BUDI DARMA SETIAWAN TURUNAN

TURUNAN

BUDI DARMA SETIAWAN

Konsep Turunan

c x

c f x

m

_PQ

f



 ( )  ( )

Turunan di satu titik

Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung

Kemiringan tali busur PQ adalah :

c

f(c) P

x

f(x) Q

x-c

f(x)-f(c)

Jika x  c , maka tali busur PQ akan berubah menjadi garis singgung di ttk P dgn kemiringan

c x

f(c) m f(x)

c

x



 

lim



3

• b. Kecepatan Sesaat

Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t). Pada saat t = c benda berada di f(c) dan saat t = c + h benda berada di f(c+h).

• Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h] adalah

c c+h

Perubahan waktu Perubahan

posisi

s f(c)

f(c+h)

h

c f h c

v_ratarata  f (  ) ( )

Jika h 0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c :

Misal x = c + h, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk

Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan kecepatan sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebut berada dalam satu tema, yaitu turunan

Definisi : Turunan pertama fungsi f di titik x = c, notasi didefinisikan sebagai berikut:

bila limit diatas ada

h

c f h c v f

v h rata rata h

) ( )

lim (

lim0 0



 

   

c x

f(c) v f(x)

c

x



 

lim



) ( ' c f

c x

f(c) c f(x)

f

x c



 

lim



)

(

'

SOAL TURUNAN

• f(x) = 13x – 6; hitung f’(x)!

• f(x) = 2x

²

- 3x + 1; hitung f’(2)!

• f(x) = x

³

+ 2x

²

– 5; hitung f’(3)!

Turunan Sepihak

Turunan kiri dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :

Turunan kanan dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :

bila limit ini ada.

Fungsi f dikatakan mempunyai turunan(diferensiabel) di c atau ada, jika

sebaliknya f dikatakan tidak mempunyai turunan di c.

) c ( f )

c (

f

_^'



_^'

c x

c f x

c f

f x c 

 _ 

 

) ( )

lim ( )

'(

c x

f(c) (c) f(x)

f

x c

'



 

 



lim

) ( ' c f

)

c ( f ) c ( f ) c (

'f 

_{_}^'



_^'

dan

Contoh : Diketahui

 











 

1 ,

2 1

1 ,

) 3 (

2

x x

x x

x x f

Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x=1 Jika ya, tentukan

Jawab :

a.

b.

Jadi, f diferensiabel di x=1. dan f '(1) 1.

) 1 ( ' f

1 1 1

1 

 



 x

) ( f ) x ( lim f )

( f

x '

1

1 2 1

2 3

1 







 

 x

) (

x lim x

x

1

2

1 

 

 x

x lim x

x 1

1 1

1

 

 

 x

) x ( lim x

x

1 1 1

1 

 



 x

) ( f ) x ( lim f )

( f

x '

1

1 2 1 2

1

1 





 

 x

) (

lim x

x

1 2 2

1 

 

 x

lim x

x

1 1 1

2 1

1

 



 

 ( x )( x )

lim x

x

ATURAN RANTAI

• Jika dan maka

• Contoh:

Hitung y’ jika diketahui y = (3x + 7)

⁵

RUMUS – RUMUS TURUNAN

•

•

•

– –

•

•

RUMUS-RUMUS TURUNAN

•

•

RUMUS-RUMUS TURUNAN

•

RUMUS-RUMUS TURUNAN

•

•

SOAL

• Tentukan y’ dari fungsi berikut:

1.

2.

3.

4.

TURUNAN TIGKAT TINGGI

• Jika didefinisikan turunan

maka, turunan keduanya adalah

SOAL

• Cari turuna ke-2 dari

1. Y = 3x

⁵

+ 6x

³

+ 2x 2. Y = ln (2x

³

+ 5x

²

+ 7) 3. Y = Sin

²

(3x)

4. Y = e

^6x2+7

5. Y= arcsin 5x

³

TURUNAN FUNGSI IMPLISIT

• Bentuk implisit fungsi:

x + y =3

2x

²

+ 3y = 4

• Cara mencari turunannya

– Sedapat mungkin fingsi dijadikan fungsi eksplisit – Setiap fungsi diturunkan terhadap x dan y. setiap

menurunkan terhadap y, harus dikalikan dengan y’

SOAL

• Cari turunan berikut:

1. x

³

y

²

+ x

²

y

³

= 0 2. x

²

– y

²

+ xy = 2

3. xy – sin (x + y) = 3

4. cos(x + y) + sin (x + y) = 0

TERIMA KASIH