PENYELESAIAN INTEGRAL LIPAT TIGA PADA KOORDINAT RUANG MENGGUNAKAN METODE INTEGRAL BERULANG

(1)

PENYELESAIAN INTEGRAL LIPAT TIGA PADA KOORDINAT RUANG MENGGUNAKAN METODE

INTEGRAL BERULANG

Ari Trihana Saputri

¹

, Nurul Isnani Setyaningrum

²

, Rika Rizki Agustiani

³

, Hendra Kartika

⁴

.

Mahasiswa Pendidikan Matematika Universitas Singaperbangsa Karawang¹²³ Dosen Pendidikan Matematika Universitas Singaperbangsa Karawang⁴

nurulisns@gmail.com

Abstrak : Tujuan dari makalah ini adalah untuk mempermudah dalam menyelesaikan integral lipat tiga pada koordinat ruang menggunakan metode integral berulang. Pengamatan dilakukan terhadap penyelesaian integral lipat tiga yang mempunyai masalah pada koordinat ruang dengan metode integral berulang. Dengan menggunakan definisi, konsep, dan prinsip integral lipat tiga dan integral lipat tiga pada koordinat ruang, diteliti penyelesaiannya pada koordinat tersebut bisa menggunakan metode integral berulang. Integral tiga pada koordinat ruang dengan metode integral berulang adalah cara sederhana untuk menyelesaikan persoalan integral lipat tiga. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mengintegralkan dari yang paling belakang atau berada di dalam, selanjutnya hasil dari pengintegralan yang pertama diintegralkan kembali, dan seterusnya. Yang perlu di perhatikan adalah, variabel yang terlebih dahulu akan diintegralkan.Kesimpulan dari penelitian ini adalah bahwa terdapat penyelesaian integral lipat tiga yang mudah dengan menggunakan metode berulang integral lipat tiga dalam koordinat ruang dengan menggunakan definisi, konsep, dan prinsip integral lipat tiga yang dapat digunakan dalam menghitung integral lipat tiga dari suatu fungsi yang diberikan dalam koordinat ruang, dapat menentukan batas-batas integrasi dalam integral lipat tiga dan dapat mengubah- ubah batas integrasinya serta dapat menghitung volume benda dengan menggunakan integral lipat tiga dengan metode integral berulang.

I. PENDAHULUAN

Integral lipat tiga memiliki tiga pembahasan, yaitu pada koordinat ruang, koordinat tabung, dan koordinat bola. Dalam artikel ini, kami hanya akan membahas integral lipat tiga pada koordinat ruang dengan menggunakan metode integral berulang. Karena dalam materi tersebut akan mempermudah pembaca untuk memahami materi.

Integral lipat tiga merupakan perluasan konsep yang berasal dari integral tunggal dan ganda yang meluas secara alami ke integral lipat tiga. Dimana integral tersebut merupakan integral biasa atau tunggal yang hasilnya diintegralkan dan kemudian diintegralkan kembali.

Pengembangan perhitungan pengintegralan lipat tiga ∭ 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑣 dan suatu fungsi 3 variabel bebas.

Berdasarkan uraian diatas maka kita dapat merumuskan masalah penelitian yang akan dilakukan diantaranya :

1. Apa itu integral lipat tiga pada koordinat ruang

2. Bagaimana menyelesaikan integral lipat tiga pada koordinat ruang

Setelah mengetahui permasalahan yang telah diuraikan, maka tujuan pokok dari penelitian ini adalah untuk dapat memahami pengertian integral lipat tiga pada koordinat ruang, mampu menyelesaikan mengenai konsep dan prinsip integral lipat tiga yang dapat digunakan dalam menghitung integral lipat tiga dari suatu fungsi yang diberikan dalam koordinat ruang…..

II. METODE PENELITIAN

Metode penelitian yang digunakan adalah studi literatur dari berbagai buku, maupun artikel mengenai integral lipat tiga. Awal mula, penulis melakukan diskusi untuk mengambil judul yang menarik. Pengambilan judul mengacu kepada materi mata kuliah kalkulus peubah banyak dan akhirnya satu judul telah kami sepakati untuk artikel ini, yaitu “Penyelesaian Integral Lipat Tiga Pada Koordinat Ruang Menggunakan Metode Integral Berulang”.

(2)

Isi artikel dikemas berdasarkan studi literatur berbagai sumber yang kami diskusikan. Artikel dengan tema integral lipat tiga dikhawatirkan akan membuat pembaca menjadi sulit memahami inti dari isi yang telah kami kemas. Untuk itu, bahasa yang mudah dipahami, contoh dan gambar perlu disisipkan untuk mempermudah pembaca memahami materi pada artikel ini. Selain studi literatur, kami menggunakan beberapa cara yang dijelaskan oleh dosen pengampu mata kuliah Kalkulus Peubah Banyak.

III. HASIL DAN PEMBAHASAN

Integral lipat tiga merupakan perluasan dari integral lipat dua ke dimensi yang lebih tinggi.

Sebagai ilustrasi, lihat sebuah balok yang panjangnya p lebarnya l dan tingginya t.

Pertama-tama f di definiskan pada balok

 



^{, ,} ^, ^,



B x y z a x b c y d r z s 1. Partisi balok B menjadi n bagian ; B1, B2, ..., Bk,.... Bn.

2. Definisikan ‖∆‖ = diagonal terpanjang dari B^k 3. Ambil (𝑥̅𝑘, 𝑦̅𝑘, 𝑧̅𝑘) ∈ 𝐵𝑘

4. Bentuk jumlah remain ∑𝑛 𝑓(𝑥̅𝑘, 𝑦̅𝑘, 𝑧̅𝑘)∆𝑉𝑘

5. Jika ‖∆‖ → 0 diperoleh limit jumlah remain 𝑘=1

‖∆‖→0lim ∑ 𝑓(𝑥̅𝑘, 𝑦̅𝑘, 𝑧̅𝑘)∆𝑉𝑘 𝑛

𝑘=1

Jika limit ada, maka fungsi 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) terintegralkan rieman pada balok B, ditulis

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 =

𝐵

‖∆‖→0lim ∑ 𝑓(𝑥̅𝑘, 𝑦̅𝑘, 𝑧̅𝑘)∆𝑉𝑘 𝑛

𝑘=1

Integral lipat tiga selalu ada jika 𝑓 kontinu.

Sehingga integral lipat tiga dalam koordinat ruang

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 =

𝐵

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

𝐵

dx , dy, dz = Dv unsur volume [isi]

Disini (integral lipat tiga) di samping perubahan dalan dx dan dy, kita juga meninjau perubahan dz

Sama seperti integral lipat dua, metode praktis untuk perhitungan integral lipat tiga adalah menyatakannya sebagi integral berulang.

(3)

o Teorema fubini untuk integral lipat tiga. Jika f kontinu pada kotak B = [a,b] x [c,d] x [r,s], maka

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 =

𝐵

∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧^𝑏

𝑎 𝑑 𝑐 𝑠 𝑟

Contoh 1:

Hitunglah integral lipat tiga ∭ 𝑥𝑦𝑧²𝑑𝑉 dengan B adalah kotak segiempat yang diberikan oleh

 



^{, ,} ⁰ ^{1, 1} ^{2, 0} ³



B x y z     x y  z

Penyelesaian :

Kita dapat menggunakan salah satu dari enam urutan integral yang mungkin.

Jika kita memilih untuk mengintegralkan terhadap x, kemudian y dan kemudian z, kita peroleh

∭ 𝑥𝑦𝑧²𝑑𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑥𝑦𝑧¹ ²𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

0 2

−1 3 0

= ∫ ∫ [^𝑥²^𝑦𝑧₂ ²]

0 1𝑑𝑦𝑑𝑧

2

−1 3 0

= ∫ ∫₀³ ₋₁² ^𝑦𝑧₂²𝑑𝑦𝑑𝑧

= ∫ [^𝑦²₄^𝑧²]

−1 2 𝑑𝑧

3 0

= ∫₀³^3𝑧₄²𝑑𝑧=^𝑧₄³]

0 3=²⁷₄

Sekarag kita definisikan integral lipat tiga pada daerah umum terbatas E dalam ruang dimensi tiga (benda pejal) dengan prosedur yang hampir sama seperti yang kita gunakan untuk integral lipat dua.

Kita lingkupi E dalam sebuah kotak B yang berjenis sama.

Kemudian kita definisikan fungsi F agar fungsi ini seusai dengan f pada E tetap bernilai 0 untuk titik-titik pada B yang diluar E.

Menurut definisi,

 ^{, ,}   ^{, ,} 

E B

f x y z dV  F x y z dV

 

Integral ini ada jika f kontinu dan perbatsan E adalah mulus.

Integral lipat tiga mempunyai sifat yang pada dasarnya sama seperti integral lipat dua.

Kita batasi pada fungsi kontinu f dan pada jenis daerah sederhana tertentu.

Daerah pejal E dikatakan sebagai berjenis 1, jika daerah ini terleteak diantara grafik dua fungsi kontinu x dan y, dengan kata lain

𝐸 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)|(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷, 𝑢1(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑢2(𝑥, 𝑦)}

(4)

Dengan D adalah proyeksi E pada bidang xy seperti pada gambar 2

Gambar 2

Perhatikan bahwa perbatasan atas benda pejal E adalah permukaan dengan persamaan 𝑧 = 𝑢2(𝑥, 𝑦) sedangkan perbatsan bawah adalah permukaan 𝑧 = 𝑢1(𝑥, 𝑦)

secara umum, fungsi dapat diintegralkan pada daerah pengintegralannya.

Daerah pengintegralan integral lipat tiga jika E adalah daerah jenis I yang diberikan oleh persamaan :

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 =

𝐸

∬ [∫^𝑢²^(𝑥,𝑦)𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧

𝑢1(𝑥,𝑦) ] 𝑑𝐴

𝐷

Khususnya, jika proyeksi D dari E pada bidang xy adalah bidang jenis 1 (lihat gambar 3), maka 𝐸 = {(𝑥, 𝑦, 𝑥)|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑔1(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑔2(𝑥), 𝑢1(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑢2(𝑥, 𝑦)}

Bentuk integral lipat tiga dapat ditulis sebagai

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 =

𝐸

∫ ∫ ∫^𝑢²^(𝑥,𝑦)𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑢₁(𝑥,𝑦) 𝑔₂(𝑥) 𝑔₁(𝑥) 𝑏 𝑎

Gambar 3

Langkah menyelesaikan dengan metode integral berulang yaitu :

1. Fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)diintegralkan terhadap z (dengan menggangap y dan x konstan), dihitung nilainya dengan mensubstitusikan batas atas 𝑧 = 𝑢₂(𝑥, 𝑦) dan batas bawah 𝑧 = 𝑢(𝑥, 𝑦) 2. Hasilnya kemudian diintegralkan terhadap y,kemudian dihitung nilainya dengan batas atas

𝑦 = 𝑔₂(𝑥) dan batas bawah 𝑦 = 𝑔1(𝑥)

3. Dari hasil langkah 2 diintegralkan kembali ke x kemudian dihitung nilainya dengan batas atas 𝑥 = 𝑏 dan batas bawah 𝑥 = 𝑎

Sebaliknya , jika D adalah daerah bidang jenis II (seperti dalam gambar 4), maka

(5)

𝐸 = {(𝑥, 𝑦, 𝑥)|𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, ℎ1(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ ℎ2(𝑦), 𝑢1(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑢(𝑥, 𝑦)}

Bentuk integral lipat tiga dapat ditulis sebagai

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 =

𝐸

∫ ∫ ∫^𝑢²^(𝑥,𝑦)𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑢₁(𝑥,𝑦) ℎ₂(𝑦) ℎ₁(𝑦) 𝑑

𝑐 , 𝑒𝑡𝑐.

Gambar 4

Langkah menyelesaikan dengan metode integral berulang yaitu :

4. Fungsi𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) diintegralkan terhadap 𝑧 (dengan menggangap y dan x konstan), dihitung nilainya dengan mensubstitusikan batas atas 𝑧 = 𝑢2(𝑥, 𝑦) dan batas bawah 𝑧 = 𝑢1(𝑥, 𝑦) 5. Hasilnya kemudian diintegralkan terhadap x,kemudian dihitung nilainya dengan batas atas

𝑥 = ℎ2(𝑦) dan batas bawah 𝑥 = ℎ1(𝑦)

6. Dari hasil langkah 2 diintegralkan kembali ke y kemudian dihitung nilainya dengan batas atas 𝑦 = 𝑑 dan batas bawah 𝑦 = 𝑐

Contoh 2 :

Hitunglah ∭ 𝑧 𝑑𝑉_𝐸 dengan E adalah bidang empat (tetrahedron) pejal yang dibatasi oleh empat bidang x = 0 , y = 0, z = 0, dan x + y + z = 1.

Penyelesaian :

Proyeksi E adalah daerah segitiga yang di perlihatkan pada gambar 5

Pendeskripsian E sebagai daerah jenis 1, sehingga kita dapat menghitung integral sebagai berikut:

∭ 𝑧 𝑑𝑉

𝐸

= ∫ ∫ ∫^{1−𝑥−𝑦}𝑧 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥

0 = ∫ ∫ [𝑧²

2 ]₀

1−𝑥−𝑦 1−𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥

0 1 0 1−𝑥

0 1 0

=1

2 ∫ ∫^1−𝑥(1 − 𝑥 − 𝑦)² 𝑑𝑦𝑑𝑥

0 =1

2 ∫ [−

(1 − 𝑥 − 𝑦)³

3 ]

0 1 1−𝑥

0 𝑑𝑥

1 0

=1

6 ∫ (1 − 𝑥)³ 𝑑𝑥 =1 6 [−

(1 − 𝑥)⁴

4 ]

0 1 1 =

0

1 24 Daerah pejal E adalah jenis 2 jika berbentuk

       

 ^{, ,} ^, ^,

¹

^,

²

^, 

E  x y z y z  D u y z   x u y z

(6)

Dengan D adalah proyeksi E pada bidang yz.

Permukaan belakang adalah 𝑥 = 𝑢1(𝑦, 𝑧) dan permukaan depan adalah 𝑥 = 𝑢2(𝑦, 𝑧) dan kita mempunyai

 

²_{ }^{ }

 

1

,

, ,

^u ^{y z},

, ,

u y z

E D

f x y z dV  f x y z dx dA 

    

  

Daerah jenis 3 berbentuk

       

 ^{, ,} ^, ^,

¹

^,

²

^, 

E  x y z x z  D u x z   y u x z

Dengan D adalah proyeksi E pada bidang xz, 𝑦 = 𝑢1(𝑥, 𝑧) dan permukaan kiri, dan 𝑦 = 𝑢2(𝑥, 𝑧) adalah permukaan kanan (lihat gambar 6).

Untuk daerah jenus ini kita mempunyai

 

²_{ }^{ }

 

1

,

, ,

^u ^{x z},

, ,

u x z

E D

f x y z dV     f x y z dy dA   

  

Gambar 6 Contoh 3 :

Hitung ∭ 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥_𝑉 ;; V merupakan volume dengan batas-batang bidang𝑦 ≤ 𝑧 ≤ 𝑥 + 2, 0 ≤ 𝑦 ≤ 3𝑥, −2 ≤ 𝑥 ≤ 5

Penyelesaian :

𝑉 = ∫ ∫ ∫^𝑥+2𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑦 =

3𝑥 0 5

−2 ∫ 𝑑𝑥∫^3𝑥𝑑𝑦[𝑧^|𝑦𝑥+2]

0 5

−2

𝑉 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ (𝑥 + 2 − 𝑦)𝑑𝑦 =^3𝑥

0 5

−2 ∫ (𝑥𝑦 + 2𝑦 −1

2 𝑦²)| 3𝑥0 𝑑𝑥

5

−2

𝑉 = ∫ [3𝑥²+ 6𝑥 −1

2 (9𝑥²)] 𝑑𝑥

5

−2

𝑉 = 𝑥³+ 3𝑥²− 9 2.3 𝑥³|

−2 5

= (125 + 8) + 3(25 − 4) −3

2 (125 + 8) 𝑉 = 133 + 63 −399

2 = 3,5

Dari hasil analisa dan pembahasan yang telah dilakukan terhadap ketiga contoh integral lipat tiga pada f (x, y, z), dapat diramgkum bahwa penyelesaian integral lipat tiga dengan metode berulang yaitu dimulai dari bagian dalam, ke bagian luar sesuai dengan variabel yang akan diintegralkannya

(7)

yang kemudian diintegralkan lagi terhadap variabel selanjutnya dengan menganggap variabel lainnya konstan.

IV. KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan

Integral tiga pada koordinat ruang dengan metode integral berulang adalah cara sederhana untuk menyelesaikan persoaalan integral lipat tiga. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mengintegralkan dari yang paling belakang atau berada di dalam, selanjutnya hasil dari pengintegralan yang pertama diintegralkan kembali, dan seterusnya. Yang perlu di perhatikan adalah, variabel yang terlebih dahulu akan diintegralkan.

Saran

Demikianlah makalah yang kami buat, semoga dapat bermanfaat bagi pembaca.Apabila ada saran atau kritik yang ingin disampaikan, silahkan sampaikan kepada kami.

Apabila ada terdapat kesalahan mohon dapat memaafkan dan memakluminya, karna kami pun masih dalam proses belajar.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Stewart, James.Multivariabel Calculus.Seventh Edition.McMaster University and University Of Toronto,2012.

[2]https://vinovia.files.wordpress.com/2011/12/integral-lipat.pptx

[3]http://s3.amazonaws.com/ppt-download/slideweek5-integrallipattiga-140415215243- phpapp01.pptx?response-content-

disposition=attachment&Signature=2O9KWsiMq0tXujUkzmO2V3zcczI%3D&Expires=14634 11532&AWSAccessKeyId=AKIAJ6D6SEMXSASXHDAQ

[4]https://738a43e8-a-62cb3a1a-s-sites.googlegroups.com/site/anasariyani/ana-sari-

yani/integral_lipat_3.docx?attachauth=ANoY7cpI5m23ZBdl2WbKqd7xUw3u6Eh9ZndFItiuR zV6djtpUtdyaA2wq-8NJmgt04S8Z09O7PTbrlcGxfYeu8Yw-fC_7-qNt5kQuzPH-

7MX9GTz5f1NKGxxBkg0WvuZCzpSfjFiZHof1cxkXv8jB9hA93hNrzT21aAaenbErrpZOvAy LVfcTxoCHohqzsqJKWvr8tG1m6R90uFrRJO76nNO2fwUaTK7036FgEsAOX5xcvJFYtObL Ug%3D&attredirects=0&d=1

PENYELESAIAN INTEGRAL LIPAT TIGA PADA KOORDINAT RUANG MENGGUNAKAN METODE INTEGRAL BERULANG