Slide: Integral Lipat Tiga

Integral Lipat Tiga

Integral Lipat Tiga pada Balok

x

y z

x_k

y_k

1. Partisi balok B menjadi n bagian;

B₁, B₂, …, B_k, …, B_n

Definisikan |||| = diagonal ruang terpanjang dari B_k

2. Ambil

3. Bentuk jumlah Riemann

4. Jika ||||→ 0 diperoleh limit jumlah Riemann

Jika limit ada, maka fungsi w

= f(x,y,z) terintegralkan Riemann pada balok B, ditulis

) z , y , x

( _{k k k}

B

B_k z_k

k k

k

k,y ,z ) B x

( 

k n

1 k

k k

0 f(xk,y ,z ) V

lim





→ =





= n 

1 k

k k k

k,y ,z ) V x

( f

k n

k k

0 f(xk,y ,z ) V lim

dV ) z , y , x (

f =







 → ₌

Integral Lipat Tiga pada Balok (2)

v_k = x_k y_k z_k →dV = dx dy dz

Sehingga integral lipat dalam koordinat kartesius:





⁼

B B

dz dy dx ) z , y , x ( f dV

) z , y , x ( f

Contoh



B

dV yz

x²

Hitung dengan B adalah balok dengan ukuran B = {(x,y,z)| 1  x  2, 0  y  1, 1  z  2}

Jawab.



B

dV yz

x^{2 =}

  

² x yz dx dy dz

1 1 0

2 1

2

dz dy x

 

yz ^_^{ }_^

=

2 1

1 0

2

1 3

3 1

dz y



z ^_^{ }_^

= ²

1

1

0 2

2 1 3

7

2

1 2

2 1 6

7 



 



=  z

4

= 7

Integral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang

 Pandang S benda padat yang terlingkupi oleh balok B, dan definisikan nilai f nol untuk luar S (gb. 1)

x

y z

B

S



S

2yz dV

Hitung x , Jika S benda padat sembarang

(gb. 1)

Integral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang (2)

 Jika S dipandang sebagai

himpunan z sederhana (gb.2) (S dibatasi oleh z=₁(x,y) dan

z=₂(x,y), dan proyeksi S pada bidang XOY dipandang sebagai daerah jenis I) maka:

 Catatan:

Jika f(x,y,z) = 1, maka menyatakan volume benda

pejal S

  



^{= b}

a x x

y x

y x S

dx dy dz z y x f dV

z y x f

) (

) (

) , (

) , (

2

1 2

1

) , , ( )

, , (











S

dV z y x

f( , , )

x

y z

S

S_xy

b

a

y=₂(x) y=₁(x)

z=₂(x,y)

z=₁(x,y)

(gb. 2)

Contoh



S

dV z

y x

f( , , )

Hitung dengan W=f(x,y,z) = 2xyz dan S benda padat yang dibatasi oleh tabung parabola z=2- ½x² dan

bidang-bidang z = 0, y=x, y=0

y=0

y=x z=2–½ x²

x

y z

S_xy

S_xy = proyeksi S pada XOY (segitiga)

Jawab.

Dari gambar terlihat bahwa S={(x,y,z)|0≤x≤2, 0≤y≤x

0≤z≤ 2 – ½x²}

2

0 Sehingga,



S

dV xyz

2

  

−

= ²

0 0 2 2 1

0

2

2

x x

dx dy dz xyz

 

⁻

= ^{2 2 21}

0

2 ²

x x

dx dy z

xy

Contoh (lanjutan)

 

^_^{ − }_^

=

2 0 0

2 2

2 2 1

x

dx dy x

xy



^_^{ − + }_^

=

2

0 0

2 4

2

2 1 4

2 1

4 x x y dx

x

x



^_^{ − + }_^

= ²

0

7 5

3

8

2x x 1 x dx

2 0 8 6

4

64 1 6

1 2

1 x − x + x

=

3 4 4

3

8 − 32 + =

=

Latihan



S

dV

1. Hitung z , S benda padat di oktan pertama yang dibatasi oleh bidang-bidang z = 0, x=y, y=0 dan tabung x² + z² = 1.

2. Sketsa benda pejal S di oktan pertama yang dibatasi tabung y² + z² = 1 dan bidang x =1 dan x = 4, dan tuliskan dan hitung integral lipatnya.

3. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh : a. y = x², y + z = 4, x = 0, z = 0.

b. 1 = z²+y², y = x, x = 0.

c. x² = y, z² =y, y = 1,x = 0.

d. y = x² + 2, y = 4, z = 0, 3y - 4z = 0.



 

+ +

2 / z y

dxdydz )

z y x 4. Hitung sin(

Integral Lipat Tiga (Koordinat Tabung dan Bola)

 ^r z

P(r,,z)

x

y z

 ^r z

P(,,)

x

y z



Syarat & hubungan dg Kartesius r  0, 0    2 

x = r cos  y = r sin  z = z

r² = x² + y²

Syarat & hubungan dg Kartesius

 ^{ 0, 0    2} , 0    

x = r cos  r =  sin  y = r sin  r =  sin  z =  cos 

x² + y² + z² = ²

} x =  cos  sin 

} y =  sin  sin 

Jika D benda pejal punya sumbu simetri → Koordinat Tabung

Jika D benda pejal yang simetri terhadap satu titik → Koordinat Bola

Koordinat Tabung Koordinat Bola

Contoh

1. Sketsa D; D benda pejal di oktan I yang dibatasi oleh tabung x²+y²=4 dan bidang z = 0, z = 4

x

y z

 r 2

2 4

D dalam koordinat:

a. Cartesius:

D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , 0≤z≤4}

4 − x2

b. Tabung:

D={(x,y,z)| 0≤r≤2, 0≤≤ /2, 0≤z≤4}

Jawab.

0

x²+y²=4

Contoh

2. Sketsa D; D bagian bola x²+y² + z²=4 di oktan I.

x

y z

 r 2

2

D dalam koordinat:

a. Cartesius:

D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , 0≤z≤ }

4 − x2

b. bola:

D={(x,y,z)| 0≤^{≤2, 0≤}^{≤ /2,} 0≤ ≤ /2}

Jawab.

2



2

4 − x2 − y

0

2

4 x2 y z = − −

Penggantian Peubah dalam Integral Lipat Tiga

Definisi misalkan x=m(u,v,w); y=n(u,v,w); z=p(u,v,w) maka:

dimana



⁼



D D

dw dv du ) w , v , u ( J )) w , v , u ( p ), w , v , u ( n ), w , v , u ( m ( f dz

dy dx ) z , y , x ( f

z w z v

z u w

y v

y u

y

x w x v

x u )

w , v , u ( J

 

 

   

 

   

 

 

=

Jacobian

Koordinat Kartesius →Tabung

x = r cos  y = r sin  z = z

Matriks Jacobiannya:

r sin

r cos

r 1 0

0

0 cos

r sin

0 sin

r cos

z z r z

z z

y y

r y

x z r x

x )

w , v , u (

J   = ²+ ²  =



−



=

 



 

   



 

   



 

 

=





^{=   }

D D

dz d dr r ) z , sin r , cos r ( f dz

dy dx ) z , y , x ( f

Koordinat Kartesius →Bola

x =  cos  sin  y =  sin  sin  z =  cos 

Matriks Jacobiannya:





−

=































−





=



 



 



   



 



   



 



 

= sin

1 0

cos

sin cos

cos sin

sin sin

cos cos

sin sin

cos sin

z z

z

y y

y

x x

x )

w , v , u (

J ²





^{=             }

D

2 D

d d d sin )

cos ,

sin sin

, cos sin

( f dz

dy dx ) z , y , x ( f

Contoh (Tabung)

1. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid z = x² + y² dan z = 4.

Z

x

y

z = 4

Jawab.

Daerah S dalam Koordinat Cartesius adalah:

S={(x,y,z)|-2  x  2, y , x² + y²  z  4}

4 − x2

4 − x2

−

Dalam koordinat tabung:

S={(r,,z)|0  r  2, 0   2 , r²  z  4}

Sehingga, volume benda pejalnya adalah

  

=

2 0

2 0

4

2

 

r

dr d

dz



r

=

S

dV

V 1

S_xy

Contoh (Lanjutan)

  

=

2 0

2 0

4

2

 

r

dr d

dz r V

 

=

2 0

2 0

4

2

r z _r d dr

( )



⁻

=

2 0

2 0

4 r2 dr

r  ^

0 2 4 2

4 2 1

2 



 



 −

=  r r = 8

Jadi volume benda pejalnya adalah 8

Contoh (bola)

2. Hitung volume bola pejal x² + y² + z² = 4 di oktan I

x

y z

2 

2 2

 0

2

4 x2 y

z = − − D dalam koordinat:

a. Cartesius:

D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , 0≤z≤ }

4 − x2

b. Bola:

D={(x,y,z)| 0≤≤2, 0≤≤ /2, 0≤ ^{≤ /2}}

Jawab.

2

4 − x2 − y

Sehingga, volume benda pejalnya adalah

  

=

2 / 0

2 / 0

2 0

2 sin

 









 d d d



=

S

dV

V 1

Contoh (Lanjutan)

  

=

2 / 0

2 / 0

2 0

2 sin

 









 d d d

V

 

^_^{ }_^

=

2 /

0 2 /

0

2

0 3

3 sin 1

 







 d d

( )



⁻

= ^/2

0

2 /

0

3 cos

 8 



 d

( )

₀^/2

3

8  ^

= 

3

= 4

Jadi volume benda pejalnya adalah 4/3

Latihan



D

2 dV

1. Hitung x , dengan D benda pejal yang dibatasi z =9 – x² – y² dan bidang xy.

2. Hitung volume benda pejal yang di oktan I yang dibatasi bola x² + y²+ z² = 1 dan x² + y²+ z² =4.

3. Hitung volume benda pejal yang di batasi di atas oleh bola r²+ z² = 5 dan di bawah r² =4z.

4. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid z = x² + y² dan bidang z =4.

5. Hitung volume benda pejal yang di batasi oleh bola

x²+ y²+ z² = 9, di bawah oleh bidang z = 0 dan secara menyamping oleh tabung x²+y²=4.

Latihan Lanjutan

6. Hitung volume benda pejal, daerah yang dibatasi oleh bola x²+ y²+ z² = 9, dan berada dalam kerucut ^{z = x2 + y2}

( )

  

−

−

−

−

−

−

−

−

−

+ +

3

3 9

9

9

9

2 / 2 3 2

2 2

2

2 2

2 2 x

x

y x

y x

dx dy dz z

y 7. Hitung x

  

^{3 − +}

0 9

0 2 0

2 2

x2

dx dy dz y

8. Hitung x

 

^{2 − −}



⁻

^{− −}

0 4

0

4

0

2 2

2 2 2

4

x x y

dx dy dz y

x

9. Hitung

z