07 Integral Lipat Tiga

(1)

Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer

Teknik Informatika

(2)

Integral Lipat Tiga pada Balok

x

y z

x_k

y_k

1. Partisi balok B menjadi n bagian; B₁, B₂, …, B_k, …, B_n

Definisikan |||| = diagonal ruang terpanjang dari B_k

2. Ambil

3. Bentuk jumlah Riemann

4. Jika |||| 0 diperoleh limit jumlah Riemann

Jika limit ada, maka fungsi w = f(x,y,z) terintegralkan Riemann

) z , y , x

( _k _k _k

B

B_k _z_k

k k

k

k,y ,z ) B x

( 

k n

1 k

k k k

0 f(x ,y ,z ) V

lim





  



n_ 

1 k

k k k

k,y ,z ) V

(3)

Integral Lipat Tiga pada Balok (2)

v_k= x_k y_k z_k dV = dx dy dz

Sehingga integral lipat dalam koordinat kartesius:





B B

dz dy dx ) z , y , x ( f dV

(4)

Contoh



_B x2yz dV

Hitung dengan B adalah balok dengan ukuran B = {(x,y,z)| 1  x  2, 0  y  1, 1  z  2}

Jawab.



_B x2yz dV 

  

x yz dxdydz

2

1 1

0 2

1 2

dz dy x

yz

 



  

   2

1 1

0

2

1 3

3 1

dz y

z





  

   2

1

0 2

2 1 3

7

2

1

(5)

Integral Lipat Tiga pada Daerah

Sembarang

 Pandang S benda padat yang terlingkupi oleh balok B, dan definisikan nilai f nol untuk luar S (gb. 1)

x

y z

B

S



_S 2

dV yz x

Hitung , Jika S benda padat sembarang

(6)

Integral Lipat Tiga pada Daerah

Sembarang (2)

 Jika S dipandang sebagai

himpunan z sederhana (gb.2) (S dibatasi oleh z=₁(x,y) dan

z=₂(x,y), dan proyeksi S pada bidang XOY dipandang sebagai daerah jenis I) maka:

 Catatan:

Jika f(x,y,z) = 1, maka menyatakan volume benda

pejal S

  



 b

a x

x

y x

y x S

dx dy dz z y x f dV

z y x f

) (

) , (

2

1 2

1

) , , ( )

, , (



 





_S f(x,y,z) dV

x

y z

S

S_xy

b

a

y=₂(x) y=₁(x)

z=₂(x,y)

z=₁(x,y)

(7)

Contoh



_S f(x,y,z) dV

Hitung _{dengan W=f(x,y,z) = 2xyz dan S benda} padat yang dibatasi oleh tabung parabola z=2- ½x2 _dan

bidang-bidang z = 0, y=x, y=0

y=0

y=x z=2–½ x

2

x

y z

S_xy

S_xy = proyeksi S pada XOY (segitiga)

Jawab.

Dari gambar terlihat bahwa

S={(x,y,z)|0≤x≤2, 0≤y≤x 0≤z≤ 2 – ½x2_}

2

0

Sehingga,



_S 2xyz dV

  



 2

0 0 2 1 2

0

2

x x

dx dy dz xyz

 



 2

0 0

2 1 2

0

2 2

x

dx dy z

(8)

Contoh (lanjutan)

 



  

    2

0 0

2 2

2 1 2

x

dx dy x

xy





  



 _ _

 2

0 0

2 4

2

2 1 4

1 2

4 x x y dx

x





  



 _ _

 2

0

7 5

3

8 1

2x x x dx

2

0 8 6

4

64 1 6

1 2

1

x x

x  



3 4 4

3 32

8   

(9)

Latihan



_S z dV

1. Hitung , S benda padat di oktan pertama yang dibatasi oleh bidang-bidang z = 0, x=y, y=0 dan tabung x2 _{+ z}2 _{= 1.}

2. Sketsa benda pejal S di oktan pertama yang dibatasi tabung y2 _{+ z}2 _{= 1 dan bidang x =1 dan x = 4, dan}

tuliskan dan hitung integral lipatnya.

3. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh : a. y = x2_{, y + z = 4, x = 0, z = 0.}

b. 1 = z2_+y2_{, y = x, x = 0.}

c. x2 _{= y, z}2 _{=y, y = 1.}

d. y = x2 _{+ 2, y = 4, z = 0, 3y - 4z = 0.}

 



 

2 /

0 z

0 y

0

dxdydz )

z y x sin(

(10)

Integral Lipat Tiga (Koordinat Tabung

dan Bola)

 r

z

P(r,,z)

x

y z

 r

z

P(,,)

x

y z

 

Syarat & hubungan dg Kartesius r  0, 0    2 

x = r cos  y = r sin  z = z

r2 _{= x}2 _{+ y}2

Syarat & hubungan dg Kartesius   0, 0    2 , 0    

x = r cos  r =  sin  y = r sin  r =  sin  z =  cos 

x2 _{+ y}2 _{+ z}2 ₌2

} x =  cos  sin 

} y =  sin  sin 

(11)

Contoh

1. Sketsa D; D benda pejal di oktan I yang dibatasi oleh tabung x2_+y2_{=4 dan bidang z = 0, z = 4}

x

y z

r



2

2 4

D dalam koordinat: a. Cartesius:

D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , 0≤z≤4}

2 4  x

b. Tabung:

D={(x,y,z)| 0≤r≤2, 0≤≤ /2,

0≤z≤4}

Jawab.

0

(12)

Contoh

2. Sketsa D; D bagian bola x2_+y2 _{+ z}2_{=4 di oktan I.}

x

y z

r



2

D dalam koordinat: a. Cartesius:

D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , 0≤z≤ }

2 4  x

b. Tabung:

D={(x,y,z)| 0≤



≤2, 0≤



≤ /2,

0≤



≤ /2} Jawab.

2



2 2

4  x  y 0

2 2

4 x y

(13)

Penggantian Peubah dalam Integral

Lipat Tiga

(14)

Koordinat Kartesius



Tabung

x = r cos  y = r sin  z = z

Matriks Jacobiannya: r sin r cos r 1 0 0 0 cos r sin 0 sin r cos z z z r z z y y r y z x x r x ) w , v , u (

J    2  2  

(15)

Koordinat Kartesius



Bola

x =  cos  sin  y =  sin  sin  z =  cos 

(16)

Contoh (Tabung)

1. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid z = x2 _{+ y}2 _{dan z = 4.}

Z

x

y

z = 4

Jawab.

Daerah S dalam Koordinat Cartesius adalah:

S={(x,y,z)|-2  x  2, y ,

x2 ₊_y2  _z  _4}

2

4  x

2

4  x



Dalam koordinat tabung:

S={(r,



,z)|0  r  2, 0



 2



, r2  _z  _4}

Sehingga, volume benda pejalnya adalah

2 2 4

(17)

Contoh (Lanjutan)

  

 2

0 2

0 4

2





r

dr d

dz r V

 

 2

0 2

0

4

2



 dr d

z r

r









 2

0

2

0 2

4 r dr

r  

0 2 4 2

4 1 2

2 

  



 _

  r r  8

(18)

Contoh (bola)

2. Hitung volume bola pejal x2 _{+ y}2 _{+ z}2 _{= 4 di oktan I}

x

y z



2

2 2



0

2 2

4 x y

z    _{D dalam koordinat:} a. Cartesius:

D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , 0≤z≤ }

2 4  x

b. Bola:

D={(x,y,z)| 0≤



≤2, 0≤



≤ /2,

0≤



≤ /2} Jawab.

2 2

4  x  y

Sehingga, volume benda pejalnya adalah

2

/ /2 2

(19)

Contoh (Lanjutan)

  

 /2

0

2 /

0 2

sin

 

   

 d d d

V

 



  

   /2

0

2 /

0

2

0 3

3 1 sin

 

 

 d dr









 /2

0

2 /

0 cos 3

8

 



 d

 

/2 0 3

8 



 _

3 4



(20)

Contoh



_D 2

dV x

1. Hitung , dengan D benda pejal yang dibatasi z =9 – x2 – _y2 _{dan bidang xy.}

2. Hitung volume benda pejal yang di oktan I yang dibatasi bola x2 _{+ y}2_{+ z}2 _{= 1 dan x}2 _{+ y}2_{+ z}2 _=4.

3. Hitung volume benda pejal yang di batasi di atas oleh bola r2_{+ z}2 _{= 5 dan di bawah r}2 _=4z.

4. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid z = x2 _{+ y}2 _{dan bidang z =4.}

(21)

Latihan

6. Hitung volume benda pejal yang di dalam bola

x2₊_y2₊_z2 _{= 9, di luar kerucut} _z  _x2  _y2

dan di atas bidang xy.





 



           3 3 9 9 9 9 2 / 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x y x y x dx dz dy z y x 7. Hitung

  

  3 0 9 0 2 0 2 2 2 x dx dy dz y x 8. Hitung

 

2  



  

0 4 0 4 0 2 2

2 2 2

4

x x y