Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Integral Garis

(1)

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

Integral

(2)

Integral

Garis

Definisi Integral garis

Integral garis di bidang

Misalkan persamaan parameter kurva mulus C ( di bidang)

x=x(t), y=y(t) ; a ≤ t ≤ b maka

Integral garis di ruang

Misalkan persamaan parameter kurva mulus C ( di ruang) x=x(t), y=y(t), z=z(t) ; a ≤ t ≤ b

(

) (

)

∫

=

∫

+ C b a 2 2 dt ) t ( ' y ) t ( ' x ) t ( y ), t ( x f dS ) y , x ( f

(3)

Sifat

-

sifat

integral

garis

1. Jika C = C₁UC₂U … UC_n, maka

2. Jika – C adalah kurva C dengan arah berlawanan denga

C, maka

∫

= + + + n 2 1 C C C C dS ) y , x ( f ... dS ) y , x ( f dS ) y , x ( f dS ) y , x ( f

∫

= − −C C dS ) y , x ( f dS ) y , x ( f C₁ C2 A B C_n

(4)

Contoh

1. Hitung

∫

(

₊

)

, C adalah kurva x=3t; y=t3 _{; 0≤t≤1} C dS y x3 Jawab. x’(t)=3; y’(t)=3t2

(

)

∫

+ C dS y x3

(

( )

)

( )

∫

+ + = 1 0 2 2 3 3 3 3 3t t t dt

∫

+ = 1 0 4 3 ₉ ₉ 28t t dt

∫

+ = 1 0 4 3 ₁ 84 t t dt

(

₄

)

3/2 1 1 1 84⎜⎛ + ⎟⎞ = t

(5)

Contoh

2. Hitung

∫

( )

, C adalah terdiri dari busur parabola C

dS x

2

y=x2 _{dari (0,0) ke (1,1) diikuti oleh ruas garis vertikal}

dari (1,1) ke (1,2).

C₁ C₂

(1,1)

(1,2) Jawab.

Untuk C₁: (0,0) Æ (1,1) , berupa busur y = x2_.

Persamaan parameter C₁: misalkan x = t Æ y = t2 0≤ t ≤1 y’(t)=2t x’(t)=1 Sehingga

∫

+ = 1 0 2 4 1 2t t dt

( )

∫

1 2 C dS x =

∫

+

( )

1 0 2 2 1 2t t dt

(6)

Contoh

(

Lanjutan

)

Sehingga

( )

∫

1 2 C dS x =

∫

+ 1 0 2 4 1 2t t dt

(

)

1 0 2 / 3 2 4 1 3 2 . 4 1 t + =

(

5 5 1

)

6 1 − = Untuk C₂: (1,1) Æ (1,2)

∫

+ = 2 1 2 1 0 2 dt

( )

∫

2 2 C dS x 2 ) 1 2 ( 2 2 ₁2 = − = = t Jadi,

( )

_∫

( )

_∫

( )

∫

= + 2 1 2 2 2 C C C dS x dS x dS x

(

5 5 1

)

2 6 1 ₋ ₊ =

(

)

1

(berupa ruas garis)

Persamaan parameter C₁: misalkan

(7)

Latihan

1. Hitung , C adalah setengah bagian atas lingkaran lingkaran satuan x2_+y2₌₁

(

)

∫

+ C 2 dS y x 2

2. Hitung , C adalah ruas garis dari (0,0) ke (π,2π)

(

)

∫

+ C dS y cos x sin

3. Hitung , C adalah kurva x=t; y=t2_{; z=t}3_;

0≤t≤1

(

)

∫

+ C dS z 9 x 2

(8)

Kerja

Misalkan Fr(x,y) = M(x,y)iˆ+ N(x,y)jˆ adalah gaya yang bekerja pada

pada suatu titik (x,y) di bidang

Akan dicari: Berapa kerja (W) yang dilakukan oleh gaya F untuk memindahkan sebuah partikel menyelusuri kurva C dari A ke B?

A r(t) _B

F T

Misal rr = xiˆ+ yjˆ adalah vektor posisi Q(x,y)

Q

vektor singgung satuan di Q

r d T r r =

(9)

Kerja

(2)

Maka Fr.Tr = Fr Tr cosθ adalah komponen singgung F di Q

Kerja yang dilakukan oleh F untuk memindahkan partikel sejauh ∆s adalah

Kerja yang dilakukan oleh gaya F untuk memindahkan partikel dari A ke B adalah

jˆ dy iˆ dx r d jˆ dt dy iˆ dt dx dt r dr ₌ ₊ _⇒ r ₌ ₊ s T . F W = ∆ ∆ r r

∫

= = = C C C r d . F ds ds dt dt r d . F ds T . F W r r r r r r diketahui Jadi, didapat

(

)(

)

∫

+ = + + = C C dy ) y , x ( N dx ) y , x ( M jˆ dy iˆ dx . jˆ ) y , x ( N iˆ ) y , x ( M W

(10)

Kerja

(3)

Dengan cara yang sama untuk

gaya yang bekerja pada suatu titik di ruang, maka

k z y x P j z y x N i z y x M z y x Fr( , , ) = ( , , )ˆ+ ( , , )ˆ+ ( , , )ˆ

∫

+ + = C dz z y x P dy z y x N dx z y x M W ( , , ) ( , , ) ( , , )

(11)

Contoh

1. Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya

j

xy

i

y

x

y

x

F

r

(

,

)

=

(

3

−

3

)

ˆ

+

2

ˆ

dalam memindahkan partikel

sepanjang kurva C : x = t2_{, y=t}3 _{, -1 ≤t≤ 0}

Jawab. Kerja yang dilakukan medan gaya F adalah

∫

+ = C dy N dx M W ; dx = 2t dt, dy=3t2 dt

(

)

∫

− + = C dy xy dx y x3 3 2

( ) ( )

(

)

( )

∫

− + − = 0 1 2 2 3 2 3 3 3 2 _t ₂_t _dt _t _t ₃_t _dt t

(

)

∫

− + − = 0 1 10 10 7 ₂ ₃ 2t t t dt

∫

(

)

− − = 0 1 10 7 2t t dt 0 1 11 8 11 1 4 1 − − = t t 44 7 11 1 4 1 ₌ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − =

(12)

Contoh

2. Hitung integral garis

∫

+

C

2

dy x

ydx dengan kurva C : x = 2t,

y=t2_{-1 , 0 ≤t≤ 2}

Jawab. Kerja yang dilakukan adalah

∫

+ = C dy x dx y W 2 ; dx = 2 dt, dy=2t dt

(

)

( )

∫

− + = 2 0 2 2 ₁ ₂_dt ₂_t ₂_t _dt t

(

)

∫

− + = 2 0 3 2 ₂ ₈ 2t t dt 2 0 4 3 ₂ ₂ 3 2 _t ₋ _t ₊ _t = = 16₃ − 4 + 32 3 100 28 3 16 ₊ ₌ =

(13)

Latihan

k z y j z i y x z y x Fr( , , ) = (2 − )ˆ+ 2 ˆ+ ( − )ˆ

dalam memindahkan partikel sepanjang C, dimana C adalah ruas garis dari (0,0,0) ke (1,1,1)

2. Hitung integral garis

∫

+

C

2

dy x

ydx dengan kurva C adalah ruas

garis dari (1,1) ke (3,-1) 3. Hitung

∫

C r d .

Fr r dengan Fr = xy2iˆ+xy2jˆ sepanjang

a. C = C₁ U C₂ b. C = C₃ C₁ C₂ C3 (0,2) (3,2) (3,5) x y

(14)

Integral

Garis

Bebas

Lintasan

Hitung

∫

C

r d .

Fr r dengan Fr = yiˆ+ xjˆ atas lintasan

a. C garis y = x dari (0,0) ke (1,1) b. C garis y = x2 _{dari (0,0) ke (1,1)}

c. C garis y = x3 _{dari (0,0) ke (1,1)}

PENDAHULUAN

TEOREMA A: DASAR INTEGRAL GARIS

Misalkan Fr(x,y) = M(x,y)iˆ+ N(x,y)jˆ dengan C adalah kurva mulus

sepotong-potong dengan titik pangkal (x₀,y₀) dan titik ujung (x₁,y₁).

(15)

Integral

Garis

Bebas

Lintasan(2)

disebut gaya konservatif dan f disebut fungsi potensial dari

Fr Jika Fr(x,y) = ∇rf(x,y) maka Fr Contoh: maka F.dr f(1,1) f(0,0) 1.1 0.0 1 C = − = − =

∫

r r jˆ x iˆ y

Fr = + dengan C kurva dari (0,0) ke (1,1) f jˆ x iˆ y Fr = + = ∇r jˆ y f iˆ x f f ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇r

dengan fungsi potensial f = xy Masalah:

Bagaimana mengetahui bahwa F konservatif? (F(x,y)=gradien dari suatu fungsi f).

(16)

Integral

Garis

Bebas

Lintasan(3)

kˆ y M x N jˆ x P z M iˆ z N y P ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ =

DEFINISI: Misal Fr = Miˆ+ N jˆ+ Pkˆ

maka P N M z y x kˆ jˆ iˆ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = F x F rot F Curlr = r =∇r r TEOREMA B

MisalkanFr = Miˆ+ N jˆ+Pkˆ maka Fr konservatif jika dan hanya jika

atau jika dan hanya jika

0 F rot F Curlr = r = x P z M , z N y P , y M x N ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂

(17)

Contoh

:

1. Diketahui

a. Tunjukkan bahwa F konservatif, dan tentukan f b. Hitung

(

x y

)

j i xy Fr = 2 3 ˆ + 1 + 3 2 2 ˆ r d . F C r r

∫

dengan C sebarang kurva dari (1,4) ke (3,1) F Jawab. r _Konservatif

_⇔

x N y M ∂ ∂ = ∂ ∂ a. (i) 2 6 x y x N = ∂ ∂ 2 6 xy y M = ∂ ∂

⇒

M=2xy3

⇒

N=1+3x2_y2 x N y M ∂ ∂ = ∂ ∂ Fr Konservatif Jadi (ii) Fr ₌ 2 xy 3 ˆi ₊

(

1 ₊ 3 x 2y 2

)

ˆj _j _f y f i x f ∇ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ˆ ˆ r 3 2 x y x f = ∂ ∂ ₂ ₂ 3 1 x y y f + = ∂ ∂ ……. (1) ……. (2)

(18)

Contoh

(

Lanjutan

)

Integralkan (1) terhadap x, diperoleh dx y x y x f ₍ _, ₎ =

∫

₂ 3 ) ( ) , (_x _y _x 2_y 3 _C _y f = + ……. (3)

Turunkan (3) terhadap y, diperoleh

) ( ' 3 _x 2_y 2 _C _y y f + = ∂ ∂ ……. (4) Dari (2) dan (4), diperoleh

2 2 2 2 _'₍ ₎ ₁ ₃ 3x y C y x y y f ₌ ₊ ₌ ₊ ∂ ∂ 1 ) ( ' y = C

(19)

Contoh

(

Lanjutan

)

=

∫

C r d Fr. r

∫

+

(

+

)

) 1 , 3 ( ) 4 , 1 ( 2 2 3 ₁ ₃ 2 x y dx x y dy b. ) 4 , 1 ( ) 1 , 3 ( f f − =

(

32.13 ₊ 1

) (

₋ 12.43 ₊ 4

)

= C y y x y x f₍ _, ₎ = 2 3 + + , 58 68 10 − = − =

(20)

Contoh

2. Diketahui

a. Tunjukkan bahwa F konservatif, dan tentukan f b. Hitung

(

e y yz

) (

i xz e y

)

j xy k z y x Fr₍ _, _, ₎ ₌ x _cos ₊ ˆ ₊ ₋ x _sin ˆ ₊ ˆ r d F C r r .

∫

dengan C sebarang kurva dari (0,0,0)ke (1,0,1) Jawab. Fr Konservatif

⇔

∂_∂M_y = ∂_∂N_x a. (i) M=ex _cosy+yz N=xz – ex _siny _e _y _z x N _x + − = ∂ ∂ sin z y e y M _x + − = ∂ ∂ sin

⇒

x z N = ∂ ∂ y z M = ∂ ∂

⇒

P=xy ∂P = y ∂P = x z M x P ∂ ∂ = ∂ ∂ , z N y P ∂ ∂ = ∂ ∂ ,

(21)

Contoh

(

lanjutan

)

(ii)Fr ₌

(

ex _cos y ₊ yz

) (

ˆi ₊ xz ₋ ex _siny

)

ˆj ₊ xy kˆ _k _f y f j y f i x f ∇ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ˆ ˆ ˆ r yz y e x f _x + = ∂ ∂ cos xz e y y f _x sin − = ∂ ∂ ……. (1) ……. (2) y x z f ₌ ∂ ∂ _{……. (3)}

Integralkan (1) terhadap x, diperoleh

(

e y yz

)

dx z y x f x

∫

+ = cos ) , , ( ) , ( cos ) , , (x y z e y xyz C y z f ₌ x ₊ ₊ _{……. (4)}

Turunkan (4) terhadap y, diperoleh

) , ( siny xz C y z e y f y x ₊ ₊ − = ∂ ∂ ……. (5)

(22)

Contoh

(

Lanjutan

)

Dari (2) dan (5), diperoleh

y e xz z y C xz y e y f _x y x _sin ₊ ₊ ₍ _, ₎ ₌ ₋ _sin − = ∂ ∂ 0 ) , (y z = C _y ) ( ) , (y z C z C = _{……. (6)} ) ( cos ) , , (x y z e y xyz C z f ₌ x ₊ ₊ _{……. (7)} Masukan (6) ke (4), diperoleh

Turunkan (7) terhadap z, diperoleh

) ( ' z C xy z f + = ∂ ∂ _{……. (8)}

(23)

Contoh

(

Lanjutan

)

Masukan (9) ke (7), diperoleh Jadi fungsi potensialnya adalah

C xyz y e z y x f₍ _, _, ₎ ₌ x _cos ₊ ₊ C xyz y e z y x f₍ _, _, ₎ ₌ x _cos ₊ ₊ =

∫

C r d Fr. r

(

ex y ₊ yz

)

dx ₊

(

xz ₋ ex y

)

dy ₊ xy dz

∫

0,1) , 1 ( ) 0 , 0 , 0 ( sin cos b. ) 0 , 0 , 0 ( ) 1 , 0 , 1 ( f f − =

(

1 cos 0 ₊ 1.0.1

) (

₋ 0 cos 0 ₊ 0

)

= e e C xyz y e z y x f₍ _, _, ₎ ₌ x _cos ₊ ₊ , 1 − = e

(24)

Penyataan

berikut

ekivalen

1. Fr = ∇r f untuk suatu f (F konservatif)

2. F.dr C r r

∫

bebas lintasan 3. F.dr 0 C =

∫

r r Sudah Jelas???

(25)

Latihan

Tentukan apakah F konservatif? Jika ya, tentukan f

(

Fr = ∇rf

)

1. Fr =

(

10x−7y

) (

iˆ− 7x−2y

)

jˆ

2. Fr =

(

12x2 +3y2 +5y

) (

iˆ+ 6xy−3y2 +5x

)

jˆ

3. Fr =

(

4y2 cos(xy2)

) (

iˆ+ 8xcos(xy2)

)

jˆ

4. Fr =

(

2ey − yex

) (

iˆ+ 2xey −ex

)

jˆ

5. Fr =

(

2xy+z2

)

iˆ+x2jˆ+

(

2xz+ πcosπz

)

kˆ

Hitung integral garis berikut:

6.

∫

(

) (

)

− + + + ) 1 , 3 ( ) 2 , 1 ( 2 2 dy xy 2 x dx xy 2 y 7.

∫

(

) (

)

π + ) 2 , 1 ( ) 0 , 0 ( x x dy y cos e dx y sin e 8.

∫

(

+

) (

+

)

+

(

+

)

) 1 , 1 , 1 ( ) 0 , 0 , 0 ( 2 2 2 3 dz 1 xz 4 dy y x 9 dx z 2 xy 6 9.

∫

(

)

(

)

(

)

π π + + + + + ) 0 , , ( ) 0 , 0 , 0 ( dz xy 2 z dy xz 2 y sin dx yz 2 x cos 10.

∫

(

− −

) (

+ +

)

+

( )

) 4 , 1 , 1 ( ) 0 , 0 , 0 ( y x dz xy dy e xz dx e yz 11.

∫

(

−

)

+

(

+

)

+

(

−

)

C 2 2 dz xyz 4 1 dy xz 3 y 2 dx yz 6 x 3

(26)

Teorema

Green

di

Bidang

Misalkan C kurva mulus sepotong-potong, tertutuptertutup

sederhana

sederhana yang membentuk batas dari suatu daerah

di bidang XOY. Jika M(x,y) dan N(x,y) kontinu dan mempunyai turunan kontinu pada S dan batasnya C maka Bukti. Perhatikan

∫∫

∫

+ = ⎜⎜_⎝⎛∂_∂ − ∂_∂ ⎟⎟_⎠⎞ S C dA y M x N dy N dx M C = C₁U C₂U C₃U C₄ S = {(x,y)|a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ f(x)} y S C₄ C₃ C₂ y=f(x)

∫

= + + + 4 C 3 C 2 C 1 C C dx M dx M dx M dx M dx M ⎤ ⎡

(27)

Teorema

Green

di

Bidang

Sama halnya dengan memperlakukan S sebagai himpunan x sederhana, kita peroleh

Sehingga diperoleh

∫∫

∫

= ∂_∂ S C dA x N dy N

∫

∫∫

_⎟⎟ = + ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ C S dy N dx M dA y M x N

(28)

Contoh

Hitung

∫

+ C 2 xydy 4 dx

y dengan C adalah kurva tertutup yang terdiri

dari busur parabola y = x2 _{dari titik asal ke titik(2,4) dan}

segmen garis (2,4) ke titik (0,0) Jawab.

Akan kita coba mengerjakan dengan dua cara, yaitu dengan Integral garis biasa dan teorema Green

1. Integral garis

C (2,4)

Untuk C₁: (0,0) Æ (2,4) , berupa busur y = x2_.

Persamaan parameter C₁: misalkan x = t Æ y = t2

0≤ t ≤2 y’(t)=2t

(29)

Contoh

(

Lanjutan

)

2 0 5 5 9 t =

∫

= 2 0 4 9 dtt 5 288 =

Untuk C₂_{: (2,4) Æ (0,0) (berupa ruas garis)} Persamaan parameter C₂: misalkan

, y’(t)=-4 x’(t)=-2 0≤ t ≤1 (x,y) = (2 , 4)+ t (0,0) - (2,4) x = 2 – 2t, y = 4 – 4t

⇒

Sehingga

∫

+ 2 4 2 C dy xy dx y

(

4 4t

) ( )

2 dt 4

(

2 2t

)(

4 4t

)( )

4 dt 1 0 2 − − − + − − =

∫

(

)

∫

− + − = 1 0 2 160 320 160 t t dt

(30)

Contoh

(

lanjutan

)

Jadi,

∫

+ 2 4 2 C dy xy dx y = −

∫

(

− +

)

1 0 2 160 320 160 t t dt 1 0 3 2 3 160 2 320 160 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ ₊ − = t t t 3 160 − =

∫

+ = + + + 2 1 4 4 4 2 2 2 C C C dy xy dx y dy xy dx y dy xy dx y 3 160 5 288 − =

(31)

Contoh

(

Lanjutan

)

2. Teorema Green. M=y2 N=4 yx y x N 4 = ∂ ∂ y y M 2 = ∂ ∂

⇒

∫∫

∫

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = + S C dA y M x N dy xy dx y2 4 S={(x,y)| 0 ≤ x ≤ 2, x2 _{≤ y ≤ 2x}}

(

)

∫ ∫

− = 2 0 2 2 2 4 x x dx dy y y Dengan:

∫

= 2 0 2 2 2 dx y x x

∫

− = 2 0 4 2 4x x dx 2 0 5 3 5 1 3 4 _x x − = 15 64 5 32 3 32 = − = y=x2 y=2x (2,4) (0,0) x y S S 2 4

(32)

Latihan

jˆ ) x e ( iˆ ) y x (sin ) y , x (

Fr = − + y − 2 dalam menggerakkan suatu obyek

mengitari satu kali x2 _{+ y}2 _{= 4 dalam arah positif.}

2. Hitung

∫

+ C 2 dy y dx xy

2 dengan C kurva tertutup yang terbentuk

oleh y = x/2 dan x = y2 _{antara (0,0) dan (4,2)}

3. Hitung

∫

+ + C dy ) y x ( dx

xy dengan C segitiga yg titik-titik sudutnya

(0,0), (2,0), dan (0,1) 4. Hitung

∫

+ + + C 2 x 3 dy ) y sin x ( dx ) y 2 e

( dengan C persegipanjang yg titik

titik sudutnya (2,1), (6,1), (6,4) dan (2,4) 5. Hitung

∫

2 + + 2 + dengan C ellips

(33)

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

Integral

(34)

Luas

Permukaan

Misalkan diketahui partisi permukaan G berupa grafik

z = f(x,y) atau F(x,y,z) = f(x,y) – z k ∇F γ γ γ ∆R_i ∆T_i ∆S_i ∆S_i~ ∆T_i= ∆R_i sec γ_i

∆S = luas G dan ∆R = luas R = ∆x∆y Jadi S f f 1 R

1 f f sec 1 f f 1 1 f f 1 cos kˆ jˆ f iˆ f F dengan , kˆ F kˆ . F cos 2 2 2 y 2 x i 2 y 2 x 2 y 2 x i y x i ∆ + + = ∆ + + = γ + + = + + − = γ − + = ∇ ∇ ∇ = γ _r r r G b a c d G_i R R_i

(35)

Contoh

Hitung luas permukaan G : z = x2 _{+ y}2 _{dibawah bidang z=4}

Jawab.

Bagian G yang dimaksud diproyeksikan pada daerah S (daerah yang dibatasi oleh lingkaran x2_+y2_=4). Z x y G z = 4 S x2_+y2₌₄

Misalkan f(x,y)=x2_+y2_{. Maka didapat} f_x= 2x, f_y=2y

Sehingga luas permukaan G adalah

∫∫

= + + = + + S S y x G dA y x dA f f dS 2 2 1 4 2 4 2 1 dengan S={(x,y)| -2≤ x ≤ 2, ≤y≤ _{4 x}₋ 2 } 2 4 x− −

(36)

Contoh

(

Lanjutan

)

Dengan koordinat polar, batasan S berubah menjadi S={(r,

θ

)|0 ≤ r ≤ 2, 0≤

θ

≤ 2

π

} Jadi

∫∫

= + + S G dA y x dS 4 2 4 2 1

∫ ∫

+ = π θ 2 0 2 0 2 ₁ 4r r dr d

(

)

∫

+ = 2π θ 0 2 0 2 / 3 2 ₁ 4 3 2 . 8 1 d r

(

)

π θ 2 . 1 17 17 1 − = = π

(

17 17 −1

)

(37)

Latihan

Luas

Permukaan

1. Hitung luas permukaan G : z = x2 _{+ y}2 _{dibawah bidang}

z =4

2. Hitung luas permukaan G : yang tepat berada

z

=

4 y

−

2

di atas persegi panjang dengan titik sudut (1,0),(2,0), (2,1),(1,1)

3. Hitung luas permukaan G : silinder z2 _{+ x}2 _{= 16 di oktan}

I yang dipotong oleh bidang x =2, y = 1, y = 3

4. Hitung luas permukaan G : silinder z2 _{+ y}2 _{= 9 di oktan I}

(38)

Integral

Permukaan

Misalkan g(x,y,z) terdefinisi pada permukaan G

x y z G b a c d ) y , x ( i i ) z , y , x ( i i i Gi R R_i

Misalkan permukaan G berupa grafik z = f(x,y) atau F(x,y,z) = f(x,y) – z -Misalkan R proyeksi G pada bidang XOY

-Partisi R menjadi n bagian; R₁, R₂,…,R_n -Pilih

(partisi G yang bersesuaian dgn R) -Bentuk jumlah riemann

Integral permukaan dari g atas G

i i i i i i i,y ) R dan (x ,y ,z ) G x ( ∈ ∈ i i n 1 i i i i i,y ,z ) G , dengan G luasG x ( g ∆ ∆ =

∑

=

(39)

Integral

Permukaan

(2)

Dengan cara yang sama diperoleh

1. Jika permukaan G berupa grafik x = f(y,z), (y,z)∈ R (Proyeksi G pada bidang YOZ), maka

2. Jika permukaan G berupa grafik y = f(x,z), (x,z)∈ R (Proyeksi G pada bidang XOZ), maka

∫∫

= + + R 2 z 2 y G dA f f 1 ) z , y ), z , y ( f ( g dS ) z , y , x ( g

∫∫

= + + R 2 z 2 x G dA f 1 f ) z ), z , x ( f , x ( g dS ) z , y , x ( g

(40)

Contoh

∫∫

G dS z , G adalah permukaan z = 4−x2 −y2 1. Hitung Jawab. 2 2 4 x y z = − − z2 = 4 − x2 − y2 4 2 2 2 ₊ _x ₊ _y ₌ z

G bagian atas kulit bola dengan jari-jari 2.

⇒

R (proyeksi G pada XOY) berupa lingkaran x2_+y2_=4. 2 2 Z y 2 x2_+y2₌₄ R 2 2 4 x y z = − −

(

₂ ₂

)

1/2 ₂ ₂ 4 2 . 4 2 1 y x x x y x f_x − − − = − − − = −

Kita punya , maka

G

(41)

Contoh

(

lanjutan

)

Jadi

∫∫

= + + R y x G dA f f z dS z 2 2 1

∫∫

− − ₋ ₋ = R dA y x y x2 2 ₂ ₂ 4 4 4

∫∫

= R dA 2

dimana daerah R={(r,

θ

)|0 ≤ r ≤ 2, 0≤

θ

≤ 2

π

}, sehingga

∫∫

= R G dA dS z 2

∫ ∫

= π θ 2 0 2 0 2 r dr d = 8π

(42)

Latihan

Integral

Permukaan

1. Hitung , dengan G bagian kerucut z2 _{= x}2 _{+ y}2

di antara z = 1 dan z = 2

∫∫

G 2 2 dS z x 2. Hitung

a. g(x,y,z) = x2 _{+ y}2 _{+ z , dengan G: z = x+y+1, 0≤x≤1, 0≤y≤1}

∫∫

G dS ) z , y , x ( g

b. g(x,y,z) = x , dengan G: x+y+2z = 4, 0≤x≤1, 0≤y≤1

c. g(x,y,z) = x+y , dengan G: , 0≤x≤√3, 0≤y≤1

z

=

4 x

−

2 d. g(x,y,z) = , dengan G: z =x

4 x

2

+ y

4

2

+

1

2_-y2_{, 0≤x}2_+y2_≤1