Integral lipat dua pada daerah persegi panjang

001

Integral lipat dua pada daerah persegi panjang

y

Dxi

y=f(x)

0 a ci b x

Luas D= _N

0

[ , ]a b f x dx( )

≥

Ú

¾ Integral tunggal Integral dari fungsi kontinu y =

f(x) pada selang tutup [a,b] didefinisikan sebagai

1

[ , ] ( ) ( ) || ||lim0 ( )

b _n

i i i

a b a P

f x dx f x dx f c x

= Æ

= =

Â

D

Ú

Ú

,

P={a=x₀,x₁,º,xn=b} suatu partisi untuk [a,b], ciŒ[xi-1,xi], Dxi=xi-xi-1, dan

1

|| || maks _i

i n

P x

£ £

= D .

z

z=f(x,y)

y

R x dA

N

0

Volum ( , )

R

B f x y dA

≥ =

ÚÚ

y

d

c

0 a dA b x

¾ Integral lipat dua Integral lipat dua dari fungsi

kontinu z = f(x,y) pada persegi panjang tutup R = {(x,y):a£x£b,c£y£d} didefinisikan sebagai

1

|| || 0

( , ) lim n ( , )_{i i i} i

R f x y dA= _P Æ

Â

= f c d DA

ÚÚ

,

Psuatu jaring untuk R, (c_i,d_i)Œkomp.jaring ke-i,

DA_i = Dx_iDy_i, dan

1

|| || maks _i i n

P A

£ £

= D .

¾ Integral berulang Integral lipat dua ( , )

R f x y dA

ÚÚ

dihitung dengan menyatakannya sebagai

( , ) b d ( , ) d b ( , )

R f x y dA= a c f x y dydx= c a f x y dxdy

ÚÚ

Ú Ú

Ú Ú

.

Integral lipat dua pada daerah bukan persegi panjang rahD.(gambar kiri)Daerah D dibatasibeberapakurvakontinu dandapat dibingkai oleh persegi panjang R = {(x,y):a£x£b,c£y£d}.

¾ Daerah tipe-1 Proyeksi D terhadap sumbu x adalah selang tutup [a,b],

batas bawahnya kurva kontinu y = a(x) dan batas atasnya kurva kontinu y= b(x), yaitu D = {(x,y):a£x£b,a(x)£y£b(x)}. (gambar tengah)

batas bawahnya kurva kontinu x = g(y) dan batas atasnya kurva kontinu x = d(y), yaitu D = {(x,y):c£y£d,g(y)£x£d(y)}. (gambarkanan)

¾ Integral berulang pada daerah tipe-1 dapat diubah ke daerah tipe-2 de-ngan cara mencari invers batas daerahnya.

¾ Bentuk limit jumlah integral lipat dua pada daerah tipe-1 dan tipe-2

Arti geometri integral lipat dua pada daerah bukan persegi panjang

Integral lipat dua untuk menghitung luas daerah Untuk menghitung

luas daerah D tipe-1 dan tipe-2 ambillah z = f(x,y) = 1, maka secara nu-merik volum benda yang dihasilkan sama dengan luas daerah D.

Contoh Gambarkan daerah pengintegralan 2 4₂ 3 4 2

0 x

I=

Ú Ú

x x +y dydx,

ubahlah urutan integralnya kemudian hitunglah I.

y

y= 4

3

y=x2

2

x= 0 x= y

0 1 2 x

Daerah pengintegralan

¾ Dari bentuk 2 4₂ 3 4 2

0 x

I=

Ú Ú

x x +y dydx diperoleh

ren-tang x dari 0 sampai 2, batas atasnya garis y=4, dan batas bawahnya parabol y= x2. Jadi daerah pengin-tegralan I adalah

D = {(x,y):0£x£2, x2£y£4}, yang diperlihatkan gambar di samping.

¾ Untuk mengubah urutan integralnya, proyeksi dae-rah D diubah dari ke sumbu x menjadi ke sumbu y. Hasilnya adalah rentang y dari 0 sampai 4, batas ki-rinya adalah sumbu y (garis x=0), dan batas kanan-nya adalah invers fungsi y=x2.

¾ Karenainversdari y=x2, 0£x£2adalah x = y , 0£y£4, maka daerah D dapat ditulis dalam bentuk

D = {(x,y):0£y £4, 0£x£ y}.

¾ Jadi perubahan urutan integral I adalah

2

2 4 _{3 4 2} 4 _{3 4 2}

0 0 0

y

x

I =

Ú Ú

x x +y dydx =

Ú Ú

x x +y dxdy.

¾ Integral I adalah

(

)

( ) ( )

(

)

(

)

(

)

4 _{3 4 2} 4 _{4 2 4 2}

0 0 0 0

3/ 2 3/ 2 3/ 2

4 _{4 2} 4 _{2 2}

0 ₀ 0

4 _{3 3} 4 ₃

0 0

1 4

1 2 1

4 3 6

1 1 2

6 6 3

( )

2

2 2 2 2 1 10 2 2 1 .

y y

y

I x x y dxdy x y d x y dx

x y dy y y dy

y y dy y dy

= + = + +

Ê ˆ Ê ˆ

= _Ë + _¯ = _Ë - _¯

= - = - =

-Ú -Ú

Ú Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

¾ Catatan Dalam kasus ini integralnya lebih mudah dihitung dengan cara

diatas karenafungsiprimitif dari u(y)=

Ú

x3 x4+y dy2 sukarditentukan.

4

1

Contoh Hitunglah volum benda padat yang dibatasi tabung x2+y2=a2 dan tabung x2+z2=a2.

z

x2+y2=a2

a x2+z2=a2

a y

a

x

z

_{z= a}2_-x2

a y

a x2+y2=a2

Benda B1 di oktan pertama Volum B= 8 kali volum B1

y

a y= a2-x2

0 a x

Daerah pengintegralan untuk benda B1 ¾ Pada gambar kiri diperlihatkan dua tabung yang beririsan dengan kedua

sumbu berpotongan di titik asal (0,0,0). Irisan kedua tabung adalah ben-da B yang di oktan pertama diperlihatkan gambar kiri.

¾ Pada gambar tengah diperlihatkan irisan kedua tabung di oktan pertama. Benda B₁ terletak di bawah permukaan tabung z = a2-x2 dan di atas lingkaranx2+y2=a2dibidang xoy yang terletak di kuadran 1. Volum ta-bung yang akan dicari sama dengan 8 kali volum benda B1.

¾ Padagambar kanan diperlihatkan daerah pengintegralan untuk bendaB₁, yaitu daerah D di kuadran pertama yang dibatasi lingkaran x2+ y2 =a2. Daerah D dapat dituliskan dalam bentuk

2 2

{( , ) : 0 , 0 }

D = x y £ £x a £ £y a -x

¾ Volum benda B yang dibatasi dua tabung adalah

(

)

(

) (

)

2 2

2 2

2 2

1 _{0 0}

2 2 2 2 2 2

0 0 0

2 2 2 3 3 3 3

0 ₀

1 1 1

3 3 3

8 volum 8

8 8

8 8 8 5 .

a a x

a a x a

a a

V B a x dy dx

a x dy dx a x a x dx

a x dx a x x a a a

-= =

-= - = - ◊

-= - = - = - =

Ú Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

0

B1

a

D

x B

y

potongan di (-1,1) dan (2,4) membentuk daerah

2

dan sumbu x. Nyatakan luas D sebagai integral lipat dua dalam dua cara kemudian hitunglah luas D.

y

¾ Proyeksi D pada sumbu y adalah selang [0,4], batas kirinya garis x= y- 2, dan batas kanan-nya kurva x= y. Akibatnya, melihat batas atas dan batas bawahnya di setiap selang ini diperoleh

2

¾ Dengan integral lipat dua yang pertama, luas daerah D adalah

P(r,q)

r radius

vektor

O q

titikkutub sumbukutub y

( 2, 2 3)

P

rP=4

q

-2 -1 0 1 2 x

ttk-ktb sb-ktb

y

y P(r,q)

P(x,y)

r

q x

0 rcosq x

y

2

r =2sinq

1

x2+y2=2y

0 x

y

r=c

c parameter

0 x

y

q=k 0 x

k parameter

Koordinat kutub Sistem koordinat kutub terdiri

dari duakomponen,titik kutubO dansumbukutub

berbentuk sinar dari O ke kanan. Dalam sistem ini titik PŒ\2diidentifikasi sebagai

P(r,q), r = OP dan q =–(OP,sb-kutub). Radius vektor OP ≥ 0; q positif jika berlawanan ja-rum jam dan q negatif jika searah jarum jam.

¾ Ilustrasi Jarak titik P( 2, 2 3)- ke O(0,0)

ada-lah 4 dan q=–(OP,sb-kutub) = ₃2p p+n ,nŒ]. Koordinat kutubnya:P(4,₃2p) (,P 4,-₃4p)," Kaitan koordinat kutub dengan kartesis

P(r,q) P(x,y)

r= x2+y2 x = rcosq q memenuhi y = rsinq cosq = x_r, sinq = y_r

Fungsi dalam kordinat kutub Fungsi dengan

pe-ubahbebasqdanpeubah takbebasr sehingga (r,q) membentuk koordinat kutub dinamakan fungsi da-lam koordinat kutub, ditulis r = f(q).

¾ Ilustrasi Lingkaran x2+y2=2y dalam koordinat

kutub diperoleh dengan penggantian x = r cosq dan y = rsinq. Dari r2=2rsinq diperoleh persa-maan lingkarannya r = f(q) = 2sinq.

¾ Ilustrasi Aturan r = c, c parameter adalah

kelu-arga lingkaran berpusat di (0,0) dan q = k, k pa-rameter adalah keluarga sinar berasal dari (0,0).

Integral lipat dua dalam koordinat kutub

¾ Dengan transformasi integral ke koordinat kutub (x,y)=(rcosq,rsinq) diperoleh

¾ Buatlahjaringuntukkoordinatkutub(lihatgambar)rkonstan(lingkaran) danq konstan (sinar). Pilihlah titik

(

r_i*, *q_i

)

ŒDA_i dengan r_i*=1₂(r_i-1+r_i).

Contoh GambarkandaerahD di kuadran pertama yang terletak dalam

lingkaran x2+y2=2x dan di luar lingkaran x2+y2=2y kemudian hitung-lah luasnya dengan integral lipat dua sistem koordinat kutub.

y

Contoh Hitunglah volum benda padat B yang dibatasi paraboloida

Contoh Hitunglah volum benda padat B yang dibatasi paraboloida

z=x2+y2 dan bidang z=2y.

¾ Proyeksi B pada xoy adalah daerah

Transformasi integral lipat dua ke koordinat kurvilinear

maka transformasi integral lipat dua ke koordinat kutub dapat ditulis

( , ) ke koordinat (u,v) mengikuti pola terakhir sehingga kita mempunyai

( , )

∂ dikenal sebagai determinan Jacobi dan

(u,v) dinamakan koordinat kurvilinear.

Contoh Hitunglah luas daerah di kuadran pertama yang dibatasi oleh

Contoh Jika daerah D di kuadran pertama dibatasi kurva hiperbol

Aplikasi integral lipat dua untuk pusat massa dan momen inersia

¾ Diketahui keping datar D yang rapat massanya di setiap (x,y)ŒD adalah

Ilustrasi Untuk keping D ={( , ):0x y £ £x 2,x y£ £2 }x , jika rapat massa di setiap (x,y)ŒD adalah jarak (x,y) ke (0,0), tentukan pusat massanya.

y