Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom [MA1124] KALKULUS II

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

[MA1124]

Integral Lipat Dua

Integral Lipat Dua

Integral Lipat Dua

Integral Lipat Dua

Z=f(x,y) z

1. Bentuk partisi [a,b] dan [c,d] menjadi n bagian.

2. Pilih pada setiap sub interval pada [x_i, x_i-1] dan [y_i, y_i-1]

3. Bentuk jumlah Riemann. )

y , x

( _{k k}

Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada R merupakan suatu persegi panjang tertutup, yaitu : R = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}

x y b a R c d ∆x_k ∆y_k

3. Bentuk jumlah Riemann.

4. _{Jika n}
∞ _{(|P|
0) diperoleh limit}

jumlah Riemann.

∑ ∑

= = ∆ n i n i k k k y A x f 1 1 ) , (

∑ ∑

= = ∞ → ∆ n i n i k k k n f x y A 1 1 ) , ( lim ) y , x ( _{k k}

Integral Lipat Dua

Integral Lipat Dua

Definisi integral lipat dua :

Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang

terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R.

∑

= → ∆ n k k k k P f x y A 1 0 ( , ) lim

Jika ada, kita katakan f dapat

diintegralkan pada R. Lebih lanjut

∫∫

f (x,y)dA =

∫∫

f(x,y)dxdy

diintegralkan pada R. Lebih lanjut

∫∫

=

∫∫

R R dxdy ) y , x ( f dA ) y , x ( f =

∫∫

R dA y x f ( , )

∑

= → ∆ n k k k k P f x y A 1 0 ( , ) lim

yang disebut integral lipat dua f pada R diberikan oleh : =

∫∫

R dy dx ) y , x ( f

∑

= → ∆ ∆ n 1 k k k k k 0 P f(x ,y ) x y lim atau

Arti Geometri Integral Lipat Dua

Arti Geometri Integral Lipat Dua

Jika z = f(x,y) kontinu, f(x,y) ≥ 0 pada persegpanjang R, maka

∫∫

R

dA

y

x

f

(

,

)

menyatakan volume benda padat yang terletak di bawah permukaan permukaan z = f(x,y) dan di atas R.

Menghitung Integral Lipat Dua

Menghitung Integral Lipat Dua

Jika f(x,y) ≥ 0 pada R, maka volume dapat dihitung dengan metode irisan sejajar, yaitu:

(i) Sejajar bidang XOZ

z z= f(x,y) z y x c a b d a b x A(y)

∫

=

b a

dx

y

x

f

y

A

(

)

(

,

)

A(y)

Menghitung Integral Lipat Dua

Menghitung Integral Lipat Dua

(Lanjutan)

(Lanjutan)

∫

∫∫

=

d c R

dy

y

A

A

d

y

x

f

(

,

)

(

)

∫ ∫

_











=

d c b a

dy

dx

y

x

f

(

,

)

=

∫ ∫

d c b a

dy

dx

y

x

f

(

,

)

Maka

∫∫

R

dA

y

x

f

(

,

)

=

∫ ∫

d c b a

dy

dx

y

x

f

(

,

)

∫∫

R

∫ ∫

c a

Menghitung Integral Lipat Dua

Menghitung Integral Lipat Dua

(lanjutan)

(lanjutan)

(ii) Sejajar bidang YOZ

z z= f(x,y) c d z A(x) A(x) y x c a b d c d y

∫

=

d c

dy

y

x

f

x

A

(

)

(

,

)

Menghitung Integral Lipat Dua

Menghitung Integral Lipat Dua

(Lanjutan)

(Lanjutan)

∫

∫∫

=

b a R

dx

x

A

A

d

y

x

f

(

,

)

(

)

∫ ∫

_











=

b a d c

dx

dy

y

x

f

(

,

)

=

∫ ∫

b a d c

dx

dy

y

x

f

(

,

)

Maka

∫∫

R

dA

y

x

f

(

,

)

=

∫ ∫

b a d c

dy

dx

y

x

f

(

,

)

∫∫

R

∫ ∫

a c

Contoh

Contoh

1. Hitung integral lipat dua berikut ini :

∫∫

(

+

)

R dA y x2 2 2 dimana R = {(x,y) | 0 ≤ x ≤ 6, 0 ≤ y ≤ 4} Jawab:

(

)

∫∫

+ R dA y x2 2 2 =

∫ ∫

(

+

)

6 0 4 0 2 2 2y dy dx x   6 4 2

∫

       + = 6 0 0 4 3 2 3 2 dx y y x

∫

      + = 6 0 2 3 128 4x dx 0 6 3 3 128 3 4 x x + = = 288 + 256 = 544 R 6 4 y x

Contoh

Contoh

(

)

∫∫

+ R dA y x2 2 2 =

∫ ∫

(

+

)

4 0 6 0 2 2 2y dx dy x

∫

       + = 4 0 0 6 2 3 2 3 1 dy xy x Atau,  

(

)

∫

+ = 4 0 2 12 72 y dy 0 4 3 4 72x + x = = 288 + 256 = 544

Contoh

Contoh

2. Hitung integral lipat dua berikut ini :

∫∫

(

+

)

R dA y x sin dimana R = {(x,y) | 0 ≤ x ≤π/2, 0 ≤ y ≤ π/2} Jawab:

(

)

∫∫

+ R dA y x sin =

∫ ∫

(

+

)

2 / 0 2 / 0 sin π π dx dy y x   2 / /2 π π R ππππ/2 ππππ/2 y x

∫

       + − = 2 / 0 0 2 / ) cos( π π dx y x

( )

∫

      +       + − = 6 0 cos 2 cos

π

y y dx 2 / 0 2 / 0 sin ₂ sin π π

π

      + − = y y

( )

2 2 sin sin 2 sin  =      + −       =

π

π

π

Latihan

Latihan

∫ ∫

+ 1 0 1 0 2 2 . xy e dy dx a x y

( )

∫ ∫

− 2 0 1 1 2 . xy dy dx b

∫ ∫

₊ 1 0 2 0 2 1 . dy dx x y c 1. Hitung 2.

∫∫

( )

R dy dx y x f , _{untuk fungsi}

a. f(x,y)= (x + 2y)2 _{dengan R = [-1, 2] x [0, 2]} b. f(x,y)= x2 _{+ y}2 _{dengan R = [0, 1] x [0, 1]} c. f(x,y)= y3 _cos2_{x dengan R = [-}π_/2, π_{] x [1, 2]}

Sifat Integral Lipat Dua

Sifat Integral Lipat Dua

Misalkan f(x,y) dan g(x,y) terdefinisi di persegipanjang R

1.

∫∫

( )

=

∫∫

( )

R R dA y x f k dA y x f k , , 2.

∫∫

(

(

) (

+

)

)

=

∫∫

(

)

+

∫∫

(

)

R R R dA y x g dA y x f dA y x g y x f , , , , 3. Jika R = R₁ + R₂ , maka

( )

_∫∫

( )

_∫∫

( )

∫∫

= + 2 1 , , , R R R dA y x f dA y x f dA y x f

4. Jika f(x,y) ≤ g(x,y), maka

( )

_∫∫

( )

∫∫

≤ R R dA y x g dA y x f , ,

Integral Lipat Dua atas Daerah

Integral Lipat Dua atas Daerah

Sembarang

Sembarang

Ada dua tipe  Tipe I

D = {(x,y) | a ≤ x ≤ b , p(x) ≤ y ≤ q(x) }  Tipe II

D = {(x,y) | r(y) ≤ x ≤ s(y) , c ≤ y ≤ d } D = {(x,y) | r(y) ≤ x ≤ s(y) , c ≤ y ≤ d }

Tipe I

Tipe I

Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut : D q(x) p(x) y

∫ ∫

∫∫

= b q x dx dy y x f dA y x f ) ( ) , ( ) , ( x a _b x

∫ ∫

∫∫

= a p x D dx dy y x f dA y x f ) ( ) , ( ) , ( D={(x,y)| a≤x≤b, p(x)≤y≤q(x)} y

Tipe II

Tipe II

Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :

∫ ∫

∫∫

= d ) y ( s dy dx ) y , x ( f dA ) y , x ( f x D c d r (y) s (y)

∫∫

=

∫ ∫

c r(y) D dy dx ) y , x ( f dA ) y , x ( f D={(x,y)|r(y)≤x≤s(y), c≤y≤d} y r (y) s (y) x

Aturan Integrasi

Aturan Integrasi

 Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua tergantung dari bentuk D (daerah integrasi).

 Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlu merubah

urutan pengintegralan. Hal ini dapat disebabkan

dengan perubahan urutan pengintegralan akan memudahkan dalam proses integrasinya.

memudahkan dalam proses integrasinya.

 Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapat menggambarkan daerah integrasidaerah integrasi, selanjutnya kita

dapat merubah urutan integrasi dengan mengacu pada sketsa daerah integrasi yang sama.

Contoh

Contoh

1. Hitung

∫∫

(

)

R x dA e y 2 _{,R dibatasi x= y}2_{, y =1, sumbu y} x R

(

)

∫∫

R x dA e y 2 =

∫ ∫

(

)

1 0 0 2 2 y x _{dx dy} e y y x = y2 1 R = {(x,y)| 0 ≤x≤ y2_{, 0} ≤ _y ≤ _1} x R R 0 0

∫

= 1 0 0 2 2y ex y dy

(

)

∫

− = 1 0 1 2y ey2 dy

(

)

x 1

Contoh

Contoh

Atau dibalik urutan pengintegralannya, yaitu:

R

(

)

∫∫

R x dA e y 2 =

∫ ∫

(

)

1 0 1 2 x x _{dy dx} e y

∫

= 1 2 1 dx y e x x R = {(x,y)| 0 ≤x≤ 1, √x ≤ y ≤ 1} y x = y2 1 R

∫

0 x

∫

− = 1 0 dy xe ex x

(

)

1 0 x x x e xe e − + = y 1 x 2 ) 1 1 ( 2 − − + = − = e e e

Contoh

Contoh

∫ ∫

4 0 2 2 2

.

2

e

dy

dx

x y

Daerah integrasinya R = {(x,y)| 0 ≤x≤ 4, x/2 ≤ y ≤ 2} Jawab:

y Diubah urutan pengintegralannya, yaitu:

R = {(x,y)| 0 ≤x≤ 2y, 0 ≤ y ≤ 2} Sehingga x R x y = x/2 4 2 Sehingga

∫ ∫

4 0 2 2 2

dx

dy

e

x y

∫ ∫

=

2 0 2 0 2

dy

dx

e

y y

∫

=

2 2 0 2

dy

x

e

y y x=2y

Latihan

Latihan

∫ ∫

− 3 1 y 3 y y

dy

dx

e

x

.

1

3

∫ ∫

π 2 0 0 dx dy x sin x cos y . 2

∫ ∫

1 − 0 1 x y

dx

dy

e

.

5

2

∫ ∫

4 0 1 3

.

6

e

dx

dy

y x

∫ ∫

₊

1 0 2 0 2

dy

dx

1

x

y

.

3

∫ ∫

π π

+

2 0 2 0

dy

dx

)

y

x

sin(

.

4

0 0 _{0 0} 0 _y

(

)

∫ ∫

2 −

+

0 x 4 0

dx

dy

y

x

.

7

2

∫ ∫

π 2 0 0 dx dy x cos x sin y . 8

Integral lipat dalam koordinat kutub/polar

Integral lipat dalam koordinat kutub/polar

Hitung

∫∫

+ D y x dA e 2 2 _{, D={(x,y)|x}2_+y2≤_4}

Dalam sistem koordinat kartesius, integral ini sulit untuk diselesaikan.

Sistem Koordinat Kutub

Hubungan Kartesius – Kutub

θ r

P(r,θ) y

θ

Hubungan Kartesius – Kutub x = r cos θ x2_+y2_=r2 y = r sin θ θ = tan-1_(y/x) 2 2 y x r = +

Transformasi kartesius ke kutub

Transformasi kartesius ke kutub

Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada persegipanjang kutub D D={(r, θ)| a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β} ? ) , ( =

∫∫

D dA y x f θθθθ=ββββ ∆∆∆∆Ak

Pandang satu partisi persegi panjang kutub ∆A_k

Luas juring lingkaran dengan

Sumbu Kutub ∆A_k r=b r=a θθθθ=ββββ θθθθ=αααα D ∆∆∆∆A_k r_k-1 r_k ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆ k

Luas juring lingkaran dengan sudut pusat θ adalah ½θr2

∆A_k = ½ r_k2 ∆ θ_{- ½ r} k-12 ∆θ = ½ (r_k2 _{- r} k-12) ∆θ = ½ (r_k + r_k-1) (r_k - r_k-1)∆θ = r ∆r ∆θ

Transformasi kartesius ke kutub

Transformasi kartesius ke kutub

Sehingga

∫∫

∫∫

=

p k D D

d

dr

r

r

r

f

dA

y

x

f

(

,

)

(

cos

θ

,

sin

θ

)

θ

Contoh: 1. Hitung

∫∫

+ D y x dA e 2 2 , D={(x,y)|x2+y2≤4} Contoh: 2. Hitung

∫∫

D dA

y _{, D adalah daerah di kuadran I di dalam}

Contoh

Contoh

∫∫

+ D y x

dA

e

2 2

.

1

dengan D = {(x,y)| x2_+y2≤ _4}

D adalah daerah di dalam lingkaran dengan pusat (0,0) jari-jari 2. D = {(r,θ)| 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π} Sehingga y Jawab. Sehingga

∫∫

+ D y x

dA

e

2 2

=

∫ ∫

π

θ

2 0 2 0 2

d

dr

r

e

r

(

4

−

1

)

=

π

e

∫

_















=

2π

θ

0 2 0 2

2

1

d

e

r

∫













−

=

2π

θ

0 4

2

1

2

1

d

e

2 2 x D r θθθθ

Contoh

Contoh

∫∫

D

dA

y

.

2

dengan D adalah persegipanjang kutub di kuadran I di dalam lingkaran x2_+y2₌₄ di luar x2_+y2₌₁ D = {(r,θ)| 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π/2} Sehingga

∫∫

π /2 2 y D

∫∫

D

dA

r

=

∫ ∫

2 / 0 2 1

sin

π

θ

θ

r

dr

d

r

∫

_















=

2 / 0 2 1 3

sin

3

1

π

θ

θ

d

r

2 / π 2 1 _x D r θθθθ

Latihan

Latihan

1. Hitung

∫ ∫

− − − 1 0 1 0 2 2 2 4 x dx dy y x 2. Hitung

∫ ∫

− + 1 0 1 0 2 2 2 ) sin( y dy dx y x

3. Tentukan volume benda pejal di oktan I di bawah 3. Tentukan volume benda pejal di oktan I di bawah

paraboloid z = x2_+y2 _{dan di dalam tabung x}2 _{+ y}2 _{= 9} dengan menggunakan koordinat kutub.

D daerah sembarang/umum

D daerah sembarang/umum

1. D={(r, θ)| φ₁(θ) ≤≤≤≤ r ≤≤≤≤ φ₂(θ), α ≤≤≤≤ θ ≤≤≤≤ β} 2. D={(r, θ)| a ≤≤≤≤ r ≤≤≤≤ b, ψ₁(r) ≤≤≤≤ θ ≤≤≤≤ ψ₂(r)} θθθθ=ββββ θθθθ=ψ2(r) r=φ₂(θ) r=φ₁(θ) θθθθ=ββββ θθθθ=αααα D r=b r=a θθθθ=ψ₂(r) θθθθ=ψ₁(r) D

Tuliskan daerah integrasi dalam

Tuliskan daerah integrasi dalam

koordinat polar

koordinat polar

1 ₂

1 Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan

pusat di (1,0) dan berjari-jari 1

D D Jadi, (x – 1)2 _{+ y}2 _{= 1} x2 _{– 2x + 1 + y}2 _{= 1} x2 _{+ y}2 _{= 2x} r2 _{= 2r cos}

θ

D={(r, θ)| 0 ≤ r ≤ 2 cos

θ

,–π /2 ≤ θ ≤ π/2} r2 _{= 2r cos}

θ

r2 _{– 2r cos}

θ

₌₀ r (r – 2 cos

θ

)=0 r = 0 atau r = 2 cos

θ

Untuk batas

θ

(dari gambar)

θ

=–π _/2

θ

= π/2 Sehingga,

Tuliskan daerah integrasi dalam

Tuliskan daerah integrasi dalam

koordinat polar

koordinat polar

θ=π/4 1 2 x y D x = 1
x = 2 y = 0
y = 2 2x − x y2 _{= 2x – x}2 _x2 _{+ y}2 _{– 2x = 0} (x – 1)2 _{+ y}2 _{= 1}

ini merupakan lingkaran pusat (1,0), jari-jari 1 ini merupakan lingkaran pusat (1,0), jari-jari 1 Untuk batas r dihitung mulai

x = 1 r cos

θ

= 1 r = sec

θ

Untuk batas

θ

(dari gambar)

θ

₌₀

θ

= π/4 hingga r = 2 cos

θ

Tuliskan daerah integrasi dalam

Tuliskan daerah integrasi dalam

koordinat polar

koordinat polar

1 1

2 Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat di (0,1) dan berjari-jari 1

Jadi, x2 _{+ (y – 1)}2 _{= 1} x2 _{+ y}2 _{– 2y + 1 = 1} x2 _{+ y}2 _{= 2y} r2 _{= 2r sin}

θ

D={(r, θ)| 0 ≤ r ≤ 2 sin

θ

,0 ≤

θ

≤ π} r2 _{= 2r sin}

θ

r2 _{– 2r sin}

θ

₌₀ r (r – 2 sin

θ

)=0 r = 0 atau r = 2 sin

θ

Untuk batas

θ

(dari gambar)

θ

₌₀

θ

= π Sehingga,

Tuliskan daerah integrasi dalam

Tuliskan daerah integrasi dalam

koordinat polar

koordinat polar

1 1 x = 0
x = 1 y = 0
y = x Untuk batas r x = 1 r cos

θ

= 1 r = sec

θ

Untuk batas

θ

(dari gambar)

θ

₌₀

θ

= π/4

D D

D={(r,

θ

)| 0 ≤ r ≤ sec

θ

,0 ≤

θ

≤

π

/4} Sehingga koordinat polarnya adalah

Contoh

Contoh

1. Hitung

∫ ∫

− + 2 1 x x 2 0 2 2 2 dydx y x 1

Jawab: Dari soal terlihat batas untuk x dan y: x = 1
x = 2

y = 0
y = 2

2x − x

y2 _{= 2x – x}2 _x2 _{+ y}2 _{– 2x = 0} (x – 1)2 _{+ y}2 _{= 1}

ini merupakan lingkaran dengan pusat (1,0), jari-jari 1

θ=π/4

1 2 x

y

D

Koordinat polarnya adalah

Contoh (Lanjutan)

Contoh (Lanjutan)

∫ ∫

− + 2 1 2 0 2 2 2 1 x x dx dy y x =

∫

∫

4 / 0 cos 2 sec . 1 π θ θ θ d dr r r

( )

∫

=

4 / 0 cos 2 sec π θ θ

d

θ

r

=

∫

(

−

)

4 / 0 sec cos 2 π θ θ θ d Sehingga,

(

)

/4 0

tan

sec

ln

sin

2

θ

−

θ

+

θ

π

=

∫

0 sec θ 0

( )

( )

( )

(

2sin 0 ln sec 0 tan0

)

4 tan 4 sec ln 4 sin 2 _ − − +             +       −       = π π π

(

)

Latihan

Latihan

1. Hitung

∫∫

θ S d dr

r _{, S daerah dalam lingkaran r = 4 cos}θ

dan di luar r = 2 2. Hitung

∫ ∫

1 0 1 2 x dy dx x 3. Hitung

∫∫

− _x2 − _y2 _dA

4 , D daerah kuadran I dari

(dengan koordinat kutub)

3. Hitung

∫∫

− −

D

dA y

x2 2

4 , D daerah kuadran I dari

lingkaran x2_+y2_{=1 antara} y=0 dan y=x