Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

Barisan dan Deret

Barisan Barisan

 Definisi

Barisan bilangan didefinisikan sebagai fungsi dengan daerah asal merupakan bilangan asli.

Notasi: f: N Æ R

n f(n ) = a_n

Fungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Riil {a_n} dengan a_n adalah suku ke-n.

 Bentuk penulisan dari barisan :

1. bentuk eksplisit suku ke-n

2. ditulis barisannya sejumlah berhingga suku awalnya.

bentuk rekursi

Kekonvergenan

Kekonvergenan Barisan Barisan

 Definisi:

Barisan {a_n} dikatakan konvergen menuju L atau berlimit L dan ditulis sebagai

L a_n

n =

∞

lim→

Sebaliknya, barisan yang tidak konvergen ke suatu bilangan L yang terhingga dinamakan divergen.

Jika untuk tiap bilangan positif ε, ada bilangan positif N sehingga untuk

ε

<

−

⇒

≥ N a L

n _n

Catatan Catatan

 Akan kita jumpai banyak persoalan konvergensi barisan.

Kita akan menggunakan fakta berikut.

L x

x f =

∞

→ ( )

Jika lim f n L

n =

∞

→ ( )

, maka lim

Fakta ini memudahkan karena kita dapat memakai kaidah I’ Hospital untuk soal peubah kontinu.

Sifat

Sifat Limit Limit Barisan Barisan

 Sifat dari limit barisan, jika barisan {a_n} konvergen ke L dan barisan {b_n} konvergen ke M, maka

1. ^lim

(

^{a b}

)

^lim

( )

^{a lim}

( )

^b_n ^{L M}

n n n n

n n ± = ± = ±

∞

→

∞

→

∞

→

2. ^lim

(

^{a .b}

)

^lim

( ) ( )

^{a .lim b}_n ^L.M

n n n n

n n = =

∞

→

∞

→

∞

→

3.

( )

( )

^{b ML}

lim a lim b

lim a

n n n n

n n

n ⎟⎟ = =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∞

→

∞

→

∞

→ , untuk M≠ 0

 Barisan {a_n} dikatakan

a. Monoton naik bila a

n+1

≥ a

n

b. Monoton turun bila a

n+1

≤ a

n

Contoh Contoh

Tentukan konvergensi dari barisan di bawah ini:

1 n

2 a

_n

n

= −

1.

2 1 1 lim 2

) (

lim =

= −

∞

→

∞

→ x

x x

f x

x

Jawab:

Ambil

1 ) 2

( = −

x x x

f , Dalam hal ini menurut kaidah I’Hospital,

Jadi,

2 1 1

lim 2 =

−

∞

→ n

n

n

Contoh Contoh

e x e

x

x ⎟ = =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= +

∞

→

1

lim 1 exp

2.

n

n

n

1 1

a ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ +

=

Jawab:

Ambil ^x

x x

f ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

= 1

1 )

( , Dalam hal ini menurut kaidah I’Hospital,

e

n

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ + 1 1 lim

Jadi,

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

= →∞ x x

x

1 1 ln . lim exp

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

= →∞

x x

x 1

1 1 ln lim exp

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

= →∞ 2

2

1 . 1

1 lim

exp

x x

x x

x

x

x x ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

∞

→

1 1 lim

Latihan Latihan

3 n 2 n

1 n

a ₂4

2

n − +

= +

1 n

2 n

a 3

2

n +

= +

1 n a_n n

= +

( )

n n

n 4

a = − π

n ) n a_n = ln(

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ...

5 ,4 4 ,3 3 , 2 2 1

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ − − − ...

9 , 5 7 , 4 5 , 3 3 , 2 1

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

−

−

..

. 4 1 3 , 1 3 1 2 , 1 2 1 1 , 1 1

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧

4 3

2

1 1

an+1 = 2

1 (an + an

2

) , a1=2

1.

2.

10.

9.

8.

7.

5.

4.

3.

Tentukan konvergensi dari barisan di bawah ini:

Deret

Deret Tak Tak Hingga Hingga

 Bentuk deret tak hingga dinotasikan dengan notasi sigma, sebagai berikut:

∑

^∞

n=0

a = a

n 1

+ a

2

+ a

3

+ a

4

+ …+ a

n

+ …

dengan a_n adalah suku ke-n.

Barisan

Barisan Jumlah Jumlah Parsial Parsial

Misalkan S_n menyatakan jumlah parsial ke-n suku deret , maka

∑

^∞

=0 i

ai

Barisan {S_n}, dinamakan barisan jumlah parsial deret

∑

^∞

=0 i

a

i

Dari jumlah parsial ini di dapat bahwa S_n – S_n-1 = a_n. S₁ = a₁

S₂ = a₁ + a₂ .

.

.S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + …+ a_n =

∑

= n

0 i

ai

Kekonvergenan

Kekonvergenan Deret Deret Tak Tak Hingga Hingga

Deret tak hingga

∑

^∞

=0 i

ai konvergen dan mempunyai jumlah S jika barisan jumlah-jumlah parsialnya {S_n}

konvergen ke S. Sebaliknya apabila {S_n} divergen maka deret divergen.

Deret Geometri Deret Geometri

 Bentuk umum deret geometri adalah

∑

^∞

=

− 1

n

1

arn = a +ar +a r² + ... + a r^n-1 + ...

dengan a ≠ 0.

 Jumlah parsial deret ini adalah Sn =

∑

= n − 1 i

1

ari = a +ar +a r² + ... + a r^n-1 dan dapat ditulis sebagai

S

_n

= ( )

r 1

r 1

a ⁿ

−

−

, r ≠ 1.

Sifat Deret

Sifat Deret Geometri Geometri

1. Jika

r

< 1

maka barisan {rⁿ} konvergen ke 0 karena

n n

r

lim→∞

= 0,

maka deretnya konvergen ke

r 1

a

− 2. Jika maka barisan {rⁿ} divergen karena

maka deretnya juga divergen

r

> 1

ⁿ

n

r

lim→∞

=

^∞

,

Contoh Contoh

( ( Selidiki Selidiki kekonvergenannya kekonvergenannya ) )

. . 32 .

1 16

1 8

1 4 1 2

1 + + + + +

1.

Jawab:

Kalau kita perhatikan

S

₁

=

2

1

= 1 -

2

1

S

₂

=

4 1 1 +2

=

4

3

= 1 – (

2 1

)

²

S

₃

=

8 1 4 1 2

1 + +

=

8

7

= 1 – (

2 1

)

³

Sehingga kita peroleh jumlah parsial ke-n-nya

S

_n

= 1 – (

2 1

)

ⁿ

Dan

Sn

lim

=

lim

(1 – (

¹

)

ⁿ

) = 1

Contoh

Contoh (2) (2)

∑

^∞

=₁ +

i i(i 1)

2.

1

2.

Jawab:

Kalau kita perhatikan

Dan

Jadi karena barisan jumlah parsialnya konvergen ke 1, )

1 i ( i

1

+

=

i 1

-

1 i

1

Dari sini kita peroleh bahwa jumlah parsial ke-n-nya+

S

_n

=

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

− + / + /

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

/

− / / + /

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

/

− / / + /

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

/

− /

1 n

1 n

. 1 . 4 .

1 3 1 3

1 2 1 2

1 1

=

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

− +

1 n 1 1

n

lim S

n

∞

→

=

∞

→

n

lim

_⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

− +

1 n

1 1

= 1

(Deret Kolaps)

Contoh

Contoh (3) (3)

3. 3.

Jawab:

Dari sini kita dapatkan

∑

^∞

=1 i

i

1

S

_n

= 1 +

n . 1 . 8 .

1 7

1 6

1 5

1 4 1 3 1 2

1 + + + + + + + +

S

_n

= 1 +

n . 1 . 8 .

1 7

1 6

1 5

1 4

1 3

1 2

1 ⎟+ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + + +

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ + +

≥ 1 +

n . 1 . 8 .

1 8

1 8

1 8

1 4

1 4

1 2

1 ⎟+ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + + +

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ + +

= 1 +

n . 1 . 2 .

1 2

1 2

1 2

1 + + + + +

(Deret Harmonik)

Uji kedivergenan dengan suku ke

Uji kedivergenan dengan suku ke - - n n . .

Apabila

∑

^∞

=0 n

an konvergenmaka _n

nlim a

∞

→ = 0, ekivalen

n n

a

lim→∞ ≠ 0 maka deret divergen.

Contoh: Buktikan bahwa

∑

^∞

=₁ + +

n

2 2

4 n 3 n

3

n divergen.

Bukti

4 n

3 n

3 lim n

2

2

n^→∞

+ +

⁼

2 n

n 4 n

3 3 lim 1

+

∞

+

→

3

=

1

(Tidak Nol)

Jadi terbukti bahwa

∑

^∞ divergen.

=₁ + +

n

2 2

4 n 3 n

3

n

Masalah

Masalah Baru Baru

Dalam banyak kasus bahwa _n

nlim a

∞

→ = 0, tetapi dari sini kita sangat sulit menentukan apakah deret tersebut konvergen atau divergen.

Sebagai contoh deret harmonik,

∑

^∞

n=1 n

1 =1 +

n . 1 . 8 .

1 7

1 6

1 5

1 4

1 3

1 2

1 + + + + + + + + + . . . Jelas bahwa _n

n

a

lim

→∞ = 0, tetapi deret harmonik adalah deret yang divergen.

Oleh karena itu perlu dilakukan uji-uji untuk deret positif.

Uji Uji Deret Deret Positif Positif

1. Tes Integral

Misalkan fungsi f kontinu monoton turun dan f(x) > 0 pada selang [1,∝)

a. Jika integral tak wajar

b. Jika integral tak wajar

∫

1^∞f(x) dx konvergen, maka deret

∑

^∞

=1 n

) n (

f konvergen.

divergen, maka deret

∑

^∞

=1 n

) n (

f divergen.

∫

1^∞

dx )

x ( f

Contoh Contoh

1. Selidiki kekonvergenan dari

∑

^∞

=

− 1

n

n²

e n

Jawab. Kita ambil

f ( x ) = x e

^−x2, sehingga dx

e x ^x2

1

∞ −

∫

^blim→∞

∫

^{1bx e−x2 dx} →∞

∫

⁻

b 1

2 x

blim e d(x ) 2

1 ²

b 1 x b

e 2

2 lim

1 ₋

∞

− →

⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

→∞ 1

1 lim 1

2 1

2

e

e

^b

b 2e

1

= =

= = =

Jadi karena

x e

^x2

dx

1

∞ −

∫

konvergen, maka

∑

^∞

=

− 1

n

n²

e n juga konvergen.

Contoh Contoh

2. Selidiki kekonvergenan dari

Jawab. Kita ambil , sehingga

∑

^∞

=2

n nlnn 1

x x x

f ln

) 1 ( =

∫

∫

→∞

∞

=

^b

b

x x

dx x

x dx

2

2

lim ln

ln =

→∞

∫

^∞

2

ln ) lim (ln

x x d

b

( ) ⁼ ( ) ⁻ ( ) ^{= ∞}

= lim

→∞

ln ln x lim

→∞

ln ln b ln ln 2

b b

Jadi karena divergen, maka juga divergen.

∫

2^∞

x ln x

dx ∑

^∞

=2

n nln n 1

Latihan Latihan

∑

^∞

=2 n

2

n ln

n 1

∑

^∞

=₁

+

n

2 n 1

1

∑

^∞

=₁

+

n

2

1

n 4

1

( )

∑

^∞

=¹

+

n 2

3

n 3 4

1

2.

4.

5.

3.

1.

Selidiki kekonvergenan deret berikut:

( )

∑

^∞

=₃

−

n

2

2

n

1

Uji Uji Deret Deret Positif Positif

2. Uji Deret -p

Deret-p atau deret hiperharmonik mempunyai bentuk umum

∑

^∞

=1

1

i

i

p

Dengan menggunakan tes integral, kita dapatkan dx

x lim 1

1 p

t→∞

∫

^∞ =

t

1 p 1

t

1 p

lim x

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

∞

→ =

p 1

1 lim t

p 1

t −

− −

∞

→

Kalau kita perhatikan, untuk

1. p = 1 diperoleh deret harmonik, sehingga untuk p = 1 deret divergen.

2. p > 1 maka ^{1 p}

t

lim t

⁻

∞

→ = 0, sehingga diperoleh deret

Uji Uji Deret Deret Positif Positif

3. p < 1 maka ^{1 p}

t

lim t

⁻

∞

→ =∞, sehingga diperoleh deret yang divergen.

4. p < 0, suku ke-n deret

∑

= n i ₁ iP

1 , yaitu, _n¹_P tidak menuju 0.

Jadi deret divergen menurut Uji Suku ke-n

Sehingga dapat kita simpulkan untuk uji deret-p, yaitu:

1. Deret-p konvergen apabila p > 1 2. Deret-p divergen apabila 0 ≤ p ≤ 1

Contoh Contoh

Apakah deret berikut konvergen atau divergen?

1.

∑

^∞

=1 1,001

1

n n

Berdasarkan uji deret-p, deret

∑

^∞

=1 1,001

1

n n ^konvergen karena p=1,001 > 1

2.

Berdasarkan uji deret-p, deret divergen karena p= ½ < 1

∑

^∞

=1 12

1

n n

∑

^∞

=1 12

1

n n

Uji Uji Deret Deret Positif Positif

3. Tes Perbandingan dengan deret lain Andaikan

∑

^∞

= `1 n

an

∑

^∞

= `1 n

bn

dan deret positif, jika a_n ≤ b_n maka 1. Jika konvergen, maka

∑

^∞

= `1 n

bn

∑

^∞

= `1 n

bn

∑

^∞

= `1 n

an

∑

^∞

= `1 n

an konvergen 2. Jika divergen, maka divergen

Contoh Contoh

Selidiki Kekonvergenan deret berikut:

1.

∑

^∞

=₃ −

n

2 5 n

n

Jawab:

Akan kita bandingkan deret ini dengan

a

_n

=

n

1 dan b_n=

5 n

n

2 −

kita tahu bahwa

,

∑

^∞

=1 n n

1 adalah deret harmonik dan

5 n

n

2 − ≥ _n¹ , Sehingga karena

∑

^∞

=1 n n

1

∑

^∞

=₂ −

n

2 5 n

n

deret divergen, maka deret yang divergen.

Contoh Contoh

2.

∑

^∞

=₁ +

n

2 5 n

1

Jawab:

Akan kita bandingkan deret ini dengan b_n= dan a_n=

kita tahu bahwa adalah deret hiperharmonik dengan

≥ , Sehingga karena

konvergen, maka

∑

^∞ deret yang konvergen.

=₁ +

n

2 5 n

1

n2

1

5 n

1

2 +

5 n

1

2 +

n2

1

∑

^∞

=1 n

n2

1

p = 2 >1 dan

∑

^∞

=1 n

n2

1 deret

Latihan Latihan

Selidiki kekonvergenan deret berikut

∑

^∞

=₁

+

n

2

5

n n

∑

^∞

=₃

−

n

2

5

n 1

∑

^∞

=₁

+

n

n

1

2 1

( )

∑

^∞

=₃

−

n

2

2

n 1

∑

^∞

=₁

−

n

2 n 1

2.

1

4.

5.

3.

1.

Uji Uji Deret Deret Positif Positif

4. Tes Banding limit

Andaikan a_n dan b_n deret positif dan

n n

n b

lim a

∞

→ = L

1. Jika 0 < L < ∞ maka

∑

^∞

= `1 n

an

∑

^∞

= `1 n

bn

dan sama-sama konvergen atau divergen

2. Jika L = 0 dan

∑

^∞

= `1 n

bn

∑

^∞

= `1 n

an

konvergen maka konvergen.

Contoh Contoh

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut :

∑

^∞

= − +

+

1 n

2

3 5n 7

n

3 n 1. 2

Kita gunakan Uji Banding Limit. Kalau kita perhatikan sehingga

deret tersebut, suku umumnya mirip dengan b_n=

n n

n b

lim a

∞

→

∑

^{∞ 2n +3}

= 2 Jadi karena L=2 dan

Jawab:

∑

^∞

=1 2

1

n n

1 2

n

2 2 3

1

7 5

3 2

lim

n n n

n

n

+ + −

= →∞ 5 7

3 lim 2_{3 2}

2 3

+

−

= +

∞

→ n n

n n

n

konvergen, maka deret

Contoh Contoh

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut : 2.

Kita gunakan Uji Banding Limit. Kalau kita perhatikan sehingga

deret tersebut, suku umumnya mirip dengan b_n=

n n

n b

lim a

∞

→ = 1

Jadi karena L=1 dan Jawab:

divergen, maka deret

∑

^∞

=¹ +

n 2

4 n

1

1n

1n

4 n

1 lim

2 n

+

∞

→ n 4

lim ₂n

2

n^→∞ +

= =

∑

^{∞ 1}

Latihan Latihan

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:

∑

^∞

=

−

+

1 n

3

4

n

1 n

∑

^∞

3

=₁

+ +

n

2

2 n 3

n

n

4.

1.

∑

^∞

=1 n

n

2

n

5.

ln

∑

^∞

=1

+

n

n n 1

1

2.

∑

^∞

=

+

1 n

n

2

3 n

3.

2

Uji Uji Deret Deret Positif Positif

5. Tes Hasil Bagi

∑^∞

=1 k ak

ρ

+ =

∞

→ k

1 k

k a

lim a

Diketahui merupakan suatu deret dengan suku-suku yang positif, misalkan

ρ ∑

^∞

k=1

ak

1. Jika < 1 maka deret konvergen

ρ ∑

^∞

k=1

ak divergen 2. Jika > 1 maka deret

ρ

= 1 maka uji deret ini tidak dapat dilakukan.

3. Jika

Contoh Contoh

Selidiki kekonvergenan deret berikut:

1.

∑

^∞

=1 ! 3

n

n

n

Misalkan suku ke-n adalah a_n =

! 3

n

n

, maka suku ke-n+1 adalah a_n+1=

(

^{3 1}

)

^!

1

+

+

n

n sehingga

Karena nilai limit r=0 (< 1), maka deret

∑

^∞

=1 ! 3

n

n

n Jawab:

(

^{3 1}

)

lim +

= ⁿ→∞ n = 0

(

¹

)

^!

3

! lim 3 ¹

= ⁺ +

∞

→ n

n

n n n

( )

3 !

! 3 1

lim

1

n n

n n

n

= +

+

∞ n →

n

n a

a ₁ lim ⁺

∞

→

konvergen

Contoh Contoh

2.

∑

^∞

=1 2

3

n

n

n

Misalkan suku ke-n adalah a_n = 3₂ n

n

, maka suku ke-n+1 adalah a_n+1=

( )

²

1

1 3

+

+

n

n sehingga

Karena nilai limit r=3 (> 1), maka deret

∑

^{∞ 3n2}

Jawab:

3

( )

² =

2

1 lim 3

= +

∞

→ n

n

( )

² n 2 1

1 3

lim 3

= ⁺ +

∞

→ n

n

n n

n

( )

2 2 1

3 3 1 lim

n n

n n

n

= +

+

∞ n →

n

n a

a ₁ lim ⁺

∞

→

divergen

Latihan Latihan

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:

∑

^∞

=1

!

n

n

n

n ∑

^∞

=

+

1

!

5

n

n

n

∑

^∞

( )

=1

3

!

n

2 n

n

4.

5.

1.

∑

^∞

( )

=1

2 !

n

n

n

2.

n

∑

^∞

=

+

1

!

4

n

n

n

3.

n

Uji Uji Deret Deret Positif Positif

6. Tes Akar

∑^∞

=1 k ak

Diketahui merupakan suatu deret dengan suku-suku yang positif, misalkan ^{k a}k ^a

k =

∞

lim→

∑

^∞

k=1

ak

∑

^∞

k=1

ak

1. Jika a < 1 maka deret konvergen divergen

= 1 maka uji deret ini tidak dapat dilakukan.

2. Jika a > 1 maka deret 3. Jika a

Contoh Contoh

Selidiki kekonvergenan deret 1.

∑

^∞

= ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

− +

1 1

2 2

n

n

n n

Jawab:

Misalkan suku ke-n adalah a_n =

n

n

n ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

− +

1 2

2 , maka nilai limitnya adalah

1 2 2 lim 2

lim =

−

= +

∞

→

∞

→ n

a n

n n n n

∑

^∞

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

− +

1 1

2 2

n

n

n Karena nilai limit r = 2 (> 1), maka deret n

divergen

Contoh Contoh

∑

^∞

= ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

− +

1 2 1

2

n

n

n n

Jawab:

Misalkan suku ke-n adalah a_n =

n

n

n ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

− +

1 2

2 , maka nilai limitnya adalah

2.

2 1 1

2 lim 2

lim =

−

= +

∞

→

∞

→ n

a n

n n n n

Karena nilai limit r = ½ (< 1), maka deret

∑

^∞

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

− +

1 1

2 2

n

n

n n

Latihan Latihan

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:

∑

^∞

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

1

ln 1

n

n

n

∑

^∞

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

− +

1

2 1

2 3

n

n

n

∑

^∞

n

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

1

3 + 2

n

n

n n

∑

^∞

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ +

1

1 2

1

n

n

n

2. 4.

1. 3.

Deret Ganti Tanda dan Kekonvergenan Deret Ganti Tanda dan Kekonvergenan

Mutlak Mutlak

 Deret Ganti Tanda

Deret ini mempunyai bentuk sebagai berikut

( ) 1 a a

₁

a

₂

a

₃

a

₄

. . .

1 n

n 1

n

= − + − +

∑

^∞

−

=

+

dengan a_n > 0, untuk semua n.

Contoh penting adalah deret harmonik berganti tanda, yaitu

( )

^...

4 1 3

1 2

1 1 n

1 1

1 n

1

n = − + − +

∑

^∞ −

=

+

Uji Uji Deret Deret Ganti Ganti Tanda Tanda

Andaikan deret ganti tanda, deret tersebut dikatakan konvergen jika

1. a_n+1< a_n

0

lim =

∞

→ n

n

a

2.

Contoh

Tentukan kekonvergenan deret ganti tanda berikut .

. 4 . 1 3

1 2

1− 1 + − + 1.

2. 1 1 1 ...

1− + − +

Contoh Contoh

1. Jawab (uji ganti tanda)

Dari soal diatas kita punya a_n=

n

1 , dan a_n+1 =

1 1

+ n

tersebut konvergen jika

, deret

a. 1 1

1 1 1 1

1

1

>

+ + =

= +

=

+ n n

n n

n a

a

n

n ⇔ a_n >a_n+1

b.

1 0

lim

lim = =

∞

→

∞

→

a n

n n n

Karena a dan b terpenuhi maka deret di atas konvergen.

Contoh Contoh

2. Jawab (uji ganti tanda)

Dari soal diatas kita punya a_n=

! 1

n

^{, dan an+1 =}

( n + ^{1 1} ) ^!

tersebut konvergen jika

, deret

a. ¹

(

¹

)

^{! 1 1}

1 !

1

>

+

= +

=

+

n n

n a

a

n

n ⇔ a_n >a_n+1

b.

0

! lim 1

lim = =

∞

→

∞

→

a n

n n n

Karena a dan b terpenuhi maka deret di atas konvergen.

Latihan Latihan

Selidiki kekonvergenan dari deret ganti tanda berikut:

∑

^∞

( )

=

−

1

1 3

n

n n

n

∑

^∞

( )

=

+

− +

1

1

1 3

1 2

n

n

n

^4.

1.

∑

^∞

( )

=

− +

1

( 1 )

1 1

n

n

n

5.

n

∑

^∞

( )

=

+

− +

1

2

1 3

n

n

n n

2.

n

∑

^∞

( )

=

−

+ 1

1

1 !

n

n n

n

3.

n

Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat

Suatu deret dikatakan konvergen mutlak bila harga

∑

^∞

=1 n

bn

Atau dengan kata lain dikatakan konvergen mutlak jika

∑

^∞

=1 n

bn konvergen.

∑

^∞

=1 n

bn divergen,

∑

^∞

=1 n

bn konvergen.

Dan dikatakan konvergen bersyarat jika tetapi

mutlak deret tersebut konvergen.

Pengujian Kekonvergenan Mutlak Pengujian Kekonvergenan Mutlak

Misalkan

∑

^∞

=1 n

an dengan a_n

≠

0 dan

n n

n a

a ₁ lim ⁺

∞

→ = r. Maka 1. bila r < 1 maka deret konvergen mutlak

2. bila r > 1 maka deret divergen 3. bila r = 1 maka tes gagal.`

Contoh Contoh

Selidiki deret berikut konvergen bersyarat, konvergen mutlak atau divergen

1.

∑

^∞

( )

=

− + 1

1

! 1 2

n

n n

n Jawab:

( ) ( )

( )

^{1 2}

( )

^!

! 2 1

1 lim

lim

1 2 1 1

n n a

r a

n n n n

n n n

n +

+ +

∞

→ +

∞

→ −

− +

=

= 2

(

1

)

!

! lim 2

1

= ⁺ +

∞

→ n

n

n n

n 1

lim 2

= +

∞

→ n

n

Dari soal diatas kita punya a_n=

( )

! 1 ¹ 2

n

n+ n

− , dan a_n+1 =

( ) ( )

^{−1 n+2 n2+n+11 !}

sehingga

= 0

Menurut uji hasilbagi mutlak, deret ini konvergen mutlak

Contoh Contoh

2.

∑

^∞

( )

=

− + 1

1 1 1

n

n

n Jawab:

∑

^∞

( )

=

− + 1

1 1 1

n

n

n

Dengan uji deret ganti tanda deret

∑

^∞

( )

=

− + 1

1 1 1

n

n

n

adalah deret divergen

∑

^∞

∑

=

∞

=

=

1 1

1

n n

n n

a

Jadi deret

konvergen (buktikan!!),

(karena merupakan deret-p dengan p= ½ < 1)

adalah konvergen bersyarat.

sedangkan

Latihan Latihan

∑

^∞

( )

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

1

5

1

n

n

n

n

( ) ( )

∑

^∞

=

− +

1

1

1 1

n

n

n n

1. 4.

Selidiki apakah deret tersebut konvergen mutlak, konvergen bersyarat atau divergen:

∑

^∞

=

−

+ 1

1

ln ) 1 (

n

n

n

∑

^∞

n

=

−

1

2

) 4 (

n

n

n

^5.

2.

∑

^∞

=

+

−

1

3 2

) 1 (

n

n

n ∑

^∞

=

+

+

−

1

1

1 ) 1 (

n

n

n

6.

n

3.

Deret

Deret Pangkat Pangkat

Deret pangkat secara umum ada dua bentuk

1. Deret pangkat dalam x didefinisikan

∑

^∞

=0 n

n nx

a = a₀ + a₁ x + a₂ x² + . . .

2. Deret pangkat dalam (x – b) didefinisikan

( )

∑

^∞

=

−

0 n

n n x b

a = a₀ + a₁ (x-b) + a₂ (x-b)² + . . .

Untuk kali ini kita bicara selang kekonvergenan / untuk

Selang

Selang Kekonvergenan Kekonvergenan

Selang kekonvergenan ditentukan dengan uji hasilbagi mutlak sebagai berikut:

Misalkan

∑

^∞

( )

=

−

0 n

n

n x b

a dan n

n n n

n a x b

b x

L a

) (

)

lim ¹( ¹

−

= ⁺ − ⁺

∞

→

1. Jika L < 1, maka deret konvergen.

2. Jika L = 1, tidak dapat diambil kesimpulan Æ gunakan uji deret sebelumnya.

Soal Soal

Tentukan selang kekonvergenan deret

∑

^∞

=₀ ( +1)2

n

n n

n x

∑

^∞

=₀ ( +1)!

n

n

n x

∑

^∞

=

+

0

! ) 1 (

n

xn

n 1.

2.

3.

Jawab Jawab

1. Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.

Jadi deret tersebut konvergen mutlak apabila L< 1, yaitu –2 < x < 2

Kemudian akan kita cek untuk titik ujung intervalnya yaitu x = 2 atau x = -2 .

‰ Pada x = 2

n n n

n

n n

x n

L x

2 ) 1 : (

) 2 (

lim2 ₁ ¹

+

= ₊ ⁺+

∞

→ 2

= x ) 2 (

) 1 (

lim 2

+

= +

∞

→ n

n x

n

( ) ∑ ( )

∑

^∞

=

∞

= = +

+ ₁

1 1

1 2

1 2

n

n n

n

n n

deret ini adalah deret harmonik yang divergen.

Jawab Jawab

‰ Pada x = –2

Sehingga selang kekonvergenannya adalah –2 ≤ x < 2 deret ini adalah deret harmonik berganti tanda yang konvergen.

( ( ) ) ( )

( )

∑

∑

^∞

=

∞

= +

= − +

−

1

1 1

1 2

1 2

n

n

n n

n

n n