Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Per

(1)

Kalkulus Multivariabel I

Integral Lipat-Dua

atas Daerah Bukan Persegi Panjang

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

(2)

Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang

Misalkan himpunanS tertutup dan terbatas pada bidang.

HimpunanS tersebut terkandung dalam sebuah persegi panjang R

dengan sisi-sisi sejajar sumbu koordinatnya.

Definisikan,f(x,y) =

f(x,y) jika (x,y) di S

(3)

Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang

f bisa diintegralkan diS jikaf dapat diintegralkan pada R

Z Z

S

f(x,y)dA= Z Z

R

(4)

Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum

1. Himpunan Sederhana-y

Sebuah himpunan S dikatakan sederhana-y jika himpunan tersebut sederhana pada arah y, artinya bahwa sebuah garis pada arah ini memotongS dalam selang tunggal (atau titik atau tidak sama sekali).

(5)

Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum

Untuk tiap nilaix, luas penampang yang diperoleh jika benda diiris tegak lurus sb-x adalah

A(x) =

y=g2(x)

Z

y=g1(x)

f(x,y)dy

(6)

(7)

2. Himpunan Sederhana-x

Himpunan S disebut sederhana-x jika terdapat fungsih1(y) danh2(y) pada selang [c,d] sedemikian rupa sehingga

(8)

Untuk tiap nilaiy, luas penampang yang diperoleh jika benda diiris tegak lurus sb-y adalah

A(y) =

x=h2(y)

Z

x=h1(y)

f(x,y)dx

(9)

(10)

Contoh:

Gunakan integral lipat-dua untuk menentukan volume dari

tetrahedron yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang 3x+ 6y+ 4z ₋12 = 0.

Penyelesaian:

Daerah segitiga pada bidangxy yang membentuk alas tetrahedron dilambangkan denganS. Kita akan menghitung volume benda padat di bawah permukaan 3x+ 6y+ 4z₋12 = 0 atau 3

(11)

Bidang tersebut memotong bidangxy di garis x+ 2y₋4 = 0, suatu ruas yang merupakan bagian dari batasS. Karena persamaan ini dapat ditulis sebagaiy = 2₋x₂ danx= 4₋2y, makaS dapat dipandang sebagai himpunan sederhana-y

S =_{(x,y) : 0≤x ≤4,0≤y≤2−

x

2} atau sebagai himpunan sederhana-x

(12)

Dengan memperlakukan bidangS sebagai himpunan sederhana-y

(13)

Latihan

1 Sketsalah benda padat berikut kemudian tentukan volumenya dengan integral berulang.

a. Tetrahedron yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan

bidangz = 6−2x−3y

b. Benda padat di oktan pertama yang dibatasi oleh

bidang-bidang koordinat dan bidang-bidang 2x+y−4 = 0

dan 8x+y−4z = 0

c. Benda padat di oktan pertama yang dibatasi oleh silinder

y =x2_{dan bidang-bidang}_x _{= 0,}_z _{= 0, dan}_y₊_z _{= 1}

2 HitunglahRR S

(14)

Pustaka

Purcell, E. J & D. Vanberg, 1999. Terjemahan, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1 dan 2. Jakarta : Erlangga.

Spiegel. M. & Wrede R.C. 2002. Theory and Problem of Advanced Calculus. Schaum Outline Series. New York: Mc Graw-Hill.

Purcell, E. J & D. Vanberg, 2003. Terjemahan, Kalkulus , Jilid 2. Jakarta : Erlangga.