( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú. Ú dx sukar dihitung. ÚÚ ÚÚ ÚÚ. Contoh Hitunglah. Cara lain. e dy sukar dihitung.

(1)

001

Integral lipat dua pada daerah persegi panjang y Dxi y=f (x) 0 a ci b x Luas D= _N 0 [ , ]a b f x dx( ) ≥

Ú

¾ Integral tunggal Integral dari fungsi kontinu y =

f(x) pada selang tutup [a,b] didefinisikan sebagai

1 [ , ] ( ) ( ) || ||lim0 ( ) b _n i i i a b f x dx= a f x dx= P Æ

Â

= f c Dx

Ú

,

P={a=x0,x1,º,xn=b} suatu partisi untuk [a,b],

ciŒ[xi_-1,xi], Dxi=xi-xi-1, dan

1 || || maks _i i n P x £ £ = D . z z=f (x,y) y R x dA N 0 Volum ( , ) R B f x y dA ≥ =

ÚÚ

y d c 0 a dA b x

¾ Integral lipat dua Integral lipat dua dari fungsi

kontinu z = f(x,y) pada persegi panjang tutup R = {(x,y):a£x£b,c£y£d} didefinisikan sebagai

1 || || 0 ( , ) lim n ( , )_i _i _i i R f x y dA= _P Æ

Â

= f c d DA

ÚÚ

,

Psuatu jaring untuk R, (ci,di)Œkomp.jaring ke-i,

DAi = DxiDyi, dan 1 || || maks _i i n P A £ £ = D .

¾ Integral berulang Integral lipat dua ( , )

R f x y dA

ÚÚ

dihitung dengan menyatakannya sebagai

( , ) b d ( , ) d b ( , )

R f x y dA= a c f x y dydx= c a f x y dxdy

ÚÚ

Ú Ú

.

Keduaintegral yang terakhirdikenal sebagai inte-gral berulang. D B 0 c d a b

(2)

Contoh Hitunglah ( 2 2 ) , {( , ): 1 2,1 3} R x - xy dA R= x y - £ £x £ £y

ÚÚ

.

(

)

3 2 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 ₂ ₂ 2 ₂ 1 1 ( 2 ) ( 2 ) (3 9 ) (2 8 ) 6. R x xy dA x xy dy dx x y xy dx x x x x dx x x dx - -- -- = - = -= - - + = - =

-ÚÚ

Ú Ú

Ú

Cara lain

(

)

(

)

( )

2 3 2 3 2 2 3 2 1 1 1 ₁ 3 3 1 1 1 3 8 1 3 3 ( 2 ) ( 2 ) 4 3 1 6. R x xy dA x xy dxdy x x y dy y y dy y dy - -- = - = -= - + + = - =

-ÚÚ

Ú Ú

Ú

Contoh Hitunglah /2 sin

0 0 sin ( )

y

I =

Ú Ú

p p x y e+ dydx.

¾ Ubahlah urutannya dalam dx dy karena

Ú

sin (x y e+ ) sinydy sukar dihitung.

(

)

( )

/2 _sin /2 _sin 0 0 0 0 /2 _sin /2 _sin 0 0 0 /2 /2 sin sin 0 0 sin ( ) sin ( ) ( ) cos ( ) 2cos 2 (sin ) 2 2( 1) 3, 4366. y y y y y y I x y e dydx e x y d x y dy e x y dy e y dy e d y e e p p p p p _p p p p = + = + + = - + = ◊ = = = - ª

Ú Ú

Ú

Contoh Hitunglah 1 2 3 / 0 1 . y x I =

Ú Ú

x e- dx dy

¾ Ubahlah urutannya dalam dy dx karena

Ú

x e-3 y x/ dx sukar dihitung.

( )

1 2 ₃ _/ 2 1 ₃ _/ 2 1 ₂ _/ 0 1 1 0 1 0 1 2 ₂ _/ 2 ₂ _1/ 2 _{2 1/} 2 ₂ 1 0 1 1 1 2 2 _1/ 2 ₂ _1/ 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 ( 1) 1 0,5696 y x y x y x y x x x x x y x x x I x e dx dy x e dy dx x e d dx x e dx x e dx x e dx x dx e d x dx e e e e e - - -- - - -= = = = = - = -= - - = - + = - + + -= - - ª

Ú Ú

Ú

(3)

Integral lipat dua pada daerah bukan persegi panjang y persegi panjang R d c 0 a b x y fungsi y=b(x) fungsi y=a(x) 0 a x b x Daerah D Tipe 1 y d fungsi fungsi x =g(y) x=d(y) g(y) d(y) c 0 x Daerah D Tipe 2

¾ Akan dihitung integral lipat dua dari fungsi kontinu z = f(x,y) pada dae-rahD.(gambar kiri)Daerah D dibatasibeberapakurvakontinu dandapat dibingkai oleh persegi panjang R = {(x,y):a£x£b,c£y£d}.

¾ Daerah tipe-1 Proyeksi D terhadap sumbu x adalah selang tutup [a,b],

batas bawahnya kurva kontinu y = a(x) dan batas atasnya kurva kontinu y = b(x), yaitu D = {(x,y):a£x£b,a(x)£y£b(x)}. (gambar tengah) Integral berulang dari fungsi z= f(x,y) pada daerah D tipe-1 adalah

( ) ( ) ( , ) b x ( , ) D f x y dA a x f x y dydx b a =

ÚÚ

Ú Ú

.

¾ Daerah tipe-2 Proyeksi D terhadap sumbu y adalah selang tutup [c,d],

batas bawahnya kurva kontinu x = g(y) dan batas atasnya kurva kontinu x = d(y), yaitu D = {(x,y):c£y£d,g(y)£x£d(y)}. (gambarkanan) Integral berulang dari fungsi z= f(x,y) pada daerah D tipe-2 adalah

( ) ( ) ( , ) d x ( , ) D f x y dA c x f x y dxdy d g =

ÚÚ

Ú Ú

.

¾ Integral berulang pada daerah tipe-1 dapat diubah ke daerah tipe-2 de-ngan cara mencari invers batas daerahnya.

¾ Bentuk limit jumlah integral lipat dua pada daerah tipe-1 dan tipe-2

1 || || 0 ( , ), ( , ) ( , ) lim ( , ) , ( , ) 0 , ( , ) n i i i i D P f x y x y D f x y dA F c d A F x y x y R D = Æ Œ Ï = D _{= Ì} Œ -Ó

Â

ÚÚ

,

Psuatu jaring untuk R, (ci,di)Œkomp.jaring ke-i,

DAi = DxiDyi, dan 1 || || maks _i i n P A £ £ = D . D _D b (x) a (x) D y

(4)

Arti geometri integral lipat dua pada daerah bukan persegi panjang z S:z=f(x,y), (x,y)ŒD bidang x tetap (//yoz) irisan S dengan bidang x tetap 0 d a y a(x) b(x) daerah D x y bergerak x tetap z S:z=f(x,y), (x,y)ŒD bidang y tetap (//xoz) irisan S dengan bidang y tetap 0 d a y daerah D x y tetap x bergerak Untuk bidang x tetap (a£x£b) yang memotong

daerah D di a(x) dan b(x), luas irisannya adalah

( ) ( ) ( ) x ( , ) x L x b f x y dy a =

Ú

Volum benda padatnya adalah

( ) ( ) ( ) ( , ) b b x a a x V L x dx b f x y dydx a =

Ú

=

Ú Ú

Untuk bidang y tetap (c£y£d) yang memotong daerah D di g(x) dan d(y), luas irisannya adalah

( ) ( ) ( ) y ( , ) y L y d f x y dx g =

Ú

Volum benda padatnya adalah

( ) ( ) ( ) ( , ) d d y c c y V L x dx d f x y dxdy g =

Ú

=

Ú Ú

Integral lipat dua untuk menghitung luas daerah Untuk menghitung

luas daerah D tipe-1 dan tipe-2 ambillah z = f(x,y) = 1, maka secara nu-merik volum benda yang dihasilkan sama dengan luas daerah D.

z bidang z= 1 0 c d a y b x

¾ Luas daerah tipe-1

D={(x,y):a£x£b,a(x)£y£b(x)} adalah ( ) ( ) b x DdA a x dy dx b a =

ÚÚ

Ú Ú

.

¾ Luas daerah tipe-2

D={(x,y):c£y£d,g(y)£x£d(y)} adalah ( ) ( ) d y DdA c y dx dy d g =

ÚÚ

Ú Ú

. D D c g( y) d(y) y b x b c

(5)

Contoh Gambarkan daerah pengintegralan 2 4₂ 3 4 2

0 x

I=

Ú Ú

x x +y dydx,

ubahlah urutan integralnya kemudian hitunglah I.

y y= 4 3 y=x2 2 x= 0 x= y 0 1 2 x Daerah pengintegralan ¾ Dari bentuk 2 4₂ 3 4 2 0 x

I=

Ú Ú

x x +y dydx diperoleh

ren-tang x dari 0 sampai 2, batas atasnya garis y=4, dan batas bawahnya parabol y= x2. Jadi daerah pengin-tegralan I adalah

D = {(x,y):0£x£2, x2£y£4}, yang diperlihatkan gambar di samping.

¾ Untuk mengubah urutan integralnya, proyeksi dae-rah D diubah dari ke sumbu x menjadi ke sumbu y. Hasilnya adalah rentang y dari 0 sampai 4, batas ki-rinya adalah sumbu y (garis x=0), dan batas kanan-nya adalah invers fungsi y=x2.

¾ Karenainversdari y=x2, 0£x£2adalah x = y , 0£y£4, maka daerah D dapat ditulis dalam bentuk

D = {(x,y):0£y £4, 0£x£ y}.

¾ Jadi perubahan urutan integral I adalah

2 2 4 ₃ ₄ ₂ 4 ₃ ₄ ₂ 0 0 0 y x I =

Ú Ú

x x +y dydx =

Ú Ú

x x +y dxdy. ¾ Integral I adalah

(

)

( ) ( )

(

)

(

)

(

)

4 ₃ ₄ ₂ 4 ₄ ₂ ₄ ₂ 0 0 0 0 3/ 2 3/ 2 3 / 2 4 ₄ ₂ 4 ₂ ₂ 0 0 0 4 ₃ ₃ 4 ₃ 0 0 1 4 1 2 1 4 3 6 1 1 2 6 6 3 ( ) 2 2 2 2 2 1 10 2 2 1 . y y y I x x y dxdy x y d x y dx x y dy y y dy y y dy y dy = + = + + Ê ˆ Ê ˆ = _Ë + _¯ = _Ë - _¯ = - = - =

-Ú -Ú

Ú Ú

Ú

¾ Catatan Dalam kasus ini integralnya lebih mudah dihitung dengan cara

diatas karenafungsiprimitif dari u(y)=

Ú

x3 x4+y dy2 sukarditentukan.

4

1

(6)

Contoh Hitunglah volum benda padat yang dibatasi tabung x2+y2=a2 dan tabung x2+z2=a2. z x2+y2=a2 a x2+z2=a2 a y a x z z= a2-x2 a y a x2+y2=a2

Benda B1 di oktan pertama Volum B= 8 kali volum B1

y a y= a2-x2 0 a x Daerah pengintegralan untuk benda B1 ¾ Pada gambar kiri diperlihatkan dua tabung yang beririsan dengan kedua

sumbu berpotongan di titik asal (0,0,0). Irisan kedua tabung adalah ben-da B yang di oktan pertama diperlihatkan gambar kiri.

¾ Pada gambar tengah diperlihatkan irisan kedua tabung di oktan pertama. Benda B1 terletak di bawah permukaan tabung z = a2-x2 dan di atas

lingkaranx2+y2=a2dibidang xoy yang terletak di kuadran 1. Volum ta-bung yang akan dicari sama dengan 8 kali volum benda B1.

¾ Padagambar kanan diperlihatkan daerah pengintegralan untuk bendaB1,

yaitu daerah D di kuadran pertama yang dibatasi lingkaran x2+ y2 =a2. Daerah D dapat dituliskan dalam bentuk

2 2

{( , ) : 0 , 0 }

D = x y £ £x a £ £y a -x

¾ Volum benda B yang dibatasi dua tabung adalah

(

)

(

) (

)

2 2 2 2 2 2 1 ₀ ₀ 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 3 3 3 3 0 ₀ 1 1 1 3 3 3 8 volum 8 8 8 8 8 8 5 . a a x a a x a a a V B a x dy dx a x dy dx a x a x dx a x dx a x x a a a -= = -= - = - ◊ -= - = - = - =

Ú Ú

Ú

0 B1 a D x B 0

(7)

y 4 (2,4) 3 2 y= x2 y=x+2 (-1,1) -1 0 1 2 x

Ilustrasi Kurva y=x2 dan garis y=x+2 yang

ber-potongan di (-1,1) dan (2,4) membentuk daerah

2 {( , ): 1 2, 2} D= x y - £ £x x £ £ +y x Luas D adalah

(

)

2 2 2 2 ₂ 1 1 2 2 3 1 8 1 1 1 1 1 2 3 3 2 3 2 ( 2 ) 2 2 4 2 4 . x D x L dA dydx x x dx x x x + - -= = = + -= + - = + - - + - =

ÚÚ

Ú Ú

Ú

Contoh GambarkandaerahD yangdibatasikurva x= y, garis y=x+2,

dan sumbu x. Nyatakan luas D sebagai integral lipat dua dalam dua cara kemudian hitunglah luas D.

y 4 (2,4) y=x+2 3 x= y 2 x=y-2 y=x2,x≥0 -2 -1 0 1 2 x

¾ Kurva x= y dan garis y = x + 2 berpotongan di titik (2,4) karena x ≥ 0.

¾ Proyeksi D pada sumbu y adalah selang [0,4], batas kirinya garis x= y- 2, dan batas kanan-nya kurva x= y. Akibatnya,

{( , ):0 4, 2 }

D= x y £ £y y- £ £x y

dan luas D adalah

4 0 2 y D y L dA dxdy -=

ÚÚ

=

Ú Ú

.

¾ Proyeksi D pada sumbu x adalahselang [-2,2] = [-2,0] » [0,2]. Dengan melihat batas atas dan batas bawahnya di setiap selang ini diperoleh

2

{( , ): 2 0,0 2} {( , ):0 2, 2}

D= x y - £ £x £ £ - »y x x y £ £x x £ £ -y x

dan luas D adalah

2 0 2 2 2 2 0 0 x x D x L dA + dy dx + dy dx -=

ÚÚ

=

Ú Ú

+

Ú Ú

¾ Dengan integral lipat dua yang pertama, luas daerah D adalah

(

)

(

)

(

)

4 4 4 0 2 0 0 4 2 0 2 1 1 1 3 2 3 3 ( 2) 2 2 5 8 8 5 . y y L dxdy y y dy y y dy y y y y -= = - - = - + = - + = - + =

Ú Ú

Ú

D 1 D 1

(8)

P(r,q)

r radius

vektor

O q

titikkutub sumbukutub y ( 2, 2 3) P rP=4 q -2 -1 0 1 2 x ttk-ktb sb-ktb y y P(r,q) P(x,y) r q x 0 r cosq x y 2 r =2sinq 1 x2+y2=2y 0 x y r=c c parameter 0 x y q=k 0 x k parameter

Koordinat kutub Sistem koordinat kutub terdiri

dari duakomponen,titik kutubO dansumbukutub

berbentuk sinar dari O ke kanan. Dalam sistem ini titik PŒ\2diidentifikasi sebagai

P(r,q), r = OP dan q =–(OP,sb-kutub). Radius vektor OP ≥ 0; q positif jika berlawanan ja-rum jam dan q negatif jika searah jarum jam.

¾ Ilustrasi Jarak titik P( 2, 2 3)- ke O(0,0)

ada-lah 4 dan q=–(OP,sb-kutub) = 2₃p p+n ,nŒ]. Koordinat kutubnya:P(4,₃2p),P(4,-₃4p)," Kaitan koordinat kutub dengan kartesis

P(r,q) P(x,y) r= x2+y2 x = rcosq q memenuhi y = rsinq cosq = x_r, sinq = y_r

Fungsi dalam kordinat kutub Fungsi dengan

pe-ubahbebasqdanpeubah takbebasr sehingga (r,q) membentuk koordinat kutub dinamakan fungsi da-lam koordinat kutub, ditulis r = f(q).

¾ Ilustrasi Lingkaran x2+y2=2y dalam koordinat

kutub diperoleh dengan penggantian x = r cosq dan y = rsinq. Dari r2=2rsinq diperoleh persa-maan lingkarannya r = f(q) = 2sinq.

¾ Ilustrasi Aturan r = c, c parameter adalah

kelu-arga lingkaran berpusat di (0,0) dan q = k, k pa-rameter adalah keluarga sinar berasal dari (0,0). rsinq

(9)

Integral lipat dua dalam koordinat kutub y q=b q=qi q=qi-1 jaring kutub r=b r=ri r=ri-1 r=a 0 x * i i i i A r r q D = D D

¾ Dengan transformasi integral ke koordinat kutub (x,y)=(rcosq,rsinq) diperoleh

* ( , ) ( cos , sin ) , D f x y dA= D f r q r q rdrdq

ÚÚ

D*={(r,q):a£q£b, p(q)£r£q(q)} ¾ Luas daerah D*={(r,q):a£q£b, p(q)£r£q(q)} adalah ( ) * * ( ) . q D dA D rdrd p rdrd b q a q q q = =

ÚÚ

Ú Ú

¾ Buatlahjaringuntukkoordinatkutub(lihatgambar)rkonstan(lingkaran) danq konstan (sinar). Pilihlah titik

(

r_i*, *q_i

)

ŒDA_i dengan 1 ₁

2 * ( ) i i i r = r_- +r . ¾ Karena

(

2 2₁

)

1 ₁ ₁ 2 2 ( )( ) * i i i i i i i i i i i i A Dq_p p r r_- q r r_- r r_- r r q D = ◊ - = D + - = D D , maka

da-lam koordinat kutub berlaku dA = r dr dq.

Contoh GambarkandaerahD di kuadran pertama yang terletak dalam

lingkaran x2+y2=2x dan di luar lingkaran x2+y2=2y kemudian hitung-lah luasnya dengan integral lipat dua sistem koordinat kutub.

y 2 x2+y2=2y 1 (1,1) daerah D -1 0 1 2 x -1 x2+y2=2x y q=p/4 1 r =2cosq r=2sinq q=0 0 daerah D 2 x

¾ Gunakan transformasi (x,y)=(rcosq,rsinq), di-peroleh x2+y2=2x ¤ r2=2rcosq¤ r=2cosq dan x2+y2=2y ¤ r2=2rsinq ¤ r=2sinq.

¾ Kedua lingkaran berpotongan di (0,0) dan (1,1), yang dalam koordinat kutub (0,q) dan

(

2,1₄p

)

.

¾ Luas D={( , ):0rq £ £q 1₄p, 2sinq £ £r 2cos }q ∫

( )

(

)

2cos /4 2cos /4 ₂ 0 2sin 0 2sin /4 ₂ ₂ /4 0 0 /4 0 1 2

2(cos sin ) 2cos2 sin 2 1. L r drd r d d d q p q p q q p p p q q q q q q q q = = = - = = =

Ú Ú

Ú

D DAi Dri Dqi (ri*,qi*) q=a D D

(10)

Contoh JikadaerahDterletak didalam lingkaran x2+y2=2y dan di luar lingkaran x2+y2=1, hitunglah I = 2 2 D x +y dA

ÚÚ

. y 2 r=2sinq q=5p/6 q=p/6 -1 1 x -1

¾ Gunakan transformasi (x,y) =(rcosq,rsinq), di-peroleh x2+y2= 2y ¤ r= 2sinq dan x2+y2= 1

¤ r=1. Kedua lingkaran ini berpotongan di titik

( )

1

6

1, p dan

( )

1,5₆p , sehingga daerah D adalah

{

1 5

}

6 6

( , ) : ,1 2sin

D = rq p q p£ £ £ £r q .

¾ Gunakan

Ú

sin3q qd = -

Ú

(1 cos- 2q) cosd q =1₃cos3q -cosq +C, diperoleh

( )

(

)

(

)

2sin 5 /6 2sin 5 /6 2 2 3 /6 1 /6 1 5 /6 5 /6 ₃ ₃ /6 /6 1 3 8 1 1 3 3 3 5 1 1 2 3 6 6 9

(8sin 1) cos 8cos

3 4 3 3 4 3 2 3 2,766. D I x y dA r r drd r d d q p q p p p p p p p q q q q q q q p p p = + = ◊ = = - = - -= - + - - + - = - ª

ÚÚ

Ú Ú

Ú

Contoh Hitunglah volum benda padat yang dibatasi tabung x2+y2= 4,

bidang xoy, dan bidang y+z=4.

z y+z=4 bidang datar x2+y2=4 tabung tegak -2 2 y x y 2 -2 2 x -2 D={(x,y):0£q£2p,0£r£2}

¾ Gunakan transformasi (x,y)=(rcosq,rsinq), di-peroleh

y+z=4 ¤ z=4-rsinq dan daerah pengintegralannya adalah

D={(x,y):0£q£2p,0£r£2}

¾ Volum benda padatnya adalah

(

)

(

)

(

)

2 2 0 0 2 2 ₂ ₃ 2 0 0 0 2 0 8 1 3 3 8 8 8 3 3 3 (4 sin ) 2 sin 8 sin 8 cos 16 0 16 . D V z dA r r dr d r r d d p p p p q q q q q q q q p p = = -= - = -= + = + - - =

ÚÚ

Ú Ú

Ú

0 D D D

(11)

Contoh Hitunglah volum benda padat B yang dibatasi paraboloida z=x2+y2 dan bidang z=4. z z= 4 -2 2 y x y 2 x2+y2=4 -2 2 x -2

¾ ProyeksiBpada xoyadalah D={( , ):x y x2+ £y2 4}. ¾ Gunakan transformasi (x,y)=(rcosq,rsinq), di-perolehbatas bawahBadalahz=x2+y2¤ z=r2, batas atas B adalah z = 4, dan daerah D adalah

{( , ):0 2 ,0 2}.

D= rq £ £q p £ £r

¾ Volum benda padat B adalah

(

)

2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 ₃ 2 ₂ ₄ 0 0 0 0 2 0 1 4 4 ( ) (4 ) (4 ) 2 4 8 .

(

)

D V x y dA r rdrd r r drd r r d d p p p p q q q q p = - + = -= - = -= =

ÚÚ

Ú Ú

Ú

Contoh Hitunglah volum benda padat B yang dibatasi paraboloida

z=x2+y2 dan bidang z=2y.

z bidang z=2y benda padat B 0 2 y x y 2 x2+ y2=2y 0 2 x -2

¾ Proyeksi B pada xoy adalah daerah

2 2

{( , ): 2 }.

D= x y x + £y y

¾ Gunakan transformasi (x,y)=(rcosq,rsinq), di-perolehbatas bawahBadalahz=x2+y2¤ z=r2, batas atasB adalah z=2y¤z=2rsinq, dan dae-rah D adalah D={( , ):0rq £ £q p,0£ £r 2sin }.q ¾ Volum benda padat B adalah

(

)

(

)

2 2 2sin ₂ 0 0 2sin 3 4 4 0 0 0 0 2 1 4 3 4 3 3 3 4 1 1 4 1 3 8 2 8 3 8 2 2 ( ) (2 sin ) sin sin cos2 cos 4 .

(

)

D V y x y dA r r rdrd r r d d d p q q p p p q q q q q q q q q p p = - + = -= - = = - + = ◊ =

ÚÚ

Ú Ú

Ú

D B 0 2 D 0 B D D

(12)

Contoh Hitunglah 2 4 16 ₂ _{2 3/2} 2 0 ( ) x I =

Ú Ú

- x +y dy dx. y q=p/3 4 (2,2 3) y= 16-x2 r= 4 x=2 r =2secq 0 2 q= 0 4 x

¾ Daerah pengintegralannya adalah

2

( , ):2 4,0 16

{

}

D= x y £ £x £ £y -x .

¾ Titik potong kurva y= 16-x2 dengan garis x = 2 adalah 2, 2 3

(

)

, yang dalam koordinat kutub adalah

( )

4,1₃p .

¾ Gunakan transformasi (x,y)=(rcosq,rsinq), diperoleh x = 2 ¤ rcosq= 2 ¤ r = 2secq,

2

16

y= -x ¤ x2+y2=16, y≥0 ¤ r2=16, 0£q£p ¤ r=4, 0£q £p, dan sumbu x positif ¤ q=0, sehingga dalam koordinat kutub

1 3

{( , ) : 0 , 2sec 4}

D= rq £ £q p q £ £r .

Dalam koordinat kutub: f x y( , ) (= x2+y2)-3/2 ¤ f r( , ) ( )q = r2 -3/2=r-3.

¾ Integral lipat duanya adalah

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

2 4 16 ₂ _{2 3/2} /3 4 ₃ /3 4 ₂ 2 0 0 2sec 0 2sec 4 /3 ₁ /3 /3 0 2sec 0 0 /3 0 1 1 1 4 2sec 4 1 1 1 1 4 4 3 12 ( ) 2cos 1 2sin 3 (3 3 ). x I x y dy dx r rdrd r drd r d d d p p q q p p p q p q q q q q q q q q p p - _- -= + = = = - = - - = -= - = - =

-Ú -Ú

Ú Ú

Ú

Contoh Hitunglah (x2 y2) , {( , ): 2 2 2, 0. D I =

ÚÚ

e- + dA D= x y x + £y a a> y a x2+y2=a2 -a a x -a

¾ Gunakan transformasi (x,y)=(rcosq,rsinq), daerah D menjadi D={(r,q)|0£q£2p,0£r£a}. ¾ Integralnya adalah

( )

2 2 2 2 2 2 2 ₂ 0 0 0 0 2 2 0 ₀ 0 1 2 1 1 2 2 ( ) (1 ) (1 ) . a _r a _r a r a a I e rdrd e d r d e d e d e p p p p q q q q p - -- - -= = - -= - = - =

-Ú -Ú

Ú Ú

Ú

D D 0

(13)

Transformasi integral lipat dua ke koordinat kurvilinear ¾Transformasi x = rcosq dan y = rsinq menghasilkan

* ( , ) ( cos , sin ) D f x y dA= D f r q r q rdrdq

ÚÚ

, dengan D={(r,q)|a£q£b, p(q)£r£q(q)}. Karena 2 2 ( , ) ( , ) cos sin (cos sin ) sin cos x x x y r r _y _y r r r r r q q q q q q q q q ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ _∂ _∂ ∂ ∂ -= = = + = ,

maka transformasi integral lipat dua ke koordinat kutub dapat ditulis

( , ) ( , ) ( , ) ( cos , sin ) D D x y r f x y dA= f r q r q ∂_∂ _q dr dq

ÚÚ

.

¾Secara umum,transformasix=x(u,v)dany=y(u,v)dari koordinat(x,y) ke koordinat (u,v) mengikuti pola terakhir sehingga kita mempunyai

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ( , ), ( , )) D D D x y u v f x y dA= f x y dxdy= f x u v y u v ∂_∂ du dv

ÚÚ

,

dengan D={(u,v):a£u£b,p(u)£v£q(u)} dan ( , )

( , ) x x x y u v u v _y _y u v ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ _∂ _∂ ∂ ∂ = .

Pada transformasi ini ( , )

( , )

x y u v

∂

∂ dikenal sebagai determinan Jacobi dan

(u,v) dinamakan koordinat kurvilinear.

y

u tetap

v tetap

y

0 x x

®Komponen jaring: r = r(u,v) = x(u,v)i + y(u,v)j.

®u tetap ﬁ r(v) =x(v)i+y(v)j ﬁ ∂_∂r_v = ∂_∂_vxi+ ∂_∂y_v j.

®v tetap ﬁ r(u) =x(u)i+y(u)j ﬁ _∂∂r_u = _∂∂_uxi+ _∂∂_uy j.

®Dalam (u,v): dA = _∂∂_ur ¥∂_∂_vr du dv = ( , ) ( , ) x y u v ∂ ∂ dudv.

¾Jika dari (u,v) ditransformasikan kembali ke (x,y), maka

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) D D x y u v u v x y f x y dx dy = f x y ∂_∂ ◊ _∂∂ dx dy

ÚÚ

. Akibatnya ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 x y u v u v x y ∂ ∂ ∂ ◊∂ = , sehingga ( , )( , ) 1 ( , )( , ) x y u v x y u v ∂ ∂ ∂ ∂ = . dA

(14)

Contoh Hitunglah luas daerah di kuadran pertama yang dibatasi oleh hiperbol xy = 1, hiperbol xy = 4, garis y = 2x, dan garis y = 1₂x

y 4 y =2x 3 2 xy=4 y=1₂x 1 0 1 2 3 4 x

¾ Garis batas daerah D adalah _xy=1₂ dan y_x =2.

¾ Buatlah transformasi u=xy dan v= _xy, maka 1£ =u xy £ 4 dan 1₂ £ = £v y_x 2, sehingga da-lam (u,v) daerah pengintegralannya adalah

1 2

{( , ) :1 4, 2}

D = u v £ £u £ £v .

¾ Determinan Jacobi transformasinya adalah

( , ) ( , ) 2 1 1 ( , ) 2 ( , ) 2 1 1 1 x y u v y y x y x v u v x x y x ∂ ∂ ∂ ∂ = = _- = =

¾ Luas daerah D adalah

( )

1 1 2 2 4 2 4 ₂ 4 1 1 1 ( , ) 1 1 ( , ) 2 2 ln (ln2) 3ln 2. D D x y u v v dA= ∂_∂ du dv = dvdu= v du = du=

ÚÚ

Ú Ú

Ú

Contoh Jika daerah D di kuadran pertama dibatasi kurva hiperbol

x2-y2=1, x2-y2=9, xy = 4, dan xy = 8, hitunglah ( 2 2) D x +y dA

ÚÚ

. y 5 xy=8 x2-y2=1 3 x2-y2=9 1 0 1 2 3 4 5 x

¾ Buatlah transformasi u=x2-y2 dan v=xy, ma-ka D ={( , ) :1u v £ £u 9, 4£ £v 8}.

¾ Ubahlah f(x,y) = x2+y2 ke dalam u dan v. Dari (x2+y2)2= (x2-y2)2+4(xy)2=u2+4v2 dipero-leh x2+ =y2 u2+4v2, sehingga

2 2

( , ) 4 .

f u v = u + v

¾ Determinan Jacobi transformasinya adalah

2 2 ₂ ₂ ( , ) ( , ) 1 1 ( , ) ( , ) ₂₍ ₎ ₂ ₄ 2 2 1 1 x y u v x y u v _x _y _u _v x y y x ∂ ∂ ∂ ∂ = = - = ₊ = ₊ . ¾ Jadi 2 2 9 8 2 2 ₂ ₂ 9 8 1 4 1 4 1 1 2 2 4 ( ) 4 16. D x +y dA= u + v ◊ _u + _v dvdu = dv du =

ÚÚ

Ú Ú

D xy=1 xy=4 D

(15)

Aplikasi integral lipat dua untuk pusat massa dan momen inersia y persegi panjang R d c 0 a b x y fungsi y=b(x) fungsi y=a(x) 0 a x b x y d fungsi fungsi x =g(y) x=d(y) c 0 x

¾ Diketahui keping datar D yang rapat massanya di setiap (x,y)ŒD adalah

r(x,y), r kontinu pada D. Keping D dapat ditulis dalam dua bentuk, D={(x,y):a£x£b,a(x)£y£b(x)}, a, b kontinu pada [a,b], D={(x,y):c£y£d,g(y)£x£d(y)}, g, d kontinu pada [c,d].

®massa keping D adalah ( , ) . D

M =

ÚÚ

r x y dA

®momen massa keping D terhadap sumbu x adalah _x ( , ) .

D

M =

ÚÚ

yr x y dA

®momen massa keping D terhadap sumbu y adalah _y ( , ) . D

M =

ÚÚ

xr x y dA

®pusat massa keping D adalah titik ( , ),x y dengan x= M_My dan Mx. M

y=

®momen inersia keping D terhadap sumbu x adalah _x 2 ( , ) . D

I =

ÚÚ

y r x y dA

®momen inersia keping D terhadap sumbu y adalah _y 2 ( , ) .

D

I =

ÚÚ

x r x y dA

®momen inersia keping D terhadap titik (0,0) adalah I₀= +I_x I_y.

Ilustrasi Untuk keping D ={( , ):0x y £ £x 2,x y£ £2 }x , jika rapat massa

di setiap titik (x,y)ŒD adalah r(x,y)=1+xy, tentukan pusat massanya.

y y =2x x =2 y = x 0 x 2 2 0 0 ( , ) x(1 ) 8. D M =

ÚÚ

r x y dA =

Ú Ú

+xy dydx= 2 2 0 0 14 15 ( , ) x (1 ) 18 . x _D M =

ÚÚ

yr x y dA =

Ú Ú

y +xy dydx= 2 2 0 0 4 15 ( , ) x (1 ) 12 . y _D M =

ÚÚ

xr x y dA=

Ú Ú

x +xy dydx=

Pusat massa keping D adalah ( , ),x y x =1₁₅8 dan y = 211₃₀.

D pusat massa D pusat massa D pusat massa D

(16)

Ilustrasi Untuk keping D ={( , ):0x y £ £x 2,x y£ £2 }x , jika rapat massa di setiap titik (x,y)ŒD adalah r(x,y)=1+xy, tentukan momen inersia D terhadap sumbu x, sumbu y, dan titik (0,0).

y

y =2x

x =2

y = x 0 x

Momen inersia D terhadap sumbu x, y dan titik 0 adalah

2 2 2 2 0 0 1 3 ( , ) x (1 ) 53 . x _D I =

ÚÚ

y r x y dA =

Ú Ú

y +xy dydx= 2 2 2 2 0 0 2 3 ( , ) x (1 ) 18 . y _D I =

ÚÚ

x r x y dA =

Ú Ú

x +xy dydx= 2 2 ₂ ₂ 0 ₀ ₀ ( )(1 ) 531₃ 182₃ 72 x x y I = + =I I

Ú Ú

x +y +xy dydx= + = .

Contoh Keping D terletak di kuadran pertama, dibatasi sumbu x, garis

3

y x= , lingkaran x2+y2=1, dan lingkaran x2+y2=4. Jika rapat massa di setiap (x,y)ŒD adalah jarak (x,y) ke (0,0), tentukan pusat massanya.

y 2 y x= 3 _x2_{+ =}_y2 ₄ 1 _x2_{+ =}_y2 ₁ 0 1 2 x

¾ Buatlah transformasi ke koordinat kutub, batas D adalah sinar q =1₃p ¤ =y x 3 di kuadran I, sinar

0 sb-x

q = ¤ positif, lingkaran r=1 ¤ x2+y2=1, dan lingkaran r=2 ¤ x2+y2=4.

¾ Jadi D={( , ):0rq £ £q ₃1p,1£ £r 2}dan rapat massa di setiap (r,q)ŒD adalah r(r,q) = r.

¾ Massa, momen massa terhadap sumbu x dan sumbu y keping D adalah

( )

2 /3 2 /3 2 ₂ /3 ₃ 0 1 0 1 0 1 7 7 1 1 3 3 3 9 ( , ) . M =

Ú Ú

p r qr rdrdq =

Ú Ú

p r drdq =

Ú

p r dq = ◊ p = p

( )

(

)

/3 2 /3 _{2 3} 0 1 0 1 2 /3 ₄ /3 _/3 0 0 1 0 15 15 15 7 1 4 4 4 8 8 ( , ) ( sin ) ( , ) sin

sin sin cos 1 .

x _D M y x y dA r r rdrd r drd r d d p p p p _p r q r q q q q q q q q q = = = = = = - = =

ÚÚ

Ú Ú

Ú

( )

(

)

/3 2 /3 _{2 3} 0 1 0 1 2 /3 ₄ /3 _/3 0 0 1 0 15 15 15 7 1 4 4 4 8 8 ( , ) ( cos ) ( , ) cos

cos cos sin 3 1 3.

y _D M x x y dA r r rdrd r drd r d d p p p p _p r q r q q q q q q q q q = = = = = = = =

ÚÚ

Ú Ú

Ú

¾ Pusat massa keping adalah( , ),x y dengan x=M_My =1,33dan y= M_Mx =0,77.

D

(17)