KALKULUS 2

KALKULUS 2

KALKULUS 2

  



INT

INT

INT

INT

EGRA

EGRA

EGRA

EGRA

L LIPA

L LIPA

L LIPA

L LIPA

T 2

T 2

T 2

T 2









INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN PERSEGI PANJANG

INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN PERSEGI PANJANG

INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN PERSEGI PANJANG

INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN PERSEGI PANJANG









INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN BUKAN PERSEGI PANJANG

INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN BUKAN PERSEGI PANJANG

INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN BUKAN PERSEGI PANJANG

INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN BUKAN PERSEGI PANJANG









INTEGRAL LIPA

INTEGRAL LIPA

INTEGRAL LIPA

INTEGRAL LIPA

T 2 DL

T 2 DL

T 2 DL

T 2 DL

M KOOR

M KOOR

M KOOR

M KOOR

DINA

DINA

DINA

DINA

T KUT

T KUT

T KUT

T KUT

UB

UB

UB

UB









PENERAPAN INTEGRAL LIPAT 2

PENERAPAN INTEGRAL LIPAT 2

PENERAPAN INTEGRAL LIPAT 2

PENERAPAN INTEGRAL LIPAT 2

  



INT

INT

INT

INT

EGRA

EGRA

EGRA

EGRA

L LIPA

L LIPA

L LIPA

L LIPA

T 3

T 3

T 3

T 3









INTEGR

INTEGR

INTEGR

INTEGR

AL LIP

AL LIP

AL LIP

AL LIP

A

A

A

A

T 3

T 3

T 3

T 3

KOORDINAT CARTESIAN

KOORDINAT CARTESIAN

KOORDINAT CARTESIAN

KOORDINAT CARTESIAN







RUMUS DASAR INTEGRAL

RUMUS DASAR INTEGRAL

´´

´´

´´

´´

´´

´´

´´

´´



¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨

!!









!!





¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨

!!





!!



!!





!!



!!



!!





!!

  

cc

a

a

 x

 x

 x

 x

a

a

dx

dx

cc

a

a

 x

 x

a

a

 x

 x

a

a

 x

 x

a

a

dx

dx

cc

a

a

 x

 x

a

a

a

a

 x

 x

dx

dx

cc

ee

dx

dx

ee

cc

 x

 x

 xdx

 xdx

cc

 x

 x

 xdx

 xdx

cc

 x

 x

dx

dx

 x

 x

n

n

kecuali

kecuali

cc

 x

 x

n

n

dx

dx

 x

 x

 x  x  x  x n n n n 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1

sin

sin

..

8

8

ln

ln

2

2

1

1

..

7

7

tan

tan

1

1

..

6

6

..

5

5

sin

sin

cos

cos

..

4

4

cos

cos

sin

sin

..

3

3

ln

ln

1

1

..

2

2

1

1

,,

1

1

1

1

..

1

1

I

I

T

T

I

I

T

T

I

I

I

I

J

J

)) ,, (( x x yy  f    f    z  z

!!

INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN PERSEGIPANJANG

INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN PERSEGIPANJANG

Rumus dasar :

Rumus dasar :

dx

dx

dy

dy

 y

 y

 x

 x

 f  

 f  

dy

dy

dx

dx

 y

 y

 x

 x

 f  

 f  

dA

dA

 y

 y

 x

 x

 f  

 f  

bb a a d  d  cc d  d  cc b b a a  R  R

´ ´ ´´

´ ´ ´´

´´´´

!!

_¬¬--

««

_¼¼½½

»»

¼¼½½

»»

¬¬--««

!!

((

,,

))

((

,,

))

))

,,

((

  

_

_

 x

 x

 y

 y

a

a

 x

 x

b

b

cc

 y

 y

d 

d 

aa

 R

 R

,,

::

ee

ee

,,

ee

ee

Dengan

Dengan

R 

R 

bb

_{erupa persegi panjang}

_{erupa persegi panjang}

y

y

x

x

d

d

a

a

bb c c

R

R

INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN PERSEGIPANJANG

INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN PERSEGIPANJANG

Contoh :

Contoh :

 



 



? ?

AA



 





 

 



 



 





 



? ?

AA



 

 

 

? ?

AA

 



2 2 45 45 9 9 2 2 3 3 9 9 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 6 6 4 4 1 1 3 3 1 1 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 2 2 3 3 2 2 .. 1 1 3 3 0 0 2 2 3 3 0 0 3 3 0 0 3 3 0 0 2 2 2 2 2 2 1 1 3 3 0 0 2 2 3 3 0 0 2 2 1 1 3 3 0 0 2 2 1 1 !!  !! ¼¼½½ »» ¬¬--«« _ !!  !!    !!    !!  !! ¼¼½½ »» ¬¬--«« _ !! 

´´

´´

´´

´´

´ ´ ´´

´ ´ ´´

 y  y  y  y dy dy  y  y dy dy  y  y  y  y dy dy  y  y  y  y dy dy  yx  yx  x  x dy dy dx dx  y  y  x  x dxdy dxdy  y  y  x  x

 



3 3 16 16 2 2 3 3 2 2 8 8 0 0 2 2 2 2 1 1 3 3 1 1 4 4 3 3 1 1 4 4 0 0 1 1 3 3 1 1 4 4 4 4 .. 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 0 0 3 3 2 2 0 0 1 1 0 0 2 2

!!





!!

¼¼½½

»»

¬¬--««

_

_

!!

¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨

_

_

!!

¼¼½½

»»

¬¬--««

_

_

!!





´´

´´

´ ´ ´´

 y  y  y  y  y  y dy dy  y  y dy dy  yx  yx  x  x  x  x dxdy dxdy  y  y  x  x

INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN PERSEGIPANJANG

INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN PERSEGIPANJANG

SOAL

I

I

T

T

I

I

T

T

I

I

I

I

J

J

  

 



  



 





 

  

´´´´

´´´´

´´´´

´´´´

ÀÀ

¿¿

¾¾

°

°

¯¯

®

®

ee

ee

ee

ee

!!



ÀÀ

¿¿

¾¾

°

°

¯¯

®

®

ee

ee

ee

ee

!!



ÀÀ

¿¿

¾¾

°

°

¯¯

®

®

ee

ee

ee

ee



!!



ÀÀ

¿¿

¾¾

°

°

¯¯

®

®

ee

ee



ee

ee

!!

 R  R  R  R  R  R  R  R  y  y  x  x  y  y  x  x  R  R dA dA  x  x  xy  xy  y  y  x  x  y  y  x  x  R  R dA dA  y  y  x  x  y  y  x  x  y  y  x  x  R  R dA dA  y  y  x  x  y  y  x  x  y  y  x  x  R  R dA dA  xy  xy 2 2 1 1 ,, 3 3 0 0 :: ,, ;; 1 1 .. 4 4 2 2 0 0 ,, 2 2 0 0 :: ,, ;; sin sin .. 3 3 2 2 0 0 ,, 1 1 1 1 :: ,, ;; .. 2 2 1 1 1 1 ,, 1 1 0 0 :: ,, ;; .. 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 T  T  T  T 

SOAL

SOAL

H

I

I

T

T

I

I

T

T

I

I

I

I

J

J

??AA

? ? AA

11 0 0 1 1 1 1 4 4 2 2 .. 1 1 1 1 0 0 2 2 0 0 1 1 0 0 2 2 1 1 0 0 2 2 0 0 ! ! ! ! ! !

¼¼

½½

»»

¬¬

--««

! !

´´

´´

´ ´

´ ´

 y  y  y  y  y  y  x  x  x  x yy  x  x

Sketsalah

Sketsalah

bb

_{enda pejal yang yang volumenya ditunjukkan oleh integral lipat di}

_{enda pejal yang yang volumenya ditunjukkan oleh integral lipat di}

b

I

I

T

T

I

I

T

T

I

I

I

I

J

J

 



1 1 2 2 1 1 2 2

3

3

2 2

3

3

0

0

1 1 2 2 2 2 2 2 .. 2 2 1 1 0 0 2 2 1 1 0 0 1 1 0 0 2 2 1 1 0 0 1 1 0 0

!!

¼¼½½

»»

¬¬--««

_

!!

¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨

_

!!

¼¼

½½

»»

¬¬

--««





!!





´´

´´

´ ´

´ ´

 x

 x

 x

 x

d 

d 

 x

 x

 x

 x

d 

d 

 x

 x

 y

 y

 xy

 xy

 y

 y

d 

d 

 y

 y

d 

d 

 x

 x

 y

 y

 x

 x

I

I

T

T

I

I

T

T

I

I

I

I

J

J

 



3

3

32

32

3

3

16

16

3

3

16

16

3

3

8

8

3

3

2

2

3

3

8

8

2

2

3

3

1

1

..

3

3

2 2 0 0 3 3 2 2 0 0 2 2 2 2 0 0 2 2 0 0 3 3 2 2 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 2 2

!!

¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨

_

!!

¼¼½½

»»

¬¬--««

_

!!

¼¼½½

»»

¬¬--««

_

!!

¼¼½½

»»

¬¬--««

_

!!



´´

´´

´ ´ ´´

 x

 x

 x

 x

dx

dx

 x

 x

dx

dx

 y

 y

 y

 y

 x

 x

dydx

dydx

 y

 y

 x

 x

I

I

T

T

I

I

T

T

I

I

I

I

J

J

  

3

3

32

32

3

3

16

16

3

3

8

8

8

8

3

3

1

1

4

4

4

4

..

4

4

2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 3 3 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2

!!

¼¼½½

»»

¬¬--««

!!

¼¼½½

»»

¬¬--«« 

!!

¼¼½½

»»

¬¬--««

_

!!



´´

´´

´ ´ ´´

 x

 x

dx

dx

dx

dx

 y

 y

 y

 y

dydx

dydx

 y

 y

I

I

T

T

I

I

T

T

I

I

I

I

J

J

 



 



? ?

66

AA

11 66 77 6 6 2 2 1 1 2 2 1 1

3

3

2 2 9 9

3

3

2 2 1 1 1 1 0 0 2 2 1 1 0 0 1 1 0 0 3 3 1 1 1 1 0 0 2 2 1 1 0 0 3 3 1 1

!!



!!



!!



!!

¼¼

½½

»»

¬¬

--««

¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨

_

_



¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨

_

_

!!

¼¼

½½

»»

¬¬

--««





!!





´´

´´

´´

´ ´

´ ´

 x

 x

 x

 x

d 

d 

 x

 x

 x

 x

d 

d 

 x

 x

 x

 x

 x

 x

d 

d 

 x

 x

 y

 y

 y

 y

 xy

 xy

d 

d 

 y

 yd 

d 

 x

 x

 y

 y

 x

 x

5.

5.

_{Tentukan volume}

_{Tentukan volume}

bb

_{enda pejal di}

_{enda pejal di}

bb

_awah

_awah

bb

_idang

_{idang z=x+y}

_z=x+y+1

₊₁

atas

INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN PERSEGIPANJANG

INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN PERSEGIPANJANG

6

6.. _{TTentukan entukan volumevolume} bb_{enda pejal dienda pejal di}bb_awahawah bb_{idang z=2x+3yidang z=2x+3y}

atas

atas R={(x,y): 1x R={(x,y): 1x 2, 0y 2, 0y 4 }4 }

 



 



? ?

AA

? ?

4

4

24

24

AA





1

1

6

6

48

48

 



 

4

4

24

24

3

3

6

6

24

24

8

8

2

2

3

3

2

2

3

3

2

2

2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 4 4 0 0 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 4 4 0 0

!!







!!



!!



!!

¼¼

½½

»»

¬¬

--««



!!



´´

´´

´ ´ ´´

 x

 x

 x

 x

d 

d 

 x

 x

 x

 x

d 

d 

 x

 x

 y

 y

 xy

 xy

d 

d 

 y

 y

d 

d 

 x

 x

 y

 y

 x

 x

INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN PERSEGIPANJANG

INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN PERSEGIPANJANG

7

7

..

_{Tentukan volume}

_{Tentukan volume}

bb

_{enda pejal antara z=x}

_{enda pejal antara z=x}

22

_+y

_+y

22

₊₂

₊₂

_dan

_dan

_z=1

_z=1

dan terletak

dan terletak

di atas

di atas

R={(x,y):

R={(x,y):

-1x 1,

-1x 1,

0y 1 }

0y 1 }

 



? ?

AA

? ?

AA

3 3 10 10 3 3 5 5 3 3 5 5 3 3 4 4 3 3 1 1 3 3 4 4 3 3 1 1 3 3 4 4 3 3 1 1 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 2 2 1 1 0 0 1 1 1 1 3 3 2 2 1 1 1 1 1 1 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 0 2 2 2 2

!!



!!

¼¼

½½

»»

¬¬

--««

¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨

_

_



¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨

_

!!

¼¼½½

»»

¬¬--««

_

!!

¼¼½½

»»

¬¬--««

_

_

!!

¼¼½½

»»

¬¬--««

_

_

!!





!!







    

´´

´´

´ ´ ´´

´ ´ ´´

 x  x  x  x d  d  x x  x  x d  d  x x  y  y  y  y  y  y  x  x d  d  y yd d  x x  y  y  x  x d  d  y yd d  x x  y  y  x  x

INTEGRA

INTEGRA

L LIP

L LIP

A

A

T 2 DOMA

T 2 DOMA

IN BUK

IN BUK

AN PE

AN PE

RSEGIP

RSEGIP

ANJANG

ANJANG

y

y

S

S

0

0

x

x

y= y=* * _2 2 (x)(x) y= y=* * ₁₁(x)(x)

a

a

bb S

Seebbuuaah h hhiimmppuunnaan n y y sseeddeerrhhaannaa SSeebbuuaah h hhiimmppuunnaan n x x sseeddeerrhhaannaa

y

y

S

S

0

0

 x   x == _2 2 ( ( y y  ) )  x   x == ] ] ₁₁( ( y y  ) )

d

d

c c S  S _{={ ={ (x,(x,y y  ): ):* *}  1

1(x)(x)y y  * * 2 2 (x),(x), aa x x   b}b} S S ={ ={ (x,(x,y y  ): ):

] 

] 

₁₁( ( y y  )x   )x 

] 

] 

_2 2 ( ( y y  ), ), c c y y d}d}

INTEGRA

INTEGRA

L LIP

L LIP

A

A

T 2 DOMAI

T 2 DOMAI

N BUKAN

N BUKAN

PERSEGIPANJANG

PERSEGIPANJANG

´´´

´

!!

´

´ ´´

S 

S 

b

b

a

a

 x

 x

 x

 x

 f  

 f  

 x

 x

 y

 y

dydx

dydx

dA

dA

 y

 y

 x

 x

 f  

 f  

((

))

))

((

2 2 1 1

))

,,

((

))

,,

((

J 

J 

J 

J 

´´´

´

!!

´

´ ´´

S 

S 

d 

d 

cc

 y

 y

 y

 y

 f  

 f  

 x

 x

 y

 y

dxdy

dxdy

dA

dA

 y

 y

 x

 x

 f  

 f  

((

))

))

((

2 2 1 1

))

,,

((

))

,,

((

] ]  ]  ]  RUMU

INTEGRA

INTEGRA

L LIP

L LIP

A

A

T 2 DOMA

T 2 DOMA

IN BUK

IN BUK

AN PE

AN PE

RSEGIP

RSEGIP

ANJANG

ANJANG

 



? ?

AA















? ?

AA

 



3

3

1

1

3393

3393

3

3

3

3

1

1

3

3

3

3

5

5

3

3

1

1

5

5

5

5

3

3

1

1

4

4

5

5

5

5

4

4

5

5

4

4

5

5

4

4

10

10

4

4

3 3 4 4 5 5 3 3 4 4 5 5 5 5 3 3 3 3 4 4 5 5 5 5 3 3 2 2 3 3 4 4 5 5 3 3 2 2 2 2 4 4 3 3 5 5 3 3 2 2 5 5 3 3 2 2 2 2

!!

¼¼

½½

»»

¬¬

--««

¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨

_

_



¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨

_

_

!!

¼¼½½

»»

¬¬--««

_

_

!!





!!









!!



!!



´´

´´

´´

´ ´ ´´

 

 x

 x

 x

 x

 x

 x

dx

dx

 x

 x

 x

 x

 x

 x

dx

dx

 y

 y

 x

 x

 x

 x

 x

 x

dx

dx

 y

 y

 xy

 xy

dydx

dydx

 y

 y

 x

 x

 x  x  x  x  x  x  x  x CON CON

_T

_T

OHOH

I

I

N

N

_T

_T

_I

_I

_T

_T

OMA

OMA

_I

_I

N

N

 AN

 AN

_I

_I

AN

AN

_J

_J

 ANG

 ANG

? ? AA

  

? ?

AA

 



? ? AA



 

 

 

? ?

1

1

1

1

0

0

AA

2

2

2

2

2

2

1

1

2

2

2

2

2

2

1 1 0 0 2 2 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 00 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



!!







!!



!!



!!



!!

!!

´´

´´

´´

´ ´ ´´

ee

ee

 y

 y

ee

dy

dy

 y

 y

 ye

 ye

dy

dy

ee

 y

 y

dy

dy

 ye

 ye

dxdy

dxdy

 ye

 ye

 y  y  y  y  y  y  y  y  x  x  y  y  x  x

CONTO

CONTO

HH

₂

₂

INTEGRA

INTEGRA

L LIP

L LIP

A

A

T 2 DOMAI

T 2 DOMAI

N BUKAN

N BUKAN

PERSEGIPANJANG

PERSEGIPANJANG

 

1212 1212 44



44 1 166 1 1 4 4 3 3 3 3 1 166 3 3 2 2 3 3 3 3 1 166 3 3 8 8 3 3 2 2 3 3 3 3 4 4 1 1 2 2 4 4 4 4 3 3 8 8 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 6 6 2 2 1 1 2 2 4 4 3 3 2 2 1 1 2 2 4 4 3 3 2 2 1 1 2 2 3 3 4 4 3 3 4 4 3 3 3 3 2 2 3 3 4 4 3 3 3 3 4 4 0 0 3 3 2 2 4 4 0 0 2 2 4 4 0 0 2 2 2 2 4 4 0 0 2 2 2 2 4 4 0 0 2 2 2 2 1 1 2 2 0 0 4 4 0 0 2 2 4 4 0 0 2 2 1 1 2 2 0 0

!!





!!

¼¼½½

»»

¬¬--««

_

_

!!

¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨

_

_

!!

¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨

_

_

_

!!

¼¼

½½

»»

¬¬

--««

¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨

_

_









!!

¼¼

¼¼

½½

»»

¬¬

¬¬

--««

¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨

_



¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨

_



¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨

_

!!

¼¼½½

»»

¬¬--««

_

_

!!

¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨

_

_

´´

´´

´´

´´

´´

´ ´ ´´

   x  x  x  x  x  x d  d  x x  x  x  x  x d  d  x x  x  x  x  x  x  x d  d  x x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x d  d  x x  x  x  x  x  x  x  x  x d  d  x x  y  y  xy  xy  y  y d  d  y yd d  x x  y  y  x  x  x  x  x  x

x

x

y

y

z

z

3

3

4

4

2

2

 x  x  y  y 2 2 1 1 2 2 ! !

CONTO

CONTO

HH

_{3 :}

_{3 :}

HH

_{itunglah volume µtetrahedron¶}

_{itunglah volume µtetrahedron¶}

bb

_{idang empat di}

_{idang empat di}

bb

_{awah ini}

_{awah ini}

12-3x-6y-4z=0

I

I

N

N

_T

_T

GRAL

GRAL

L

L

_I

_I

A

A

_T

_T

OMA

OMA

_I

_I

N

N

 AN

 AN

RSEG

RSEG

_I

_I

AN

AN

_J

_J

 ANG

 ANG

? ? AA

  

? ?

AA

  

4

4

3

3

4

4

3

3

3

3

0

0

3

3

..

1

1

1 1 0 0 4 4 1 1 0 0 3 3 1 1 0 0 2 2 3 3 0 0 1 1 0 0 2 2 1 1 0 0 3 3 0 0 2 2

!!

¼¼½½

»»

¬¬--««

!!

!!



!!

!!

´´

´´

´´

´ ´ ´´

 x

 x

d 

d 

 x

 x

 x

 x

d 

d 

 x

 x

 x

 x

 x

 x

d 

d 

 x

 x

 y

 y

 x

 x

d 

d 

 y

 y

d 

d 

 x

 x

 x

 x

 x  x  x  x

SOAL

SOAL

INTEGRAL LIPA

INTEGRAL LIPA

T 2 DOM

T 2 DOM

AIN BU

AIN BU

KAN P

KAN P

ERSEGIPANJANG

ERSEGIPANJANG

  

 



6

6

1

1

1

1

1

1

3

3

1

1

2

2

4

4

3

3

8

8

2

2

1

1

3

3

1

1

2

2

1

1

1

1

2

2

2

2

1

1

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

..

2

2

2 2 1 1 2 2 3 3 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 0 0 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0

!!

¼¼

½½

»»

¬¬

--««

¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨

_

_



¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨

_

_

!!

¼¼½½

»»

¬¬--««

_

_

!!

¼¼½½

»»

¬¬--««

_

_

!!

¼¼½½

»»

¬¬--««

_

!!

¼¼½½

»»

¬¬--««

!!

´´

´´

´´

´ ´ ´´

 

 x

 x

 x

 x

 x

 x

d 

d 

 x

 x

 x

 x

 x

 x

d 

d 

 x

 x

 x

 x

d 

d 

 x

 x

 y

 y

 y

 y

d 

d 

 y

 y

d 

d 

 x

 x

 x  x  x

I

I

N

N

_T

_T

EGRAL

EGRAL

L

L

_I

_I

A

A

_T

_T

OMA

OMA

_I

_I

N

N

 AN

 AN

ERSEG

ERSEG

_I

_I

AN

AN

_J

_J

 ANG

 ANG

 



 



? ? AA

3

3

3

3

? ?

3

3

  

1

1

AA

3

3

 

81

81

1

1



240

240

12

12

3

3

9

9

3

3

1

1

..

3

3

4

4

4

4

3

3

1

1

4

4

3

3

1

1

3

3

3

3

1

1

3

3

3

3

3

3

1

1

3

3

0

0

2

2

3

3

3

3

1

1

3

3

0

0

2

2

2

2

!!



!!





!!

!!

!!



!!

¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨

_

!!













´´

´´

´´

´ ´ ´´

 y

 y

dy

dy

 y

 y

dy

dy

 y

 y

 y

 y

dy

dy

 x

 x

 y

 y

 x

 x

dxdy

dxdy

 y

 y

 x

 x

 y

 y

 y

 y

INTEGRAL LIPA

INTEGRAL LIPA

T 2 DOM

T 2 DOM

AIN BU

AIN BU

KAN P

KAN P

ERSEGIPANJANG

ERSEGIPANJANG

 



? ?

AA

5

5

8

8

20

20

32

32

4

4

82

82

20

20

242

242

20

20

243

243

4

4

81

81

20

20

1

1

4

4

1

1

20

20

1

1

4

4

1

1

4

4

1

1

..

4

4

1 1 3 3 5 5 4 4 1 1 3 3 4 4 3 3 0 0 1 1 3 3 4 4 4 4 1 1 2 2 1 1 3 3 00 3 3 2 2

!!

!!



!!

¼¼

½½

»»

¬¬

--««

¹¹¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©©©

ªª

¨¨

¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨ 





¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨ 

!!

¼¼½½

»»

¬¬--««

_

!!

¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨

_

!!



!!



   

´´

´´

´ ´ ´´

 x

 x

 x

 x

dx

dx

 x

 x

 x

 x

dx

dx

 y

 y

 y

 y

 x

 x

dydx

dydx

 y

 y

 x

 x

 x  x  x  x

INTEGRAL LIPA

INTEGRAL LIPA

T 2 DOM

T 2 DOM

AIN BU

AIN BU

KAN P

KAN P

ERSEGIPANJANG

ERSEGIPANJANG

 



 

ee

ee



ee

d 

d 

 y

 y

ee

 y

 y

d 

d 

 y

 y

 y

 y

 y

 y

ee

d 

d 

 y

 y

ee

 x

 x

d 

d 

 x

 x

d 

d 

 y

 y

 x

 x

ee

 y  y  y  y  y  y  y  y  y  y  y  y  y  y  y  y  y  y



!!

¼¼½½

»»

¬¬--««

!!

¼¼½½

»»

¬¬--««

!!

¼¼½½

»»

¬¬--««

_

!!

¼¼½½

»»

¬¬--««

!!

´´

´´

´´

´ ´ ´´





27 27 3 3 1 1 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

3

3

4

4

2

2

1

1

2

2

1

1

..

5

5

3 3 3 3 3 3 3 3

INTEGRAL LIPA

INTEGRAL LIPA

T 2 DOM

T 2 DOM

AIN BU

AIN BU

KAN P

KAN P

ERSEGIPANJANG

ERSEGIPANJANG

 





 

 



5

5

ln

ln

4

4

3

3

ln

ln

4

4

3

3

4

4

3

3

0

0

ta

ta

_n

_n

1

1

ta

ta

_n

_n

3

3

ta

ta

_n

_n

3

3

3

3

..

6

6

5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 1 1 1 1 0 0 5 5 1 1 1 1 5 5 1 1 00 22 22

T 

T 

T 

T 

T 

T 

!!

¼¼½½

»»

¬¬--««

!!

¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨

!!

¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨

_

!!

¹¹¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©©©

ªª

¨¨

¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨

!!



´´

´´

´´

´ ´ ´´

  

 x

 x

d 

d 

 x

 x

 x

 x

d 

d 

 x

 x

 x

 x

d 

d 

 x

 x

 x

 x

 y

 y

 x

 x

d 

d 

 y

 y

d 

d 

 x

 x

 y

 y

 x

 x

 x  x  x  x

INTEGRAL LIPA

INTEGRAL LIPA

T 2 DOM

T 2 DOM

AIN BU

AIN BU

KAN P

KAN P

ERSEGIPANJANG

ERSEGIPANJANG

  

  

? ?

AA

  

  

  

T 

T 

T 

T 

T 

T 

T 

T 

T 

T 

T 

T 

T 

T 

T 

T 

T 

T 

2

2

2

2

4

4

si

si

si

si

1

1

si

si

1

1

cos

cos

2

2

cos

cos

cos

cos

..

7

7

1 1 2 2 // 1 1 2 2 1 1 2 2 // 1 1 2 2 1 1 2 2 // 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 // 1 1 2 2 ₂₂





!!

¹¹¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©©©

ªª

¨¨

¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨





!!

¼¼½½

»»

¬¬--««

!!

!!

!!

´´

´´

´ ´ ´´

 x

 x

dx

dx

 x

 x

 x

 x

dx

dx

 x

 x

 y

 y

dydx

dydx

 x

 x

 x  x  x  x

INTEGRAL LIPA

INTEGRAL LIPA

T 2 DOM

T 2 DOM

AIN BU

AIN BU

KAN P

KAN P

ERSEGIPANJANG

ERSEGIPANJANG

 



 



¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨ 

!!

¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨

_

!!

¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨

_

!!



!!



!!

¼¼½½

»»

¬¬--««

!!

´´

´´

´´

´ ´ ´´

4

4

2

2

1

1

2

2

1

1

4

4

2

2

sin

sin

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

sin

sin

2

2

1

1

2

2

1

1

1

1

2

2

cos

cos

2

2

1

1

2

2

cos

cos

2

2

2

2

1

1

2

2

1

1

..

8

8

4 4 // 0 0 4 4 // 0 0 4 4 // 0 0 2 2 cos cos 2 2 2 2 4 4 0 0 2 2 4 4 // 0 0 cos cos 2 2 2 2

T 

T 

T 

T 

T 

T 

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

T  T  T  T  T  T  U U T  T  T T UU

d 

d 

d 

d 

d 

d 

r 

r 

rdrd 

rdrd 

INTEGRAL LIPA

INTEGRAL LIPA

T 2 DOM

T 2 DOM

AIN BU

AIN BU

KAN P

KAN P

ERSEGIPANJANG

ERSEGIPANJANG

? ? AA

 



9 9 2 2

ln

ln

3

3

1 1

3

3

se

se

ln

ln

3

3

1 1 1 1

3

3

ta ta

_n

_n

4 4 ta ta

_n

_n

3

3

ta ta

_n

_n

ta ta

_n

_n

se

se

..

9 9 9 9 // 0 0 9 9 // 0 0 9 9 // 0 0 3 3 4 4 // 9 9 // 0 0 9 9 // 0 0 3 3 4 4 // 2 2

T 

T 

T 

T 

U

U

U

U

U

U

T  T  T  T  T  T  T  T  T  T  T  T  T  T 



!!

¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨

_

!!



!!

¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨

_

!!

!!

´´

´´

´´

´ ´ ´´

r 

r 

r 

r 

d 

d 

r 

r 

r 

r 

d 

d 

r 

r 

r 

r 

d 

d 

r 

r 

d 

d 

r 

r 

d 

d 

r  r  r  r 

INTEGRAL LIPA

INTEGRAL LIPA

T 2 DOM

T 2 DOM

AIN BU

AIN BU

KAN P

KAN P

ERSEGIPANJANG

ERSEGIPANJANG

 



 



 





 

1

1

  

1

1

2

2

sin

sin

ss

ss

ss

..

10

10

2 2 // 0 0 sin sin 2 2 // 0 0 sin sin sin sin 0 0 2 2 // 0 0 2 2 // 0 0 sin sin 0 0



!!





!!



!!



!!

!!

´´

´´

´ ´ ´´

ee

ee

 y

 y

ee

d 

d 

 y

 y

 y

 y

 y

 y

ee

d 

d 

 y

 y

 y

 y

ee

d 

d 

 x

 xd 

d 

 y

 y

 y  y  y  y  y  y  x  x  y  y T  T  T  T  T  T  T  T 

INTEGRAL LIPA

INTEGRAL LIPA

T 2 DOM

T 2 DOM

AIN BU

AIN BU

KAN P

KAN P

ERSEGIPANJANG

ERSEGIPANJANG

 



  

  

  

  

3

3

8

8

3

3

16

16

2

2

1

1

4

4

3

3

2

2

0

0

3

3

2

2

2

2

1

1

3

3

1

1

4

4

4

4

3

3

2

2

2

2

1

1

4

4

4

4

4

4

2

2

1

1

4

4

2

2

1

1

..

11

11

2 2 3 3 2 2 0 0 3 3 2 2 0 0 2 2 3 3 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 4 4 0 0 2 2 2 2 0 0 4 4 0 0 2 2 2 2

!!

¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨



!!

¼¼

½½

»»

¬¬

--««





!!

¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨

_



¼¼

½½

»»

¬¬

--««





!!







!!

¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨

_

_

_

!!

¼¼½½

»»

¬¬--«« 

!!



´´

´´

´´

´´

´ ´ ´´

 

 x

 x

 x

 x

 x

 x

dx

dx

 x

 x

dx

dx

 x

 x

 x

 x

dx

dx

 x

 x

 x

 x

 x

 x

dx

dx

 y

 y

 xy

 xy

dydx

dydx

 y

 y

 x

 x

 x  x  x  x

INTEGRAL LIPA

INTEGRAL LIPA

T 2 DOM

T 2 DOM

AIN BU

AIN BU

KAN P

KAN P

ERSEGIPANJANG

ERSEGIPANJANG

? ?

AA

? ?

AA

? ?

AA

 

 





8

8

1

1

6

6

//

cos

cos

2

2

//

cos

cos

cos

cos

cos

cos

sin

sin

3

3

cos

cos

3

3

cos

cos

6

6

..

12

12

3 3 3 3 2 2 // 6 6 // 3 3 2 2 // 6 6 // 2 2 sin sin 0 0 2 2 // 6 6 // 2 2 2 2 // 6 6 // sin sin 0 0

!!







!!



!!

!!

!!

´´

´´

´ ´ ´´

T  T  T  T  U U U U U U U U U U U U U U U U T  T  T  T  T  T  T  T  U U T  T  T  T  T  T  T  T  U U

d 

d 

d 

d 

r 

r 

drd 

drd 

r 

r 

INTEGRAL LIPA

INTEGRAL LIPA

T 2 DOM

T 2 DOM

AIN BU

AIN BU

KAN P

KAN P

ERSEGIPANJANG

ERSEGIPANJANG

 x  x  y  y dan dan  x  x  y  y oleh oleh dibatasi dibatasi  yang   yang  daerah daerah adalah adalah S  S  S  S  x x  y yd d  ! ! ! ! ´´ ´´  22 2 2 2 2 .. 1 1 2 2 2 2 .. 16

16 S S  adalahadalah daerahdaerah  yang  yang  dibatasidibatasi oleholeh  y y  x x dandan  y y  x x xx S  S  d  d   xy  xy  x  x

!!

!!



´´´´

 )) 2 2 ,, 0 0 (( )) 2 2 ,, 2 2 (( )) 0 0 ,, 0 0 (( ;; 1 1 1 1 .. 1 177 2

2 dAdA S S  adalahadalah  s see gitiga gitiga dg dg  titik titik   sudut  sudut  dandan

 x  x S  S 

´´´´

_

3 3

;;

..

18

18

 xdA

 xdA

S 

S 

ada

ada

l l 

ah

ah

daerah

daerah

 yang 

 yang 

d 

d 

ii

ba

ba

t t 

as

as

ii

o

o

l l 

eh

eh

 y

 y

 x

 x

dan

dan

 y

 y

xx

S  S 

!!

!!

´´´´

1 1 13

13

_´´

_´´

_S 

_S 

_adalah

_adalah

_da

_d

_{a a}

_ah

_h

 _yang 

 _yang 

_dibatasi

_dibatasi

_ol

_{ol h}

_h

 _y

 _y

!

!

 _x

 _x

22

_dan

_dan

_yy

!

!

S 

S 

 xydA;

 xydA;

..

))

4

4

,,

1

1

((

))

4

4

,,

0

0

((

))

0

0

,,

0

0

((

;;

))

((

..

14

14

S 

S 

adalah

adalah

  s gitiga

  s gitiga

dg 

dg 

titik 

titik 

 sudut 

 sudut 

dan

dan

S 

S 

dA

dA

 y

 y

 x

 x

´´

´´





¡  ¡   ¢ ¢  £ £  ¤ ¤  ¥  ¥  

INTEGRAL LIPA

INTEGRAL LIPA

T 2 DOM

T 2 DOM

AIN BU

AIN BUKAN P

KAN PERSEGIPANJANG

ERSEGIPANJANG

Sketsalah benda pejal yang

Sketsalah benda pejal yang ditunjukkan dan hitung volumenya

ditunjukkan dan hitung volumenya

dengan integral lipat dua

dengan integral lipat dua

19

19.. _{Caturtira yang diCaturtira yang di}bb_{atasi olehatasi oleh} bb_idang-idang-bb_{idang koordinat danidang koordinat dan} bb_{idang z=6-2x-3yidang z=6-2x-3y}

20

20.. _{Caturtira yang diCaturtira yang di}bb_{atasi olehatasi oleh} bb_idang-idang-bb_{idang koordinat danidang koordinat dan} bb_{idang 3x+4y+z-12=0idang 3x+4y+z-12=0}

21

21.. _{Baji yang diBaji yang di}bb_{atasi olehatasi oleh}bb_idang-idang-bb_{idang koordinat danidang koordinat dan} bb_idang-idang-bb_{idang x=idang x=}55 _dandan

y+2z-4=0 y+2z-4=0 22

22.. _{Benda pejal di oktan pertama yang diBenda pejal di oktan pertama yang di}bb_{atasi olehatasi oleh}bb_idang-idang-bb_{idang koordinat danidang koordinat dan} b

b_idang-idang-bb_{idang 2x+y-4=0 dan 8x+y-4z=0idang 2x+y-4=0 dan 8x+y-4z=0}

23

23.. _{Benda pejal di oktan pertama yang diBenda pejal di oktan pertama yang di}bb_{atasi oleh permukaan 9xatasi oleh permukaan 9x}22_+4y+4y22_{=36 dan=36 dan}

b

b_{idang 9x+4y-6z=0idang 9x+4y-6z=0}

24

24.. _{Benda pejal di oktan pertama yang diBenda pejal di oktan pertama yang di}bb_{atasi oleh permukaan z=9-xatasi oleh permukaan z=9-x}22_-y-y22 _dandan

b

b_idang-idang-bb_{idang koordinatidang koordinat}

2

25.5. _{Benda pejal di oktan pertama yang diBenda pejal di oktan pertama yang di}bb_{atasi oleh taatasi oleh ta}bb_{ung y=xung y=x}22 _{dandan bbidang-idang-bbidangidang}

x=0, z=0 dan y+z=1 x=0, z=0 dan y+z=1

INTEGRAL LIPA

INTEGRAL LIPA

T 2 DOM

T 2 DOM

AIN BU

AIN BU

KAN P

KAN P

ERSEGIPANJANG

ERSEGIPANJANG

26

26.. _{Benda pejal yang diBenda pejal yang di}bb_{atasi oleh taatasi oleh ta}bb_{ung paraung para}bb_{olaola x  x} 2 2 _{=4y =4y dandanbbidang-idang-bbidangidang}

z=0 

z=0 dandan5y+9z-45=0 5y+9z-45=0 

27

27.. _{Benda pejal di oktan pertama yang diBenda pejal di oktan pertama yang di}bb_{atasi oleh taatasi oleh ta}bb_{ungungz=tanz=tan x  x} 2 2 _dandan

b

b_idang-idang-bb_{idangidang x  x =y =y ,, x  x =1=1 dandan y=0 y=0} 

28

28.. _{Benda pejal di oktan pertama yang diBenda pejal di oktan pertama yang di}bb_{atasi oleh permukaanatasi oleh permukaan z=ez=e} x  x -y -y _,,

b

b_{idangidang x  x +y=1+y=1 dandan}bb_idang-idang-bb_{idang koordinatidang koordinat}

29

29.. _{Benda pejal di oktan pertama yang diBenda pejal di oktan pertama yang di}bb_{atasi oleh permukaanatasi oleh permukaan}

9z=36-9

9z=36-9 x  x 2 2 _-4y -4y 2 2 _{dandanbbidang-idang-bbidang koordinatidang koordinat}

30

30.. _{Benda pejal di oktan pertama yang diBenda pejal di oktan pertama yang di}bb_{atasi oleh taatasi oleh ta}bb_ungungbb_{ulatulat x  x} 2 2 _+z +z 2 2 _=16 =16 

dan

19

19

..

_z=6-2x-3y

_z=6-2x-3y

20

20

..

3x+4y+z-12=0

3x+4y+z-12=0

INTEGRAL LIPA

INTEGRA

INTEGRA

L LIP

L LIP

A

A

T 2 DOMAI

T 2 DOMAI

N BUKAN

N BUKAN

PERSEGIPANJANG

PERSEGIPANJANG

21

21

..

_{Baji yang di}

_{Baji yang di}

bb

_{atasi oleh}

_{atasi oleh}

bb

_idang-

_idang-

bb

_{idang koordinat dan}

_{idang koordinat dan}

bb

_idang-

_idang-

bb

_{idang x=}

_{idang x=}

55

dan y+2z-4=0

dan y+2z-4=0

INTEGRAL LIPA

INTEGRAL LIPA

T 2 DOMA

T 2 DOMA

IN BU

IN BU

KAN P

KAN P

ERSEGIPANJANG

ERSEGIPANJANG

22

22.. _{B B l l i i kkt t rrt t iibb tt ssi i l l bbii --bbi i kk rr ii tt}

b

INTEGRAL LIPA

INTEGRAL LIPA

T 2 DOMA

T 2 DOMA

IN BU

IN BU

KAN P

KAN P

ERSEGIPANJANG

ERSEGIPANJANG

2

2 .. _{B B l l i i kkt t rrt t iibb tt ssi i l l rr kk} 22 22 _bibi

INTEGRAL LIPA

INTEGRAL LIPA

T 2 DOMA

T 2 DOMA

IN BU

IN BU

KAN P

KAN P

ERSEGIPANJANG

ERSEGIPANJANG

24

24.. _{Benda pejal di oktan pertama yang diBenda pejal di oktan pertama yang di}bb_{atasi oleh permukaan z=9-xatasi oleh permukaan z=9-x}22_-y-y22 _dandan

b

INTEG

INTEG

R

R

_{AL L}

_{AL L}

IP

IP

_A

_A

T

T

_{2 KOO}

_{2 KOO}

R

R

_D

_D

IN

IN

_A

_A

T

T

P

P

_OLA

_OLA

R

R

R 

R 

r=b

r=b

r=a

r=a

U

U

=

=

 F

 F

U

U

=

=

E

E

0 

0 

sumbu kutub

sumbu kutub

RUMUS

RUMUS

´´´´

!!

 R  R

dA

dA

 y

 y

 x

 x

 f  

 f  

V 

V 

((

,,

))

´´´´

´´´´

!!

!!

 R  R  R  R

r 

r 

d 

d 

r 

r 

d 

d 

r 

r 

r 

r 

 f  

 f  

dA

dA

 y

 y

 x

 x

 f  

 f  

V 

V 

((

,,

))

((

ss

U

U

,,

sin

sin

U

U

))

U

U

R R _{l l rrss i i kk tt b b ::} R= R=_{{ { ( ( r r ,,}

_U

_U

 _):a

 _):a

_{r }

_{r }

_,,

_E

_E

_

_

_U

_U

_

_

 _F

 _F

 _}

 _}

Z 

Z 

=f =f 

_(x,

_(x,

_y 

_y 

 ₎

 ₎

=f =f 

₍ 

₍ 

_rcos

_rcos

_U

_U

_,,

_rsin

_rsin

_U

_U

 ₎

 ₎

=F =F 

₍ 

₍ 

_r 

_r 

_,,

_U

_U

 ₎

 ₎

Sehingga :

Sehingga :

INTEG

INTEG

R

R

_{AL L}

_{AL L}

IP

IP

_A

_A

T

T

_{2 KOO}

_{2 KOO}

R

R

_D

_D

IN

IN

_A

_A

T

T

P

P

_OLA

_OLA

R

R

C C

_O

_O

NTNT

_{OH OAL:}

_{OH OAL:}

 



12

12

1

1

12

12

1

1

0

0

12

12

cos

cos

cos

cos

3

3

cos

cos

sin

sin

3

3

cos

cos

sin

sin

3

3

sin

sin

..

1

1

2 2 // 0 0 4 4 2 2 // 0 0 3 3 2 2 // 0 0 3 3 cos cos 0 0 2 2 // 0 0 3 3 2 2 // 0 0 cos cos 0 0 2 2

!!

¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨ 



!!

¼¼

½½

»»

¬¬

--««



!!

¼¼

½½

»»

¬¬

--««



!!

¼¼

½½

»»

¬¬

--««

!!

¼¼

½½

»»

¬¬

--««

!!

´´

´´

´´

´ ´ ´´

T  T  T  T  T  T  U U T  T  T T UU

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

d 

d 

d 

d 

d 

d 

r 

r 

drd 

drd 

r 

r 

INTEG

INTEGRR

_{AL L}

_{AL L}

IPIP

_A

_A

TT

_{2 KOO}

_{2 KOO}

RR

_D

_D

ININ

_A

_A

TT PP

_OLA

_OLA

RR

8

8

4

4

0

0

2

2

//

4

4

2

2

sin

sin

2

2

1

1

4

4

2

2

os

os

1

1

2

2

sin

sin

2

2

..

2

2

2 2 // 0 0 2 2 // 0 0 2 2 // 0 0 2 2 sin sin 0 0 2 2 // 0 0 2 2 2 2 // 0 0 sin sin 0 0

T 

T 

T 

T 

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

T  T  T  T  T  T  U U T  T  T T UU

!!

¹¹

 º

 º

 ¸

 ¸

©©

ªª

¨¨



!!

¼¼

¼¼

¼¼

½½

»»

¬¬

¬¬

¬¬

--««

_

!!

¼¼½½

»»

¬¬--««



!!

¼¼

½½

»»

¬¬

--««

!!

¼¼

½½

»»

¬¬

--««

!!

´´

´´

´´

´ ´ ´´

d 

d 

d 

d 

d 

d 

r 

r 

rdrd 

rdrd 

INTEG

INTEGRR

_{AL L}

_{AL L}

IPIP

_A

_A

TT

_{2 KOO}

_{2 KOO}

RR

_D

_D

ININ

_A

_A

TT PP

_OLA

_OLA

RR

  

? ?

AA



 

 

 

  

? ?

AA

3

3

4

4

1

1

0

0

2

2

1

1

0

0

2

2

3

3

1

1

co

co

_ss

))

sin

sin

2

2

((

3

3

1

1

3

3

sin

sin

3

3

..

3

3

0 0 2 2 0 0 3 3 sin sin 0 0 0 0 3 3 0 0 sin sin 0 0 2 2

!!











!!





!!

¼¼

½½

»»

¬¬

--««

!!

¼¼

½½

»»

¬¬

--««

!!

´´

´´

´ ´ ´´

T  T  T  T  U U T  T  T T UU

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

d 

d 

d 

d 

r 

r 

d 

d 

r 

r 

d 

d 

r 

r