Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Integral Lipat Tiga

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

Integral

Integral

Integral

Lipat

Lipat

Tiga

Tiga

pada

pada

Balok

Balok

x

y z

∆x_k

∆y_k

1. Partisi balok B menjadi n bagian; B₁, B₂, …, B_k, …, B_n

Definisikan ||∆|| = diagonal ruang terpanjang dari B_k

2. Ambil

3. Bentuk jumlah Riemann

4. Jika ||∆||Æ 0 diperoleh limit

jumlah Riemann

Jika limit ada, maka fungsi w = f(x,y,z) terintegralkan Riemann

) z , y , x ( _{k k k} B B_{k ∆zk} k k k k,y ,z ) B x ( ∈ k n 1 k k k k 0 f(x ,y ,z ) V lim

∑

∆ = → ∆

∑

= ∆ n 1 k k k k k,y ,z ) V x ( f

Integral

Integral

Lipat

Lipat

Tiga

Tiga

pada

pada

Balok

Balok

(2)

(2)

∆v_k = ∆x_k ∆y_k ∆z_k ÆdV = dx dy dz

Sehingga integral lipat dalam koordinat kartesius:

∫∫∫

∫∫∫

= B B dz dy dx ) z , y , x ( f dV ) z , y , x ( f

Contoh

Contoh

∫∫∫

B dV yz x2

Hitung dengan B adalah balok dengan ukuran

B = {(x,y,z)| 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, 1 ≤ z ≤ 2} Jawab.

∫∫∫

B dV yz x2 _{x yz dx dy dz}

∫ ∫ ∫

= 2 1 1 0 2 1 2 dz dy x yz

∫ ∫

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 1 0 2 1 3 3 1 dz y z

∫

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 1 0 2 2 1 3 7 2 1 7

Integral

Integral

Lipat

Lipat

Tiga

Tiga

pada

pada

Daerah

Daerah

Sembarang

Sembarang

Pandang S benda padat yang terlingkupi oleh balok B,

dan definisikan nilai f nol untuk luar S (gb. 1)

x y z B S

∫∫∫

S 2 dV yz x

Hitung , Jika S benda padat sembarang

Integral

Integral

Lipat

Lipat

Tiga

Tiga

pada

pada

Daerah

Daerah

Sembarang

Sembarang

(2)

(2)

Jika S dipandang sebagai

himpunan z sederhana (gb.2) (S dibatasi oleh z=ψ₁(x,y) dan

z=ψ₂(x,y), dan proyeksi S pada bidang XOY dipandang sebagai daerah jenis I) maka:

Catatan:

Jika f(x,y,z) = 1, maka

menyatakan volume benda pejal S

∫ ∫ ∫

∫∫∫

= b a x x y x y x S dx dy dz z y x f dV z y x f ) ( ) ( ) , ( ) , ( 2 1 2 1 ) , , ( ) , , ( φ φ ψ ψ

∫∫∫

S dV z y x f( , , ) x y z S S_xy b a y=φ₂(x) y=φ₁(x) z=ψ₂(x,y) z=ψ₁(x,y) (gb. 2)

Contoh

Contoh

∫∫∫

S dV z y x f( , , )

Hitung _{dengan W=f(x,y,z) = 2xyz dan S benda}

padat yang dibatasi oleh tabung parabola z=2- ½x2 _dan

bidang-bidang z = 0, y=x, y=0 y=0 y=x z=2–½ x 2 x z S_xy 2 0 Jawab.

Dari gambar terlihat bahwa S={(x,y,z)|0≤x≤2, 0≤y≤x

0≤z≤ 2 – ½x2_}

y

S_xy = proyeksi S pada XOY (segitiga) Sehingga,

∫∫∫

S dV xyz 2

_{∫ ∫ ∫}

− = 2 0 0 2 1 2 0 2 2 x x dx dy dz xyz

∫ ∫

− = 2 0 0 2 1 2 0 2 2 x x dx dy z xy

Contoh

Contoh

(

(

lanjutan

lanjutan

)

)

∫ ∫

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 2 0 0 2 2 2 1 2 x dx dy x xy

∫

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− +} = 2 0 0 2 4 2 2 1 4 1 2 4 x x y dx x x

∫

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− +} = 2 0 7 5 3 8 1 2x x x dx 2 0 8 6 4 64 1 6 1 2 1 x x x − + = 3 4 4 3 32 8 − + = =

Latihan

Latihan

∫∫∫

S dV z

1. Hitung , S benda padat di oktan pertama yang dibatasi oleh bidang-bidang z = 0, x=y, y=0 dan tabung x2 _{+ z}2 _{= 1.}

2. Sketsa benda pejal S di oktan pertama yang dibatasi tabung y2 _{+ z}2 _{= 1 dan bidang x =1 dan x = 4, dan}

tuliskan dan hitung integral lipatnya.

3. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh : a. y = x2_{, y + z = 4, x = 0, z = 0.} b. 1 = z2_+y2_{, y = x, x = 0.} c. x2 _{= y, z}2 _{=y, y = 1,x = 0.} d. y = x2 _{+ 2, y = 4, z = 0, 3y - 4z = 0.}

∫ ∫∫

π + + 2 / z y dxdydz ) z y x sin( 4. Hitung

Integral

Integral

Lipat

Lipat

Tiga

Tiga

(

(

Koordinat

Koordinat

Tabung

Tabung

dan

dan

Bola)

Bola)

θ r z P(r,θ,z) x y z θ r z P(ρ,θ,φ) x y z φ ρ

Syarat & hubungan dg Kartesius r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2 π

x = r cos θ

y = r sin θ

z = z

r2 _{= x}2 _{+ y}2

Syarat & hubungan dg Kartesius

ρ ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2 π, 0 ≤ φ ≤ π x = r cos θ r = ρ sin φ y = r sin θ r = ρ sin φ z = ρ cos φ x2 _{+ y}2 _{+ z}2 _{= ρ}2 } x = ρ cos θ sin φ } y = ρ sin θ sin φ

Contoh

Contoh

1. Sketsa D; D benda pejal di oktan I yang dibatasi oleh tabung x2_+y2_{=4 dan bidang z = 0, z = 4}

z Jawab. x y r θ 2 2 4 D dalam koordinat: a. Cartesius: D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , 0≤z≤4} 2 4 − x b. Tabung: D={(x,y,z)| 0≤r≤2, 0≤θ≤ π/2, 0≤z≤4} 0 x2_+y2₌₄

Contoh

Contoh

2. Sketsa D; D bagian bola x2_+y2 _{+ z}2_{=4 di oktan I.}

Jawab. z D dalam koordinat: x y r θ 2 D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , 0≤z≤ } a. Cartesius: 2 4 − x b. bola: D={(x,y,z)| 0≤

ρ

≤2, 0≤

φ

≤ π/2, 0≤

θ

≤ π/2} 2 2 ρ 2 2 4 − x − y 0 2 2 4 x y z = − −

Penggantian

Penggantian

Peubah

Peubah

dalam

dalam

Integral

Integral

Lipat

Lipat

Tiga

Tiga

Definisi misalkan x=m(u,v,w); y=n(u,v,w); z=p(u,v,w) maka: dimana

∫∫∫

∫∫∫

= D D dw dv du ) w , v , u ( J )) w , v , u ( p ), w , v , u ( n ), w , v , u ( m ( f dz dy dx ) z , y , x ( f w z v z u z w y v y u y w x v x u x ) w , v , u ( J ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = Jacobian

Koordinat

Koordinat

Kartesius

Kartesius

Æ

Æ

Tabung

Tabung

x = r cos θ y = r sin θ z = z Matriks Jacobiannya: r sin r cos r 1 0 0 0 cos r sin 0 sin r cos z z z r z z y y r y z x x r x ) w , v , u ( J θ θ = 2 θ+ 2θ = θ − θ = ∂ ∂ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ θ ∂ ∂ ∂ ∂ =

∫∫∫

∫∫∫

f(x,y,z) dxdydz = f(rcosθ,rsinθ,z) rdrdθdz

Koordinat

Koordinat

Kartesius

Kartesius

Æ

Æ

Bola

Bola

x = ρ cos θ sin φ y = ρ sin θ sin φ z = ρ cos φ Matriks Jacobiannya: φ ρ − = φ θ φ ρ θ φ ρ θ φ θ φ ρ θ φ ρ − θ φ = φ ∂ ∂ θ ∂ ∂ ρ ∂ ∂ ∂φ ∂ θ ∂ ∂ ρ ∂ ∂ ∂φ ∂ θ ∂ ∂ ρ ∂ ∂ = sin 1 0 cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos sin z z z y y y x x x ) w , v , u ( J 2

∫∫∫

∫∫∫

= ρ φ θ ρ φ θ ρ φ ρ φ ρ θ φ D 2 D d d d sin ) cos , sin sin , cos sin ( f dz dy dx ) z , y , x ( f

Contoh

Contoh

(

(

Tabung

Tabung

)

)

1. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid z = x2 _{+ y}2 _{dan z = 4.} Jawab. Z x y z = 4 S={(x,y,z)|-2 ≤ x ≤ 2, ≤y≤ , x2 _{+ y}2 _{≤ z ≤ 4}}

Daerah S dalam Koordinat Cartesius adalah: 2 4 − x 2 4 − x −

Dalam koordinat tabung:

S={(r,

θ

,z)|0 ≤ r ≤ 2, 0≤

θ

≤ 2

π

, r2 _{≤ z ≤ 4}} S_xy

Contoh

Contoh

(

(

Lanjutan

Lanjutan

)

)

∫ ∫ ∫

= 2 0 2 0 4 2 π θ r dr d dz r V

∫ ∫

= 2 0 2 0 4 2 π θ dr d z r _r

(

)

∫

− = 2 0 2 0 2 4 r dr r θ π 0 2 4 2 4 1 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ = π r r = 8π

Contoh

Contoh

(bola)

(bola)

2. Hitung volume bola pejal x2 _{+ y}2 _{+ z}2 _{= 4 di oktan I}

Jawab. z x y θ 2 2 2 ρ 0 2 2 4 x y z = − − _{D dalam koordinat:} a. Cartesius: D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , 0≤z≤ } 2 4 − x b. Bola: D={(x,y,z)| 0≤

ρ

≤2, 0≤

φ

≤ π/2, 0≤

θ

≤ π/2} 2 2 4 − x − y

Contoh

Contoh

(

(

Lanjutan

Lanjutan

)

)

∫ ∫ ∫

= 2 / 0 2 / 0 2 0 2 _sin π π θ φ ρ φ ρ d d d V

∫ ∫

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 / 0 2 / 0 2 0 3 3 1 sin π π θ φ ρ φ d d

(

)

∫

− = 2 / 0 2 / 0 cos 3 8 π π θ φ d

( )

/2 0 3 8 π θ = _π 3 4 =

Latihan

Latihan

∫∫∫

D 2 dV x

1. Hitung , dengan D benda pejal yang dibatasi z =9 – x2 _{– y}2 _{dan bidang xy.}

2. Hitung volume benda pejal yang di oktan I yang dibatasi bola x2 _{+ y}2_{+ z}2 _{= 1 dan x}2 _{+ y}2_{+ z}2 _=4.

3. Hitung volume benda pejal yang di batasi di atas oleh bola r2_{+ z}2 _{= 5 dan di bawah r}2 _=4z.

4. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid z = x2 _{+ y}2 _{dan bidang z =4.}

Latihan

Latihan

Lanjutan

Lanjutan

6. Hitung volume benda pejal, daerah yang dibatasi oleh bola x2_{+ y}2_{+ z}2 _{= 9, dan berada dalam kerucut z = x}2 _{+ y}2

(

)

∫ ∫

∫

− − − − − − − − − + + 3 3 9 9 9 9 2 / 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x y x y x dx dy dz z y x 7. Hitung

∫ ∫ ∫

− + 3 0 9 0 2 0 2 2 2 x dx dy dz y x 8. Hitung

∫ ∫

− −

∫

−

−

−

2 0 4 0 4 0 2 2 2 2 2

4

x x y

dx

dy

dz

y

x

z

9. Hitung