a. Integral Lipat Dua atas Daerah Persegi Panjang

1. Bentuk partisi [a,b] dan [c,d] menjadi n bagian.

2. Pilih pada setiap sub interval pada [x_i, x_i-1] dan [y_i, y_i-1]

3. Bentuk jumlah Riemann.

4. Jika n   (|P| 0) diperoleh limit jumlah Riemann.

Jika limit ada, maka z = f(x,y)

Z=f(x,y) x y z b a R c d x_k y_k ) , (x_k y_k



   n i n i k k k y A x f 1 1 ) , (



     n i n i k k k n f x y A 1 1 ) , ( lim

Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada R merupakan suatu persegi panjang tertutup, yaitu : R = {(x, y) : a  x  b, c  y  d} ) y , x ( _{k k}

Definisi integral lipat dua :

Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang

terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R.



   n k k k k P f x y A 1 0 ( , ) lim

Jika ada, kita katakan f dapat diintegralkan pada R. Lebih lanjut







R R dxdy y x f dA y x f ( , ) ( , )





R

dA

y

x

f

(

,

)



 



n k k k k P

f

x

y

A

1 0

(

,

)

lim

yang disebut integral lipat dua f pada R diberikan oleh : 



R dy dx y x f ( , )



    n k k k k k P f x y x y 1 0 ( , ) lim atau

Jika z = f(x,y) kontinu, f(x,y)  0 pada persegpanjang R, maka



R

dA

y

x

f

(

,

)

menyatakan volume benda padat yang

terletak di bawah permukaan permukaan z = f(x,y) dan di atas R.

Jika f(x,y)



0 pada R, maka volume dapat dihitung

dengan metode irisan sejajar, yaitu:

(i) Sejajar bidang XOZ

y x z z= f(x,y) c a b d a b z x A(y)





b a

dx

y

x

f

y

A

(

)

(

,

)

A(y)







d c R

dy

y

A

A

d

y

x

f

(

,

)

(

)

 















d c b a

dy

dx

y

x

f

(

,

)





d c b a

dy

dx

y

x

f

(

,

)

Maka



R

dA

y

x

f

(

,

)





d c b a

dy

dx

y

x

f

(

,

)

(ii) Sejajar bidang YOZ

y x z z= f(x,y) c a b d c d z y A(x)





d c

dy

y

x

f

x

A

(

)

(

,

)

A(x)







b a R

dx

x

A

A

d

y

x

f

(

,

)

(

)

 

_













b a d c

dx

dy

y

x

f

(

,

)





b a d c

dx

dy

y

x

f

(

,

)

Maka



R

dA

y

x

f

(

,

)





b a d c

dy

dx

y

x

f

(

,

)

1. Hitung integral lipat dua berikut ini :









R dA y x2 2 2 dimana R = {(x,y) | 0  x  6, 0  y  4} Jawab:







 R dA y x2 2 2 









6 0 4 0 2 2 2y dydx x



        6 0 0 4 3 2 3 2 dx y y x



      _  6 0 2 3 128 4x dx 0 6 3 3 128 3 4 x x    288256  544 R 6 4 y x







 R dA y x2 2 2 









4 0 6 0 2 2 2y dxdy x



_  _  4 0 0 6 2 3 2 3 1 dy xy x







  4 0 2 12 72 y dy 0 4 3 4 72x  x   288 256 544 Atau,

2. Hitung integral lipat dua berikut ini :









R dA y x sin dimana R = {(x,y) | 0  x /2, 0  y  /2} R /2 /2 y x Jawab:







 R dA y x sin





/ 2 / 2 0 0 sin x y dx dy   

 

 / 2 / 2 0 0 cos(x y) dy  _  _  _  _  



 

/ 2 0 cos cos 2 y y dy  _{  }    _ _  _ _    



2 / 0 2 / 0 2 sin sin  



         y y

 

sin sin sin 2.

2 2

 _ 

   

 _{ }   _{ } 



1  0 1 0 2 2 . xye dy dx a x y

 

 

 2 0 1 1 2 . xy dy dx b



1 _ 0 2 0 2 1 . dy dx x y c 1. Hitung 2.



 

R dy dx y x f , untuk fungsi

a. f(x,y)= (x + 2y)2 dengan R = [-1, 2] x [0, 2] b. f(x,y)= x2 _{+ y}2 dengan R = [0, 1] x [0, 1]

Misalkan f(x,y) dan g(x,y) terdefinisi di persegipanjang R 1.



 





 

R R dA y x f k dA y x f k , , 2.





   









 





 

R R R dA y x g dA y x f dA y x g y x f , , , , 3. Jika R = R₁ U R₂ , maka

 

_

 

_

 



  2 1 , , , R R R dA y x f dA y x f dA y x f

4. Jika f(x,y)  g(x,y), maka

 

_

 



 R R dA y x g dA y x f , ,

Ada dua jenis :

◦

Jenis I (x konstan)

D = {(x,y) | a



x



b , p(x)



y



q(x) }

◦

Jenis II (y konstan)

Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut : D a _b x q(x) p(x) y

 





b a x q x p D

dx

dy

y

x

f

dA

y

x

f

) ( ) (

)

,

(

)

,

(

D={(x,y)| axb, p(x)yq(x)} x y

Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :

 





d c y s y r D

dy

dx

y

x

f

dA

y

x

f

) ( ) (

)

,

(

)

,

(

D={(x,y)|r(y)xs(y), cyd} x y D c d r (y) s (y) x

 Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua tergantung dari bentuk D (daerah integrasi).

 Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlu merubah urutan pengintegralan. Hal ini dapat disebabkan dengan perubahan urutan pengintegralan akan memudahkan dalam proses integrasinya.

 Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapat

menggambarkan daerah integrasi, selanjutnya kita dapat merubah urutan integrasi dengan mengacu pada sketsa daerah integrasi. (pandang daerah integrasi sebagai daerah jenis I atau jenis II)

1. Hitung







R x dA e y 2 ,R dibatasi x= y2, y =1, sumbu y x R







R x dA e y 2 

 





1 0 0 2 2 y x dy dx e y



 1 0 0 2 2yex y dy







  1 0 1 2y ey2 dy





x y x = y2 1 1 R = {(x,y)| 0 x y2_{, 0  y  1}}

Atau dibalik urutan pengintegralannya, yaitu: R







R x dA e y 2 

 





1 0 1 2 x x dx dy e y



 1 0 1 2 dx y e x x



  1 0 dy xe ex x





1 0 x x x e xe e    R = {(x,y)| 0 x 1, x  y  1} y x y x = y2 1 1 2 ) 1 1 ( 2       e e e

 

4 0 2 2 2

.

2

e

dy

dx

x y

Daerah integrasinya R = {(x,y)| 0 x 4, x/2  y  2} Jawab: x R x y y = x/2 4 2 y

Diubah urutan pengintegralannya, yaitu: R = {(x,y)| 0 x 2y, 0  y  2} Sehingga

 

4 0 2 2 2

dx

dy

e

x y



 

2 0 2 0 2

dy

dx

e

y y





2 2 0 2

dy

x

e

y y x=2y

 

 3 1 3 3

.

1

x

e

dx

dy

y y y

 

2 0 0

sin

cos

.

2



dx

dy

x

x

y



1  0 1 2

.

5

e

dy

dx

x y 3 4 2 0

6.

x y

e

dx dy

 



1

_

0 2 0 2

1

.

3

dy

dx

x

y

 

2



0 2 0

)

sin(

.

4

 

dy

dx

y

x





 

2 



0 4 0 2

.

7

x

y

dy

dx

x

 

2 0 0 cos sin . 8  dx dy x x y

Hitung



 D y x

dA

e

2 2 , D={(x,y)|x2+y24}

Dalam sistem koordinat kartesius, integral ini sulit untuk diselesaikan.

Sistem Koordinat Polar



r P(r,)

y

=0

Hubungan Kartesius – Polar x = r cos  x2_+y2_=r2 y = r sin 

Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada persegipanjang polar D D={(r, )| a  r  b,     }

?

)

,

(





D

dA

y

x

f

Sumbu Polar/Kutub A_k r=b r=a = = D A_k r_k-1 r_k 

Pandang satu partisi persegi panjang polar A_k

Luas juring lingkaran dengan sudut pusat  adalah ½ r2_

A_k = ½ r_k2 _{ - ½ r} k-12  = ½ (r_k2 _{- r} k-12)  = ½ (r_k + r_k-1) (r_k - r_k-1) = r r 

1. Hitung

Sehingga







p k D D

d

dr

r

r

r

f

dA

y

x

f

(

,

)

(

cos



,

sin



)





 D y x

dA

e

2 2 , D={(x,y)|x2+y24} Contoh: 2. Hitung



D dA

y , D adalah daerah di kuadran I di dalam lingkaran x2_+y2_{=4 dan di luar x}2_+y2₌₁



 D y x

_dA

e

2 2

.

1

dengan D = {(x,y)| x2_+y2_{ 4}}

D adalah daerah di dalam lingkaran dengan pusat (0,0) jari-jari 2. D = {(r,)| 0  r  2, 0    2} Sehingga



 D y x

dA

e

2 2



 





2 0 2 0 2

d

dr

r

e

r



4



1







e



_

















2



0 2 0 2

2

1

d

e

r















_



2



0 4

2

1

2

1

d

e

2 2 x y D r  Jawab.



D

dA

y

.

2

dengan D adalah persegipanjang polar

di kuadran I di dalam lingkaran x2_+y2₌₄ di luar x2_+y2₌₁ D = {(r,)| 1  r  2, 0    /2} Sehingga



D

dA

r



 

2 / 0 2 1

sin







r

dr

d

r





















/2 0 2 1 3

sin

3

1







d

r





/2

1

 2 1 _x y D r 

1. Hitung

 

1 

_

_

0 1 0 2 2 2

4

x

dx

dy

y

x

2. Hitung

 





1 0 1 0 2 2 2

)

sin(

y

dy

dx

y

x

3. Tentukan volume benda pejal di oktan I di bawah

paraboloid z = x2_+y2 _{dan di dalam tabung x}2 _{+ y}2 _{= 9} dengan menggunakan koordinat polar/kutub.

1.

D={(r,



)|



₁

(



)



r

 

₂

(



),

    

}

2.

D={(r,



)| a



r



b,



₁

(r)

   

₂

(r)}

Sumbu Polar r=₂() r=₁() = = D Sumbu Polar r=b r=a =₂(r) =₁(r) D

1 ₂ 1

D={(r, )| 0  r  2 cos



,– /2    /2} Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat di (1,0) dan berjari-jari 1

D Jadi, (x – 1)2 _{+ y}2 _{= 1} x2 _{– 2x + 1 + y}2 _{= 1} x2 _{+ y}2 _{= 2x} r2 _{= 2r cos}



r2 _{– 2r cos}



₌₀ r (r – 2 cos



)=0 r = 0 atau r = 2 cos



Untuk batas



(dari gambar)



=– /2 



= /2 Sehingga,

=/4

1 _{2 x}

y

D

y



0



y



2

x



x

2

ini merupakan lingkaran pusat (1,0), jari-jari 1 Untuk batas r dihitung mulai

x = 1 r cos



= 1 r = sec



Untuk batas



(dari gambar)



=0 



= /4 hingga r = 2 cos



2

1







x

x

Batas x: Batas y: 2 2

2

x

x

y







x

2



2

x



y

2



0





1



2



2



1



x

y

D={(r, )| 0  r  2 sin



,0 



 }

1 1

2 Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan

pusat di (0,1) dan berjari-jari 1 Jadi, x2 _{+ (y – 1)}2 _{= 1} x2 _{+ y}2 _{– 2y + 1 = 1} x2 _{+ y}2 _{= 2y} r2 _{= 2r sin}



r2 _{– 2r sin}



₌₀ r (r – 2 sin



)=0 r = 0 atau r = 2 sin



Untuk batas



(dari gambar)



=0 



= 

1

1

D={(r,



)| 0  r  sec



,0 







/4}

x = 0  x = 1 y = 0  y = x

Sehingga koordinat polarnya adalah Untuk batas r

x = 1 r cos



= 1 r = sec



Untuk batas



(dari gambar)



=0 



= /4 D

1. Hitung

_{ }

  2 1 2 0 2 2 2 1 x x dydx y x

Jawab: Dari soal terlihat batas untuk x dan y: x = 1  x = 2

y = 0  y = _{2x  x}2

y2 _{= 2x – x}2 _x2 _{+ y}2 _{– 2x = 0} (x – 1)2 _{+ y}2 _{= 1}

ini merupakan lingkaran dengan pusat (1,0), jari-jari 1

=/4

1 2 x

y

D

D dalam koordinat polarnya adalah

 

2 

_

1 2 0 2 2 2

1

x x

dx

dy

y

x

 



/4 0 cos 2 sec

.

1

  



d

dr

r

r





/4 0

tan

sec

ln

sin

2















 





4 / 0 cos 2 sec   

d



r











4 / 0

sec

cos

2









d

Sehingga,

 

 

 



2

sin

0

ln

sec

0

tan

0



4

tan

4

sec

ln

4

sin

2

_





































































1. Hitung



S

d dr

r  , S daerah dalam lingkaran

dan di luar 2. Hitung 1 1 2 0 x

x dy dx



3. Hitung



  D dA y x2 2

4 , D daerah kuadran I dari lingkaran x2_+y2_{=1 antara} y=0 dan y=x

(dengan koordinat polar)

4. Hitung



_{ } D dA y x2 2 9

1 _{, D daerah di kuadran I dalam} lingkaran dan di luar

lingkaran 4 2 2   y x 1 2 2   y x 4 ) 2 (x 2  y2  4 2 2   y x

1.

Partisi balok B menjadi n bagian; B₁, B₂, …, B_k, …, B_n

Definisikan ||_{|| = diagonal ruang}

terpanjang dari B_k 2. Ambil

3. Bentuk jumlah Riemann

4. Jika |||| 0 diperoleh limit jumlah Riemann

Jika limit ada, maka fungsi w = f(x,y,z) terintegralkan Riemann pada balok B, ditulis

x y z x_k y_k ) z , y , x ( _{k k k} B B_{k zk} k k k k y z B x , , ) ( k n k k k k y z V x f 



   1 0 ( , , ) lim



  n k k k k k y z V x f 1 ) , , ( k n k k k y z V x f dV z y x f 







( , , ) lim ( , , )



v

_k

=



x

_k



y

_k



z

_k

dV = dx dy dz

Sehingga integral lipat dalam koordinat

kartesius:







B B

dz

dy

dx

z

y

x

f

dV

z

y

x

f

(

,

,

)

(

,

,

)



B

dV yz x2

Hitung dengan B adalah balok dengan ukuran B = {(x,y,z)| 1  x  2, 0  y  1, 1  z  2} Jawab.



B dV yz x2 



x yz dxdydz 2 1 1 0 2 1 2 dz dy x yz



       2 1 1 0 2 1 3 3 1 dz y z



       2 1 1 0 2 2 1 3 7 2 2 2 1 6 7        z 4 7 

 Pandang S benda padat yang terlingkupi oleh balok B, dan definisikan nilai f nol untuk luar S (gb. 1)

z B S



S dV yz x2

 Jika S dipandang sebagai

himpunan z sederhana (gb.2) (S dibatasi oleh z=₁(x,y) dan

z=₂(x,y), dan proyeksi S pada bidang XOY dipandang sebagai daerah jenis I) maka:

 Catatan:

Jika f(x,y,z) = 1, maka menyatakan volume benda pejal S

  





b a x x y x y x S

dx

dy

dz

z

y

x

f

dV

z

y

x

f

) ( ) ( ) , ( ) , ( 2 1 2 1

)

,

,

(

)

,

,

(

   



S dV z y x f ( , , ) x y z S S_xy b a y=₂(x) y=₁(x) z=₂(x,y) z=₁(x,y) (gb. 2)



        2 0 0 2 2 2 1 2 x dx dy x xy



      _{ }  2 0 0 2 4 2 2 1 4 1 2 4 x x y dx x x



      _{ }  2 0 7 5 3 8 1 2x x x dx 2 8 6 4 1 1 1 _{ }  Hitung

 

 2 0 0 2 1 2 0 2 2 x x dx dy dz xyz Jawab :

 

 2 0 0 2 1 2 0 2 2 x x dx dy dz xyz

 

/2





0 0 0

)

sin(

 z y

dxdydz

z

y

x

Hitung