07-Integral-Lipat-Tiga

Program Perkuliahan Dasar Umum

Program Perkuliahan Dasar Umum

Sekolah

Sekolah Tinggi Tinggi TTeknoloeknologi gi TTelkomelkom

Integral Lipat Tiga

Integral Lipat Tiga

Integral Lipat Tiga

Integral Lipat Tiga pada Balok

Integral Lipat Tiga pada Balok

Integral Lipat Tiga pada Balok

Integral Lipat Tiga pada Balok

z z ∆ ∆ ∆ ∆∆∆ ∆ ∆xx_kk ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆yy_kk

1. Partisi balok B menjadi n bagian;

1. Partisi balok B menjadi n bagian;

B

B₁₁, B, B₂₂, …, B, …, B_kk, …, B, …, B_nn

Definisikan ||

Definisikan ||∆∆|| = diagonal|| = diagonal

ruang terpanjang dari B

ruang terpanjang dari B_kk

2

2.. AAmmbbiill

3. Bentuk jumlah Riemann

3. Bentuk jumlah Riemann

)) zz ,, y y ,, x x (( _{k k  k k  k k}  B B B B_{kk ∆∆∆∆∆∆∆∆zzkk} k  k  k  k  k  k  k  k ,,yy ,,zz )) BB x x (( ∈∈ n n x x y y 4. Jika ||

4. Jika ||∆∆|||| 0 diperoleh limit0 diperoleh limit

 jumlah Riemann

 jumlah Riemann

Jika

Jika limit limit ada, ada, maka maka fungsi fungsi ww

= f(x,y,z) terintegralkan Riemann

= f(x,y,z) terintegralkan Riemann

k  k  n n 1 1 k  k  k  k  k  k  k  k  0 0 f f ((xx ,,yy ,,zz )) VV lim lim

∑

∑

∆∆ = = → → ∆ ∆ = =11 k  k  k  k  k  k  k  k  k  k ,, ,,

Integral Lipat Tiga pada Balok (2)

Integral Lipat Tiga pada Balok (2)

∆v_k = ∆x_k ∆y_k ∆z_k dV = dx dy dz Sehingga integral lipat dalam koordinat kartesius:

∫∫∫ 

∫∫∫ 

= B B dz dy dx ) z , y , x ( f  dV ) z , y , x ( f 

Contoh

Contoh

∫∫∫ 

B dV  yz   x 2

Hitung dengan B adalah balok dengan ukuran

B = {(x,y,z)| 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, 1 ≤ z ≤ 2} Jawab. 2 2 1 2 2 B 1 0 1 dz  dy   x  yz 

∫ ∫ 

          = 2 1 1 0 2 1 3 3 1 dz  y   z 

∫ 

          = 2 1 1 0 2 2 1 3 7 2 1 7    

Integral Lipat Tiga pada Daerah

Integral Lipat Tiga pada Daerah

Sembarang

Sembarang

 Pandang S benda padat yang terlingkupi oleh balok B,

dan definisikan nilai f nol untuk luar S (gb. 1) B

∫∫∫ 

S 2 dV yz x

Hitung , Jika S benda padat sembarang

x

y z

S

Integral Lipat Tiga pada Daerah

Integral Lipat Tiga pada Daerah

Sembarang (2)

Sembarang (2)

 Jika S dipandang sebagai

himpunan z sederhana (gb.2) (S dibatasi oleh z=ψ ₁(x,y) dan z=ψ ₂(x,y), dan proyeksi S pada bidang XOY dipandang sebagai daerah jenis I) maka:

z

S

z=ψ ₂(x,y)

z=ψ 1(x,y)

 Catatan:

Jika f(x,y,z) = 1, maka

menyatakan volume benda pejal S

∫ ∫ ∫ 

∫∫∫ 

= b a  x   x  y   x  y   x  S dx  dy  dz   z  y   x  f  dV   z  y   x  f  ) ( ) ( ) , ( ) , ( 2 1 2 1 ) , , ( ) , , ( φ  φ  ψ   ψ  

∫∫∫ 

S dV   z  y   x  f ( , , ) x y S_xy b a y=φ₂(x) y=φ₁(x) (gb. 2)

Contoh

Contoh

∫∫∫ 

S dV   z  y   x  f ( , , )

Hitung _{dengan W=f(x,y,z) = 2xyz dan S benda}

padat yang dibatasi oleh tabung parabola z=2- ½x2 _dan

bidang-bidang z = 0, y=x, y=0

=0

y=x z=2–½ x

2

z _Jawab.

Dari ambar terlihat bahwa

x

y

S  _xy 

S_xy = proyeksi S pada XOY (segitiga) S={(x,y,z)|0≤x≤2, 0≤y≤x 0≤z≤ 2 – ½x2_} 2 0 Sehingga,

∫∫∫ 

S dV   xyz  2

∫ ∫ ∫ 

− = 2 0 0 2 1 2 0 2 2  x  x  dx  dy  dz   xyz 

∫ ∫ 

− = 2 0 0 2 1 2 0 2 2  x   x  dx  dy   z   xy 

Contoh (lanjutan)

Contoh (lanjutan)

∫ ∫ 

          − = 2 0 0 2 2 2 1 2  x  dx  dy   x   xy 

∫ 

          + − = 2 0 0 2 4 2 2 1 4 1 2 4  x   x  y  dx   x   x      + − = 2 7 5 3 1 2 x   x   x  dx      0 8 2 0 8 6 4 64 1 6 1 2 1  x   x   x  − + = 3 4 4 3 32 8 − + = =

Latihan

Latihan

∫∫∫ 

S dV z

1. Hitung , S benda padat di oktan pertama yang

dibatasi oleh bidang-bidang z = 0, x=y, y=0 dan tabung x2 _{+ z}2 _{= 1.}

2. Sketsa benda pejal S di oktan pertama yang dibatasi tabun 2 _{+ z}2 _{= 1 dan bidan x =1 dan x = 4 dan}

tuliskan dan hitung integral lipatnya.

3. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh : a. y = x2_{, y + z = 4, x = 0, z = 0.} b. 1 = z2_+y2_{, y = x, x = 0.} c. x2 _{= y, z}2 _{=y, y = 1.} d. y = x2 _{+ 2, y = 4, z = 0, 3y - 4z = 0.}

∫ ∫ ∫ 

π + + 2  /  0 z 0 y 0 dxdydz ) z y x sin( 4. Hitung

Integral Lipat Tiga (Koordinat Tabung

Integral Lipat Tiga (Koordinat Tabung

dan Bola)

dan Bola)

θ θ θ θ r z P(r,θθθθ,z) x y z θ θ θ θ r z P(ρρρρ,θθθθ,φφφφ) x y z φ φφ φ ρ ρρ ρ

Koordinat Tabung Koordinat Bola

Syarat & hubungan dg Kartesius r ≥≥≥≥ 0, 0 ≤≤ θ≤≤ θθθ ≤≤≤≤ 2 π x = r cos θ y = r sin θ z = z r2 _{= x}2_{+ y}2 ρ ≥≥≥≥ 0, 0 ≤≤≤≤ θθθ ≤θ ≤≤≤ 2 π, 0 ≤≤≤≤ φ ≤≤≤≤ π x = r cos θ r = ρ sin φ y = r sin θ r = ρ sin φ z = ρ cos φ x2 _{+ y}2_{+ z}2 _{= ρ}2 } x = ρ cos θ sin φ } y = ρ sin θ sin φ

Contoh

Contoh

1. Sketsa D; D benda pejal di oktan I yang dibatasi oleh tabung x2_+y2_{=4 dan bidang z = 0, z = 4}

z 4 D dalam koordinat: a. Cartesius: Jawab. x y r θ  θ θ  θ  2 2 D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , 0≤z≤4} 2 4 − x  b. Tabung: D={(x,y,z)| 0≤r≤2, 0≤θ≤ π /2, 0≤z≤4} 0 x2_+y2₌₄

Contoh

Contoh

2. Sketsa D; D bagian bola x2_+y2 _{+ z}2_{=4 di oktan I.}

z D dalam koordinat: a. Cartesius: Jawab. 2 2 2 4  x  y   z = − − x y r θ  θ θ  θ  2 2 = x,y,z ≤x≤ , ≤y≤ , 0≤z≤ } 4 − x  b. Bola D={(x,y,z)| 0≤ ρ ≤2, 0≤φ ≤ π /2, 0≤θ ≤ π /2} 2 2 4 − x  − y  0

Penggantian Peubah dalam Integral

Penggantian Peubah dalam Integral

Lipat Tiga

Lipat Tiga

Definisi misalkan x=m(u,v,w); y=n(u,v,w); z=p(u,v,w) maka:

∫∫∫ 

∫∫∫ 

= D D dw dv du ) w , v , u ( J )) w , v , u ( p ), w , v , u ( n ), w , v , u ( m ( f  dz dy dx ) z , y , x ( f  w z v z u z w y v y u y w x v x u x ) w , v , u ( J ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = Jacobian

Koordinat Kartesius

Koordinat Kartesius





Tabung

Tabung

x = r cos θ y = r sin θ z = z Matriks Jacobiannya: r sin r cos r 1 0 0 0 cos r sin 0 sin r cos z z z r z z y y r y z x x r x ) w , v , u ( J θ θ = 2θ+ 2θ= θ − θ = ∂ ∂ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂θ ∂ =

∫∫∫ 

∫∫∫ 

f (x,y,z) dxdydz = f (rcosθ,rsinθ,z) rdrdθdz

Koordinat Kartesius

Koordinat Kartesius





Bola

Bola

x = ρ cos θ sin φ y = ρ sin θ sin φ z = ρ cos φ Matriks Jacobiannya: φ   ρ  φ  θ  φ   ρ  θ  φ   ρ  θ  φ  θ  φ   ρ  θ  φ   ρ  θ  φ  φ  θ   ρ  φ  θ   ρ  φ  θ   ρ  sin 1 0 cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos sin ) , , ( =− 2 − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =  z  z  z  y  y  y  x  x  x w v u  J 

∫∫∫ 

∫∫∫ 

= ρ φ θ ρ φ θ ρ φ ρ φ ρ θ φ D 2 D d d d sin ) cos , sin sin , cos sin ( f  dz dy dx ) z , y , x ( f 

Contoh (Tabung)

Contoh (Tabung)

1. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid z = x2 _{+ y}2 _{dan z = 4.}

Z

z = 4

Jawab.

Daerah S dalam Koordinat Cartesius adalah: x y = x,y,z  -  x  , y  ,  x 2 _{+ y} 2 _{≤ z ≤ 4}} 4 − x  − −

Dalam koordinat tabung:

S={(r,θ  ,z )|0 ≤ r ≤ 2, 0≤ θ  ≤ 2π , r 2 _{≤ z ≤ 4}}

Sehingga, volume benda pejalnya adalah S  _xy 

Contoh (Lanjutan)

Contoh (Lanjutan)

∫ ∫ ∫ 

= 2 0 2 0 4 2 π  θ  r  dr  d  dz  r  V 

∫ ∫ 

= 2 0 2 0 4 2 π  θ dr  d   z  r  r 

(

−

)

= 2 2 2 4 r  dr  r  θ  π  0 0 2 4 2 4 1 2 2           − = π  r  r  = 8π 

Contoh (bola)

Contoh (bola)

2. Hitung volume bola pejal x2 _{+ y}2 _{+ z}2 _{= 4 di oktan I} z 2 2 2 4  x  y   z  = − − _{D dalam koordinat:} a. Cartesius: Jawab. x y θ  θ θ  θ  2 2 0 = , , , , 0≤z≤ }  x  − b. Bola: D={(x,y,z)| 0≤ ρ ≤2, 0≤φ ≤ π /2, 0≤θ ≤ π /2} 2 2 4 − x  − y 

Contoh (Lanjutan)

Contoh (Lanjutan)

∫ ∫ ∫ 

= 2  / 0 2  / 0 2 0 2 _sin π π  θ  φ   ρ  φ   ρ  d  d  d  V 

∫ ∫ 

          = 2  / 0 2  / 0 2 0 3 3 1 sin π π  θ   ρ  φ  d  dr  − = 2  /  /2 cos 8 π  π  θ  φ  d  0 0

( )

₀ /2 3 8 π  θ  = _π  3 4 =

Contoh

Contoh

∫∫∫ 

D 2 dV x

1. Hitung , dengan D benda pejal yang dibatasi

z =9 – x2 _{– y}2 _{dan bidang xy.}

2. Hitung volume benda pejal yang di oktan I yang dibatasi bola x2 _{+ y}2_{+ z}2 _{= 1 dan x}2 _{+ y}2_{+ z}2 _=4.

3. Hitung volume benda pejal yang di batasi di atas oleh bola r2_{+ z}2 _{= 5 dan di bawah r}2 _=4z.

4. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid z = x2 _{+ y}2 _{dan bidang z =4.}

Latihan

Latihan

6. Hitung volume benda pejal yang di dalam bola

 x 2_{+ y} 2_+ z 2 _{= 9, di luar kerucut} 2 2

y   x 

 z  = +

dan di atas bidang xy.

(

)

− − − + + 3 9 9 2  / 3 2 2 2 2 2 2  x   x  y  dx  dz  dy   z  y   x  7. Hitung −3_{− 9 − x} 2 _{− 9− x} 2_−y 2

∫ ∫ ∫ 

− + 3 0 9 0 2 0 2 2 2  x  dx  dy  dz  y   x  8. Hitung

∫ ∫

− −

∫ 

− − − 2 0 4 0 4 0 2 2 2 2 2 4  x   x  y  dx  dz  dy  y   x   z  9. Hitung