KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY IV. TURUNAN

PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM

(PPDU)

TELKOM UNIVERSITY

KALKULUS I MUG1A4

IV. TURUNAN

KONSEP TURUNAN

c x

c f x

m

_PQ

f



 ( )  ( )

Turunan di satu titik

Pendahuluan (dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung

Kemiringan tali busur PQ adalah :

c f(c) P

x

f(x) Q

x-c

f(x)-f(c) Jika x  c , maka tali busur PQ akan

berubah menjadi garis singgung di titik P dgn kemiringan

c x

f(c) m f(x)

c

x



 

lim



b. Kecepatan Sesaat

Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t).

Pada saat t = c benda berada di f(c) dan saat t = c + h benda berada di f(c+h).

Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h]

adalah

c c+h

Perubahan waktu Perubahan posisi

s

f(c) f(c+h)

h

c f h c

v_{rata rata} f (  ) ( )

 

Jika h 0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c :

Misal x = c + h, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk

Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan kecepatan sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebut berada dalam satu tema, yaitu turunan

Definisi 4.1 : Turunan pertama fungsi f di titik x = c, notasi

didefinisikan sebagai bila limit diatas ada

h

c f h

c v f

v

rata h h rata

) ( )

lim (

lim

0 0



 



  

c x

f(c) v f(x)

c

x 

  lim

) ( ' c f '( ) lim

x c

f(x) f(c)

f c ^ x c

 



Notasi lain :

Contoh : Diketahui tentukan )

( ' ) ,

( y c dx

c df

) x x (

f  1

3 3

3 3

3

1 1

3 3

3 lim lim

3 3

3 ( 3)

lim lim

3 3 3 3

1 1

lim 3 9

x x

x x

x

f(x) f( ) x

f'( )

x x

x x

x(x ) x(x )

x

 

 



 

 

 

  

 

 

   

) 3 ( ' f

1. '( ) lim

x c

f(x) f(c)

f c ^ x c

 



0

0

0

0

0

3 3

3 lim

1 1

3 3

lim

3 (3 ) 3(3 ) lim

3(3 ) lim

1 1

lim 3(3 ) 9

h

h

h

h

h

f( h) f( ) f'( )

h h

h

h h h h

h h

h











 



 



 

 



 

   



0

( ) ( ) 2. '( ) lim

h

f c h f c

f c

^

h

  

TURUNAN SEPIHAK

Turunan kiri dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :

Turunan kanan dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :

bila limit ini ada.

Fungsi f dikatakan mempunyai turunan (diferensiabel) di c

atau jika

Jika sebaliknya, f dikatakan tidak mempunyai turunan di c.

) c ( f ) c (

f

_^'



_^'

c x

c f x

c f f

c

x





_



 

) ( )

lim ( )

'

(

c x

f(c) (c) f(x)

f

c x '





_





lim



) ( ' c f

) c ( f ) c ( f ) c ( '

f 

_{_}^'



_^'

dan

Contoh : Diketahui

 











 

1 ,

2 1

1 ,

) 3 (

2

x x

x x

x x f

Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x = 1. Jika ya, tentukan Jawab :

a.

b.

Jadi, f diferensiabel di x = 1

dan f

^'

( 1 )  1 .

) 1 ( ' f

' 2

1 1

2

1 1

( ) (1) 3 (1 2 1)

(1) lim lim

1 1

( 1)

lim lim 1

1 1

x x

x x

f x f x x

f x x

x x x x

x x

 

 

  

 

    

 

 

 

  

 

'

1 1

1 1

( ) (1) 1 2 (1 2 1)

(1) lim lim

1 1

2 2 1

lim 2 lim 1

1 ( 1)( 1)

x x

x x

f x f x

f x x

x x

x x x

 

 

  

 

   

 

 

 

  

  

Teorema : Jika f diferensiabel di c f kontinu di c.

• Bukti : Yang perlu ditunjukkan adalah

• Perhatikan bahwa

• Maka

• Sifat tersebut tidak berlaku sebaliknya.

Artinya, jika f kontinu di c, maka belum tentu f diferensiabel di c.

Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.

) ( )

(

lim f x f c

c

x





c x c

c x x

c f x

c f f x

f  



 

 ( ) ( ).( ) ,

) ( )

(

 

  



 







( ) ( ) ( )

) ( lim )

(

lim x c

c x

c f x

c f f x

f

x c

c x

) (

lim ) .

( )

lim ( )

(

lim x c

c x

c f x

c f

f

x c x c

c

x





 



  

0 ).

( ' )

(c f c

f 

 = f(c). Terbukti.

Contoh

Tunjukkan bahwa f ( x ) = |x| kontinu di x = 0 tetapi tidak diferensiabel di x = 0

Jawab

Akan ditunjukkan bahwa f(x)=|x| kontinu di x=0

 







 

 , 0

0

| ,

| )

( x x

x x x

x f

) x ( f lim

x0^

lim ( ) 0

0

 



_



x

x

) x ( f lim

x0^

lim 0

0





_



x

x

lim ( ) 0

0





f x

x

) 0 ( )

(

lim

0

f x f

x





f(0) = 0





 f kontinu di x = 0

0 0 0

0 

 

 

 x

) ( f ) x ( lim f )

( f

x

'

0 lim 1

lim

0 0

  

 



_



_





x

x x

x

x x

0 0 0

0



 

 



x

) ( f ) x ( lim f )

( f

x

'

0 lim 1 .

lim

0

 

0





   

x

x x

x

x x

Selidiki apakah f terdiferensialkan di x = 0

1 ) 0 ( )

0 (

1 

^'



^'



 f

_

f

_ Karena

maka f tidak diferensiabel di 0.

Contoh :

Cari nilai a dan b sehingga f(x) mempunyai turunan di x = 1.

 







 

1 ,

1 ) ,

(

2

x ax

x b

x x f

).

( lim )

( lim )

1

(

1

f x

1

f x f

x

x ^



 ^



Jawab :

f(x) mempunyai turunan di x = 1 jika a. f kontinu di x = 1 (syarat perlu)

f kontinu di x = 1 jika f kontinu kiri dan f kontinu kanan di x = 1, atau

1 1

lim

lim

1

2

1

        



_{ }





x b ax a b a b a

a

x x

2 '

1 1

2 2

1 1 1 1

( ) (1)

(1) lim lim

1 1

( 1) 1 ( 1)( 1)

lim lim lim lim 1 2

1 1 1

x x

x x x x

f x f x b a

f x x

x a a x x x

x x x x

   

   

  

 

 

     

     

  

Maka a = 2 dan b = 1

'

1 1

1

' '

( ) (1) 1

(1) lim lim lim

1 1 1

(1) (1) 2

x x

x

f x f ax a x

f a a

x x x

f f

a

    

 

  

   

  





b. Turunan kiri = turunan kanan di c (syarat cukup)

Soal Latihan

1. Apakah fungsi

2 2

3 , 1

( ) 4 2 , 1

x x x

f x

x x x

   

 

  

 diferensiabel di x = 1?

2. Apakah fungsi

f ( x )  x (| x |  1 )

diferensiabel di setiap bilangan real x ?

3. Apakah fungsi diferensiabel di x = 2?

 









 

2 ,

1 2

2 ,

) 1 (

2

x x

x x x

f

4. Apakah fungsi diferensiabel di setiap bilangan real x ?

5. Cari nilai a dan b sehingga mempunyai turunan di x = 3

) 3

| 1 (|

)

( x  x

²

x   f

2

1 ; 3

( ) 2 ; 3

x x

f x ax b x

  

    

ATURAN PENCARIAN TURUNAN

Fungsi Turunan Pertama

Definisi

Misalkan f (x) terdefinisi pada selang I. Fungsi turunan pertama dari f, ditulis , didefinisikan sebagai

atau jika h=t-x

bila limitnya ada.

Notasi lain , bentuk dikenal

sebagai notasi Leibniz.





 

 



x

x t

x f t

x f

f

t x

( ) ( ) , lim

) ('





 

 



x

h

x f h

x x f

f

h

( ) ( ) ,

lim )

('

0

) ( ,

) , , (

,' D y D f x

dx x df dx

y dy _{x x}

dx dy )

(

f ' x

• Dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk mencari turunan sebagai berikut :

1. Jika f (x)=k, maka 2.

3.

4.

5. dengan

 

r x r R dx

x

d ^r  _r^1 ; 

 

(x) g (x) dx f

g(x) f(x)

d   _'  _'

 ^{( ) ( )} 

'

_{( ) ( ) ( )}

'

_{( )}

x g x f x

g x dx f

x g x f

d  

 

) (

) ( )

( )

( ) (

2

' ) '

) ( (

x g

x g x f x

g x f

dx

d

^{f x} _{g x}



 g x ( ) 0 

0 )

(

' x 

f

Bukti formula 4

Misalkan h(x) = f(x)g(x)

0 0

0

0

0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

'( ) lim lim

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim

( ) ( ) ( ) ( )

lim ( ) ( )

( ) ( )

lim ( )lim lim ( )lim

h h

h

h

h h h h

h x h h x f x h g x h f x g x

h x h h

f x h g x h f x h g x f x h g x f x g x h

g x h g x f x h f x

f x h g x

h h

g x h g x

f x h g x

h

 





   

    

 

      



   

 

    

     ( ) ( )

( ) '( ) ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) '( )

f x h f x h

f x g x g x f x f x g x f x g x

 

 

 

1 ) 3

( ₂



  x x x f

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1.( 1) 2 ( 3) 1 6 2 6 1

'( ) ( 1) ( 1) ( 1)

x x x x x x x x

f x x x x

        

  

  

3.Tentukan turunan pertama dari

Contoh: 1. Tentukan turunan pertama dari f (x)  x³ 3x² 4

Jawab :

0 2

. 3 3

) (

' x  x²  x

f

 3 x

²

 6 x

2. Tentukan turunan pertama dari

f ( x )  ( x

³

 1 )( x

²

 2 x  3 )

Jawab :

) 2 2

)(

1 (

) 3 2

( 3 ) (

' x  x² x²  x  x³  x f

2 2

2 2

9 6

3 ⁴  ³  ²  ⁴  ³  

 x x x x x x

2 2

9 8

5 ⁴  ³  ²  

 x x x x

Jawab :

Soal Latihan

Tentukan fungsi turunan pertama dari

) 1 2

( ) 1 (

)

( x  x  x

³

 x  f

1 ) 1

(

₂

2



  x x x

f

1 )

( x  x

^1/2



³

x

²



1.

f

2.

3.

x x

f x

x f

a . ( )  sin  ' ( )  cos

x x

f x

x f

b . ( )  cos  ' ( )   sin

2 0

2 cos sin

sin sin 2 2

'( ) lim lim

sin( ) lim cos( ). lim 2

2 ( )

2 cos .1 cos

t x t x

t x t x

t x t x

t x

f x

t x t x

t x t x

t x

x x

 

  

 

   

   

    

 

 

 

 

 

TURUNAN FUNGSI SINUS COSINUS

BUKTI

a. Misal f(x) = sin x, maka

b. Misal f(x) = cos x, maka

h

x h

x x

f

h

cos )

lim cos(

) (

'

0



 

 ⁰

cos cosh sin sinh cos lim

h

x x x



h

 



h

x x

h

sinh sin

) 1 (cosh lim cos

0



 



x h

h x h

h

sin sinh 2 )

sin (

cos lim

2

0

 





sinh) 4 sin

) 2 / (

2) sin (

cos (

lim ₂

2

0 x h

h

h h x

h  

  h x h

h x h

h h

limsinh 4 sin

2 /

) 2 / lim sin(

cos 0

2 0

) 2 /

(    



 







x x

x.0 sin sin cos   



Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnya turunan bentuk u/v

   

dx d

dx x

c d

^x

xcos

tan

sin

. 

x x x

2 2 2

cos sin cos 

 cos² x

 1

 sec

²

x

   

dx d dx

x

d d ^x

xsin

cot cos

. 

x

x x

2

2 2

sin

cos sin 

  1₂ ²

sin csc x x

   

   

dx d dx

x

e d ^cosx

sec 1

. 

x x cos2

 sin

x x

x cos

1 cos

 sin

 sec tan x x

   

dx d dx

x

f d

^sinx

csc

1

. 

x x sin2

cos

 cos 1

csc cot sin sin

x x x

x x

   

ATURAN RANTAI

• Andaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika dan ada , maka

Contoh : Tentukan dari Jawab :

Misal sehingga bentuk diatas menjadi Karena

dan maka

dx du du dy

dx dy  du

dy

dx du

dx

dy

_{y sin(x}² _1)

2

 1

 x u

dx x du  2

u y  sin

du u

dy  cos

2 2

cos( 1)2 2 cos( 1)

dy x x x x

dx    

dx dv dv du du dy dy  dx



Jika y = f(u), u = g(v), v = h(x), dan

dx dv dv du du

dy , ,

^{ada, maka}

Contoh : Tentukan

dx

dy

dari y  Sin⁴(x³ 5)

3

 5

 x

v ^3x

²

dx dv 

Jawab :

Misal



) 5 cos(

cos  ³ 

 v x

dv du

y u 

4 ^{ 4u3  4Sin3(x3 5)}

du dy



sehingga

) 5 (

) 5 (

12 .

.  ^{2 3 3}  ³ 

 x Sin x Cos x

dx dv dv du du dy dx

dy

sin

Atau bisa dengan cara langsung, )

5 (

³

4



 Sin x

y  ^{y ' 4.  Sin x}

³

⁽

³

^{ 5) Cos x (}

³

^{ 5).3 x}

²

2 3 3 3

12 x Sin x ( 5) Cos x ( 5).

  

 ^{2 3} 

⁷

y  x  y  sin ³ x

 ^{x x} 

y  cos

⁴

4

²



2

1 1 



 







  x y x

Tentukan fungsi turunan pertama dari

Soal Latihan

2

2

1 y x

x

 

1.



2.

3.

4.

5.

6.

^y  sin x tan x 

²

 ¹ 

TURUNAN TINGKAT TINGGI

• Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1).

• Turunan pertama

• Turunan kedua

• Turunan ketiga

• Turunan ke-n

Contoh : Tentukan dari Jawab :

 

 

 

 

 

2 2 3

3

'( )

"( )

"'( ) ( )

n n

n

f x df x

dx d f x f x

dx d f x f x

dx d f x

f x

dx









 ^{( )} 

)

(

^{( 1)}

)

(

f x

dx x d

f

ⁿ



^n

x x

y  4

³

 sin x

x

y '  12

²

 cos maka y ' '  24 x  sin x

y ''

 

y  sin 2 x  1

 

y  2 x  3

⁴

y x

 x

1

 

y  cos

²

 x

f "( ) c  0 f x ( )  x

³

 3 x

²

 45 x  6 g x ( )  ax

²

 bx c 

3 ) 1 ( ' 

g

g '' ( 1 )   4

A. Tentukan turunan kedua dari

B. Tentukan nilai c sehingga bila

C. Tentukan nilai a, b dan c dari bila g (1) = 5, dan

Soal Latihan

1.

2.

3.

4.

TURUNAN FUNGSI IMPLISIT

Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam

bentuk y = f(x), maka y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian, maka dikatakan y fungsi implisit dari x.

Contoh :

Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan anggap y fungsi dari x.

10 .

1 x

³

y

²

 x

²

 y 

1 )

sin(

.

2 xy  x

²

 y

²



Jawab:

) 10 ( )

( )

( )

( ^{3 2} _x ² _{x x}

x x y D x D y D

D   

2 2 3

(3 x y  2 y y x ' ) 2    x y ' 0

2 2

3

1 ) ' 2 3

2

( x y  y   x  x y

1 2

3 ' 2

₃

2 2





 

y x

y x y x

3 2 2

1. D x y

_x

(    x y ) D

_x

(10)

10 .

1 x

³

y

²

 x

²

 y  ^{2 . sin(} xy ^{) } x

²

^ y

²

^{ 1}

Contoh: Tentukan dy/dx dari bentuk implisit berikut

cos( )(1. xy y  y x ' ) 2  x  2 ' 0 yy 

) cos(

2 '

) 2 )

cos(

( x xy  y y   x  y xy

y xy

x

xy y

y x

2 ) cos(

) cos(

' 2





 

2 2

2. D

_x

(sin( ) xy  x )  D y

_x

(  1)

 

y  sin xy  1

x ³  3 x y ²  y ²  0

Tentukan turunan pertama ( y’ ) dari bentuk implisit

Soal Latihan

x y

xy

x

²

sin( )  

1.

2.

3.

4.

  ^{2 0}

tan xy  y 

GARIS SINGGUNG DAN GARIS NORMAL

• Persamaan garis singgung fungsi y = f(x) di titik (x

₀

,y

₀

) dengan kemiringan m adalah

• Garis yang tegak lurus dengan garis singgung disebut dengan garis normal.

• Persamaan garis normal di titik (x

₀

,y

₀

) adalah

).

1 (

0

0

x x

y m

y    

0 0

– ( – ), '

y y  m x x m  y

4 2

. 4 2

. 3 )

6 , 2 ( ' 4

3

'  x

²

 x  y 

²

  y

2 4 

 x y

) 2 (

4

6  

 x

y

2 1 4

6 1 )

2 4 (

6   1      

 x y x

y

1 13

4 2

y   x Jawab :

Sehingga persamaan garis singgung di titik (2,6) :

Persamaan garis normal dititik (2,6) :

Contoh: Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal fungsi

y  x

³

 2 x

²

 6

di (2,6).

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva

0

2

6

2

y  xy  

x

di titik dengan absis (x) = 1 Jawab :

Jika disubstitusikan nilai x = 1 pada persamaan kurva diperoleh

Sehingga diperoleh titik dimana akan ditentukan persamaan garis singgung dan garis normalnya adalah (1,3) dan (1,-2)

Hitung terlebih dahulu

y '

dengan menggunakan turunan fungsi implisit

2

6 0 ( 3)( 2) 0 3 2

y     y y  y     y dan y  

2 2 2 2

( 6) (0) 2 2 ' ( ') 0 0

x x

D x y  xy   D  xy  x yy  y  xy  

2 2

2 xy  2 x yy '   y xy ' 0 

2 2

(2 x y x y  ) '   y 2 xy

x y x

xy y y



 

₂ ²

2

' 2



Di titik (1,3)

5 3 15 1

3 . 1 . 2

9 . 1 . 2

|'_(1,3) 3   



  y

Persamaan garis singgung 3 3

) 1 (

3

3      

 x x

y

6 3 x  y 

Persamaan garis normal

3 1 3

) 1 1 3(

31   

 x x

y

8 3   x  y

Di titik (1,-2)

5 2 10 1

) 2 .(

1 . 2

4 . 1 . 2

|'_{(1, 2)} 2 



 







  y 

Persamaan garis singgung

2 2 ) 1 ( 2

2   

 x x

y

4 2x y 

Persamaan garis normal

2 1 2

) 1 1 2(

21   

 x x

y

3 2  

 y

x

Soal Latihan

 

sin xy  y

1. Diketahui kurva yang dinyatakan secara implisit

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di ^,1

2

 

 

 

2. Diketahui kurva yang dinyatakan secara implisit

2 2

3 10

x y  xy  y

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di (2, 1)

Terima Kasih