Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom [MA1124] KALKULUS II

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

Integral Lipat Tiga

Integral Lipat Tiga

Integral Lipat Tiga pada Balok

Integral Lipat Tiga pada Balok

z

∆∆∆∆x_k

∆∆∆∆y_k

1. Partisi balok B menjadi n bagian; B₁, B₂, …, B_k, …, B_n

Definisikan ||∆|| = diagonal ruang terpanjang dari B_k

2. Ambil

3. Bentuk jumlah Riemann

) z , y , x ( _{k k k} B B_k ∆∆∆∆_zk k k k k,y ,z ) B x ( ∈

∑

n f(x ,y ,z )∆V x y

4. Jika ||∆_{||
0 diperoleh limit} jumlah Riemann

Jika limit ada, maka fungsi w = f(x,y,z) terintegralkan Riemann

k n 1 k k k k 0 f(x ,y ,z ) V lim

∑

∆ = → ∆

∑

= ∆ 1 k k k k k,y ,z ) V x ( f

Integral Lipat Tiga pada Balok (2)

Integral Lipat Tiga pada Balok (2)

∆v_k = ∆x_k ∆y_k ∆z_{k
dV = dx dy dz} Sehingga integral lipat dalam koordinat kartesius:

∫∫∫

∫∫∫

= B B dz dy dx ) z , y , x ( f dV ) z , y , x ( f

Contoh

Contoh

∫∫∫

B dV yz x2

Hitung dengan B adalah balok dengan ukuran

B = {(x,y,z)| 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, 1 ≤ z ≤ 2} Jawab.

∫∫∫

x2yz dV =

∫ ∫ ∫

x yz dx dy dz 2 1 2 2

∫∫∫

B dV yz x =

∫ ∫ ∫

x yz dx dy dz 1 0 1 dz dy x yz

∫ ∫

      = 2 1 1 0 2 1 3 3 1 dz y z

∫

      = 2 1 1 0 2 2 1 3 7 2

Integral Lipat Tiga pada Daerah

Integral Lipat Tiga pada Daerah

Sembarang

Sembarang

 Pandang S benda padat yang terlingkupi oleh balok B,

dan definisikan nilai f nol untuk luar S (gb. 1)

z B

∫∫∫

S 2 dV yz x

Hitung , Jika S benda padat sembarang

x

y z

S

Integral Lipat Tiga pada Daerah

Integral Lipat Tiga pada Daerah

Sembarang (2)

Sembarang (2)

 Jika S dipandang sebagai

himpunan z sederhana (gb.2) (S dibatasi oleh z=ψ₁(x,y) dan

z=ψ₂(x,y), dan proyeksi S pada bidang XOY dipandang sebagai daerah jenis I) maka:

z

S

z=ψ₂(x,y)

z=ψ₁(x,y)

 Catatan:

Jika f(x,y,z) = 1, maka menyatakan volume benda

pejal S

∫ ∫ ∫

∫∫∫

= b a x x y x y x S dx dy dz z y x f dV z y x f ) ( ) ( ) , ( ) , ( 2 1 2 1 ) , , ( ) , , ( φ φ ψ ψ

∫∫∫

S dV z y x f( , , ) x y S_xy b a y=φ₂(x) y=φ₁(x) (gb. 2)

Contoh

Contoh

∫∫∫

S dV z y x f( , , )

Hitung _{dengan W=f(x,y,z) = 2xyz dan S benda}

padat yang dibatasi oleh tabung parabola z=2- ½x2 _dan

bidang-bidang z = 0, y=x, y=0

y=0

y=x z=2–½ x

2

z _Jawab.

Dari gambar terlihat bahwa

y=0

x

y

S_xy

S_xy = proyeksi S pada XOY (segitiga)

Dari gambar terlihat bahwa S={(x,y,z)|0≤x≤2, 0≤y≤x 0≤z≤ 2 – ½x2_} 2 0 Sehingga,

∫∫∫

S dV xyz 2

∫ ∫ ∫

− = 2 0 0 2 1 2 0 2 2 x x dx dy dz xyz

∫ ∫

− = 2 0 0 2 1 2 0 2 2 x x dx dy z xy

Contoh (lanjutan)

Contoh (lanjutan)

∫ ∫

      − = 2 0 0 2 2 2 1 2 x dx dy x xy

∫

      + − = 2 0 0 2 4 2 2 1 4 1 2 4 x x y dx x x

∫

      + − = 2 7 5 3 8 1 2x x x dx

∫

    − + = 0 8 2x x x dx 2 0 8 6 4 64 1 6 1 2 1 x x x − + = 3 4 4 3 32 8 − + = =

Latihan

Latihan

∫∫∫

S dV z

1. Hitung , S benda padat di oktan pertama yang dibatasi oleh bidang-bidang z = 0, x=y, y=0 dan tabung x2 _{+ z}2 _{= 1.}

2. Sketsa benda pejal S di oktan pertama yang dibatasi tabung y2 _{+ z}2 _{= 1 dan bidang x =1 dan x = 4, dan}

tabung y + z = 1 dan bidang x =1 dan x = 4, dan tuliskan dan hitung integral lipatnya.

3. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh : a. y = x2_{, y + z = 4, x = 0, z = 0.} b. 1 = z2_+y2_{, y = x, x = 0.} c. x2 _{= y, z}2 _{=y, y = 1.} d. y = x2 _{+ 2, y = 4, z = 0, 3y - 4z = 0.}

∫ ∫ ∫

π + + 2 / 0 z 0 y 0 dxdydz ) z y x sin( 4. Hitung

Integral Lipat Tiga (Koordinat Tabung

Integral Lipat Tiga (Koordinat Tabung

dan Bola)

dan Bola)

θθθθ r z P(r,θθθθ,z) x y z θθθθ r z P(ρρρρ,θθθθ,φφφφ) x y z φφφφ ρρρρ

Syarat & hubungan dg Kartesius Syarat & hubungan dg Kartesius

Koordinat Tabung Koordinat Bola

Syarat & hubungan dg Kartesius r ≥≥≥≥ 0, 0 ≤≤≤≤ θθθθ ≤≤≤≤ 2 π

x = r cos θ y = r sin θ z = z

r2 _{= x}2 _{+ y}2

Syarat & hubungan dg Kartesius

ρ ≥≥≥≥ 0, 0 ≤≤≤≤ θθθθ ≤≤≤≤ 2 π, 0 ≤≤≤≤ φ ≤≤≤≤ π x = r cos θ r = ρ sin φ y = r sin θ r = ρ sin φ z = ρ cos φ x2 _{+ y}2 _{+ z}2 ₌ ρ2 } x = ρ cos θ sin φ } y = ρ sin θ sin φ

Contoh

Contoh

1. Sketsa D; D benda pejal di oktan I yang dibatasi oleh tabung x2_+y2_{=4 dan bidang z = 0, z = 4}

z 4 D dalam koordinat: a. Cartesius: Jawab. x y r θθθθ 2 2 a. Cartesius: D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , 0≤z≤4} 2 4 − x b. Tabung: D={(x,y,z)| 0≤r≤2, 0≤θ≤ π/2, 0≤z≤4} 0 x2_+y2₌₄

Contoh

Contoh

2. Sketsa D; D bagian bola x2_+y2 _{+ z}2_{=4 di oktan I.}

z 2 D dalam koordinat: a. Cartesius: D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , 2 4 − x Jawab. 2 ρρρρ 2 2 4 x y z = − − x y r θθθθ 2 2 D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , 0≤z≤ } 2 4 − x b. Bola D={(x,y,z)| 0≤

ρ

≤2, 0≤

φ

≤ π/2, 0≤

θ

≤ π/2} ρρρρ 2 2 4 − x − y 0

Penggantian Peubah dalam Integral

Penggantian Peubah dalam Integral

Lipat Tiga

Lipat Tiga

Definisi misalkan x=m(u,v,w); y=n(u,v,w); z=p(u,v,w) maka: dimana

∫∫∫

∫∫∫

= D D dw dv du ) w , v , u ( J )) w , v , u ( p ), w , v , u ( n ), w , v , u ( m ( f dz dy dx ) z , y , x ( f x x x ∂ ∂ ∂ dimana w z v z u z w y v y u y w x v x u x ) w , v , u ( J ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = Jacobian

Koordinat Kartesius

Koordinat Kartesius

Tabung

Tabung

x = r cos θ y = r sin θ z = z Matriks Jacobiannya: x x x ∂ ∂ ∂ r sin r cos r 1 0 0 0 cos r sin 0 sin r cos z z z r z z y y r y z x x r x ) w , v , u ( J θ θ = 2θ+ 2 θ = θ − θ = ∂ ∂ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ θ ∂ ∂ ∂ ∂ =

∫∫∫

∫∫∫

f(x,y,z) dxdydz = f(rcosθ,rsinθ,z) rdrdθdz

Koordinat Kartesius

Koordinat Kartesius

Bola

Bola

x = ρ cos θ sin φ y = ρ sin θ sin φ z = ρ cos φ Matriks Jacobiannya: ∂ ∂ ∂x x x φ ρ φ θ φ ρ θ φ ρ θ φ θ φ ρ θ φ ρ θ φ φ θ ρ φ θ ρ φ θ ρ sin 1 0 cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos sin ) , , ( = − 2 − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = z z z y y y x x x w v u J

∫∫∫

∫∫∫

= ρ φ θ ρ φ θ ρ φ ρ φ ρ θ φ D 2 D d d d sin ) cos , sin sin , cos sin ( f dz dy dx ) z , y , x ( f

Contoh (Tabung)

Contoh (Tabung)

1. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid z = x2 _{+ y}2 _{dan z = 4.}

Z

z = 4

Jawab.

Daerah S dalam Koordinat Cartesius adalah: S={(x,y,z)|-2 ≤ x ≤ 2, ≤y≤ 2, 4 − x 2 4 − x − x y S={(x,y,z)|-2 ≤ x ≤ 2, ≤y≤ , x2 _{+ y}2 ≤ _z ≤ _4} 2 4 − x 2 4 − x −

Dalam koordinat tabung:

S={(r,

θ

,z)|0 ≤ r ≤ 2, 0≤

θ

≤ 2

π

, r2 ≤ _z ≤ _4}

Sehingga, volume benda pejalnya adalah S_xy

Contoh (Lanjutan)

Contoh (Lanjutan)

∫ ∫ ∫

= 2 0 2 0 4 2 π θ r dr d dz r V

∫ ∫

= 2 0 2 0 4 2 π θ dr d z r r

(

)

∫

− = 2 2 0 2 4 r dr r

(

)

θ π

∫

0 0 0 2 4 2 4 1 2 2       − = π r r = 8π

Contoh (bola)

Contoh (bola)

2. Hitung volume bola pejal x2 _{+ y}2 _{+ z}2 _{= 4 di oktan I}

z 2 2 ρρρρ 2 2 4 x y z = − − _{D dalam koordinat:} a. Cartesius: D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , 2 4 − x Jawab. x y θθθθ 2 2 ρρρρ 0 D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , 0≤z≤ } 2 4 − x b. Bola: D={(x,y,z)| 0≤

ρ

≤2, 0≤

φ

≤ π/2, 0≤

θ

≤ π/2} 2 2 4 − x − y

Contoh (Lanjutan)

Contoh (Lanjutan)

∫ ∫ ∫

= 2 / 0 2 / 0 2 0 2 sin π π θ φ ρ φ ρ d d d V

∫ ∫

      = /2 0 2 / 0 2 0 3 3 1 sin π π θ ρ φ d dr

(

)

∫

− = 2 / /2 cos 3 8 π π θ φ d

(

)

∫

− = 0 0 cos 3 φ dθ

( )

/2 0 3 8 π θ = _π 3 4 =

Contoh

Contoh

∫∫∫

D 2 dV x

1. Hitung , dengan D benda pejal yang dibatasi z =9 – x2 _{– y}2 _{dan bidang xy.}

2. Hitung volume benda pejal yang di oktan I yang dibatasi bola x2 _{+ y}2_{+ z}2 _{= 1 dan x}2 _{+ y}2_{+ z}2 _=4.

3. Hitung volume benda pejal yang di batasi di atas oleh 3. Hitung volume benda pejal yang di batasi di atas oleh

bola r2_{+ z}2 _{= 5 dan di bawah r}2 _=4z.

4. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid z = x2 _{+ y}2 _{dan bidang z =4.}

Latihan

Latihan

6. Hitung volume benda pejal yang di dalam bola

x2_{+ y}2_{+ z}2 _{= 9, di luar kerucut} 2 2

y x

z = +

dan di atas bidang xy.

(

)

∫ ∫

3 9− −

∫

− + + 9 2 / 3 2 2 2 2 2 2 x x y dx dz dy z y x 7. Hitung

∫ ∫

∫

−3_{− 9−x}2 _{− 9−x}2_−y2

∫ ∫ ∫

− + 3 0 9 0 2 0 2 2 2 x dx dy dz y x 8. Hitung

∫ ∫

− −

∫

− − − 2 0 4 0 4 0 2 2 2 2 2 4 x x y dx dz dy y x z 9. Hitung