MODUL 5
INTEGRAL LIPAT DAN PENGGUNAANNYA
Satuan Acara Perkuliahan Modul 5 (Integral Lipat dan Penggunaannya) sebagai berikut.
Pertemuan ke-
Pokok/Sub Pokok Bahasan
Tujuan Pembelajaran
1 Integral Lipat
Integral Lipat Dua
Mengubah Urutan Pengintegralan
Integral Lipat Tiga
Mahasiswa diharapkan mampu:
menghitung integral lipat dua dengan menggunakan integral
berulang.
,
b d,
a c R
f x y dA
f x y dy dx
menggunakan interpretasinya untuk menentukan masalah real seperti penentuan volume benda pejal.
memahami daerah pengintegralan yang lebih umum dan menentukan batas-batasnya.
menuliskan integral lipat dua sebagai integral berulang.
2 1
,
b x,
a x
R
f x y dA
f x y dy dx
atau2 1
,
d x,
c x
S
f x y dA
f x y dx dy
. melakukan perubahan urutan pengintegralan dari
menjadi
dxdy
dydx
atau sebaliknya, menggunakannya untuk menentukan masalah real seperti penentuan volume benda pejal dan sejenisnya.
menghitung integral lipat tiga menggunakan integral berulang,
menggunakan integral lipat tiga untuk menentukan volume benda.
2 Integral Lipat
Transformasi Integral Lipat Dua pada Koordinat Polar
Mengganti Peubah Integral;
Mahasiswa diharapkan mampu:
memahami daerah pengintegralan dalam koordinat polar/kutub dan menentukan batas-batasnya.
menuliskan integral lipat dua sebagai integral berulang
,
cos , sin
R R
f x y dA
f r
r
rdrd
. melakukan transformasi integral dari koordinat Cartesius ke koordinat polar dan sebaliknya
,
cos , sin
R R
f x y dxdy
f r
r
rdrd
Jacobi persamaan berbentuk: x = g(u,v), y = h(u,v).
menentukan determinan Jacobi
mentransformasikan integral menggunakan transformasi Jacobi dengan formula:
S D
dudv
v
u
J
v
u
h
v
u
g
f
dxdy
y
x
f
(
,
)
(
(
,
),
(
,
))
|
(
,
)
|
3 Integral Lipat
Transformasi Integral Lipat Tiga pada Koordinat Bola
Transformasi Integral Lipat Tiga pada Koordinat Tabung
Mahasiswa diharapkan mampu:
mengubah koordinat dari koordinat ruang ke koordinat bola atau sebaliknya
mentransformasikan integral lipat tiga dalam koordinat ruang menjadi koordinat bola dan menghitungnya
mengubah koordinat dari koordinat ruang ke koordinat tabung atau sebaliknya
mentransformasikan integral lipat tiga dalam koordinat ruang menjadi koordinat tabung dan menghitungnya
4 Integral Lipat
Penggunaan Integral Lipat
Mahasiswa diharapkan mampu:
mampu menggunakan integral lipat dua untuk menyelesaikan berbagai masalah seperti penentuan pusat massa, volume, momen inersia, dan sebagainya.
5.1
Integral Lipat Dua
5.1.1
Integral Lipat Dua Pada Bidang Segiempat
Perhatikan Gambar 5.1. Proyeksi kurva permukaan
z
f
(
x
,
y
)
pada bidang xoy adalah daerah pengintegralan D. Jika daerah pengintegralannya berupa bidang segiempat dengana
x
b
dand
y
c
, secara umum ditulis:D
{(
x
,
y
)
|
a
x
b
,
c
y
d
}
.Gambar 5.1
Pengintegralan
f
(
x
,
y
)
terhadap daerahD
{(
x
,
y
)
|
a
x
b
,
c
y
d
}
dinyatakan sebagai integral berulang sebagai berikut:D
b a d c
dydx
y
x
f
dA
y
x
f
(
,
)
(
,
)
Catatan: Ketika mengintegralkan terhadap x, anggap y konstanta. Demikian pula, ketika mengintegralkan terhadap y, anggap x konstanta.
CONTOH 1 Hitung D
dA
y
x
)
2
(
denganD
{(
x
,
y
)
|
0
x
2
,
0
y
1
}
.Penyelesaian
Integralkan dulu bagian dalam terhadap y (anggap x konstanta), hasilnya kemudian integralkan terhadap x.
2
0 1
0
)
2
(
)
2
(
x
y
dA
x
y
dydx
D
5
]
[
)
2
(
]
2
[
2 21 202
0
2 1 2
0
1 0 2 2
1
y
dx
x
dx
x
x
xy
D
x y
a b
c d
)
,
(
x
y
f
z
D
y
x
z
a b
CONTOH 2 Hitung
3
0 2
1
2 2
)
(
x
y
xy
dxdy
.Penyelesaian
3
0
2 1 2 2 2 1 3 3 1 3
0 2
1
2 2
]
[
)
(
x
y
xy
dxdy
x
y
x
y
dy
24
]
[
]
[
2 21 3 306 7 3
0
2 2 3 3
7
y
y
dy
y
y
Interpretasi geometris integral lipat dua
D
dA
y
x
f
(
,
)
adalah volume bangun di bawah permukaanz
f
(
x
,
y
)
yang berada di atas bidang D. Jikaf
(
x
,
y
)
1
, integral tersebutD
dA
sama dengan luas bidang D.CONTOH 3 Tentukan volume bangun di bawah permukaan
z
4
x
2y
2 yang berada di atas bidangD
{(
x
,
y
)
|
0
x
1
,
0
y
1
}
.Penyelesaian
Bangun di bawah permukaan
z
4
x
2y
2 yang berada di atas bidangD
{(
x
,
y
)
|
0
x
1
,
0
y
1
}
adalah seperti pada Gambar 5.2 di samping. Volume bangun tersebut adalah1
0 1
0
2 2 2
2
)
4
(
)
4
(
x
y
dA
x
y
dydx
V
D
1
0
2 3 11 1
0
1 0 3 3 1 2
)
(
]
4
[
y
x
y
y
dx
x
dx
3 10 1 0 3 3 1 3
11
]
[
x
x
5.1.2
Integral Lipat Dua Pada Bidang Bukan Segiempat
Daerah pengintegralan dapat berupa bidang sebarang (bukan segiempat), seperti diilustrasikan pada Gambar 5.4. Untuk kasus seperti ini, kita dapat mengambil batas pada sumbu-x konstanta, sedangkan batas pada sumbu y sebagai fungsi dari x atau sebaliknya. Pada Gambar 5.4(a), daerah pengintegralan adalah
D
{(
x
,
y
)
|
a
x
b
,
(
x
)
y
(
x
)}
. Sementara itu, padaGambar 5.4(b), daerah pengintegralan adalah
D
{(
x
,
y
)
|
(
y
)
x
(
y
),
c
y
d
}
. yx
z
1
1 0
4 3 2
Gambar 5.4
Jika
f
(
x
,
y
)
diintegralkan terhadapD
{(
x
,
y
)
|
a
x
b
,
(
x
)
y
(
x
)}
, integralnya ditulis sebagaib a
x x D
dydx
y
x
f
dA
y
x
f
) (
) (
)
,
(
)
,
(
Di lain pihak, jika daerah pengintegralannya
D
{(
x
,
y
)
|
(
y
)
x
(
y
),
c
y
d
}
,d c
y y D
dxdy
y
x
f
dA
y
x
f
) (
) (
)
,
(
)
,
(
CONTOH 4 Hitung
2
0 2
2
x x
xydydx
.Penyelesaian
3 8 2 0 6 12
1 4 2 1 2
0
5 2 1 3 2
0
2 2 2 1 2
0 2
]
[
)
2
(
]
[
22
x
x
dx
x
x
dx
xy
xydydx
xxx x
.
CONTOH 5 Tentukan luas daerah D yang dibatasi oleh
y
2
x
dany
x
2.Penyelesaian
Dari skets daerah pengintegralan diperoleh x y
a b
)
(
x
)
(
x
x y
c d
)
(
y
(
y
)
D D
(a) (b)
y
}
2
,
2
0
|
)
,
{(
x
y
x
x
2y
x
D
Dengan demikian, luas daerah D adalah
2
0
2 2
0 2
)
2
(
2
dx
x
x
dydx
dA
A
x x
D
3
4
]
[
2 31 3 02x
x
CONTOH 6 Tentukan volume tetrahedron yang dibatasi oleh bidang
z
4
2
x
y
dan bidang koordinat.Penyelesaian
Bangun tetrahedron yang dibatasi oleh bidang
z
4
2
x
y
dan bidang koordinat diperlihatkan pada Gambar 5.5.Gambar 5.5
Daerah pengintegralan (proyeksi bangun pada bidang xoy) berupa segitiga dan dapat dinyatakan oleh
D
{(
x
,
y
)
|
0
x
2
,
0
y
4
2
x
}
. Dengan demikian, volume tetrahedron tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.2
0 2 4
0
)
2
4
(
)
2
4
(
x D
dydx
y
x
dA
y
x
V
2
0
2 2
1 2
0
2 4 0 2 2
1
]
(
4
(
4
2
)
2
(
4
2
)
(
4
2
)
)
2
4
[
y
xy
y
xdx
x
x
x
x
dx
2
0
2 2
1 2
))
4
16
16
(
4
8
8
16
(
x
x
x
x
x
dx
3
16
]
4
8
[
)
2
8
8
(
2 32 3 202
0
2
x
x
x
dx
x
x
4
4 2
x
z
y
2 4
x y
x
y
4
2
0 D
}
2
4
0
,
2
0
|
)
,
{(
x
y
x
y
x
Mengubah Urutan Pengintegralan Kadang-kadang, mengintegralkan dalam urutan tertentu sulit dilakukan. Salah satu cara mengatasinya adalah dengan mengubah urutan pengintegralan dari
bentuk ”dydx” menjadi ”dxdy”. Meskipun urutan pengintegralan ini berubah, daerah pengintegralannya tetap sehingga hasil akhirnya akan tetap sama. Mengubah urutan pengintegralan dapat dilakukan jika fungsi batas pengintegralan memiliki invers.
CONTOH 7 Hitung D
ydA
x
2dengan D adalah daerah yang dibatasi oleh garis
y
2
x
dan
y
x
2. Hitung integral ini dengan dua cara (berbeda urutan).Penyelesaian
Daerah pengintegralan D seperti diperlihatkan pada
Gambar 5.6. Daerah D ini dapat dinyatakan dalam dua cara sebagai berikut.
(1)
D
{(
x
,
y
)
|
0
x
2
,
x
2y
2
x
}
(2)
D
{(
x
,
y
)
|
0
y
4
,
y
/
2
x
y
}
Untuk
D
{(
x
,
y
)
|
0
x
2
,
x
2y
2
x
}
:35 128 2 0 7 14
1 5 5 2 2
0
6 2 1 4 2
0
2 2 2 2 1 2
0 2
2 2
]
[
)
2
(
]
[
22
x
x
dx
x
x
dx
y
x
ydydx
x
ydA
x
xxx x D
Untuk
D
{(
x
,
y
)
|
0
y
4
,
y
/
2
x
y
}
:35 128 4 0 5 120
1 21
2 4
0
4 24
1 3 1 4
0
2 / 3 3 1 4
0 /2 2 2
]
[
)
(
]
[
27 2
5
y
y
dx
y
y
dx
y
x
ydxdy
x
ydA
x
yyy y D
Perhatikan bahwa hasil akhirnya sama. Jadi, mengubah urutan pengintegralan tidak akan mengubah hasil akhir hasil pengintegralan.
CONTOH 8 Hitung
dydx
y
x
x
x
2
0 4
2 4
3
2
.
Penyelesaian
Pengintegralan dengan urutan seperti di atas sulit dilakukan. Oleh karena itu, kita ubah urutan pengintegralannya. Dari batas-batas pengintegralan di atas diperoleh daerah pengintegralannya adalah
D
{(
x
,
y
)
|
x
2y
4
,
0
x
2
}
. Daerah ini diperlihatkan pada Gambar 5.7. Daerah ini juga dapat dinyatakan sebagaiD
{(
x
,
y
)
|
0
x
y
,
0
x
4
}
. Dengan demikian, menghitung integralnya sebagai berikut.x y
0 2
4
y
x
x
y
22
/
2
x
x
y
y
D
4
0 0
2 4
3 2
0 4
2 4
3
2
y x
dxdy
y
x
x
dydx
y
x
x
(*)
Untuk mengintegralkan bagian dalam (terhadap x), gunakan metode substitusi:
dx
x
du
y
x
u
4 24
3dengan batas-batas:
x
0
u
y
2,2
2
y
u
y
x
Dengan demikian, diperoleh
4
0 2 1 4
0 2 2 / 1 2 1 4
0 2
2 / 1 4 1 4
0 0
2 4
3
)
1
2
(
]
[
22 22
ydy
dy
u
dudy
u
dxdy
y
x
x
yy y
y y
)
1
2
(
4
]
)
1
2
(
[
41y
2 40Jadi,
)
1
2
(
4
4
0 0
2 4
3 2
0 4
2 4
3
2
y x
dxdy
y
x
x
dydx
y
x
x
.
SOAL-SOAL LATIHAN 5.1
1. Hitung integral berikut.
(a)
2
1 3
0 2
)
(
x
y
dxdy
(b)2
0 4
1 2
dydx
xy
2. Tentukan
xy
dA
D
jika:
(a) D adalah daerah yang dibatasi oleh garis
x
0
,x
2
, dany
2
x
. (b) D adalah daerah yang dibatasi oleh garisy
x
dany
x
2.3. Nyatakan luas daerah D berikut dalam bentuk integral lipat dua, kemudian hitung integralnya. (a)
D
{(
x
,
y
)
|
0
x
4
,
x
y
x
}
(b) D adalah daerah yang dibatasi oleh garis
x
1
,x
3
, dany
x
3
.4. Tentukan volume benda padat yang dibatasi oleh permukaan
9
x
24
y
236
0
dan bidang9
x
4
y
6
z
0
.5. Tentukan volume bangun yang dibatasi oleh bidang
2
x
y
2
z
4
0
dengan bidang koordinat.4
0 2 x
y
4
y
y
x
x
y
2D
6. Ubah urutan pengintegralan dari integral berikut.
(a)
2
0 1
)
,
(
x
dydx
y
x
f
(b)4
0 2 /
0
)
,
(
y
dxdy
y
x
f
7. Skets daerah pengintegralan, ubah urutannya, kemudian hitung integralnya.
(a)
1
0 0 2
y x
dxdy
e
(b)0
sin
x
dydx
y
y
5.2
Integral Lipat Tiga
Integral lipat tiga merupakan perluasan dari integral lipat dua ke dimensi yang lebih tinggi. Sebagai ilustrasi, tinjau sebuah balok yang panjangnya p, lebarnya l, dan tingginya t, seperti pada
Gambar 5.8(a). Dalam bentuk integral lipat dua, volume balok ditentukan dengan mengintegralkan
z
f
(
x
,
y
)
t
pada daerahD
{(
x
,
y
,
z
)
|
0
x
p
,
0
y
l
}
sebagai berikut.plt
ltx
ltdx
dx
ty
tdydx
dA
y
x
f
V
pp p
l p l
D
0 0
0 0 0 0
]
[
]
[
)
,
(
Gambar 5.8
Sekarang, ambil segmen panjang pada x = dx, segmen panjang pada y = dy, dan segmen panjang pada z = dz. Segmen volume balok adalah
dV
dzdydx
. Daerah penginteralannya adalah}
0
,
0
,
0
|
)
,
,
{(
x
y
z
x
p
y
l
z
t
B
. Volume total balok ditentukan denganintegral lipat tiga sebagai berikut.
plt
ltdx
tdydx
dzdydx
dV
p p l
p l t
B 0 0 0 0 0 0
.
Hasilnya sama dengan cara menggunakan integral lipat dua. dy dx
dz
x
y z
)
,
(
x
y
z
)
,
(
x
y
z
)
(
x
y
)
(
x
y
a b x
y z
B
(a) (b)
p
Secara umum, fungsi
f
(
x
,
y
,
z
)
dapat diintegralkan pada daerah pengintegralannya. Daerah pengintegralan integral lipat tiga (lihat Gambar 5.8(b)) secara umum ditulis:)}
,
(
)
,
(
),
(
)
(
,
|
)
,
,
{(
x
y
z
a
x
b
x
y
x
x
y
z
x
y
B
.Bentuk integral lipat tiga dalam ditulis sebagai
b a x x y x y x B
dzdydx
z
y
x
f
dV
z
y
x
f
) ( ) ( ) , ( ) , ()
,
,
(
)
,
,
(
Interpretasi geometri dan fisis Secara geometri, dalam kasus
f
(
x
,
y
,
z
)
1
,B B
dV
dV
z
y
x
f
(
,
,
)
adalah volume benda B. Secara fisis, untukf
(
x
,
y
,
z
)
0
padaB, B
dV
z
y
x
f
(
,
,
)
massa benda denganf
(
x
,
y
,
z
)
massa jenis benda B di(
x
,
y
,
z
)
.CONTOH 1 Hitung
1 0 0 x x y
xyzdzdydx
. Penyelesaian 1 0 3 2 1 1 0 0 2 2 1 1 0 0]
[
x x x x y x x ydydx
xy
dydx
xyz
xyzdzdydx
1 961
0 6 6 1 4 4 1 8 1 1 0 5 3 8 1 1 0 4 8
1
[
xy
]
xdx
(
x
x
)
dx
[
x
x
]
x .
CONTOH 2 Tentukan
x
yz
dV
B 2 dengan
}
0
,
2
,
1
0
|
)
,
,
{(
x
y
z
x
x
2y
x
z
xy
B
. Penyelesaian 1 0 1 0 2 0 2 2 2 1 2 0 2 2 2 2]
[
x x xy x x xy Bdydx
yz
x
yzdzdydx
x
dV
yz
x
1 0 2 4 4 8 1 1 0 2 3 4 2 1 2 2]
[
x
y
dx
dydx
y
x
x x x x 936 119 1 0 13 13 1 9 9 16 8 1 1 0 12 8 8CONTOH 3 Sebuah benda B dibatasi oleh silinder parabol
z
2
21x
2 dan bidangz
0
,x
y
, dany
0
. Nyatakan volume benda dalam bentuk integral lipat tiga, kemudian carilah nilainya.Penyelesaian
Benda B yang dimaksud seperti ditunjukkan pada Gambar 5.9. Dari Gambar 5.9(b) jelas bahwa daerah pengintegralannya adalah
B
{(
x
,
y
,
z
)
|
0
x
2
,
0
y
x
,
0
z
2
21x
2}
.Dengan demikian,
2
0 0
2 2 1 2
0 0 2
0
)
2
(
2 2 1
x x x
B
dydx
x
dzdydx
dV
V
(
2
)
[
2 81 4]
202
2
0
3 2
1
x
dx
x
x
x
Gambar 5.9
SOAL-SOAL LATIHAN 5.2
1. Hitung integral berikut.
(a)
x
y
z
dz
dydx
1
0 1
0 1
0
2 2 2
)
(
(b)1
0 3
0 8
3 2 2
2 2
y x y y x
dzdxdy
2. Hitung B
xdzdydx
jika(a)
B
{(
x
,
y
,
z
)
|
0
x
1
,
0
y
2
x
,
0
z
2
x
y
}
(b) B adalah daerah yang dibatasi oleh permukaan
z
4
x
2y
dan bidangx
1
,0
y
,y
1
x
2, danz
3
. xy z
Bidang y = 0 Bidang y = x
Pemukaan
2 2 1
2
x
z
x
y z
y = x Pemukaan
2 2 1
2
x
z
2
2
0
3. Benda B dibatasi oleh bidang
y
z
1
dany
x
2. Nyatakan volume benda B dalam bentuk integral berulang lipat tiga kemudian tentukan nilainya.4. Tentukan volume benda yang dibatasi oleh bidang koordinat dan bidang
x
z
1
dan2
2
z
y
di oktan pertama.5.3
Transformasi Koordinat Pada Integral Lipat
5.3.1
Transformasi Integral Lipat Dua pada Koordinat Polar
Koordinat polar Tinjau Gambar 5.10. Titik (x, y) dalam koordinat bidang dapat dinyatakan dalam koordinat polar (r, θ). Hubungan antara besaran dalam koordinat kutub dan koordinat polar sebagai berikut.
cos
r
x
sin
r
y
2 2 2
y
x
r
Integral lipat dua dalam koordinat polar Tinjau Gambar 5.11. Pada Gambar 5.11(a), daerah pengintegralan dinyatakan oleh
D
{(
r
,
)
|
a
r
,
}
. Pada Gambar 5.11(b), segmen luas dA dapat dinyatakan olehdA
rdrd
maka*
)
,
(
)
,
(
D
b a
rdrd
r
f
dA
r
f
Gambar 5.11
r
x y
x 0
P(x, y) y
Gambar 5.10
D
θ = α θ = β
r = b
r = a
Sumbu polar
dA rdθ
dr dθ
CONTOH 1 Hitung D
dA
r
2sin
dengan D adalah bidang setengah lingkaran berjari-jari 2.
Penyelesaian
Daerah pengintegralannya adalah
D
{(
r
,
)
|
0
r
2
,
0
}
(Gambar 5.12) maka0 2
0 2 2
sin
sin
dA
r
rdrd
r
D
0 2
0 3
sin
drd
r
0 2 0 4 4
1
[
r
]
sin
d
16
]
cos
[
8
sin
8
00
d
Transformasi Integral Lipat Dua pada Koordinat Polar Hubungan antara integral lipat dua dalam koordinat bidang dan koordinat polar sebagai berikut.
*
)
,
(
)
,
(
D D
rdrd
r
f
dA
y
x
f
.dengan
D
*{(
r
,
)
|
,
g
1(
)
r
g
2(
)}
.CONTOH 2 Hitung S
y x
dA
e
2 2 dengan S adalah bidang lingkaranx
2y
24
.Penyelesaian
Persamaan 2 2
4
y
x
adalah lingkaran berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 2. Dengan demikian, daerah pengintegralanya dapat dinyatakan oleh}
4
|
)
,
{(
x
y
x
2y
2S
seperti diperlihatkan padaGambar 5.13. Dalam bentuk polar, daerah ini dinyatakan oleh
S
*{(
r
,
)
|
0
r
2
,
0
2
}
. Dengan transformasi koordinat,r
2x
2y
2, maka2
0 2
0 2
* 2 2
2
rdrd
e
dA
e
dA
e
rS r S
y x
)
1
(
)
1
(
]
[
42
0 4 2 1 2
0 2 0 2
1
e
r2d
e
d
e
r
x y
2
−2 0 θ = 0
θ= π
Gambar 5.12
r
x y
2
−2 0
θ = 0
θ= 2π
−2
CONTOH 3 Hitung
1
0 1
0 2 2
2
1
1
ydx
d
y
x
x
.
Penyelesaian
Daerah pengintegralan dari integral di atas adalah
D
{(
x
,
y
)
|
0
x
1
,
0
y
1
x
2}
. Daerah ini diperlihatkan pada Gambar 5.14. Dengan memperhatikan Gambar 5.14, daerah D dapat dinyatakan dalam bentuk polar sebagai berikut.
1
1
1
1
2 2
2
2 2
2
r
y
x
x
y
x
y
sehingga diperoleh
}
2
/
0
,
1
0
|
)
,
{(
*
r
r
D
Dengan transformasi koordinat ke koordinat polar,
2 2
2
1
1
x
y
r
rdrd
dydx
dA
maka
2 /
0 1
0 2
1
0 1
0 2 2
1
1
1
1
2
rdrd
r
ydx
d
y
x
x
2
1
2 /
0 2
/
0
1
0 2
d
d
r
.CONTOH 4 Hitung
1
0 1
2 2 2
)
sin(
y y
dxdy
y
x
.Penyelesaian
Daerah pengintegralan di atas adalah
D
{(
x
,
y
)
|
0
y
1
,
y
x
1
y
2}
. Daerah ini diperlihatkan pada Gambar 5.15. Dengan memperhatikan Gambar 5.15, daerah D dapat dinyatakan dalam bentuk polar sebagai berikut.Titik potong kedua kurva:
x
1x
2x
y
y
y
y
y
y
2
1
2
1
1
2 1 2
2 2
2
maka 1 4
2 1 2 1
1
1
2
2
tan
x
y
Untuk y = 1, x = 0 maka
tan
2 01 2 2 sehingga diperoleh 4 2 . Selanjutnya,x y
1 1
0
2
1
y
x
θ2= π/2
Gambar 5.15
θ1= π/4
y
x
Gambar 5.14
r
x y
1 1
0
θ = 0
2
1
x
y
1
1
1
1
y
2x
2y
2x
2y
2r
2x
sehingga diperoleh
D
*{(
r
,
)
|
0
r
1
,
0
/
2
}
. Dengan transformasi koordinat ke koordinat polar,
2 2
2
sin
)
sin(
x
y
r
rdrd
dxdy
dA
maka
2 /
4 /
1 0 2 2
1 2
/
4 /
1
0 2 1
0 1
2 2
]
cos
[
)
(sin
)
sin(
2
d
r
rdrd
r
dxdy
y
x
y y
.
)
1
cos
1
(
)
1
cos
1
(
42 /
4 / 2
1
d
5.3.2
Mengganti Peubah Integral: Transformasi Jacobi
Misalnya daerah S dalam bidang uv ditransformasikan satu ke satu pada daerah D dalam bidang xy dengan persamaan berbentuk:
),
,
(
u
v
g
x
y
h
(
u
,
v
)
,seperti diilustrasikan pada Gambar 5.16. Sebuah fungsi
f
(
x
,
y
)
yang didefinisikan pada D dapat dipandang sebagai fungsif
(
g
(
u
,
v
),
h
(
u
,
v
))
yang didefinisikan pada G. Jika g, h, dan f memiliki turunan parsial kontinu,S D
dudv
v
u
J
v
u
h
v
u
g
f
dxdy
y
x
f
(
,
)
(
(
,
),
(
,
))
|
(
,
)
|
Gambar 5.16
dengan
J
(
u
,
v
)
adalah determinan Jacobi yang didefinisikan sebagai berikut.• (u, v) • (x, y)
u
v
y
x x = g(u, v)
y = h(u, v)
v
x
u
y
v
y
u
x
v
y
u
y
v
x
u
x
v
u
y
x
v
u
J
)
,
(
)
,
(
)
,
(
CONTOH 1 Hitung D
dA
y
xy
x
)
2
(
2 2 dengan D adalah daerah yang dibatasi oleh garisy
2
x
4
,y
2
x
7
,y
x
2
, dany
x
1
.Penyelesaian
Daerah pengintegralan D dalam koordinat bidang-xy diperlihatkan pada Gambar 5.17. Untuk mentranformasikan ke koordinat kurvilinear, kita tentukan dahulu daerah S pada bidang-uv yang terkait dan determinan Jacobi. Untuk itu, pilih
u
2
x
y
danv
x
y
. Selanjutnya, nyatakan x dan y dalam u dan v dengan memecahkan sistem persamaan di atas sebagai berikut.x
v
u
y
x
v
y
x
u
3
2
y
v
u
y
x
v
y
x
u
3
2
2
2
2
2
diperoleh
)
(
3
1
v
u
x
dan(
2
)
3
1
v
u
y
Turunan parsial pertama x dan y masing-masing adalah
3
1
u
x
;
3
1
v
x
;
3
1
u
y
;
3
2
v
y
maka
3
1
3
1
3
1
3
2
3
1
)
,
(
)
,
(
v
x
u
y
v
y
u
x
v
u
y
x
Batas-batas daerah S sebagai berikut.
4
4
2
4
2
x
x
y
u
y
y
2
x
7
2
x
y
7
u
7
2
2
2
x
y
v
x
y
1
1
1
x
y
v
x
y
Gambar 5.17
Selanjutnya, integrannya ditransformasikan menjadi sebagai berikut.
uv
y
x
y
x
y
xy
x
(
2
)(
)
2
2 2Dengan demikian,
S D
dudv
v
u
J
uv
dA
y
xy
x
)
|
(
,
)
|
2
(
2 22
1
7 4 2 2 1 2
1 7
4 3
1
[
]
3
1
)
(
dudv
u
v
dv
uv
4
33
]
[
2
11
33
6
1
21 2 2 1 2
1
v
vdv
CONTOH 2 Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh
xy
1
,xy
4
,y
2
x
, dany
x
2
.Penyelesaian
Daerah yang dimaksud pada soal diperlihatkan pada Gambar 5.18. Daerah S yang berkaitan dengan daerah D dapat ditentukan sebagai berikut.
Gambar 5.18
D
y
x
2
1
x
y
7
2
x
y
4
2
x
y
x y
4
2 7/2 7
1
S
u = 4 u = 7 v = −1 v = 2
v u
x y
0
y
x
2
x
y
2
4
xy
1
xy
D
v u
0
2 1
v
v
2
4
u
1
u
Pilih
u
xy
danv
y
/
x
. Kita juga dapat menentukan determinan Jacobi dengan terlebih dahulu menentukan turunan parsial u dan v masing-masing terhadap x dan y sebagai berikut.y
x
u
;
x
y
u
;
2
x
y
x
v
;
x
y
v
1
y
u
x
v
y
v
x
u
y
x
v
u
)
,
(
)
,
(
v
x
y
x
x
y
x
y
1
22
2
maka
v
y
x
v
u
v
u
y
x
v
u
J
2
1
)
,
(
)
,
(
1
)
,
(
)
,
(
)
,
(
Persamaan garis pada bidang-uv yang berkaitan dengan garis pada bidang-xy sebagai berikut.
1
1
u
xy
4
4
u
xy
2
2
2
v
x
y
x
y
2
1
2
1
2
v
x
y
y
x
Keempat garis tersebut pada bidang-uv diperlihatkan pada Gambar 5.18. Dari gambar jelas bahwa daerah S yang bersesuaian dengan daerah D adalah
S
{(
u
,
v
)
|
1
u
4
,
21v
2
}
. Dengan demikian, luas daerah D adalah
4
ln
2
3
]
[ln
2
3
2
3
2
1
|
)
,
(
|
12/22
2 / 1 2
2 / 1
4
1
v
dv
v
dudv
v
dudv
v
u
J
dxdy
S D
.
5.3.3
Transformasi Integral Lipat Tiga pada Koordinat Tabung
Koordinat Tabung Hubungan antara
koordinat bidang (x, y, z) dan koordinat tabung (r, θ, z) sebagai berikut (Gambar 5.18).
cos
r
x
sin
r
y
z
z
2 2 2
r
y
x
P(r, θ, z) = P(x, y, z) y
x z
r
θ
x
y z
Transformasi Integral Lipat Tiga pada Koordinat Tabung Tinjau benda pejal B pada Gambar 5.19. Pada Gambar 5.19(a), proyeksi B pada bidang-xy adalah daerah D yang dapat dinyatakan oleh
D
{(
r
,
)
|
1 2,
r
1(
)
r
r
2(
)}
. Pada sumbu-z, benda B dibatasi oleh)
,
(
1
r
z
z
danz
z
2(
r
,
)
. Dengan demikian, benda pejal B dapat dinyatakan oleh)}
,
(
)
,
(
),
(
)
(
,
|
)
,
,
{(
r
z
1 2r
1r
r
2z
1r
z
z
2r
B
.Gambar 5.19
Gambar 5.19(b) memperlihatkan elemen volume dV. Elemen volume ini dapat dinyatakan oleh
rdzdrd
dV
Dengan menggunakan transformasi koordinat: (x, y, z) → (r, θ, z), diperoleh hubungan antara integral lipat tiga pada koordinat bidang dan koordinat tabung sebagai berikut.
2
1 2
1 2
1 ) (
) (
) , (
) , (
)
,
,
(
)
,
,
(
r r
r z
r z B
rdzdrd
z
r
F
dV
z
y
x
f
CONTOH 1 Benda B dibatasi oleh tabung
x
2y
24
, bidang xoy, dan bidang2
2
z
y
. Tentukan volume benda B.Penyelesaian
Benda B seperti diperlihatkan pada Gambar 5.20(a). Daerah pengintegralan dalam koordinat tabung ditentukan sebagai berikut.
Proyeksi benda B pada bidang xoy adalah daerah D yang diperlihatkan pada Gambar 5.20(b). Jika ditransformasikan ke koordinat tabung, diperoleh
4
2 2
y
x
→r
24
→r
2
Dengan demikian, daerah D dapat dinyatakan oleh
D
{(
r
,
)
|
0
2
,
0
r
2
}
. drdz
rdθ
dθ
x
y z
D B
θ2
x
y z
θ1
r2(θ)
r1(θ)
z1(r,θ)
z2(r,θ)
Gambar 5.20
Batas-batas pada sumbu z adalah bidang xoy (z = 0) dan bidang
y
2
z
2
. Dalam koordinat tabung,2
2
z
y
→r
sin
2
z
2
→z
1
21r
sin
sehinga diperoleh batas-batas pada sumbu z adalah
0
z
1
21r
sin
. Jadi, secara keseluruhan daerah pengintegralannya adalah
}
sin
1
0
,
2
0
,
2
0
|
)
,
,
{(
r
z
r
z
12r
B
Selanjutnya, volume benda B ditentukan sebagai berikut.
2
0 2
0
sin 1 0 2
0 2
0 sin 1
0
2 1 2
1
]
[
rz
drd
rdzdrd
dV
V
rr B
2
0
2 0 3 6 1 2 2 1 2
0 2
0
2 2
1
sin
)
[
sin
]
(
r
r
drd
r
r
d
4
]
cos
2
[
)
sin
2
(
68 202
0 6
8
d
CONTOH 2 Hitung B
dV
y
x
)
(
2 2 jika B dibatasi oleh permukaanz
4
x
2y
2dan bidang
z
0
.Penyelesaian
Benda B diperlihatkan pada Gambar 5.21. Proyeksi benda B pada bidang xoy berupa lingkaran berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 2. Daerah ini dapat dinyatakan oleh
}
2
0
,
2
0
|
)
,
{(
r
r
D
.Dalam koordinat tabung,
y
x
z
y
z
1
12x y
}
2
0
,
2
0
|
)
,
{(
r
r
D
2
−2
4
2 2
y
x
2 2 2
r
y
x
;dV
rdzdrd
2 2
2
4
4
x
y
r
z
Maka batas-batas dalam sumbu-z adalah
0
z
4
r
2. Dengan demikian, benda B dapat dinyatakan oleh}
4
0
,
2
0
,
2
0
|
)
,
,
{(
r
z
r
z
r
2B
.Gambar 5.21
Dengan demikian,
2
0 2
0 4 0 3 2
0 2
0 4
0 2 2
2 2
2
]
[
)
(
x
y
dV
r
rdzdrd
r
z
rdrd
r B
3
32
3
16
]
[
)
4
(
2
0 2
0
2 0 6 6 1 4 2
0 2
0
5 3
d
d
r
r
drd
r
r
5.3.4
Transformasi Integral Lipat Tiga pada Koordinat Bola
Titik-titik pada koordinat bola dinyatakan oleh (r, θ, ) dan hubungannya dengan koordinat bidang (x, y, z) seperti diperlihatkan pada Gambar 5.22. Dalam hal ini,
cos
sin
r
x
;y
r
sin
sin
cos
r
z
;0
2 2 2 2
z
y
x
r
y z
x
2
−2 x
y
2
−2 B
D
D
P(r, θ, )
θ
r
x
y z
Elemen volume dV dalam koordinat bola diperlihatkan pada Gambar 5.23. Besarnya adalah
d
drd
r
dV
2sin
Hubungan antara integral lipat tiga dalam koordinat bidang dan koordinat bola dinyatakan oleh
2
1 2
1 2
1 ) (
) (
) , (
) , (
2
sin
)
,
,
(
r r B
d
drd
r
dV
z
y
x
f
Gambar 5.23
CONTOH 1 Buktikan bahwa volume bola berjari-jari R adalah 3
3
4
R
.Penyelesaian
Daerah pengintegralan bola adalah
B
{(
r
,
,
)
|
0
2
,
0
,
0
r
R
}
(Gambar 5.24). Volume bola adalah0 2
0 0 2
sin
R B
d
drd
r
dV
V
0 2
0
0 3 3
1
sin
]
[
r
Rd
d
02
0 3 3
1
R
sin
d
d
0
2 0 3
3
1
R
sin
[
]
d
0 3
sin
3
2
d
R
3 0
3
3
4
]
cos
[
3
2
R
R
x
y z
R
R B
Gambar 5.24
d
dθ θ
d
r
sin
r
dr
rd dθ
d
r
sin
x
CONTOH 2 Hitung 3 3 9 9 9 9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3
)
(
x x z x z xdydzdx
z
y
x
. PenyelesaianKita selesaikan integral di atas dengan mengubahnya ke koordinat bola. Daerah pengintegralannya adalah
}
9
9
,
9
9
,
3
3
|
)
,
,
{(
x
y
z
x
x
2z
x
2x
2z
2y
x
2z
2B
Daerah ini diperlihatkan pada Gambar 5.25. Dalam koordinat bola, daerah pengintegralannya dapat dinyatakan oleh
}
2
0
,
0
,
3
0
|
)
,
,
{(
*r
r
B
Integran dan elemen volumenya
3 2 2 2 2 2 3 2 3
)
(
)
(
x
y
z
r
r
d
drd
r
dV
2sin
Dengan demikian diperoleh
0 2 0 3 0 5 3 3 9 9 9 9 2 2 2
sin
)
(
2 2 2 2 2 2 2 3d
drd
r
dydzdx
z
y
x
x x z x z x486
]
cos
[
243
sin
2
2
243
]
[
sin
2
243
sin
]
sin
[
0 0 0 2 0 0 2 0 2 243 0 2 0 3 0 6 6 1d
d
d
d
d
d
r
SOAL-SOAL LATIHAN 5.3
1. Hitung integral berikut.
(a) 2 / 0 sin 0
rdrd
(b) 0 cos 1 0sin
drd
r
3. Gunakan koordinat polar untuk menentukan volume benda padat di oktan pertama yang berada di dalam paraboloida
z
x
2y
2 dan di dalam silinder 2 29
y
x
.4. Gunakan transformasi Jacobi untuk menentukan integral berikut:
4
0 1 2
2
2
2
y
y
dxdy
y
x
5. Jika D adalah daerah di kuadran pertama bidang-xy yang dibatasi oleh hiperbola
xy
1
,9
xy
, dan garisy
x
,y
4
x
. Gunakan transformasix
u
/
v
dany
uv
dengan0
u
danv
0
untuk mengubah integral:D x y
dxdy
xy
sebagai integral di atas daerah S pada bidang-uv, kemudian tentukan hasilnya.
6. Hitung
3
0 9
0 2
0
2 2 2
x
dzdydx
y
x
. (Petunjuk: Gunakan koordinat tabung!)7. Tentukan volume benda padat yang dibatasi oleh paraboloid
z
4
x
2y
2, bidang0
z
. (Petunjuk: Gunakan koordinat tabung!)8. Tentukan volume volume benda padat di dalam bola
x
2y
2z
216
, di luar kerucut2 2
y
x
z
, dan di atas bidang xoy. (Petunjuk: Gunakan koordinat bola!)