MODUL 5 INTEGRAL LIPAT DAN PENGGUNAANNYA

MODUL 5

INTEGRAL LIPAT DAN PENGGUNAANNYA

Satuan Acara Perkuliahan Modul 5 (Integral Lipat dan Penggunaannya) sebagai berikut.

Pertemuan ke- Pokok/Sub Pokok Bahasan Tujuan Pembelajaran 1 Integral Lipat

Integral Lipat Dua

Mengubah Urutan Pengintegralan

Integral Lipat Tiga

Mahasiswa diharapkan mampu:

 menghitung integral lipat dua dengan menggunakan integral

berulang.

,

b d

,

a c R

f x y dA

f x y dy dx

 menggunakan interpretasinya untuk menentukan

masalah real seperti penentuan volume benda pejal.  memahami daerah pengintegralan yang lebih umum

dan menentukan batas-batasnya.

 menuliskan integral lipat dua sebagai integral berulang. 2 1

,

b x

,

a x R

f x y dA

f x y dy dx

atau 2 1

,

d x

,

c x S

f x y dA

f x y dx dy

.

 melakukan perubahan urutan pengintegralan dari

menjadi

dxdy

dydx

atau sebaliknya,

 menggunakannya untuk menentukan masalah real seperti penentuan volume benda pejal dan sejenisnya.  menghitung integral lipat tiga menggunakan integral

berulang,

 menggunakan integral lipat tiga untuk menentukan volume benda.

2 Integral Lipat

Transformasi Integral Lipat Dua pada Koordinat Polar

Mengganti Peubah Integral;

Mahasiswa diharapkan mampu:

 memahami daerah pengintegralan dalam koordinat polar/kutub dan menentukan batas-batasnya.

 menuliskan integral lipat dua sebagai integral berulang

,

cos , sin

R R

f x y dA

f r

r

rdrd

.

 melakukan transformasi integral dari koordinat Cartesius ke koordinat polar dan sebaliknya

,

cos , sin

R R

f x y dxdy

f r

r

rdrd

 mentransformasikan satu ke satu pada daerah S di bidang-uv ke daearah D di bidang-xy dengan

Jacobi persamaan berbentuk: x = g(u,v), y = h(u,v).  menentukan determinan Jacobi

 mentransformasikan integral menggunakan transformasi Jacobi dengan formula:

S D

dudv

v

u

J

v

u

h

v

u

g

f

dxdy

y

x

f

(

,

)

(

(

,

),

(

,

))

|

(

,

)

|

3 Integral Lipat Transformasi Integral Lipat Tiga pada Koordinat Bola

Transformasi Integral Lipat Tiga pada Koordinat Tabung

Mahasiswa diharapkan mampu:

 mengubah koordinat dari koordinat ruang ke koordinat bola atau sebaliknya

 mentransformasikan integral lipat tiga dalam koordinat ruang menjadi koordinat bola dan menghitungnya  mengubah koordinat dari koordinat ruang ke koordinat

tabung atau sebaliknya

 mentransformasikan integral lipat tiga dalam koordinat ruang menjadi koordinat tabung dan menghitungnya

4 Integral Lipat

Penggunaan Integral Lipat

Mahasiswa diharapkan mampu:

 mampu menggunakan integral lipat dua untuk menyelesaikan berbagai masalah seperti penentuan pusat massa, volume, momen inersia, dan sebagainya.  mampu menggunakan integral lipat tiga untuk

menyelesaikan berbagai masalah seperti penentuan pusat massa, volume, momen inersia, dan sebagainya.

5.1 Integral Lipat Dua

5.1.1 Integral Lipat Dua Pada Bidang Segiempat

Perhatikan Gambar 5.1. Proyeksi kurva permukaan

z

f

(

x

,

y

)

pada bidang xoy adalah daerah pengintegralan D. Jika daerah pengintegralannya berupa bidang segiempat dengan

a

x

b

dan

d

y

c

, secara umum ditulis:

D

{(

x

,

y

)

|

a

x

b

,

c

y

d

}

.

Gambar 5.1

Pengintegralan

f

(

x

,

y

)

terhadap daerah

D

{(

x

,

y

)

|

a

x

b

,

c

y

d

}

dinyatakan sebagai integral berulang sebagai berikut:

D b a d c

dydx

y

x

f

dA

y

x

f

(

,

)

(

,

)

Catatan: Ketika mengintegralkan terhadap x, anggap y konstanta. Demikian pula, ketika

mengintegralkan terhadap y, anggap x konstanta.

CONTOH 1 Hitung D

dA

y

x

)

2

(

dengan

D

{(

x

,

y

)

|

0

x

2

,

0

y

1

}

. Penyelesaian

Integralkan dulu bagian dalam terhadap y (anggap x konstanta), hasilnya kemudian integralkan terhadap x. 2 0 1 0

)

2

(

)

2

(

x

y

dA

x

y

dydx

D

5

]

[

)

2

(

]

2

[

2 ₂1 2₀ 2 0 2 1 2 0 1 0 2 2 1

_y

_dx

_x

_dx

_x

_x

xy

D x y a b c d

)

,

(

x

y

f

z

D y x z a b c d

CONTOH 2 Hitung 3 0 2 1 2 2

)

(

x

y

xy

dxdy

. Penyelesaian 3 0 2 1 2 2 2 1 3 3 1 3 0 2 1 2 2

]

[

)

(

x

y

xy

dxdy

x

y

x

y

dy

24

]

[

]

[

2 ₂1 3 3₀ 6 7 3 0 2 2 3 3 7

_y

_y

_dy

_y

_y

Interpretasi geometris integral lipat dua

D

dA

y

x

f

(

,

)

adalah volume bangun di bawah permukaan

z

f

(

x

,

y

)

yang berada di atas bidang D. Jika

f

(

x

,

y

)

1

, integral tersebut

D

dA

sama dengan luas bidang D.

CONTOH 3 Tentukan volume bangun di bawah permukaan

z

4

x

2

y

2 yang berada di atas bidang

D

{(

x

,

y

)

|

0

x

1

,

0

y

1

}

.

Penyelesaian

Bangun di bawah permukaan

z

4

x

2

y

2 yang berada di atas bidang

D

{(

x

,

y

)

|

0

x

1

,

0

y

1

}

adalah seperti pada Gambar 5.2 di samping. Volume bangun tersebut adalah

1 0 1 0 2 2 2 2

)

4

(

)

4

(

x

y

dA

x

y

dydx

V

D 1 0 2 3 11 1 0 1 0 3 3 1 2

)

(

]

4

[

y

x

y

y

dx

x

dx

3 10 1 0 3 3 1 3 11

_]

[

x

x

5.1.2 Integral Lipat Dua Pada Bidang Bukan Segiempat

Daerah pengintegralan dapat berupa bidang sebarang (bukan segiempat), seperti diilustrasikan pada Gambar 5.4. Untuk kasus seperti ini, kita dapat mengambil batas pada sumbu-x konstanta, sedangkan batas pada sumbu y sebagai fungsi dari x atau sebaliknya. Pada Gambar 5.4(a), daerah pengintegralan adalah

D

{(

x

,

y

)

|

a

x

b

,

(

x

)

y

(

x

)}

. Sementara itu, pada

Gambar 5.4(b), daerah pengintegralan adalah

D

{(

x

,

y

)

|

(

y

)

x

(

y

),

c

y

d

}

.

y x z 1 1 0 4 3 2 Gambar 5.2

Gambar 5.4

Jika

f

(

x

,

y

)

diintegralkan terhadap

D

{(

x

,

y

)

|

a

x

b

,

(

x

)

y

(

x

)}

, integralnya ditulis sebagai

b a x x D

dydx

y

x

f

dA

y

x

f

) ( ) (

)

,

(

)

,

(

Di lain pihak, jika daerah pengintegralannya

D

{(

x

,

y

)

|

(

y

)

x

(

y

),

c

y

d

}

,

d c y y D

dxdy

y

x

f

dA

y

x

f

) ( ) (

)

,

(

)

,

(

CONTOH 4 Hitung 2 0 2 2 x x

xydydx

. Penyelesaian 3 8 2 0 6 12 1 4 2 1 2 0 5 2 1 3 2 0 2 2 2 1 2 0 2

]

[

)

2

(

]

[

2 2

x

x

dx

x

x

dx

xy

xydydx

_xx x x .

CONTOH 5 Tentukan luas daerah D yang dibatasi oleh

y

2

x

dan

y

x

2.

Penyelesaian

Dari skets daerah pengintegralan diperoleh

x y a b

)

(x

)

(x

x y c d

)

( y

( y

)

D _D (a) (b) y 4

y

2

x

}

2

,

2

0

|

)

,

{(

x

y

x

x

2

y

x

D

Dengan demikian, luas daerah D adalah

2 0 2 2 0 2

)

2

(

2

dx

x

x

dydx

dA

A

x x D

3

4

]

[

2 ₃1 3 ₀2

x

x

CONTOH 6 Tentukan volume tetrahedron yang dibatasi oleh bidang

z

4

2

x

y

dan bidang koordinat.

Penyelesaian

Bangun tetrahedron yang dibatasi oleh bidang

z

4

2

x

y

dan bidang koordinat diperlihatkan pada Gambar 5.5.

Gambar 5.5

Daerah pengintegralan (proyeksi bangun pada bidang xoy) berupa segitiga dan dapat dinyatakan oleh

D

{(

x

,

y

)

|

0

x

2

,

0

y

4

2

x

}

. Dengan demikian, volume tetrahedron tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.

2 0 2 4 0

)

2

4

(

)

2

4

(

x D

dydx

y

x

dA

y

x

V

2 0 2 2 1 2 0 2 4 0 2 2 1

_]

₍

₄

₍

₄

₂

₎

₂

₍

₄

₂

₎

₍

₄

₂

₎

₎

2

4

[

y

xy

y

x

dx

x

x

x

x

dx

2 0 2 2 1 2

))

4

16

16

(

4

8

8

16

(

x

x

x

x

x

dx

3

16

]

4

8

[

)

2

8

8

(

2 ₃2 3 2₀ 2 0 2

x

x

x

dx

x

x

4 4 2 x z y 2 4 x y

x

y

4

2

0 D

}

2

4

0

,

2

0

|

)

,

{(

x

y

x

y

x

D

Mengubah Urutan Pengintegralan Kadang-kadang, mengintegralkan dalam urutan tertentu sulit

dilakukan. Salah satu cara mengatasinya adalah dengan mengubah urutan pengintegralan dari bentuk ”dydx” menjadi ”dxdy”. Meskipun urutan pengintegralan ini berubah, daerah pengintegralannya tetap sehingga hasil akhirnya akan tetap sama. Mengubah urutan pengintegralan dapat dilakukan jika fungsi batas pengintegralan memiliki invers.

CONTOH 7 Hitung D

ydA

x

2 dengan D adalah daerah yang dibatasi oleh garis

y

2

x

dan

y

x

2. Hitung integral ini dengan dua cara (berbeda urutan).

Penyelesaian

Daerah pengintegralan D seperti diperlihatkan pada

Gambar 5.6. Daerah D ini dapat dinyatakan dalam dua

cara sebagai berikut.

(1)

D

{(

x

,

y

)

|

0

x

2

,

x

2

y

2

x

}

(2)

D

{(

x

,

y

)

|

0

y

4

,

y

/

2

x

y

}

Untuk

D

{(

x

,

y

)

|

0

x

2

,

x

2

y

2

x

}

: 35 128 2 0 7 14 1 5 5 2 2 0 6 2 1 4 2 0 2 2 2 2 1 2 0 2 2 2

]

[

)

2

(

]

[

2 2

x

x

dx

x

x

dx

y

x

ydydx

x

ydA

x

_xx x x D Untuk

D

{(

x

,

y

)

|

0

y

4

,

y

/

2

x

y

}

: 35 128 4 0 5 120 1 21 2 4 0 4 24 1 3 1 4 0 2 / 3 3 1 4 0 /2 2 2

]

[

)

(

]

[

2 7 2 5

y

y

dx

y

y

dx

y

x

ydxdy

x

ydA

x

_yy y y D

Perhatikan bahwa hasil akhirnya sama. Jadi, mengubah urutan pengintegralan tidak akan mengubah hasil akhir hasil pengintegralan.

CONTOH 8 Hitung

dydx

y

x

x

x 2 0 4 2 4 3 2 . Penyelesaian

Pengintegralan dengan urutan seperti di atas sulit dilakukan. Oleh karena itu, kita ubah urutan pengintegralannya. Dari batas-batas pengintegralan di atas diperoleh daerah pengintegralannya adalah

D

{(

x

,

y

)

|

x

2

y

4

,

0

x

2

}

. Daerah ini diperlihatkan pada Gambar 5.7. Daerah ini juga dapat dinyatakan sebagai

D

{(

x

,

y

)

|

0

x

y

,

0

x

4

}

. Dengan demikian, menghitung integralnya sebagai berikut.

x y 0 2 4

y

x

x

y

2

2

/

2

x

x

y

y

D Gambar 5.6

4 0 0 2 4 3 2 0 4 2 4 3 2 y x

dxdy

y

x

x

dydx

y

x

x

(*)

Untuk mengintegralkan bagian dalam (terhadap x), gunakan metode substitusi:

dx

x

du

y

x

u

4 2

4

3 dengan batas-batas:

x

0

u

y

2, 2

2y

u

y

x

Dengan demikian, diperoleh

4 0 2 1 4 0 2 2 / 1 2 1 4 0 2 2 / 1 4 1 4 0 0 2 4 3

)

1

2

(

]

[

22 2 2

ydy

dy

u

dudy

u

dxdy

y

x

x

y y y y y

)

1

2

(

4

]

)

1

2

(

[

₄1

_y

2 4₀ Jadi,

)

1

2

(

4

4 0 0 2 4 3 2 0 4 2 4 3 2 y x

dxdy

y

x

x

dydx

y

x

x

.

SOAL-SOAL LATIHAN 5.1

1. Hitung integral berikut.

(a) 2 1 3 0 2

)

(

x

y

dxdy

(b) 2 0 4 1 2

dydx

xy

2. Tentukan

xy

dA

D jika:

(a) D adalah daerah yang dibatasi oleh garis

x

0

,

x

2

, dan

y

2

x

. (b) D adalah daerah yang dibatasi oleh garis

y

x

dan

y

x

2.

3. Nyatakan luas daerah D berikut dalam bentuk integral lipat dua, kemudian hitung integralnya. (a)

D

{(

x

,

y

)

|

0

x

4

,

x

y

x

}

(b) D adalah daerah yang dibatasi oleh garis

x

1

,

x

3

, dan

y

x

3

.

4. Tentukan volume benda padat yang dibatasi oleh permukaan

9

x

2

4

y

2

36

0

dan bidang

9

x

4

y

6

z

0

.

5. Tentukan volume bangun yang dibatasi oleh bidang

2

x

y

2

z

4

0

dengan bidang koordinat. 4 0 2 x y

4

y

y

x

x

y

2 D Gambar 5.7

6. Ubah urutan pengintegralan dari integral berikut. (a) 2 0 1

)

,

(

x

dydx

y

x

f

(b) 4 0 2 / 0

)

,

(

y

dxdy

y

x

f

7. Skets daerah pengintegralan, ubah urutannya, kemudian hitung integralnya. (a) 1 0 0 2 y x

dxdy

e

(b) 0

sin

x

dydx

y

y

5.2 Integral Lipat Tiga

Integral lipat tiga merupakan perluasan dari integral lipat dua ke dimensi yang lebih tinggi. Sebagai ilustrasi, tinjau sebuah balok yang panjangnya p, lebarnya l, dan tingginya t, seperti pada

Gambar 5.8(a). Dalam bentuk integral lipat dua, volume balok ditentukan dengan

mengintegralkan

z

f

(

x

,

y

)

t

pada daerah

D

{(

x

,

y

,

z

)

|

0

x

p

,

0

y

l

}

sebagai berikut.

plt

ltx

ltdx

dx

ty

tdydx

dA

y

x

f

V

p p p l p l D 0 0 0 0 0 0

]

[

]

[

)

,

(

Gambar 5.8

Sekarang, ambil segmen panjang pada x = dx, segmen panjang pada y = dy, dan segmen panjang pada z = dz. Segmen volume balok adalah

dV

dzdydx

. Daerah penginteralannya adalah

}

0

,

0

,

0

|

)

,

,

{(

x

y

z

x

p

y

l

z

t

B

. Volume total balok ditentukan dengan

integral lipat tiga sebagai berikut.

plt

ltdx

tdydx

dzdydx

dV

p p l p l t B 0 0 0 0 0 0 .

Hasilnya sama dengan cara menggunakan integral lipat dua.

dy dx dz x y z

)

,

(

x

y

z

)

,

(

x

y

z

)

(x

y

)

(x

y

a b x y z B (a) (b) p l t

Secara umum, fungsi

f

(

x

,

y

,

z

)

dapat diintegralkan pada daerah pengintegralannya. Daerah pengintegralan integral lipat tiga (lihat Gambar 5.8(b)) secara umum ditulis:

)}

,

(

)

,

(

),

(

)

(

,

|

)

,

,

{(

x

y

z

a

x

b

x

y

x

x

y

z

x

y

B

.

Bentuk integral lipat tiga dalam ditulis sebagai

b a x x y x y x B

dzdydx

z

y

x

f

dV

z

y

x

f

) ( ) ( ) , ( ) , (

)

,

,

(

)

,

,

(

Interpretasi geometri dan fisis Secara geometri, dalam kasus

f

(

x

,

y

,

z

)

1

,

B B

dV

dV

z

y

x

f

(

,

,

)

adalah volume benda B. Secara fisis, untuk

f

(

x

,

y

,

z

)

0

pada B, B

dV

z

y

x

f

(

,

,

)

massa benda dengan

f

(

x

,

y

,

z

)

massa jenis benda B di

(

x

,

y

,

z

)

.

CONTOH 1 Hitung 1 0 0 x x y

xyzdzdydx

. Penyelesaian 1 0 3 2 1 1 0 0 2 2 1 1 0 0

]

[

x x x x y x x y

dydx

xy

dydx

xyz

xyzdzdydx

1 ₉₆1 0 6 6 1 4 4 1 8 1 1 0 5 3 8 1 1 0 4 8 1

_[

_xy

_]

x

_dx

₍

_x

_x

₎

_dx

_[

_x

_x

_]

x . CONTOH 2 Tentukan

x

yz

dV

B 2 dengan

}

0

,

2

,

1

0

|

)

,

,

{(

x

y

z

x

x

2

y

x

z

xy

B

. Penyelesaian 1 0 1 0 2 0 2 2 2 1 2 0 2 2 2 2

]

[

x x xy x x xy B

dydx

yz

x

yzdzdydx

x

dV

yz

x

1 0 2 4 4 8 1 1 0 2 3 4 2 1 2 2

]

[

x

y

dx

dydx

y

x

_xx x x 936 119 1 0 13 13 1 9 9 16 8 1 1 0 12 8 8 1

₍

₁₆

_x

_x

₎

_dx

_[

_x

_x

_]

CONTOH 3 Sebuah benda B dibatasi oleh silinder parabol

z

2

₂1

x

2 dan bidang

z

0

,

x

y

, dan

y

0

. Nyatakan volume benda dalam bentuk integral lipat tiga, kemudian carilah nilainya.

Penyelesaian

Benda B yang dimaksud seperti ditunjukkan pada Gambar 5.9. Dari Gambar 5.9(b) jelas bahwa daerah pengintegralannya adalah

_B

{(

_x

,

_y

,

_z

)

|

0

_x

2

,

0

_y

_x

,

0

_z

2

₂1

_x

2

}

_.

Dengan demikian, 2 0 0 2 2 1 2 0 0 2 0

)

2

(

2 2 1 x x x B

dydx

x

dzdydx

dV

V

(

2

)

[

]

20

2

4 8 1 2 2 0 3 2 1

_x

_dx

_x

_x

x

Gambar 5.9

SOAL-SOAL LATIHAN 5.2

1. Hitung integral berikut.

(a)

x

y

z

dz

dydx

1 0 1 0 1 0 2 2 2

)

(

(b) 1 0 3 0 8 3 2 2 2 2 y x y y x

dzdxdy

2. Hitung B

xdzdydx

jika (a)

B

{(

x

,

y

,

z

)

|

0

x

1

,

0

y

2

x

,

0

z

2

x

y

}

(b) B adalah daerah yang dibatasi oleh permukaan

z

4

x

2

y

dan bidang

x

1

,

0

y

,

y

1

x

2, dan

z

3

. x y z Bidang y = 0 Bidang y = x Pemukaan 2 2 1

2

x

z

x y z y = x Pemukaan 2 2 1

2

x

z

2 2 0 (a) (b)

3. Benda B dibatasi oleh bidang

y

z

1

dan

y

x

2. Nyatakan volume benda B dalam bentuk integral berulang lipat tiga kemudian tentukan nilainya.

4. Tentukan volume benda yang dibatasi oleh bidang koordinat dan bidang

x

z

1

dan

2

2z

y

di oktan pertama.

5.3 Transformasi Koordinat Pada Integral Lipat

5.3.1 Transformasi Integral Lipat Dua pada Koordinat Polar

Koordinat polar Tinjau Gambar 5.10. Titik (x, y) dalam koordinat bidang dapat dinyatakan

dalam koordinat polar (r, θ). Hubungan antara besaran dalam koordinat kutub dan koordinat polar sebagai berikut.

cos

r

x

sin

r

y

2 2 2

y

x

r

Integral lipat dua dalam koordinat polar Tinjau Gambar 5.11. Pada Gambar 5.11(a), daerah

pengintegralan dinyatakan oleh

D

{(

r

,

)

|

a

r

,

}

. Pada Gambar 5.11(b), segmen luas dA dapat dinyatakan oleh

dA

rdrd

maka

*

)

,

(

)

,

(

D b a

rdrd

r

f

dA

r

f

Gambar 5.11 r x y x 0 P(x, y) y Gambar 5.10 D θ = α θ = β r = b r = a Sumbu polar dA rdθ dr dθ (a) (b)

CONTOH 1 Hitung D

dA

r sin

2 dengan D adalah bidang setengah lingkaran berjari-jari 2.

Penyelesaian

Daerah pengintegralannya adalah

D

{(

r

,

)

|

0

r

2

,

0

}

(Gambar 5.12) maka

0 2 0 2 2

sin

sin

dA

r

rdrd

r

D 0 2 0 3

sin drd

r

0 2 0 4 4 1

_[

_r

_]

_sin

_d

16

]

cos

[

8

sin

8

₀ 0

d

Transformasi Integral Lipat Dua pada Koordinat Polar Hubungan antara integral lipat dua

dalam koordinat bidang dan koordinat polar sebagai berikut.

*

)

,

(

)

,

(

D D

rdrd

r

f

dA

y

x

f

. dengan

D

*

{(

r

,

)

|

,

g

₁

(

)

r

g

₂

(

)}

. CONTOH 2 Hitung S y x

dA

e

2 2 dengan S adalah bidang lingkaran

x

2

y

2

4

.

Penyelesaian

Persamaan

x

2

y

2

4

adalah lingkaran berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 2. Dengan demikian, daerah pengintegralanya dapat dinyatakan oleh

}

4

|

)

,

{(

x

y

x

2

y

2

S

seperti diperlihatkan pada

Gambar 5.13. Dalam bentuk polar, daerah ini dinyatakan

oleh

_S

*

{(

_r

,

)

|

0

_r

2

,

0

2

}

. Dengan transformasi koordinat,

r

2

x

2

y

2, maka

2 0 2 0 2 * 2 2 2

rdrd

e

dA

e

dA

e

r S r S y x

)

1

(

)

1

(

]

[

4 2 0 4 2 1 2 0 2 0 2 1

_e

r2

_d

_e

_d

_e

r x y 2 −2 0 θ = 0 θ = π Gambar 5.12 r x y 2 −2 ₀ θ = 0 θ = 2π −2 Gambar 5.13

CONTOH 3 Hitung 1 0 1 0 2 2 2

1

1

ydx

d

y

x

x . Penyelesaian

Daerah pengintegralan dari integral di atas adalah

D

{(

x

,

y

)

|

0

x

1

,

0

y

1

x

2

}

. Daerah ini diperlihatkan pada Gambar 5.14. Dengan memperhatikan Gambar 5.14, daerah D dapat dinyatakan dalam bentuk polar sebagai berikut.

1

1

1

1

2 2 2 2 2 2

r

y

x

x

y

x

y

sehingga diperoleh

}

2

/

0

,

1

0

|

)

,

{(

*

r

r

D

Dengan transformasi koordinat ke koordinat polar,

2 2 2

1

1

x

y

r

rdrd

dydx

dA

maka 2 / 0 1 0 2 1 0 1 0 2 2

1

1

1

1

2

rdrd

r

ydx

d

y

x

x

2

1

2 / 0 2 / 0 1 0 2

d

d

r

. CONTOH 4 Hitung 1 0 1 2 2 2

)

sin(

y y

dxdy

y

x

. Penyelesaian

Daerah pengintegralan di atas adalah

D

{(

x

,

y

)

|

0

y

1

,

y

x

1

y

2

}

. Daerah ini diperlihatkan pada Gambar 5.15. Dengan memperhatikan Gambar 5.15, daerah D dapat dinyatakan dalam bentuk polar sebagai berikut.

Titik potong kedua kurva:

x

₁

x

₂

x

y

y

y

y

y

y

2

1

2

1

1

2 1 2 2 2 2 maka _{1 4} 2 1 2 1 1

1

2

2

tan

x

y

Untuk y = 1, x = 0 maka

tan

_{2 0}1 _{2 2}

sehingga diperoleh _{4 2} . Selanjutnya,

x y 1 1 0 2

1

y

x

θ2 = π/2 Gambar 5.15 θ1 = π/4

y

x

Gambar 5.14 r x y 1 1 0 θ = 0 2

1 x

y

θ = π/2

1

1

1

1

y

2

x

2

y

2

x

2

y

2

r

2

x

sehingga diperoleh

D

*

{(

r

,

)

|

0

r

1

,

0

/

2

}

. Dengan transformasi koordinat ke koordinat polar,

2 2 2

sin

)

sin(

x

y

r

rdrd

dxdy

dA

maka 2 / 4 / 1 0 2 2 1 2 / 4 / 1 0 2 1 0 1 2 2

]

cos

[

)

(sin

)

sin(

2

d

r

rdrd

r

dxdy

y

x

y y .

)

1

cos

1

(

)

1

cos

1

(

₄ 2 / 4 / 2 1

_d

5.3.2 Mengganti Peubah Integral: Transformasi Jacobi

Misalnya daerah S dalam bidang uv ditransformasikan satu ke satu pada daerah D dalam bidang xy dengan persamaan berbentuk:

),

,

( v

u

g

x

y

h

( v

u

,

)

,

seperti diilustrasikan pada Gambar 5.16. Sebuah fungsi

f

(

x

,

y

)

yang didefinisikan pada D dapat dipandang sebagai fungsi

f

(

g

(

u

,

v

),

h

(

u

,

v

))

yang didefinisikan pada G. Jika g, h, dan f memiliki turunan parsial kontinu,

S D

dudv

v

u

J

v

u

h

v

u

g

f

dxdy

y

x

f

(

,

)

(

(

,

),

(

,

))

|

(

,

)

|

Gambar 5.16

dengan

J

(

u

,

v

)

adalah determinan Jacobi yang didefinisikan sebagai berikut.

• (u, v) • (x, y) u v y x x = g(u, v) y = h(u, v)

v

x

u

y

v

y

u

x

v

y

u

y

v

x

u

x

v

u

y

x

v

u

J

)

,

(

)

,

(

)

,

(

CONTOH 1 Hitung D

dA

y

xy

x

)

2

(

2 2 dengan D adalah daerah yang dibatasi oleh garis

y

2x

4

,

y

2x

7

,

y

x

2

, dan

y

x

1

.

Penyelesaian

Daerah pengintegralan D dalam koordinat bidang-xy diperlihatkan pada Gambar 5.17. Untuk mentranformasikan ke koordinat kurvilinear, kita tentukan dahulu daerah S pada bidang-uv yang terkait dan determinan Jacobi. Untuk itu, pilih

u

2

x

y

dan

v

x

y

. Selanjutnya, nyatakan x dan y dalam u dan v dengan memecahkan sistem persamaan di atas sebagai berikut.

x

v

u

y

x

v

y

x

u

3

2

y

v

u

y

x

v

y

x

u

3

2

2

2

2

2

diperoleh

)

(

3

1

v

u

x

dan

(

2

)

3

1

v

u

y

Turunan parsial pertama x dan y masing-masing adalah

3

1

u

x

;

3

1

v

x

;

3

1

u

y

;

3

2

v

y

maka

3

1

3

1

3

1

3

2

3

1

)

,

(

)

,

(

v

x

u

y

v

y

u

x

v

u

y

x

Batas-batas daerah S sebagai berikut.

4

4

2

4

2

x

x

y

u

y

y

2

x

7

2

x

y

7

u

7

2

2

2

x

y

v

x

y

1

1

1

x

y

v

x

y

Gambar 5.17

Selanjutnya, integrannya ditransformasikan menjadi sebagai berikut.

uv

y

x

y

x

y

xy

x

(

2

)(

)

2

2 2 Dengan demikian, S D

dudv

v

u

J

uv

dA

y

xy

x

)

|

(

,

)

|

2

(

2 2 2 1 7 4 2 2 1 2 1 7 4 3 1

_[

_]

3

1

)

(

dudv

u

v

dv

uv

4

33

]

[

2

11

33

6

1

2 1 2 2 1 2 1

v

vdv

CONTOH 2 Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh

xy

1

,

xy

4

,

y

2

x

, dan

y

x

2

.

Penyelesaian

Daerah yang dimaksud pada soal diperlihatkan pada Gambar 5.18. Daerah S yang berkaitan dengan daerah D dapat ditentukan sebagai berikut.

Gambar 5.18 D

y

x

2

1

x

y

7

2x

y

4

2x

y

x y 4 2 7/2 7 1 S u = 4 u = 7 v = −1 v = 2 v u x y 0

y

x

2

x

y

2

4

xy

1

xy

D v u 0 2 1

v

v

2

4

u

1

u

S

Pilih

u

xy

dan

v

y

/

x

. Kita juga dapat menentukan determinan Jacobi dengan terlebih dahulu menentukan turunan parsial u dan v masing-masing terhadap x dan y sebagai berikut.

y

x

u

;

x

y

u

; ₂

x

y

x

v

;

x

y

v

1

y

u

x

v

y

v

x

u

y

x

v

u

)

,

(

)

,

(

v

x

y

x

x

y

x

y

1

₂

2

2

maka

v

y

x

v

u

v

u

y

x

v

u

J

2

1

)

,

(

)

,

(

1

)

,

(

)

,

(

)

,

(

Persamaan garis pada bidang-uv yang berkaitan dengan garis pada bidang-xy sebagai berikut.

1

1

u

xy

4

4

u

xy

2

2

2

v

x

y

x

y

2

1

2

1

2

v

x

y

y

x

Keempat garis tersebut pada bidang-uv diperlihatkan pada Gambar 5.18. Dari gambar jelas bahwa daerah S yang bersesuaian dengan daerah D adalah

_S

{(

_u

,

_v

)

|

1

_u

4

,

₂1

_v

2

}

. Dengan demikian, luas daerah D adalah

4

ln

2

3

]

[ln

2

3

2

3

2

1

|

)

,

(

|

12/2 2 2 / 1 2 2 / 1 4 1

v

dv

v

dudv

v

dudv

v

u

J

dxdy

S D .

5.3.3 Transformasi Integral Lipat Tiga pada Koordinat Tabung

Koordinat Tabung Hubungan antara

koordinat bidang (x, y, z) dan koordinat tabung (r, θ, z) sebagai berikut (Gambar 5.18).

cos

r

x

sin

r

y

z

z

2 2 2

r

y

x

P(r, θ, z) = P(x, y, z) y x z r θ x y z Gambar 5.18

Transformasi Integral Lipat Tiga pada Koordinat Tabung Tinjau benda pejal B pada Gambar 5.19. Pada Gambar 5.19(a), proyeksi B pada bidang-xy adalah daerah D yang dapat dinyatakan

oleh

D

{(

r

,

)

|

_{1 2}

,

r

₁

(

)

r

r

₂

(

)}

. Pada sumbu-z, benda B dibatasi oleh

)

,

(

1

r

z

z

dan

z

z

₂

(

r

,

)

. Dengan demikian, benda pejal B dapat dinyatakan oleh

)}

,

(

)

,

(

),

(

)

(

,

|

)

,

,

{(

r

z

_{1 2}

r

₁

r

r

₂

z

₁

r

z

z

₂

r

B

. Gambar 5.19

Gambar 5.19(b) memperlihatkan elemen volume dV. Elemen volume ini dapat dinyatakan oleh

rdzdrd

dV

Dengan menggunakan transformasi koordinat: (x, y, z) → (r, θ, z), diperoleh hubungan antara integral lipat tiga pada koordinat bidang dan koordinat tabung sebagai berikut.

2 1 2 1 2 1 ) ( ) ( ) , ( ) , (

)

,

,

(

)

,

,

(

r r r z r z B

rdzdrd

z

r

F

dV

z

y

x

f

CONTOH 1 Benda B dibatasi oleh tabung

x

2

y

2

4

, bidang xoy, dan bidang

2

2z

y

. Tentukan volume benda B.

Penyelesaian

Benda B seperti diperlihatkan pada Gambar 5.20(a). Daerah pengintegralan dalam koordinat tabung ditentukan sebagai berikut.

Proyeksi benda B pada bidang xoy adalah daerah D yang diperlihatkan pada Gambar 5.20(b). Jika ditransformasikan ke koordinat tabung, diperoleh

4

2 2

y

x

→

r

2

4

→

r

2

Dengan demikian, daerah D dapat dinyatakan oleh

D

{(

r

,

)

|

0

2

,

0

r

2

}

.

dr dz rdθ dθ x y z D B θ2 x y z θ1 r2(θ) r1(θ) z1(r,θ) z2(r,θ) (a) (b)

Gambar 5.20

Batas-batas pada sumbu z adalah bidang xoy (z = 0) dan bidang

y

2z

2

. Dalam koordinat tabung,

2

2z

y

→

r

sin

2

z

2

→

_z

1

₂1

_r

sin

sehinga diperoleh batas-batas pada sumbu z adalah

0

_z

1

₂1

_r

sin

. Jadi, secara keseluruhan daerah pengintegralannya adalah

}

sin

1

0

,

2

0

,

2

0

|

)

,

,

{(

_r

_z

_r

_z

1₂

_r

B

Selanjutnya, volume benda B ditentukan sebagai berikut.

2 0 2 0 sin 1 0 2 0 2 0 sin 1 0 2 1 2 1

]

[

rz

drd

rdzdrd

dV

V

r r B 2 0 2 0 3 6 1 2 2 1 2 0 2 0 2 2 1

_sin

₎

_[

_sin

_]

(

r

r

drd

r

r

d

4

]

cos

2

[

)

sin

2

(

6 20 8 2 0 6 8

_d

CONTOH 2 Hitung B

dV

y

x

)

(

2 2 jika B dibatasi oleh permukaan

z

4

x

2

y

2 dan bidang

z

0

.

Penyelesaian

Benda B diperlihatkan pada Gambar 5.21. Proyeksi benda B pada bidang xoy berupa lingkaran berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 2. Daerah ini dapat dinyatakan oleh

}

2

0

,

2

0

|

)

,

{(

r

r

D

.

Dalam koordinat tabung,

y x z

y

z

₁

1₂ x y

}

2

0

,

2

0

|

)

,

{(

r

r

D

2 −2

4

2 2

y

x

(a) (b)

2 2 2

r

y

x

;

dV

rdzdrd

2 2 2

4

4

x

y

r

z

Maka batas-batas dalam sumbu-z adalah

0

z

4

r

2. Dengan demikian, benda B dapat dinyatakan oleh

}

4

0

,

2

0

,

2

0

|

)

,

,

{(

r

z

r

z

r

2

B

. Gambar 5.21 Dengan demikian, 2 0 2 0 4 0 3 2 0 2 0 4 0 2 2 2 2 2

]

[

)

(

x

y

dV

r

rdzdrd

r

z

r

drd

r B

3

32

3

16

]

[

)

4

(

2 0 2 0 2 0 6 6 1 4 2 0 2 0 5 3

d

d

r

r

drd

r

r

5.3.4 Transformasi Integral Lipat Tiga pada Koordinat Bola

Titik-titik pada koordinat bola dinyatakan oleh (r, θ, ) dan hubungannya dengan koordinat bidang (x, y, z) seperti diperlihatkan pada Gambar 5.22. Dalam hal ini,

cos

sin

r

x

;

y

r

sin

sin

cos

r

z

;

0

2 2 2 2

z

y

x

r

y z x 2 −2 x y 2 −2 B D D P(r, θ, ) θ r x y z Gambar 5.22

Elemen volume dV dalam koordinat bola diperlihatkan pada Gambar 5.23. Besarnya adalah

d

drd

r

dV

2

sin

Hubungan antara integral lipat tiga dalam koordinat bidang dan koordinat bola dinyatakan oleh

2 1 2 1 2 1 ) ( ) ( ) , ( ) , ( 2

sin

)

,

,

(

r r B

d

drd

r

dV

z

y

x

f

Gambar 5.23

CONTOH 1 Buktikan bahwa volume bola berjari-jari R adalah 3

3

4

R

.

Penyelesaian

Daerah pengintegralan bola adalah

B

{(

r

,

,

)

|

0

2

,

0

,

0

r

R

}

(Gambar 5.24). Volume bola adalah

0 2 0 0 2

sin

R B

d

drd

r

dV

V

0 2 0 0 3 3 1

_sin

_]

[

r

R

d

d

0 2 0 3 3 1

_R

_sin

_d

_d

0 2 0 3 3 1

_R

_sin

_[

_]

_d

0 3

sin

3

2

d

R

3 0 3

3

4

]

cos

[

3

2

R

R

x y z R R B Gambar 5.24 d dθ θ

d

r sin

r dr rd dθ

d

r sin

x y z

CONTOH 2 Hitung 3 3 9 9 9 9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3

)

(

x x z x z x

dydzdx

z

y

x

. Penyelesaian

Kita selesaikan integral di atas dengan mengubahnya ke koordinat bola. Daerah pengintegralannya adalah

}

9

9

,

9

9

,

3

3

|

)

,

,

{(

x

y

z

x

x

2

z

x

2

x

2

z

2

y

x

2

z

2

B

Daerah ini diperlihatkan pada Gambar 5.25. Dalam koordinat bola, daerah pengintegralannya dapat dinyatakan oleh

}

2

0

,

0

,

3

0

|

)

,

,

{(

*

r

r

B

Integran dan elemen volumenya

3 2 2 2 2 2 3 2 3

)

(

)

(

x

y

z

r

r

d

drd

r

dV

2

sin

Dengan demikian diperoleh

0 2 0 3 0 5 3 3 9 9 9 9 2 2 2

sin

)

(

2 2 2 2 2 2 2 3

d

drd

r

dydzdx

z

y

x

x x z x z x

486

]

cos

[

243

sin

2

2

243

]

[

sin

2

243

sin

]

sin

[

0 0 0 2 0 0 2 0 2 243 0 2 0 3 0 6 6 1

d

d

d

d

d

d

r

SOAL-SOAL LATIHAN 5.3

1. Hitung integral berikut.

(a) 2 / 0 sin 0

rdrd

(b) 0 cos 1 0

sin drd

r

2. Hitung integral berikut dengan cara mentransformasikannya terlebih dahulu ke koordinat polar. (a) 1 1 2 2 2

)

(

x

dydx

y

x

(b) 2 4 ) ( 2 2 2 y y x

dxdy

e

x y z 3 3 B Gambar 5.25

3. Gunakan koordinat polar untuk menentukan volume benda padat di oktan pertama yang berada di dalam paraboloida

z

x

2

y

2 dan di dalam silinder 2 2

9

y

x

.

4. Gunakan transformasi Jacobi untuk menentukan integral berikut:

4 0 1 2 2

2

2

y y

dxdy

y

x

5. Jika D adalah daerah di kuadran pertama bidang-xy yang dibatasi oleh hiperbola

xy

1

,

9

xy

, dan garis

y

x

,

y

4

x

. Gunakan transformasi

x

u

/

v

dan

y

uv

dengan

0

u

dan

v

0

untuk mengubah integral:

D x y

dxdy

xy

sebagai integral di atas daerah S pada bidang-uv, kemudian tentukan hasilnya.

6. Hitung 3 0 9 0 2 0 2 2 2 x

dzdydx

y

x

. (Petunjuk: Gunakan koordinat tabung!)

7. Tentukan volume benda padat yang dibatasi oleh paraboloid

z

4

x

2

y

2, bidang

0

z

. (Petunjuk: Gunakan koordinat tabung!)

8. Tentukan volume volume benda padat di dalam bola

x

2

y

2

z

2

16

, di luar kerucut

2 2

y

x

z

, dan di atas bidang xoy. (Petunjuk: Gunakan koordinat bola!)