i
PENYELESAIAN INTEGRAL DIMENSI-
n
DENGAN
MENGGUNAKAN TEOREMA FUBINI
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan S-1
Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh :
WORO UTAMI PRASETIYONINGSIH
0801060005
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOKERTO
v
PERSEMBAHAN
Mengucap puji syukur pada Mu ya Alloh, atas semua berkah dan rahmat
yang telah engkau berikan. Dengan tulus sekripsi ini ku persembahkan
untuk:
Bapak dan Mama yang paling aku cintai dan sayangi (Bapak
Untung Waluyo dan Mama Suti). Terimakasih atas doa, materi
dan dukungannya selama ini yang membuat saya untuk terus
maju dan menyayangi saya tiada henti. Semoga surga ada
untukmu.
Adeku Dwi Nuranti Setiyo Astuti yang paling aku sayangi.
Keluarga besar saya di Cilacap dan Sampang yang aku sayangi.
Teman-teman seperjuangan Math’08 tanpa kalian kampus ‘kan
terasa hampa, khususnya Linda, Irna, dan Oja sodara-sodaraku
yang selalu menemaniku dalam suka dan duka.
Keluarga besar Rizqia kost warga bawah mba Awe, Mba Yuni,
Lia, Dwi, Nana, Puput, Oka, Ika, Wendi, Agi dan Nova segenap
vi
Motto
Sesungguhnya bersama kesulitan ada kemudahan, maka apabila engkau
telah selesai (dari sesuatu urusan) tetaplah bekerja keras (untuk urusan yang lain),
dan hanya kepada Tuhanmulah engkau berharap (Qs. Al- Insyirah : 6-8)
Ilmu pengetahuan adalah keindahan bagi para ahlinya di dunia dan di
akhirat (HR. Ar-Rabbi)
Berusaha dengan sungguh-sungguh dan berdoa adalah syarat mutlak dalam
vii
ABSTRAK
Penelitian ini bertujuan menentukan penyelesaian integral dimensi-n
dengan menggunakan Teorema Fubini. Metode penelitian yang digunakan dalam penyusunan skripsi ini adalah studi litelatur. Kesimpulan dari penelitian ini adalah sebagai berikut: jika terdapat fungsi f :AB R merupakan fungsi yang terintegral pada interval n
R tidak dapat diselesaikan secara langsung maka proses pengintegralan tersebut tetap dapat diselesaikan dengan cara diubah urutan pengintegralannya. Selain itu, dengan perubahan tersebut juga akan memudahkan penyelesaian proses pengintegralan secara analitik. Tetapi, jika
B nilai dari
B
viii
KATA PENGANTAR
Alkhamdulillah segala puji bagi Alloh SWT, Tuhan semesta alam yang
Maha Pengasih dan Penyayang, yang senantiasa memberi kemudahan kepada
hambanya untuk berusaha. Hanya dengan keridhoan, kekuatan dan keberkahan
Nyalah peneliti dapat menyusun dan menyelesaikan skripsi ini. Shalawat dan
salam senantiasa tercurahkan kepada Nabi Besar Muhammad SAW beserta
keluarga dan sahabatnya.
Peneliti berusaha semaksimal mungkin dalam penyelesaian skripsi ini
dengan memaparkan dan menyajikan hasil penelitian yang terbaik. Tetapi sebagai
manusia biasa yang tidak luput dari kesalahan, peneliti menyadari sepenuhnya
bahwa masih banyak kekurangan dalam sistematika penulisan, tata bahasa,
maupun teknik dan kelengkapan penyajian.
Pada kesempatan ini penulis menyampaikan terimakasih kepada semua
pihak yang telah membantu menyelesaikan penelitian ini. Ucapan terimakasih
peneliti ucapkan kepada:
1. Dr. H. Syamsuhadi Irsyad, S.H., M.H., Rektor Universitas Muhammadiyah
Purwokerto.
2. Drs. Joko Purwanto, M.Si., Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Muhammadiyah Purwokerto.
ix
4. Eka Setyaningsih, S.Si., M.Si., Pembimbing I yang telah memberikan
motivasi dan meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan, petunjuk
serta arahan dalam penyusunan skripsi ini.
5. Erni Widiyastuti, S.Si., M.Si., Pembimbing II yang telah memberikan
motivasi dan meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan, petunjuk
serta arahan dalam penyusunan skripsi ini.
6. Semua pihak yang tidak mungkin penulis sebutkan satu persatu yang secara
langsung maupun tidak langsung, telah memberikan bantuan dan semangat
dalam penyusunan skripsi ini.
Teriring doa dan harapan semoga amal dan kebaikan yang telah diberikan
senantiasa mendapat balasan yang berlipat ganda dari Alloh SWT. Penulis
berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat untuk kemajuan semua.
Purwokerto, Februari 2012
x
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... i
HALAMAN PERSETUJUAN ... ii
HALAMAN PENGESAHAN ... iii
SURAT PERNYATAAN ... iv
PERSEMBAHAN ... v
MOTTO ... vi
ABSTRAK ... vii
KATA PENGANTAR ... viii
DAFTAR ISI ... x
DAFTAR LAMBANG ... iixiii DAFTAR GAMBAR... iixvi BAB I PENDAHULUAN A. Latar Balakang Masalah ... 1
B. Rumusan Masalah ... 3
C. Tujuan ... 3
D. Manfaat Penelitian ... 3
BAB II KAJIAN TEORI A. Sistem Bilangan Real ... 4
B. Himpunan ... 5
1. Himpunan Terbatas ... 6
xi
C. Fungsi ... 8
1. Fungsi Komposisi ... 9
2. Fungsi Invers ... 10
3. Jenis Fungsi ... 12
a. Fungsi Eksponen ... 12
b. Fungsi Transeden ... 12
4. Fungsi Terbatas ... 13
D. Limit ... 14
1. Limit Fungsi diR ... 14
2. Limit Fungsi di R2 ... 17
3. Limit Fungsi di n R ... 17
E. Kekontinuan ... 18
1. Kekontinuan Fungsi diR ... 18
2. Kekontinuan Fungsi di R2 ... 19
3. Kekontinuan Fungsi di Rn ... 20
F. Turunan ... 20
1. Turunan Fungsi diR ... 20
a. Sifat-Sifat Turunan ... 23
b. Turunan Fungsi Komposisi ... 23
c. Turunan Fungsi Trigonometri ... 24
d. Turunan Fungsi Invers Trigonometri ... 24
e. Turunan Fungsi Logaritma dan Eksponensial ... 25
xii
g. Turunan Tingkat Tinggi ... 26
2. Turunan Fungsi di Rn ... 27
G. Integral ... 32
1. Integral Tak-Tentu (Anti-Turunan) ... 32
2. Integral Tentu ... 37
a. Integral pada Fungsi Satu Variabel ... 37
b. Integral Lipat-Dua Atas Daerah Persegi Panjang ... 43
c. Integral Lipat-Dua Atas Daerah Bukan Persegi Panjang ... 46
d. Perhitungan Integral Lipat-Dua Atas Daerah Bukan Persegi Panjang ... 46
e. Integral Lipat-Dua pada Koordinat Kutub ... 48
f. Teorema Fubini ... 50
BAB III METODOLOGI PENELITIAN ... 52
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN A. Integral Dimensi-n ... 57
B. Sifat-Sifat Sederhana Integral Dimensi-n... 59
C. Teorema Fubini ... 64
D. Penyelesaian Permasalahan Integral Dimensi-ndengan Menggunakan Teorema Fubini ... 71
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN A. Kesimpulan... 90
B. Saran... 90
xiii
DAFTAR LAMBANG
Untuk setiap
Elemen
Himpunan bagian sejati
R Sistem bilangan Real
n
R Ruang dimensi-n
R-{0} Semua bilangan Real kecuali nol
x Harga mutlakx
Lebih kecil dari
Lebih besar dari
Lebih kecil atau sama dengan
Lebih besar atau sama dengan
Gabungan
A
Inf Batas bawah terbesar himpunanA
A
Sup Batas atas terkecil himpunanA
f
xiv f
R Daerah hasil fungsif
f
g Komposisi fungsi
f g
D Daerah asal Komposisi fungsi
f g
R Daerah hasil Komposisi fungsi
Tidak sama dengan
1
f Invers fungsif
Jika .... maka ...
jika dan hanya jika
J Volume atau ukuran (measure) intervalJ
P Panjang maksimum selang bagian pada partisiP
)
f Jumlah Riemann
dx x f b
a
xv
( ) Integral bawah Riemanndx
dx ( , ) Integral fungsif(x) yang diintegralkan pertama pada interval
xvi
DAFTAR GAMBAR
GAMBAR Halaman
1.1 Diagram Panah Fungsif(x)... 9
1.2 Komposisi Fungsi ... 10
1.3 Invers Fungsi ... 11
1.4 HimpunanS ... 20
1.5 Jumlah Riemann ... 38
1.6 Daerah D
x,y :axb,cxd
... 431.7 Permukaan z f
x,y ... 441.8 KurvaSTertutup ... 46
1.9 KurvaSDikelilingi oleh Persegi PanjangD ... 46
1.10 Kurva S:z f
x,y ... 461.11 KurvaySederhana ... 47
1.12 KurvaxSederhana ... 47
1.13 Kurva S sebagai Persegi PanjangD ... 47
1.14 Persegi Panjang Kutub ... 49
1.15 Kurva z f
x,y F
r, ... 491.16 PartisiDdalam Persegi Panjang Kutub ... 49
1.17 Irisan oleh Bidangx= Konstanta ... 71
1.18 Irisan oleh Bidangy= Konstanta ... 72
1.19 Grafik Fungsi z f(x,y) dengan Irisan oleh Bidangx= Konstanta .... 72
xvii
1.21 Grafik Fungsi z f(x,y) dengan Irisan oleh Bidangy= Konstanta .... 74
1.22 Irisan oleh Bidangy= Konstanta ... 74
1.23 Irisan oleh Bidangx= Konstanta ... 76
1.24 Irisan oleh Bidang y= Konstanta ... 77
1.25 DaerahS ... 79
1.26 Grafik Fungsi w f(x,y,z) dengan DaerahS ... 81
1.27 Daerah Bidang Sxy ... 82
