4turunan-stt

4.1 Konsep Turunan

c

x

c

f

x

f

m

_PQ







(

)

(

)

4.1.1 Turunan di satu titik

Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema )

a. Garis Singgung

Kemiringan tali busur PQ adalah :

c

f(c) P

x

f(x) Q

x-c

f(x)-f(c)

Jika x  c , maka tali busur PQ akan

berubah menjadi garis singgung di ttk P dgn kemiringan

c

x

f(c)

f(x)

 b. Kecepatan Sesaat

Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t). Pada saat t = c benda berada di f(c) dan saat t = c + h benda berada di f(c+h).

 Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h] adalah

c

c+h

Perubahan waktu Perubahan

posisi

s

f(c)

f(c+h)

h

c f h c f

Jika h 0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c :

Misal x = c + h, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk

Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan kecepatan sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebut berada dalam satu tema, yaitu turunan

Definisi 4.1 : Turunan pertama fungsi f di titik x = c, notasi didefinisikan sebagai berikut:

bila limit diatas ada

h

c f h

c f v

v

h rata rata h

) ( )

( lim lim

0 0

  



 



c

x

f(c)

f(x)

v

c

x









lim

) ( ' c f

c

x

f(c)

f(x)

c

f

c

x









lim

)

Notasi lain :

Contoh : Diketahui tentukan

) ( ' , ) (

c y dx

c df

x ) x (

f 1











3

3

3

3

x

)

f(

f(x)

lim

)

f'(

x 3

3 1 1

lim

3 _



 x

x

x











x(x

)

x

x

3

3

3

lim

3

9

1

3

1

lim

3











x

x

)

3

(

'

f

)

x(x

x

x

3

3

)

3

(

lim

3







4.1.2 Turunan Sepihak

Turunan kiri dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :

Turunan kanan dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :

bila limit ini ada.

Fungsi f dikatakan mempunyai turunan(diferensiabel) di c atau ada, jika

sebaliknya f dikatakan tidak mempunyai turunan di c.

)

c

(

f

)

c

(

f

_'



_'

c x

c f x

f c

f

c

x 

 



 

) ( )

( lim )

(

'

c

x

f(c)

f(x)

(c)

f

c x '













lim

)

(

'

c

f

)

c

(

f

)

c

(

f

)

c

(

Contoh : Diketahui



















1

,

2

1

1

,

3

)

(

2

x

x

x

x

x

x

f

Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x=1

Jika ya, tentukan

Jawab :

a.

b.

Jadi, f diferensiabel di x=1.

dan

f

'

(

1

)



1

.

) 1 ( ' f 1 1 1 1       x ) ( f ) x ( f lim ) ( f x ' 1 1 2 1 3 2 1        x ) ( x x lim x 1 2 1     x x x lim

x 1 1

1 1      x ) x ( x lim x 1 1 1 1       x ) ( f ) x ( f lim ) ( f x ' 1 1 2 1 2 1 1       x ) ( x lim x 1 2 2 1     x x lim x 1 1 1 1 2 1     

 ( x )( x )

x lim

 Teorema 4.1 Jika f diferensiabel di c _f kontinu di c.  Bukti : Yang perlu ditunjukkan adalah

 Perhatikan bahwa

 _Maka

 Sifat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, Jika f kontinu di c,

maka belum tentu f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.

)

(

)

(

lim

f

x

f

c

c

x



c x c x c x c f x f c f x

f  

    ( ) ( ) ( ).( ) , ) (























 

(

)

)

(

)

(

)

(

lim

)

(

lim

x

c

c

x

c

f

x

f

c

f

x

f

c x c x

)

(

lim

.

)

(

)

(

lim

)

(

lim

x

c

c

x

c

f

x

f

c

f

c x c x c

x











   0 ). ( ' )

(c f c

f 

Contoh Tunjukkan bahwa f ( x ) = | x | kontinu di x = 0 tetapi tidak diferensiabel di x = 0

Jawab

Akan ditunjukkan bahwa f(x)=|x| kontinu di x=0

  

 

 



0 ,

0 ,

| | ) (

x x

x x

x x

f

)

x

(

f

lim

x0

0

0  



 ( x )

lim

x

)

x

(

f

lim

x0

0

0 



 x

lim

x

lim

(

)

₀

0





f

x

x

) 0 ( )

( lim

0 f x f

x 

f(0) = 0







0 0 0

0 

 



 

x

) ( f ) x ( f lim )

( f

x

' 0 ₁

0

0 

 

  



 x

x lim x

x lim

x x

0 0 0

0 

 



 

x

) ( f ) x ( f lim )

( f

x

' _.

x x lim x

x lim

x

x 1

0

0

0  

 

 

Selidiki apakah f terdiferensialkan di x=0

1 )

0 ( )

0 (

1  '  ' 

 f_ f_

Karena

Contoh: Tentukan konstanta a dan b agar fungsi f(x) berikut diferensiabel di x=1 ;

  

  



1 ,

1 ,

) (

2

x ax

x b

x x

f

). ( lim )

( lim )

1 (

1

1 f x f x f

x x_   _ 



Jawab : Agar f(x) terdiferensialkan di x = 1, haruslah

a. f kontinu di x = 1 (syarat perlu)

b. Turunan kiri = turunan kanan di x = 1 (syarat cukup)

f kontinu di x = 1 jika f kontinu kiri dan kontinu kanan di x = 1 atau

1 1

lim lim

1 2

1         





 x b ax a b a b a

a

1

)

1

(

)

(

lim

)

1

(

1 '







  

x

f

x

f

f

x 2 ) 1 ( ) 1 ( ' '    _

 f a

f

Maka diperoleh : a = 2 dan b = 1.

1

2 1











x

a

b

x

lim

x

1

1

2 1













x

a

)

a

(

x

lim

x 1 1 2 1     x x lim x 1 1 1 1      x ) x )( x ( lim

x



_x

lim

_1

x



1



2

1

)

1

(

)

(

lim

)

1

(

1 '







  

x

f

x

f

f

x ₁  1

   x a ax lim

x x a

x lim a

x  

 

 1

1

Soal Latihan

f x a x x

x bx x

( ) ;

;

   

 

  

3 0 1

1

2

f x ax b x

x x

( ) ;

;

  

 

  

2

2 2 1 2

f x x x

ax b x

( ) ;

;

  

 

  



2 _{1 3}

2 3

Tentukan nilai a dan b agar fungsi berikut diferensiabel di titik yang diberikan.

, x = 1 ,x = 2

,x = 3 1.

2.

4.2 Aturan Pencarian Turunan

 Fungsi Turunan Pertama

 Definisi 4.2 Misalkan f (x) terdefinisi pada selang I. Fungsi turunan

pertama dari f, ditulis , didefinisikan sebagai

 atau jika h=t-x

bila limitnya ada.

 Notasi lain , bentuk dikenal

sebagai notasi Leibniz.

   

 

 t x x

x f t

f x

f

x

t ,

) ( )

( lim )

('

   

 

 h x

x f h

x f x

f

h ,

) ( )

( lim )

('

0

) ( ,

, ) ( ,

,' D y D f x

dx x df dx dy

y _{x x}

dx dy

)

(

'

x

f

 Dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan

untuk mencari turunan sebagai berikut :

1. Jika f (x)=k, maka

2.

3.

4.

5. dengan g(x) 0.

 

_{rx r R}

dx x

d r _r



 1 ;





_{f (x) g (x)}

dx

g(x) f(x)

d  _ ' _ '





) ( )

( )

( ) ( )

( )

( _{' '}

x g x f x

g x f dx

x g x f d

 





)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

' '

) ( ) (

x

g

x

g

x

f

x

g

x

f

dx

d

f x _{g x}







0

)

(

'

x



f

Bukti aturan ke-4 Misal h(x) = f(x)g(x)

h x h h x h x h h ) ( ) ( lim ) ( ' 0     h x g x f h x g h x f h ) ( ) ( ) ( ) ( lim 0      h x g x f x g h x f x g h x f h x g h x f h ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( lim 0                         h x f h x f h x g h x g h x g h x f h ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( lim 0 h x f h x f h x g h x g h x g h x f h h h h ) ( ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim ) ( lim 0 0 0 0             ) ( ' ) ( ) ( ' )

(x g x g x f x

f  

)

(

'

)

(

)

(

)

(

'

x

g

x

f

x

g

x

f



1 3 ) ( ₂    x x x f 2 2 2 2 1 2 6 1 ) x ( x x x      2 2 2 1 3 2 1 1 ) x ( ) x ( x ) x .( ) x ( ' f     

3.Tentukan turunan pertama dari

. ) x ( x x 2 2 2 1 1 6      Contoh

1. Tentukan turunan pertama dari _f (_x) _x3 _3_x2 _4

Jawab : 0 2 . 3 3 ) ( ' 2  

 x x

x

f _3x2 _ 6x

2. Tentukan turunan pertama dari _f (_x) _(_x3 _1)(_x2 _2_x3)

Jawab : ) 2 2 )( 1 ( ) 3 2 ( 3 ) (

' 2 2 3

 

  

 x x x x x

x f 2 2 2 2 9 6

3 4 _ 3 _ 2 _ 4 _ 3 _{ }

 x x x x x x

2 2

9 8

5 4 _ 3 _ 2 _{ }

 x x x x

Soal Latihan

Tentukan fungsi turunan pertama dari

)

1

2

(

)

1

(

)

(

x



x



x

3



x



f

1

1

)

(







x

x

x

f

1

)

(

₂





x

x

x

f

1

1

)

(

₂

2







x

x

x

f

1

)

(

x



x

1/2



3

x

2



f

1.

2.

3.

4.

4.3 Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus

Bukti:

a. Misal f(x) = sin x maka

x

x

f

x

x

f

a

.

(

)



sin



'

(

)



cos

x

x

f

x

x

f

b

.

(

)



cos



'

(

)





sin

x t

x t

x f

x

t _

 



sin sin

lim )

( '

) 2 (

) 2 sin( lim

). 2 cos( lim

0

2 t x

x t x

t

x t x

t 

 



  

x t

x t x

t

x

t _

   

   

  

   



2 sin

2 cos 2 lim

. cos 1

.

cos x  x

b. Misal f(x) = cos x maka

h

x

h

x

x

f

h

cos

)

cos(

lim

)

(

'

0







 h x x x h cos sinh sin cosh cos lim 0     h x x h sinh sin ) 1 (cosh cos lim 0     h x h h x h sinh sin ) 2 sin ( cos lim 2 0     ) sinh sin 4 ) 2 / ( ) 2 sin ( cos ( lim ₂ 2

0 h x h

h h x h     h x h h h x h h sinh lim sin 4 2 / ) 2 / sin( lim cos 0 2 0 ) 2 / (  _         x x

x.0 sin sin

cos  

Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan

menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnya turunan bentuk u/v









dx

d

dx

x

d

c

x

x

cos sin

tan

.



x 2 _x x

2 2

cos sin cos  

x 2

cos 1





sec

2

x









dx d

dx x d

d x

x

sin cos

cot

. 

x

x x

2

2 2

sin

cos

sin 

 

x

2

sin 1 







csc

2

x









dx d dx

x d

e. sec  1cosx

x x

2 cos

sin



x x

x

cos 1 cos

sin





tan

x

sec

x









dx d dx

x d

f . csc  1sinx _sin2 _xx

cos

 

x x

x

sin 1 sin

cos



4.4 Aturan Rantai



Andaikan

y

=

f

(

u

) dan

u

=

g

(

x

). Jika dan ada

,

maka

Contoh : Tentukan dari Jawab :

Misal sehingga bentuk diatas menjadi Karena

dan

maka

dx du du dy dx

dy



du

dy

dx

du

dx

dy _sin( 2 ₁₎



 x

y

1

2





x

u

x dx

du

2 

u

y



sin

u

du

dy

cos



)

1

cos(

2

2





x

x

x

x

dx

dy

dx dv dv du du dy dx

dy





Jika y = f(u), u = g(v), v = h(x), dan

dx dv dv

du du

dy

,

, _{Ada, maka}

Contoh : Tentukan

dx

dy

4₍ 3 ₅₎

 Sin x

y dari

5

3





x

v

dx

dv



3

x

2

Jawab :

Misal



u = Sin v _{cosv cos(x}3 _5)

dv du

4

u

y



₄ 3 ₄ 3₍ 3 ₅₎

 

 u Sin x du

dy



sehingga

) 5 (

) 5 (

12 .

. 2 3 3 3

 



 x Sin x Cos x

dx dv dv du du dy dx

 Contoh : Tentukan

jawab :

0

,

1

))

(

(

)

(

'

2

f

x

2



x

2



x



dx

d

jika

x

f

1

2 2 _{)) x }

x ( f ( dx

d

x x x

f

2 1 )

( '

2 2 _  

1

2

2

2









y



2

x



3

10

y



sin

3

x



x

x



y



cos

4

4

2



2

1

1



















x

x

y

Tentukan fungsi turunan pertama dari

y = sin x tan [ x2 _{+ 1 ]}

Soal Latihan

y

x

x

x

x











2

2

2

5

2

3

1.

2.

3.

4.

5.

6.





10

dx

)) d(f(cos(x

2

3

2

jika

)),

(cos(x

f'

Tentukan

2



4.5 Turunan Tingkat Tinggi

 Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1).

 Turunan pertama

 Turunan kedua

 Turunan ketiga

 Turunan ke-n

 Contoh : Tentukan dari

 Jawab :

 

f x df x dx ' ( ) 

 

2 2

) ( "

dx x f d x

f 

 

3 3

) ( ' "

dx x f d x

f 

 

 

n n n

dx x f d x

f ( ) 



(

)



)

(

( 1)

)

(

f

x

dx

d

x

f

n n



x

x

y



4

3



sin

x

x

y

'



12

2



cos

maka

y

'

'



24

x



sin

x

''

y





y



sin 2

x



1





y  2x  3 4

y

x

x





1

 

y



cos

2



x

f "( )c 0

f x

( )



x

3



3

x

2



45

x



6

g x

( )



ax

2



b x c



3 ) 1 (

' 

g _{g ''(1)  4} A.Tentukan turunan kedua dari

B. Tentukan nilai c sehingga bila

C. Tentukan nilai a, b dan c dari bila g (1) = 5, dan

Soal Latihan

1.

2.

3.

4.6 Turunan Fungsi Implisit

 Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam

bentuk y = f(x) maka y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan y fungsi implisit dari x.

Contoh :

 Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan

aturan rantai dan anggap y fungsi dari x.

10

.

1

x

3

y

2



x

2



y



1

)

sin(

.

Jawab ) 10 ( ) ( ) ( )

( 3 2 2

x x

x

x x y D x D y D

D   

0 ' 2 ) ' 2 3

( 2 2 3

 



 x y y x y

y x

2 2 3 _{1) ' 2 3}

2

( x y  y  x x y

1 2 3 2 ' ₃ 2 2     y x y x x y ) 10 ( ) ( .

1 3 2 2

x x x y x y D

D   

0 ' 2 2 ) ' ( )

cos(xy y  xy  x  yy 

) cos( 2 ' ) 2 ) cos(

(x xy  y y  x  y xy

y xy x xy y x y 2 ) cos( ) cos( 2 '     ) 1 ( ) ) sin( ( .

2 _{D xy x}2 _{D y}2 _ x

x

10 .

1 x3y2  x2  y  2. sin( ) 2 2 1

   x y

xy

'

y

 

y



sin

xy



1

x

3



3

x y y

2



2



0

Tentukan turunan pertama ( ) dari bentuk implisit

tan ( x y ) - 2 y = 0

Soal Latihan

x

y

xy

x

2

sin(

)





1.

2.

3.

4.7 Garis singgung dan garis normal



Persamaan garis singgung fungsi

y

=

f

(

x

) di titik (

x

₀

,

y

₀

)

dengan kemiringan

m a

dalah

y – y

0

=

m

(

x

–

x

0

).



Garis yang tegak lurus dengan garis singgung disebut

dengan garis normal.



Persamaan garis normal di titik (x

₀

,y

₀

) adalah

).

(

1

0

0

x

x

m

y

y









4

2

.

4

2

.

3

)

6

,

2

(

'

4

3

'



x

2



x



y



2





y

2

4





x

y

)

2

(

4

6







x

y

2

1

4

1

6

)

2

(

4

1

6



















x

y

x

y

. 2 13 4

1  

 x

y Jawab :

Sehingga persamaan garis singgung di titik (2,6) :

Persamaan garis normal dititik (2,6) :

Contoh: Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal

fungsi di (2,6).

6

2 2

3 _{ }

x x

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva

0

6

2

2

y



xy





x

di titik dengan absis( x) = 1

Jawab :

Jika disubstitusikan nilai x = 1 pada persamaan kurva diperoleh

0

6

2







y

y



(

y



3

)(

y



2

)



₀

) 0 ( )

6 ( 2 2

x

x x y xy D

D   



y = 3 dan y = -2

Sehingga diperoleh titik dimana akan ditentukan

persamaan garis singgung dan garis normalnya adalah (1,3) dan (1,-2)

Hitung terlebih dahulu

y

'

dengan menggunakan turunan fungsi implisit

0

0

)

'

(

'

2

2

xy

2



x

2

yy



y



xy





0

'

'

2

2

2

)

'

2

2

(

x

y



x

y



y



xy

x y x

xy y

y

 

 ₂

2

2 2 '

Di titik (1,3)

3 5

15 1

3 . 1 . 2

9 . 1 . 2 3

|'_(1,3)   

 

y

Persamaan garis singgung

3 3 )

1 ( 3

3   

 x x

y

6 3x y 

Persamaan garis normal

3 1 3 1 ) 1 ( 3 1

3   

 x x

y

8

3 

 y x

Di titik (1,-2)

2 5

10 1

) 2 .( 1 . 2

4 . 1 . 2 2

|'_{(1, 2)} 

   

   



y

Persamaan garis singgung

2

2

)

1

(

2

2











x

x

y

4

2

x



y



Persamaan garis normal

2 1 2

1 )

1 (

2 1

2    

 x x

y

3

2







y

4.8 Diferensial dan Hampiran

 4.8.1 Diferensial

 Jika ada, maka

Untuk sangat kecil , maka mPQ = mPT yakni ,

 Definisi 4.4 Jika y = f (x) diferensiabel di x, maka

Diferensial dari x , dinyatakan dengan dx, adalah

x y x

x f x

x f x

f

x

x _

 

    

  

 0 lim0

) ( )

( lim )

( '

P

Q

x xx x

x

 f x y f x x

x y

 

 

 

) ( ' ,

) ( '

.

x dx 

dx x f

dy '( )

) ( ' x f

4.8.2 Hampiran

 Perhatikan kembali gambar sebelumnya,

 Misalkan y= f (x) diferensiabel di interval I yang memuat x dan x + ∆x. Jika x

ditambah ∆x, maka y bertambah sepadan dengan ∆y yang dapat dihampiri oleh

dy .

 Jadi , (*)

 Contoh : Hampiri

 Jawab : Pandang,

Dengan pers (*)

x

x

f

x

f

dy

x

f

x

x

f

(





)



(

)





(

)



'

(

)



3

28

3 27 27

) 27 ( )

( ₃ 3

1 3

1

 

 

x f

x f

27 1 )

3 ( 3 1 )

27 ( 3 1 ) 27 ( ' 3

1 )

(

' 3

2 3 3

2 3

2

 

 

 x f  

x f

) 27 28

)( 27 ( ' )

27 ( )

28

(  f  f 

Soal Latihan

 

y



sin

xy



1

1. Diketahui kurva yang dinyatakan secara implisit

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di(,1)

10

33

2. Gunakan diferensial untuk menghampiri

a.

b.

3 ) 0 ( ' , 0 ) 0 ( , 2 ) 0 (

'  g  g 

f ( f  g)'(0).