.
RR
R
f(x,y)dA disebutintegral lipat-dua darif atas R dan dapat
Contoh:
HampirilahRR
R
f(x,y)dA berikut dengan menghitung jumlah
Riemann di mana
f(x,y) = 64−816x+y2 dan R ={(x,y) : 0≤x ≤4,0≤y≤8}
Titik-titik contoh yang diperlukan dan nilai-nilai yang berhubungan pada fungsi tersebut adalah sebagai berikut
Teorema Keterintegralan
Jikaf terbatas pada suatu persegi panjang tertutupR dan jika
fungsi ini kontinu diR, kecuali pada sejumlah hingga kurva mulus,
makaf dapat diitegralkan pada R. Secara khusus, jikaf kontinu
Sifat-Sifat Integral Lipat-Dua
1. Bersifat linear
a. RR
2. Bersifat aditif (penjumlahan) pada daerah yang saling tumpang tindih hanya pada sebuah ruas garis
3. Perbandingan pada integral lipat-dua, jika f(x,y)≤g(x,y) untuk seluruh (x,y) diR, maka
Z Z
R
f(x,y)dA≤
Z Z
R
Perhitungan pada Integral Lipat-Dua
Jikaf(x,y) = 1 diR maka integral lipat-dua merupakan luas dari
R,
Misalkanf adalah fungsi tangga, yaitu misalkan
Penyelesaian:
Buat persegi panjangR1,R2, dan R3 sebagai berikut
R1 ={(x,y) : 0≤x ≤3,0≤y ≤1}
R2 ={(x,y) : 0≤x ≤3,1≤y ≤2}
Latihan
1. Misalkan R={(x,y) : 1≤x≤4,0≤y ≤2}, hitung
RR
R
f(x,y)dA di mana f(x,y) =
2 1≤x ≤3,0≤y ≤2
3 3≤x ≤4,0≤y ≤2
2. Misalkan:
R={(x,y) : 0≤x≤2,0≤y ≤2}
R1 ={(x,y) : 0≤x ≤2,0≤y ≤1}
Misalkan pula: RR
3. HitunglahRR
R
(1 +x)dA di mana
R ={(x,y) : 0≤x ≤2,0≤y ≤1}. (Petunjuk: sketsalah
Pustaka
Purcell, E. J & D. Vanberg, 1999. Terjemahan, Kalkulus dan
Geometri Analitis, Jilid 1 dan 2. Jakarta : Erlangga.
Spiegel. M. & Wrede R.C. 2002. Theory and Problem of
Advanced Calculus. Schaum Outline Series. New York: Mc Graw-Hill.
Purcell, E. J & D. Vanberg, 2003. Terjemahan, Kalkulus ,
Jilid 2. Jakarta : Erlangga.
Mendelson, Elliot, 1988. Schaum’s Outlines, 3000 Solved
