Operator integral fraksional dan ketaksamaan olsen di ruang tak homogen.

(1)

ABSTRAK

OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL

DAN KETAKSAMAAN OLSEN

DI RUANG TAK HOMOGEN

Oleh

Herry Pribawanto Suryawan

NIM: 20106006

Di dalam tesis ini akan dibuktikan keterbatasan operator integral fraksional di ruang Lebesgue tak homogen dan di ruang Morrey tak homogen yang diperu-mum. Ukuran di ruang tak homogen tidak memenuhi kondisi doubling seperti halnya di ruang homogen, tetapi merupakan ukuran growth. Selanjutnya juga akan dibahas ketaksamaan Olsen di kedua ruang tersebut.

(2)

FRACTIONAL INTEGRAL OPERATORS

AND OLSEN’S INEQUALITIES

ON NON-HOMOGENEOUS SPACES

By

Herry Pribawanto Suryawan

NIM: 20106006

In this thesis we discuss the boundedness of fractional integral operators on non-homogeneous Lebesgue spaces as well as on generalized non-non-homogeneous Morrey spaces. Non-homogeneous spaces are spaces that are endowed with a growth measure. We will also prove Olsen’s inequalities on both spaces.

(3)

OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL

TESIS

Karya tulis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister dari

Institut Teknologi Bandung

Oleh

HERRY PRIBAWANTO SURYAWAN NIM : 20106006

Program Studi Matematika

(4)

ABSTRAK

OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL

Oleh

Herry Pribawanto Suryawan NIM : 20106006

Di dalam tesis ini akan dibuktikan keterbatasan operator integral fraksional di ruang Lebesgue tak homogen dan di ruang Morrey tak homogen yang diperu-mum. Ukuran di ruang tak homogen tidak memenuhi kondisidoubling seperti halnya di ruang homogen, tetapi merupakan ukuran growth. Selanjutnya juga akan dibahas ketaksamaan Olsen di kedua ruang tersebut.

(5)

ABSTRACT

FRACTIONAL INTEGRAL OPERATORS

AND OLSEN’S INEQUALITIES

ON NON-HOMOGENEOUS SPACES

By

In this thesis we discuss the boundedness of fractional integral operators on non-homogeneous Lebesgue spaces as well as on generalized non-homogeneous Morrey spaces. Non-homogeneous spaces are spaces that are endowed with a growth measure. We will also prove Olsen’s inequalities on both spaces.

(6)

OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL

Oleh

Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung

Bandung, Februari 2008 Telah diperiksa dan disetujui oleh

Pembimbing

(7)

PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS

Tesis Magister yang tidak dipublikasikan terdaftar dan tersedia di perpus-takaan Institut Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan keten-tuan bahwa hak cipta ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HaKI yang berlaku di Institut Teknologi Bandung. Referensi kepustakaan diperke-nankan dicatat, tetapi pengutipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus disertai dengan kebiasaan ilmiah untuk menye-butkan sumbernya.

(8)

T_{uhan adalah gembalaku, takkan kekurangan aku. Ia membaringkan aku di}

padang yang berumput hijau, Ia membimbing aku ke air yang tenang; Ia menyegarkan jiwaku. Ia menuntun aku di jalan yang benar oleh karena namaNya. Sekalipun aku berjalan dalam lembah kekelaman aku tidak takut

bahaya, sebab Engkau besertaku; gadaMu dan tongkatMu, itulah yang menghibur aku. Engkau menyediakan hidangan bagiku, di hadapan lawanku;

Engkau mengurapi kepalaku dengan minyak; pialaku penuh melimpah. Kebajikan dan kemurahan belaka akan mengikuti aku, seumur hidupku;

dan aku akan diam dalam rumah TUHAN sepanjang masa. (MAZMUR 23: 1-6)

Untuk Mama dan seluruh keluargaku

(9)

Kata Pengantar

Segala puji syukur, hormat, dan kemuliaan untuk Tuhan Yesus Kristus, atas kasih dan tuntunan-Nya, penulis dapat menyelesaikan tesis ini. Banyak hal terjadi selama penulis menempuh studi dan menulis tesis ini, namun penulis menyadari semua itu merupakan bagian dari rencana Tuhan yang indah untuk hidup penulis.

Tesis ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister dari Institut Teknologi Bandung. Penulis menyadari bahwa tesis ini tidak akan terwujud tanpa adanya dukungan moral, material, dan doa dari berbagai pihak. Untuk itu dengan segala kerendahan hati, penulis menyam-paikan terima kasih kepada:

(1) Prof. Dr. Hendra Gunawan, yang telah berkenan dengan sabar mem-bimbing penulis, memberikan ilmu, ide, saran, teguran, dan perhatian yang sangat berharga bagi penulis.

(2) Dr. Wono Setya Budhi dan Dr. Yudi Soeharyadi, yang telah berke-nan menjadi penguji pada ujian tesis ini dan memberikan masukan yang sangat berarti.

(10)

(4) Bapak dan Ibu Dosen di Program Studi Matematika ITB, yang telah membagikan ilmu dan pengalamannya yang sangat berharga. Khususnya penulis mengucapkan terimakasih kepada Prof. Dr. Hendra Gunawan, Dr. Wono Setya Budhi, Dr. Jalina Widjaya, Dr. Irawati, Dr. M. Intan Detiena, Dra. Muliana H. Arinardi, M.Si, Prof. Dr. Edy Soewono, Dr. Oki Neswan, dan Dr. Achmad Muchlis.

(5) Yayasan Sanata Dharma dan Universitas Sanata Dharma, yang telah memberikan beasiswa dan kemudahan, sehingga penulis dapat menem-puh pendidikan di ITB dengan baik dan lancar.

(6) Rekan-rekan di ITB dan di USD, atas dukungan dan perhatiannya ke-pada penulis. Secara khusus penulis ingin berterimakasih keke-pada Ibu Dra. Idha Sihwaningrum, M.Sc, rekan satu bimbingan, yang telah banyak membantu penulis dalam penyelesaian tesis ini melalui diskusi, ide, saran, dan perhatiannya.

(7) Mama Yuniati, kakak-kakakku, dan seluruh keluargaku atas doa, perha-tian, dan kasih sayangnya kepada penulis.

(8) Sahabatku dalam suka dan duka, Anton Wardaya, yang tidak pernah bosan membagikan kasih Allah, dukungan, doa, dan bantuan kepada penulis.

(9) Semua pihak yang telah membantu sehingga penulisan tesis ini tersele-saikan dengan baik, yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.

Semoga tesis ini bermanfaat bagi para pembaca.

Bandung, Januari 2008

(11)

Daftar Isi

Abstrak ii

Abstract iii

Halaman Pengesahan iv

Pedoman Penggunaan Tesis v

Halaman Persembahan vi

Kata Pengantar vii

Daftar Isi ix

1 Pendahuluan 1

1.1 Latar Belakang Masalah . . . 1 1.2 Tujuan Penulisan . . . 5 1.3 Sistematika Penulisan . . . 5

2 Keterbatasan Operator Integral Fraksional di Ruang Tak

Ho-mogen 7

2.1 Keterbatasan Operator Mn _{di Ruang} _Lp₍_µ_{) . . . .} ₇

(12)

2.3 Keterbatasan OperatorIn

α di Ruang Morrey Tak Homogen yang

Diperumum . . . 19

3 Ketaksamaan Olsen di Ruang Tak Homogen 27

3.1 Ketaksamaan Olsen di Ruang Lp₍_µ_{) . . . 27}

3.2 Ketaksamaan Olsen di Ruang Mp,φ₍_µ_{) . . . 28}

4 Kesimpulan 32

(13)

Bab 1

Pendahuluan

1.1

Latar Belakang Masalah

Salah satu objek kajian dalam Analisis Fourier adalah operator integral. Di dalam tesis ini akan dipelajari salah satu operator integral yang dikenal sebagai operator integral fraksional atau sering juga disebut potensial Riesz. Operator ini pertama kali dipelajari oleh Hardy, Littlewood, dan Sobolev pada sekitar tahun 1930. Operator ini dapat diperoleh melalui transformasi Fourier dari operator Laplace (lihat Stein [13] hal. 117 atau Lieb and Loss [9] hal. 123).

Untuk fungsifyang terdeﬁnisi padaRddanα∈Rdengan 0< α < d, operator integal fraksional (orde α)Iα dideﬁnisikan sebagai

Iαf(x) :=

1

γ(α)

Z

Rd

f(y) |x−y|d−α dy

dengan

γ(α) = Γ(

d−α

2 )

2α_πd2Γ(α

2)

.

NotasiLp_{menyatakan ruang Lebesgue, yaitu ruang kelas-kelas ekuivalen fungsi}

terukur f sehingga kfkLp <∞ dengan

kfkLp =

µZ

Rd

|f(y)|p dy ¶1

p

(14)

dan

kfkL∞ =esssup ©

|f(x)|:x∈Rdª.

Hardy, Littlewood, dan Sobolev telah membuktikan bahwa operatorIαterbatas

dari Lp _ke _Lq_{, yakni}

kIαfkLq ≤Ckfk_Lp (1.1)

untuk 1

q =

1

p − α

d dan 1 < p < d

α. Ketaksamaan (1.1) ini dikenal sebagai

ketaksamaan Hardy-Littlewood-Sobolev (lihat Stein [14]). Dari ketaksamaan ini dapat dikatakan bahwa operator Iα memetakan fungsi f menjadi fungsi

lain, yaitu Iαf, yang secara lokal bersifat lebih baik dalam hal keterintegralan.

Selanjutnya pada tahun 1987 F. Chiarenza dan M. Frasca memperlihatkan keterbatasan operator Iα di ruang Morrey, yang merupakan perumuman dari

ruang Lebesgue. ApabilaLp_locmenyatakan ruang Lebesgue lokal —ruang kelas-kelas ekuivalen fungsi terukur f sehingga untuk setiap subhimpunan kompak

K dari Rd _berlaku

Z

K

|f(x)|p dx <∞,

maka ruang Morrey Lp,λ _{dideﬁnisikan sebagai ruang semua fungsi} _f _∈ _Lp loc

sehingga

kfkLp,λ := sup

B(x,r)

µ

1

rλ

Z

B(x,r)

|f(y)|p _dy

¶1

p

<∞ (1.2)

danB(x, r) adalah bola dengan pusatx∈Rd_{dan berjari-jari}_r_{, dan 0}_≤_λ _≤_d_.

Khususnya untuk λ = 0 diperoleh Lp,λ ₌_Lp_{. Perhatikan dari (1.2) diperoleh}

bahwa terdapat C > 0 sehingga untuk 0≤λ≤d berlaku 1

rλ

Z

B(x,r)

|f(y)|p _dy_≤_C

atau

Z

B(x,r)

(15)

Hasil Chiarenza dan Frasca adalah ketaksamaan berikut

kIαfkLq,λ ≤Ckfk_Lp,λ

untuk 1< p < _αd, 0< λ < d−αp, dan _q1 = 1_p−_d₋α_λ. Dalam pembuktian keter-batasanIαdariLp,λkeLq,λ, Chiarenza dan Frasca memanfaatkan keterbatasan

operator maksimal Hardy-Littlewood (klasik)

M f(x) = sup

r>0

1

rd

Z

B(x,r)

|f(y)| dy

di Lp,λ _{(lihat Chiarenza and Frasca [1]).}

Dalam penelitian sepuluh tahun terakhir telah diperlihatkan bahwa kondisi doubling di dalam analisis Fourier bukanlah hal yang esensial tapi dapat diganti dengan kondisi growth. Hal inilah yang memotivasi munculnya pengertian ruang tak homogen (lihat Garcia-Cuerva and Martell [5], Garcia-Cuerva and Gatto [4], dan Nazarov, et al. [10]). Ruang tak homogen adalah ruang Rd

yang dilengkapi dengan ukuran Borel tak negatif µ yang memenuhi kondisi growth. Ini berbeda dengan ruang homogen yang dilengkapi dengan ukuran yang memenuhi kondisi doubling. Diberikan kubus dengan panjang sisil,Q(l) di Rd, maka ukuran µpada Rd dikatakan memenuhi kondisi doubling apabila untuk terdapat C > 0 sehingga

µ(Q(2l))≤C µ(Q(l)).

Sementara itu ukuran µdikatakan memenuhi kondisi growth (orde n) apabila terdapat C > 0 sehingga

µ(Q(l))≤C ln

untuk suatu n∈R dengan 0< n≤d.

(16)

diperumum. Ruang Lebesgue tak homogen Lp₍_µ_{), 1} _≤ _p_{≤ ∞, adalah ruang}

kelas-kelas ekuivalen fungsi terukur-µ f sehingga kfkLp₍_µ₎ <∞, dengan

kfkLp₍_µ₎ =

µZ

Rd

|f(y)|p _dµ₍_y₎

¶1

p

,

dan

kfkL∞₍_µ₎ =esssup ©

|f(x)|:x∈Rdª.

Di sini esssup©|f(x)|:x∈Rdª menyatakan batas atas terkecil esensial dari |f|. Ruang Lebesgue tak homogen lokal, Lp_loc(µ), adalah ruang kelas-kelas ekuivalen f sehingga untuk setiap subhimpunan kompak K diRd berlaku

Z

K

|f(y)|p _dµ₍_y₎_<_∞

dan ruang Morrey tak homogen yang diperumumMp,φ₍_µ_{) dideﬁnisikan sebagai}

ruang dari semua fungsi f ∈Lp_loc(µ) sehingga

kfkMp,φ₍_µ₎:= sup

r>0

1

φ(r)

µ

1

rn

Z

Q(x,r)

¶1

p

<∞

dan untuk p=∞

kfkM∞,φ₍_µ₎ := sup

Q(x,r)

1

φ(Q) kfkL∞(Q)

denganφadalah suatu fungsi yang memenuhi beberapa kondisi tertentu. Khu-susnya untuk φ(t) =t−np maka didapat Mp,φ(µ) =Lp(µ) dan untuk φ(t) =c, suatu fungsi konstan positif maka didapat M∞,φ₍_µ_{) =}_L∞₍_µ_).

Selanjutnya operator integral fraksional (orde α) dalam konteks ruang tak homogen Lp(µ) dengan µukuran growth orde n, dideﬁnisikan sebagai

I_αnf(x) :=

Z

Rd

f(y)

|x−y|n−α dµ(y)

(17)

In

α di ruang tak homogen, khususnya Lp(µ) dan Mp,φ(µ), dan untuk hal itu

akan dibahas juga operator maksimal Hardy-LittlewoodMn_{yang dideﬁnisikan}

sebagai

Mnf(x) := sup

r>0

1

rn

Z

Q(x,r)

|f(y)|dµ(y).

Khususnya akan dibuktikan bahwaMnterbatas diLp(µ), yakni terdapatC > 0 sehingga

kMnfkLp₍_µ₎ ≤Ckfk_Lp₍_µ₎, untuk p >1.

Catat bahwa untukn =ddiperolehMn₌_M _{yaitu operator maksimal}

Hardy-Littlewood klasik.

1.2

Tujuan Penulisan

Di dalam tesis ini akan dibuktikan keterbatasan operatorIαndi ruang Lebesgue

tak homogen dan ruang Morrey tak homogen yang diperumum. Selanjutnya untuk suatu fungsi W yang terdeﬁnisi padaRdakan ditunjukkan keterbatasan operatorW Iαdi ruangLp(µ) danMp,φ(µ). Hasil penulisan tesis ini diharapkan

dapat memberikan kontribusi pengetahuan mengenai keterbatasan operatorIαn

serta ketaksamaan Olsen di ruang tak homogen, khususnyaLp₍_µ_{) dan}_Mp,φ₍_µ_).

1.3

Sistematika Penulisan

Sistematika dari tesis ini adalah sebagai berikut.

Bab 1 merupakan bab pendahuluan yang berisi latar belakang masalah, tin-jauan pustaka, tujuan penulisan, dan sistematika penulisan.

Pada bab 2 dibuktikan keterbatasan operator Iαn di ruang Lebesgue tak

(18)

memberikan bukti keterbatasan operator maksimal Hardy-Littlewood Mn _di

ruang Lp₍_µ_{). Subbab kedua membahas keterbatasan operator} _In

α di ruang

Lebesgue tak homogen dengan memanfaatkan keterbatasan operator Mn _di

ruang tersebut. Sementara pada subbab ketiga akan dibuktikan keterbatasan operator In

α di ruang Morrey tak homogen yang diperumum.

Bab 3 menyajikan hasil yaitu ketaksamaan Olsen di ruangLp(µ) danMp,φ₍_µ_).

Pada subbab pertama diberikan ketaksamaan Olsen di ruangLp₍_µ_).

Selanjut-nya pada subbab kedua dibuktikan ketaksamaan Olsen di ruang Mp,φ₍_µ_).

(19)

Bab 2

Keterbatasan Operator Integral

Fraksional di Ruang Tak

Homogen

2.1

Keterbatasan Operator

M

n

di Ruang

L

p

(

µ

)

Pada bagian ini akan dibahas operator maksimal Mn_{, khususnya akan}

diper-lihatkan bahwa Mn _{bersifat terbatas di ruang} _Lp₍_µ_{). Hasil ini cukup penting}

karena akan dipergunakan dalam pembuktian keterbatasan operator In α dari

Lp₍_µ_{) ke} _Lq₍_µ_{) untuk suatu} _{q > p}_.

(20)

dou-bling bukanlah hal yang esensial yaitu banyak hasil dalam Analisis Fourier yang tetap berlaku ketika kondisidoubling diganti dengan kondisigrowth. Mi-salnya pada F. Nazarov, et al. [10] mengenalkan ruang tak homogen sebagai ruang metrik—termasukRd_{—yang dilengkapi dengan ukuran Borel tak negatif}

yang memenuhi kondisi growth.

Diberikan kubusQ⊂Rd dengan sisi-sisi sejajar dengan sumbu-sumbu koordi-nat. Ukuran Borel tak negatif µpada _Rd _{dikatakan memenuhi kondisi} _growth

(orde n) apabila terdapat konstanta C >0 sehingga

µ(Q)≤C ln

dengan l = l(Q) menyatakan panjang sisi kubus Q dan n bilangan real ter-tentu dengan 0< n≤d. Karena ukuran suatu kubus didominasi oleh panjang sisinya dipangkatkan n, maka ukuran growth (orde n) sering juga disebut se-bagai ukuran berdimensi-n. Untuk suatu k > 0, kQ menyatakan kubus yang sepusat (konsentris) dengan kubusQtetapi panjang sisinya adalah kkali pan-jang sisi kubus Q, yaitu l(kQ) = k l(Q). Lebih lanjut, Q(x, r) menyatakan kubus yang berpusat di x dan berjari-jari r. Dalam hal ini yang dimaksud dengan jari-jari kubus adalah setengah panjang sisinya. Untuk selanjutnya di dalam seluruh tesis ini,C merupakan konstanta positif yang tidak perlu sama dari satu baris ke baris yang lainnya.

Diberikan f sebarang fungsi terukur-µ, dengan µ ukuran Borel tak negatif pada Rd yang memenuhi kondisi growth orde n dan 1 ≤ p < ∞. Ingat kembali ruang Lebesgue tak homogen Lp₍_µ_{), 1}_≤_p_{≤ ∞, adalah ruang}

kelas-kelas ekuivalen f sehingga kfkLp₍_µ₎ <∞, dengan

kfkLp₍_µ₎ =

µZ

Rd

¶1

p

,

dan

kfkL∞₍_µ₎ =esssup ©

(21)

Di sini esssup©|f(x)|:x∈Rdª menyatakan batas atas terkecil esensial dari |f|, yakni

esssup©|f(x)|:x∈_Rdª _{= inf{}_{M >}_{0 :}_|_f₍_x_{)| ≤}_{M a.e.}₋_µ_pada

Rd}.

Dua buah fungsi f dan g di Lp₍_µ_{) dikatakan ekuivalen jika} _f ₌ _g _{hampir di}

mana-mana.

Selanjutnya, ingat fungsi maksimal Hardy-Littlewood

Mnf(x) = sup

r>0

1

rn

Z

Q(x,r)

|f(y)| dµ(y).

Dalam hal ini Mn _{disebut sebagai} _{operator maksimal}_{. Terdapat pendeﬁnisian}

lain untuk fungsi maksimal yang dikenal sebagaifungsi maksimal tak terpusat yaitu

Mucf(x) = sup Q∋x

1

ln

Z

Q

|f(y)| dµ(y).

Akan diperlihatkan bahwa fungsi maksimal setara titik demi titik (pointwise equivalent) dengan fungsi maksimal tak terpusat. Untuk setiap x∈Rd,

1

rn

Z

Q(x,r)

|f(y)|dµ(y) = 1 (1₂l)n

Z

Q(x,r)

|f(y)|dµ(y)

= 2

n

ln

Z

Q(x,r)

|f(y)|dµ(y)

≤2n_sup Q∋x

1

ln

Z

Q

|f(y)|dµ(y).

Jadi diperoleh sup r>0 1 rn Z

Q(x,r)

|f(y)| dµ(y)≤2nsup

Q∋x

1

ln

Z

Q

|f(y)|dµ(y).

Dengan kata lain

Mnf(x)≤2n_M

ucf(x). (2.1)

Di lain pihak,

1

ln

Z

Q

|f(y)|dµ(y)≤ 1

rn

Z

Q(x,r)

(22)

≤sup

r>0

1

rn

Z

Q(x,r)

|f(y)|dµ(y).

Hubungan ini berlaku untuk setiap kubus Q dengan panjang sisi l, sehingga diperoleh

sup

Q∋x

1

ln

Z

Q

|f(y)|dµ(y)≤sup

r>0

1

rn

Z

Q(x,r)

|f(y)|dµ(y).

Dengan kata lain,

Mucf(x)≤Mnf(x). (2.2)

Dengan demikian dari (2.1) dan (2.2) diperoleh

Mucf(x)≤Mnf(x)≤2nMucf(x),

untuk setiap x∈Rd_.

Untuk membuktikan keterbatasan operatorMn _di_Lp₍_µ_{) terlebih dahulu}

dibe-rikan pengertian operator tipe lemah dan tipe kuat serta teorema interpolasi Marcinkiewicz. Diketahui (X, µ) dan (Y, ν) ruang ukuran danT operator dari

Lp(X, µ) ke ruang fungsi terukur dariY. OperatorT merupakan operator tipe lemah (p, q), q <∞ jika untuk setiapλ >0 berlaku

ν{y∈Y :|T f(y)|> λ} ≤

µ

CkfkLp₍_X,µ₎

λ

¶q

.

dan T merupakan operator tipe lemah (p,∞) jika T merupakan operator ter-batas dari Lp₍_{X, µ}_{) ke} _L∞₍_{Y, ν}_{). Operator} _T _merupakan _{operator tipe kuat} (p, q) jika T terbatas dariLp(X, µ) keLq(Y, ν), yakni terdapatC >0 sehingga

kT fkLq₍_Y,ν₎ ≤Ckfk_Lp₍_X,µ₎.

Catat bahwa jika T adalah operator tipe kuat (p, q), makaT tipe lemah (p, q). Misalkan T suatu operator tipe kuat (p, q). Tulis Eλ ={y∈Y :|T f(y)|> λ}

maka

ν(Eλ) =

Z Eλ dν ≤ Z Eλ ¯ ¯ ¯ ¯

T f(x)

λ ¯ ¯ ¯ ¯ q

dν ≤ kT fk

q Lq₍_Y,ν₎

λq ≤

µ

CkfkLp₍_X,µ₎

λ

¶q

(23)

Jadi T operator tipe lemah (p, q).

Dideﬁnisikan Lp1(_{X, µ}) + _Lp2(_{X, µ}) sebagai ruang semua fungsi _f sehingga f =f1+f2denganf1 ∈Lp1(X, µ) danf2 ∈Lp2(X, µ). Misalkanp1 < p2, maka

berlaku Lp(X, µ)⊂Lp1(_{X, µ}) +_Lp2(_{X, µ}) untuk setiap _p dengan_p

1 ≤p≤p2.

Untuk melihat hal ini, ambil sebarang f ∈ Lp₍_{X, µ}_{) dan} _k _{suatu konstanta}

positif. Tulis

f1(x) =

  

f(x) jika |f(x)|> k

0 jika |f(x)| ≤k

dan

f2(x) =

  

f(x) jika |f(x)| ≤k

0 jika |f(x)|> k.

Maka diperoleh

Z

X

|f1(x)|p1 dµ=

Z

X

|f1(x)|p|f1(x)|p1−p dµ≤kp1−p

Z

X

|f(x)|p _dµ

dan juga

Z

X

|f2(x)|p2 dµ=

Z

X

|f2(x)|p|f2(x)|p2−p dµ≤kp2−p

Z

X

|f(x)|p _dµ.

Jadi f1 ∈Lp1(X, µ) dan f2 ∈Lp2(X, µ) sehingga f ∈Lp1(X, µ) +Lp2(X, µ).

Teorema berikut memegang peranan penting dalam pembuktian keterbatasan operator maksimal di ruang Lebesgue tak homogen. Bukti lengkap teorema ini dapat dilihat pada Duoandikoetxea [2] hal. 29, atau Krantz [8] hal 319, atau Stein [13] hal 21.

Teorema 2.1. (Teorema interpolasi Marcinkiewicz). Diketahui (X, µ) dan (Y, ν) ruang ukuran, 1 ≤ p1 < p2 ≤ ∞ dan T operator sublinear dari

Lp1₍_{X, µ}_{) +}_Lp2₍_{X, µ}₎ _{ke ruang fungsi terukur dari} _Y_{, yang merupakan tipe}

lemah(p1, p1)dan juga merupakan tipe lemah(p2, p2). Maka operatorT

(24)

Teorema selanjutnya menyatakan keterbatasan operator Mn _{di ruang} _Lp₍_µ_).

Pembuktian teorema ini melibatkan lema cover Vitali yang buktinya dapat dilihat pada Jones [7] hal. 448 atau Stein [13] hal. 9.

Lema 2.2. (Lema cover Vitali). Diketahui {Q1, Q2, . . . , Qk, . . .} koleksi

kubus di Rd. Maka ada subkoleksi terhitung kubus {Q˜1,Q˜2, . . . ,Q˜j, . . .}

se-hingga

1. Q˜j saling lepas sepasang-sepasang, dan

2. berlaku

[

k

Qk ⊆

Ã [

j

3 ˜Qj

!

Teorema 2.3. Operator maksimal Mn _memenuhi

µ©x∈Rd:Mnf(x)> λª≤ C

λ Z

Rd

|f(x)| dµ(x)

dan

kMnfkL∞₍_µ₎≤Ckfk_L∞₍_µ₎.

Bukti. Ambil f ∈L1(µ) dan dideﬁnisikan

Eλ =

©

x∈Rd:Mnf(x)> λª.

Jika x∈Eλ, yaitu x∈Rd dan Mnf(x)> λ, maka terdapat rx >0 sehingga

1

rn x

Z

Q(x,rx)

|f(y)| dµ(y)> λ.

Lema cover Vitali memberikan koleksi kubus yang saling lepas sepasang- se-pasang {Q(xj, rj)}j, dengan xj ∈Eλ dan rj =rxj, sehingga

Eλ ⊂

[

x∈Eλ

Q(x, rx)⊂

[

j

(25)

Jadi diperoleh

µ(Eλ)≤

X

j

µ(Q(xj,3rj))

≤3nX j

r_jn

≤CX

j

1

λ Z

Q(xj,rj)

|f(y)| dµ(y)

≤ C

λ X

j

Z

Q(xj,rj)

|f(y)| dµ(y)

≤ C

λ Z

Rd

|f(y)| dµ(y).

Di sini kita menggunakan fakta bahwa kubus-kubus Q(xj, rj) saling lepas

sepasang-sepasang. Jadi terbukti

µ©x∈Rd:Mnf(x)> λª ≤ C

λ Z

Rd

|f(x)| dµ(x).

Untuk bagian selanjutnya, apabila diambil sebarangx∈Rddan kubusQ⊂Rd

yang berpusat di x dan berjari-jari r, maka 1

rn

Z

Q(x,r)

|f(y)| dµ(y)≤ 1

rn

Z

Q(x,r)

esssup|f(y)| dµ(y)

≤ 1

rn

Z

Q(x,r)

kfkL∞₍_µ₎ dµ(y)

=kfkL∞

(µ)

1

rn

Z

Q(x,r)

dµ(y)

=kfkL∞

(µ)

1

rnµ(Q)

≤CkfkL∞

(µ). Akibatnya sup r>0 1 rn Z

Q(x,r)

|f(y)|dµ(y)≤CkfkL∞₍_µ₎

atau berarti

kMnfkL∞

(µ)≤CkfkL∞

(26)

Akibat 2.4. Operator maksimal Mn _{terbatas di} _Lp₍_µ₎ _untuk ₁_{< p <}_∞ _.

Bukti. Untuk mendapatkan keterbatasan operator maksimal Mn _dari _Lp₍_µ₎

ke Lp₍_µ_{) cukup dengan menerapkan teorema interpolasi Marcinkiewicz pada}

dua hasil di dalam Teorema 2.3. Catat bahwa Mn _{merupakan suatu operator}

sublinear. Ambil sebarang f, g ∈Lp₍_µ_{), 1}_{< p <} _{∞, maka}

Mn(f +g)(x) = sup

r>0

1

rn

Z

Q(x,r)

|(f +g)(y)| dµ(y)

≤sup

r>0

1

rn

Z

Q(x,r)

(|f(y)|+|g(y)|) dµ(y)

≤sup

r>0

1

rn

Z

Q(x,r)

|f(y)| dµ(y) + sup

r>0

1

rn

Z

Q(x,r)

|g(y)| dµ(y)

=Mnf(x) +Mng(x)

dan juga

Mn(k.f)(x) = sup

r>0

1

rn

Z

Q(x,r)

|(k.f)(y)| dµ(y)

= sup

r>0

1

rn

Z

Q(x,r)

|k||f(y)| dµ(y)

=|k|sup

r>0

1

rn

Z

Q(x,r)

|f(y)| dµ(y)

=|k|Mnf(x).

Karena diketahui juga bahwa Mn _{merupakan tipe lemah (1}_,_{1) dan juga tipe}

lemah (∞,∞), maka menurut teorema interpolasi Marcinkiewicz, operatorMn

bertipe kuat (p, p) untuk 1< p <∞, yaitu berlaku

kMnfkLp₍_µ₎≤Ckfk_Lp₍_µ₎.

Dengan kata lain terbukti bahwa operator maksimal Mn _{terbatas di} _Lp₍_µ₎

(27)

2.2

Keterbatasan Operator

I

_αn

di Ruang

Le-besgue Tak Homogen

Pada bagian ini akan dibuktikan bahwa operator In

α terbatas dari Lp(µ) ke

Lq₍_µ_{) untuk suatu} _{q > p}_{. Ingat kembali deﬁnisi operator integral fraksional}

di ruang tak homogen sebagai berikut. Untuk 0 < α < n ≤ d dan α, n ∈ R, operator integral fraksional (orde α) adalah

I_αnf(x) =

Z

Rd

f(y)

dengan f ∈L∞₍_µ_{) fungsi dengan tumpuan kompak.}

Pertama perlu dilihat bahwa operator Iαn ini terdeﬁnisi dengan baik.

Ker-nel dari operator integral ini bersifat singular pada diagonal x = y, namun demikian berlaku

Z

|x−y|<1

f(y)

|x−y|n−α dµ(y)≤ kfkL∞(µ)

∞

X

k=0

Z

2−k−1_≤|_x₋_y_|_<₂−k 1

≤ kfkL∞₍_µ₎

∞

X

k=0

Z

2−k−1_≤|_x₋_y_|_<₂−k

1

2(−k−1)(n−α) dµ(y)

≤ kfkL∞₍_µ₎

∞

X

k=0

µ¡Q(x,2−k₎¢

2(−k−1)(n−α)

≤ kfkL∞

(µ)

∞

X

k=0

C2(−k)n

2(−k−1)(n−α)

=C2n−αkfkL∞

(µ)

∞

X

k=0

2−kα

<∞.

Jadi integral yang mendeﬁnisikan In

α konvergen mutlak. Pada akhirnya

ope-rator In

α ini terdeﬁnisi untuk f ∈ Lp(µ), 1 ≤ p ≤ ∞ sebab koleksi fungsi

f ∈L∞₍_µ_{) dengan tumpuan kompak bersifat padat di}_Lp₍_µ_).

(28)

penting dalam pembuktian keterbatasan operator integral fraksional In α di

ru-ang Lebesgue tak homogen.

Teorema 2.5. (Ketaksamaan Hedberg). Diberikan 0 < α < n dan f

fungsi terbatas dengan tumpuan kompak. Maka untuk 1≤p < _αn berlaku

|I_αnf(x)| ≤Ckfk pα

n

Lp₍_µ₎M

n_f

(x)1−pαn .

Bukti. Ambil sebarang t >0, maka

|I_αnf(x)| ≤

Z

|x−y|<t

|f(y)|

| {z }

A

+

Z

|x−y|≥t

|f(y)|

| {z }

B

.

Akan dicari batas untuk masing-masing suku di atas yaitu A dan B. Untuk suku pertama, A, berlaku

A=

Z

|x−y|<t

|f(y)|

= ∞

X

k=0

Z

2−k−1_t_≤|_x₋_y_|≤₂−k_t

|f(y)|

≤2n−α_tα

∞

X

k=0

2−kα

(2−k_t₎n

Z

Q(x,2−k_t₎

|f(y)| dµ(y)

≤2n−αtα

∞

X

k=0

2−kαMnf(x)

=CtαMnf(x).

Selanjutnya untuk suku kedua yaitu B pertama kita perhatikan untuk kasus

p= 1 sebagai berikut

B =

Z

|x−y|≥t

|f(y)|

≤ 1

tn−α

Z

|x−y|≥t

|f(y)| dµ(y)

(29)

Untuk kasus 1 < p < n

α, pilih β = p

′₍_n ₋_α₎₋_n_{, dimana} _p′ _{adalah pangkat} sekawan dari p yaitu 1

p +

1

p′ = 1. Maka β > 0, dan dengan menggunakan

ketaksamaan H¨older diperoleh

B =

Z

|x−y|≥t

|f(y)|

≤

µZ

|x−y|≥t

¶1

pµZ |x−y|≥t

dµ(y) |x−y|p′

(n−α)

¶1

p′

=kfkLp₍_µ₎

µZ

|x−y|≥t

dµ(y) |x−y|p′

(n−α)

¶1

p′

=kfkLp₍_µ₎

Ã _∞ X

k=0

Z

2k_t_≤|_x₋_y_|≤₂k+1_t

dµ(y) |x−y|n+β

!1

p′

≤ kfkLp₍_µ₎

Ã _∞ X

k=0

µ¡Q(x,2k+1_t₎¢

(2k_t₎n+β

!1

p′

≤CkfkLp₍_µ₎2 n p′

t−pβ′ Ã _∞

X

k=0

2−kβ

!1

p′

=CkfkLp₍_µ₎t− β p′

=Ct−(np−α)k_fk

Lp₍_µ₎.

Jika dipilih p= 1 danC = 1, maka diperoleh ketaksamaan yang sama dengan kasus p = 1 di atas. Dengan demikian kita memperoleh untuk 1 ≤ p < n α

berlaku

|I_αnf(x)| ≤A+B

≤C³tαMnf(x) +t−(np−α)kfk

Lp₍_µ₎

´

untuk setiap t >0. Selanjutnya dengan memilih

t =

µ

Mn_f₍_x₎

kfkLp₍_µ₎

¶−p_n

>0

dan mensubstitusikannya ke dalam ketaksamaan terakhir, diperoleh

|I_αnf(x)| ≤C Ãµ

Mn_f₍_x₎

kfkLp₍_µ₎

¶−p_n!α

Mnf(x) +C Ãµ

Mn_f₍_x₎

kfkLp₍_µ₎

¶−p_n!−(np−α)

(30)

=C  M

n_f₍_x₎−pα_n _Mn_f₍_x₎

kfk− pα

n

Lp₍_µ₎

+M

n_f₍_x₎−pα_n+1

kfk− pα

n+1

Lp₍_µ₎

kfkLp₍_µ₎

 

=C  M

n_f₍_x₎1−pα_n kfk−

pα n

Lp₍_µ₎

 

=Ckfk pα

n

Lp₍_µ₎M

n_f

(x)1−pαn.

Dengan menggunakan fakta bahwa fungsi maksimal Mn_f _{terbatas di} _Lp₍_µ_),

maka bukti selesai.

Sekarang akan diperlihatkan bahwa operator integral fraksional Iαn bersifat

terbatas dari Lp₍_µ_{) ke} _Lq₍_µ_{) untuk suatu} _{q > p}_.

Teorema 2.6. Diberikan0< α < n.

1. OperatorIn

α terbatas dariLp(µ)ke Lq(µ)untuk1≤p < n α dan 1 q = 1 p− α n.

2. Jika 1

q = 1− α

n, maka berlaku

µ©x∈Rd:|Iαf(x)|> λ

ª

≤

µ_C

kfkL1₍_µ₎ λ

¶q

.

Bukti.

1. Dari Ketaksamaan Hedberg diperoleh

|I_αnf(x)| ≤Ckfk pα

n

Lp₍_µ₎M

n_f

(x)1−pαn

yang berakibat

µZ

Rd

|I_αnf(x)|q dµ(x)

¶1

q

≤Ckfk p α

n

Lp₍_µ₎

µZ

Rd

|Mnf(x)|q(1−pαn) dµ(x)

¶1

q

=Ckfk p α

n

Lp₍_µ₎

µZ

Rd

|Mnf(x)|p _dµ₍_x₎

¶1

q

=Ckfk p α

n

Lp₍_µ₎

µZ

Rd

|Mnf(x)|p _dµ₍_x₎

¶1

p p q

=Ckfk p α

n

Lp₍_µ₎kM

n_f_k

p q

(31)

≤Ckfk p α

n

Lp₍_µ₎kfk p q

Lp₍_µ₎

=Ckfk p α

n + p q

Lp₍_µ₎

=CkfkLp₍_µ₎.

Jadi berlaku

kI_αnfkLq₍_µ₎≤Ckfk_Lp₍_µ₎. Dengan kata lain terbukti In

α terbatas dari Lp(µ) ke Lq(µ).

2. Untuk p= 1, Ketaksamaan Hedberg memberikan

|I_αnf(x)| ≤Ckfkαn

L1₍_µ₎M

n_f₍_x₎1−α n

=Ckfkαn

L1₍_µ₎M

n_f₍_x₎1_q_.

Menggunakan fakta bahwa Mn _{merupakan operator tipe lemah (1}_,_1),

diper-oleh

µ©x∈_Rd _:_|_I

αf(x)|> λ

ª

≤µ   

x∈_Rd_:_Mn_f₍_x₎_>

  λ

Ckfk α n

L1₍_µ₎   q   ≤  

Ckfk α n

L1₍_µ₎ λ   q Z Rd

|f(x)| dµ(x)

=

 

Ckfkαn

L1₍_µ₎ λ

 

q

kfkL1₍_µ₎

=

µ

CkfkL1₍_µ₎ λ

¶q

.

Ini merupakan ketaksamaan yang ingin dibuktikan.

2.3

Keterbatasan Operator

I

_αn

di Ruang

Mor-rey Tak Homogen yang Diperumum

Pada bagian ini akan dibuktikan keterbatasan operator In

α dari Mp,φ(µ) ke

(32)

tertentu. Terlebih dahulu akan diingat kembali mengenai ruang Morrey tak homogen yang diperumum.

Diberikan f sebarang fungsi terukur-µ, dengan µ ukuran Borel padaRd yang memenuhi kondisi growth dan 1 ≤ p < ∞. Ruang Lebesgue tak homogen lokal, Lp_loc(µ), adalah ruang kelas-kelas ekuivalen fungsi terukur-µ f sehingga untuk setiap subhimpunan kompak K di Rd _berlaku

Z

K

|f(y)|p _dµ₍_y₎_<_∞_.

Khususnya jika f ∈ L1loc(µ) maka f disebut fungsi yang terintegral-µ secara

lokal di _Rd_{. Jelas bahwa} _Lp₍_µ₎_⊂_Lp

loc(µ) untuk 1≤p <∞ (lihat Jones [7]).

Pada Gunawan and Eridani [6], diperkenalkan pengertian ruang Morrey yang diperumum. Terilhami oleh hal tersebut, selanjutnya akan dideﬁnisikan penger-tian ruang Morrey tak homogen yang diperumum. Misalkan diketahui fungsi

φ : (0,∞)→(0,∞) merupakan fungsi yang memenuhi kondisi doubling, yaitu terdapat C > 0 sehingga

1

C ≤ φ(s)

φ(t) ≤C,

apabila 1₂ ≤ s_t ≤ 2. Pertama perhatikan bahwa untuk setiap fungsi φ yang memenuhi kondisi doubling berlaku

Z 2k+1_r

2k_r

φ(t)

t dt ∼φ(2

k_r₎

untuk setiap bilangan bulatkdanr >0. Hal ini dapat dilihat sebagai berikut. Karena φ memenuhi kondisi doubling maka terdapatC > 0 sehingga

1

C ≤ φ(t)

φ(2k_r₎ ≤C

apabila t∈[2k_r,₂k+1_r_{]. Jadi}

1

Cφ(2

k_r₎_≤_φ₍_t₎_≤_Cφ₍₂k_r₎_,

yang berarti

1

C

φ(2k_r₎

2k_r ≤

φ(t)

t ≤C

φ(2k_r₎

(33)

Dengan mengintegralkan ketaksamaan ini pada [2k_r,₂k+1_r_{] yaitu}

Z 2k+1_r

2k_r 1

C

φ(2k_r₎

2k_r dt ≤

Z 2k+1_r

2k_r

φ(t)

t dt ≤

Z 2k+1_r

2k_r

Cφ(2

k_r₎

2k_r dt

maka diperoleh

K1φ(2kr)≤

Z 2k+1_r

2k_r

φ(t)

t dt≤K2φ(2

k_r

)

dengan K1 dan K2 konstanta positif. Dengan demikian, disimpulkan untuk

setiap bilangan bulat k dan r >0 berlaku

Z 2k+1_r

2k_r

φ(t)

t dt∼φ(2

k

r).

Untuk 1 ≤ p < ∞ dan fungsi φ seperti tersebut di atas, ruang Morrey tak homogen yang diperumum Mp,φ₍_µ_{) dideﬁnisikan sebagai ruang dari semua}

fungsi f ∈Lp_loc(µ) sehingga

kfkMp,φ₍_µ₎:= sup

r>0

1

φ(r)

µ

1

rn

Z

Q(x,r)

¶1

p

<∞

dan untuk p=∞

kfkM∞,φ₍_µ₎ := sup

Q(x,r)

1

φ(Q) kfkL∞(Q).

Berikut diberikan hubungan ruang-ruang Morrey tak homogen yang diperu-mum.

Lema 2.7. Apabila 1< p < q <∞ maka

M∞,φ(µ)⊆ Mq,φ(µ)⊆ Mp,φ(µ)⊆ M1,φ(µ).

Bukti. Misalkan p′ adalah pangkat sekawan dari p, yaitu 1

p +

1

p′ = 1 dan Q sebarang kubus di Rd, maka dengan menggunakan ketaksamaan H¨older diperoleh

Z

Q

|f(y)| dµ(y)≤

µZ

Q

¶1

pµZ

Q

dµ(y)

¶1

(34)

≤

µZ

Q

|f(y)|p dµ(y)

¶1

p

(µ(Q))p1′

≤

µZ

Q

¶1

p

(C rn))p1′

Jadi

1

rn

Z

Q

|f(y)| dµ(y)≤C µ

1

rn

Z

Q

¶1

p

Ketaksamaan di atas menunjukkan bahwa Mp,φ₍_µ₎ _{⊆ M}1,φ₍_µ_{). Selanjutnya}

karena 1< q_p <∞, maka

1

rn

Z

Q

|f(y)| dµ(y)≤C µ

1

rn

Z

Q

|f(y)|qp dµ(y)

¶p q

.

Tulis f =|g|p_{, maka}

1

rn

Z

Q

|g(y)|p _dµ₍_y₎_≤_C

µ

1

rn

Z

Q

|g(y)|q _dµ₍_y₎

¶p q

atau

µZ

Q

|g(y)|p _dµ₍_y₎

¶1 p ≤C µ 1 rn Z Q

|g(y)|q _dµ₍_y₎

¶1

q

.

Ini berarti Mq,φ₍_µ₎_{⊆ M}p,φ₍_µ_).

Untuk melihat bahwa M∞,φ₍_µ₎_{⊆ M}q,φ₍_µ_{), perhatikan ketaksamaan}

µ

1

rn

Z

Q

|g(y)|q dµ(y)

¶1 q ≤C µ 1 rn Z Q

kgkq_L∞₍_µ₎ dµ(y) ¶1

q

≤CkgkL∞₍_µ₎.

Perhatikan bahwa untuk φ(t) = tλ −n

p _, 0≤_λ≤_n, akan diperoleh

Mp,φ₍_µ_{) =} _Lp,λ₍_µ₎

— ruang Morrey tak homogen (klasik) (lihat Bab 1 Pendahuluan). Ingat kembali khususnya untuk λ = 0, yaitu φ(t) = t−np maka didapat Mp,φ(µ) =

(35)

M∞,φ₍_µ_{) =}_L∞₍_µ_{). Jadi ruang Morrey tak homogen yang diperumum terkait} dengan suatu fungsi tak naik φ(t) sehingga φ(t)→ ∞ untuk t→0.

Sekarang akan dibuktikan keterbatasan operator integral fraksional di ruang Morrey tak homogen yang diperumum.

Teorema 2.8. Misalkan fungsi φmemenuhi kondisi doubling dan untuk setiap

r >0 berlaku

Z ∞

r

tα−1φ(t) dt ≤Crαφ(r),

serta fungsi ψ memenuhi rα_φ₍_r₎ _≤ _C

1ψ(r) untuk setiap r, dengan C1 tidak

bergantung pada r. Maka, untuk 1 ≤ p < n α dan

1

q =

1

p − α

n, terdapat C > 0

sehingga berlaku

kI_αnfkMq,ψ₍_µ₎≤Ckfk_Mp,φ₍_µ₎.

Bukti. Untuk a∈Rd _dan _{r >}_{0, tulis} _Q₌_Q₍_{a, r}_{) dan ˜}_Q₌_Q₍_a,₂_r_{) dan}

f =f1+f2 =f χQ˜ +f χQ˜c.

Karena

kf1kLp₍_µ₎ =

µZ

Rd

|f1(x)|p dµ(x)

¶1

p

=

µZ

˜

Q

|f(x)|p _dµ₍_x₎

¶1

p

= (2r)npφ(r) 1

φ(r)

µ

1 (2r)n

Z

˜

Q

|f(x)|p dµ(x)

¶1

p

≤C(2r)np_φ(_r)k_fk Mp,φ₍_µ₎

<∞,

maka f1 ∈Lp(µ). Selanjutnya untuk x∈Q

µZ

Q

|I_αnf1(x)|q dµ(x)

¶1

q

(36)

≤Ckf1kLp₍_µ₎ ≤C(2r)npφ(r)kfk

Mp,φ₍_µ₎, sehingga diperoleh µ 1 rn Z Q

¶1

q

≤Crnp− n

qφ(r)kfk Mp,φ₍_µ₎

≤Crαφ(r)kfkMp,φ₍_µ₎ ≤CC1ψ(r)kfkMp,φ₍_µ₎

atau

1

ψ(r)

µ

1

rn

Z

Q

¶1

q

≤CkfkMp,φ₍_µ₎. Akibatnya

kI_αnf1kMq,ψ₍_µ₎≤Ckfk_Mp,φ₍_µ₎. (2.3)

Selanjutnya diperoleh estimasi untuk In

αf2 sebagai berikut.

|Iαnf2(x)| ≤

Z

˜

Qc

|f(y)|

≤

Z

|x−y|≥r

|f(y)|

≤ ∞

X

k=0

Z

2k_r_≤|_x₋_y_|≤₂k+1_r

|f(y)|

≤ ∞

X

k=0

1 (2k_r₎n−α

Z

Q(a,2k+1_r₎

|f(y)| dµ(y)

= ∞

X

k=0

(2k_r₎α

µ

1 (2k_r₎n

Z

Q(a,2k+1_r₎

|f(y)| dµ(y)

¶ .

Dengan menggunakan ketaksamaan H¨older, diperoleh

µ

1 (2k_r₎n

Z

Q(a,2k+1_r₎

|f(y)| dµ(y)

¶

≤

µ

1 (2k_r₎n

Z

Q(a,2k+1_r₎

|f(y)| dµ(y)

¶1

p

µ

1 (2k_r₎n

Z

Q(a,2k+1_r₎

dµ(y)

¶1−1

p

(37)

Jadi berlaku

|Iαnf2(x)| ≤C

∞

X

k=0

(2k_r₎α

µ

1 (2k+1_r₎n

Z

Q(a,2k+1_r₎

|f(y)| dµ(y)

¶1

p

µ

1 (2k+1_r₎n

Z

Q(a,2k+1_r₎

dµ(y)

¶1−1

p

=C

∞

X

k=0

(2k_r₎α

µ

1 (2k+1_r₎n

Z

Q(a,2k+1_r₎

|f(y)| dµ(y)

¶1

p

µ

µ(Q(a,2k+1_r₎₎

(2k+1_r₎n

¶1−1

p

≤C

∞

X

k=0

(2kr)α

µ

1 (2k+1_r₎n

Z

Q(a,2k+1_r₎

|f(y)| dµ(y)

¶1 p ≤C ∞ X k=0

(2k_r₎α_φ₍₂k+1_r_)k_f_k

Mp,φ₍_µ₎

≤CkfkMp,φ₍_µ₎ ∞

X

k=0

(2k_r₎α_φ₍₂k_r₎_.

Karena φ dan tα _{memenuhi kondisi} _doubling_{, maka}

(2k_r₎α_φ₍₂k_r₎_∼

Z 2k+1_r

2k_r

tα_φ₍_t₎

t dt =

Z 2k+1_r

2k_r

tα−1φ(t) dt

sehingga

∞

X

k=0

Z 2k+1_r

2k_r

tα−1φ(t) dt=

Z ∞

r

tα−1φ(t) dt.

Jadi berlaku

|Iαnf2(x)| ≤CkfkMp,φ₍_µ₎

Z ∞

r

tα−1φ(t)dt

≤Crαφ(r)kfkMp,φ₍_µ₎.

Maka diperoleh µ 1 rn Z Q

|Iαnf2(x)|q dµ(x)

¶1

q

≤Crα−nqφ(r)kfk Mp,φ₍_µ₎

µZ

Q

dµ(x)

¶1

q

=Crα−npφ(r)kfk

Mp,φ₍_µ₎ (µ(Q))

1

(38)

≤Crαφ(r)kfkMp,φ₍_µ₎ ≤Cψ(r)kfkMp,φ₍_µ₎

atau

1

ψ(r)

µ

1

rn

Z

Q

¶1

q

≤CkfkMp,φ₍_µ₎. Akibatnya

kIαnf2kMq,ψ₍_µ₎ ≤Ckfk_Mp,φ₍_µ₎. (2.4)

Dengan demikian dari (2.4), (2.5), dan ketaksamaan Minkowski diperoleh

kIαnfkMq,ψ₍_µ₎≤Ckfk_Mp,φ₍_µ₎.

Ini berarti bahwa operator In

(39)

Bab 3

Ketaksamaan Olsen di Ruang

Tak Homogen

3.1

Ketaksamaan Olsen di Ruang

L

p

(

µ

)

Pada bab ini akan dibahas ketaksamaan Olsen di ruang Lp₍_µ_{) dan} _Mp,φ₍_µ_).

Untuk suatu untuk suatu fungsi W pada Rd akan ditunjukkan keterbatasan operatorW Iαdi ruangLp(µ) dan di ruangMp,φ(µ). Pertama diberikan

ketak-samaan Olsen di ruang Lp(µ) yang buktinya cukup sederhana, yaitu dengan memanfaatkan keterbatasan operator In

α dari Lp(µ) ke Lq(µ) untukq= np n−αp.

Teorema 3.1. (Ketaksamaan Olsen) Untuk1≤p < _αn berlaku

kW I_αnfkLp₍_µ₎ ≤CkWk

Lnα₍_µ₎kfkLp(µ) yaitu W In

α terbatas di Lp(µ), apabila W ∈L

n α(µ).

Bukti. Ambil sebarangy ∈Rd_{, dan selanjutnya dengan menggunakan}

ketak-samaan H¨older diperoleh

Z

Rd

|W Iαnf(y)|p dµ(y)≤

µZ

Rd

|W(y)|qpq−p dµ(y)

¶q−p q µZ

Rd

|Iαnf(y)|q dµ(y)

(40)

dengan 1_q = 1_p − α

n. Apabila diambil akar pangkat p pada kedua ruas

ketak-samaan dan dengan memperhatikan bahwa _qpq₋_p = n

α, maka didapatkan

µZ

Rd

|W I_αnf(y)|p dµ(y)

¶1

p ≤

µZ

Rd

|W(y)|αn dµ(y)

¶α nµZ

Rd

|I_αnf(y)|q dµ(y)

¶1

q

atau

kW I_αnfkLp₍_µ₎ ≤ kWk

Lnα(µ)kI

n

αfkLq₍_µ₎. Karena operator integral fraksional In

α terbatas dari Lp(µ) ke Lq(µ) untuk

q = _n₋np_αp, maka didapatkan

kW I_αnfkLp₍_µ₎ ≤ kWk

Lnα₍µ)kI

n

αfkLq₍_µ₎ ≤CkWk

Lnα₍µ)k fkLp(µ).

3.2

Ketaksamaan Olsen di Ruang

M

p,φ

(

µ

)

Pada bagian ini akan dibuktikan perumuman Teorema 3.1 yaitu ketaksamaan Olsen di ruang Mp,φ₍_µ_{). Bukti dari teorema ini serupa dengan bukti}

keter-batasan operator Iαn di ruang Morrey tak homogen yang diperumum (lihat

Teorema 2.8).

Teorema 3.2. (Ketaksamaan Olsen) Misalkan φ memenuhi kondisi dou-bling dan

Z ∞

r

tα−1φ(t) dt ≤Crαφ(r).

Maka, untuk 1≤p < _αn dan 1_q = 1_p − α

n terdapat C >0 sehingga berlaku

kW IαnfkMp,φ₍_µ₎ ≤CkWk

Lnα₍µ)kfkMp,φ(µ)

dengan W ∈Lnα(µ).

Bukti. Untuk a∈Rd dan r >0, tulis Q=Q(a, r), ˜Q=Q(a,2r) dan

(41)

Jadi f1 ∈Lp(µ) dan berlaku

kf1kLp₍_µ₎=

µZ

Rd

|f1(y)|p dµ(y)

¶1 p = µZ ˜ Q

|f(y)|p dµ(y)

¶1

p

= (2r)npφ(r) 1

φ(r)

µ

1 (2r)n

Z

˜

Q

¶1

p

≤C(2r)npφ(r)kfk

Mp,φ₍_µ₎. Karena

µZ

Q

|W Iαnf1(y)|p dµ(y)

¶1

p

≤ kW Iαnf1kLp₍_µ₎

≤ kWk_Ln α₍µ)kI

n

αf1kLq₍_µ₎ ≤CkWk_Ln

α₍µ)kf1kLp(µ)

≤C(2r)npφ(r)kWk

Lnα₍µ)kfkMp,φ(µ),

maka diperoleh

1

φ(r)

µ

1 (2r)n

Z

Q

|W Iαnf1(y)|p dµ(y)

¶1

p

≤CkWk_Ln

α₍µ)kfkMp,φ(µ),

dan akibatnya

kW I_αnf1kMp,φ₍_µ₎≤CkWk

Lαn(µ)kfkMp,φ₍_µ₎. (3.1) Selanjutnya untuk x∈Q berlaku

|Iαnf2(x)| ≤

Z

˜

Qc

|f(y)|

≤

Z

|x−y|≥r

|f(y)|

≤ ∞

X

k=0

Z

2k_r_≤|_x₋_y_|≤₂k+1_r

|f(y)|

≤ ∞

X

k=0

1 (2k_r₎n−α

Z

Q(a,2k+1_r₎

(42)

= ∞

X

k=0

(2k_r₎α

µ

1 (2k_r₎n

Z

Q(a,2k+1_r₎

|f(y)| dµ(y)

¶ .

Dengan menggunakan ketaksamaan H¨older diperoleh

µ

1 (2k_r₎n

Z

Q(a,2k+1_r₎

|f(y)| dµ(y)

¶

≤

µ

1 (2k_r₎n

Z

Q(a,2k+1_r₎

|f(y)| dµ(y)

¶1

p

µ

1 (2k_r₎n

Z

Q(a,2k+1_r₎

dµ(y)

¶1−1

p

.

Jadi berlaku

|I_αnf2(x)| ≤C

∞

X

k=0

(2kr)α

µ

1 (2k+1_r₎n

Z

Q(a,2k+1_r₎

|f(y)| dµ(y)

¶1

p

µ

1 (2k+1_r₎n

Z

Q(a,2k+1_r₎

dµ(y)

¶1−1

p

=C

∞

X

k=0

(2kr)α

µ

1 (2k+1_r₎n

Z

Q(a,2k+1_r₎

|f(y)| dµ(y)

¶1

p

µ

µ(Q(a,2k+1_r₎₎

(2k+1_r₎n

¶1−1

p

≤C

∞

X

k=0

(2k_r₎α

µ

1 (2k+1_r₎n

Z

Q(a,2k+1_r₎

|f(y)| dµ(y)

¶1 p ≤C ∞ X k=0

(2kr)αφ(2k+1r)kfkMp,φ₍_µ₎

≤CkfkMp,φ₍_µ₎ ∞

X

k=0

(2kr)αφ(2kr).

Karena φ dan tα memenuhi kondisi doubling, maka

(2k_r₎α_φ₍₂k_r₎_∼

Z 2k+1_r

2k_r

tα_φ₍_t₎

t dt =

Z 2k+1_r

2k_r

tα−1φ(t) dt

sehingga

∞

X

k=0

Z 2k+1_r

2k_r

tα−1φ(t) dt=

Z ∞

r

tα−1φ(t) dt.

Jadi berlaku

|I_αnf2(x)| ≤CkfkMp,φ₍_µ₎

Z ∞

r

(43)

≤C rαφ(r)kfkMp,φ₍_µ₎.

Oleh karena itu diperoleh

1

φ(r)

µ

1

rn

Z

Q

|W I_αnf2(x)|p dµ(x)

¶1

p

≤C(r)α−np kfk Mp,φ₍_µ₎

µZ

Q

|W(x)|p _dµ₍_x₎

¶1

p

≤C(r)α−np kfk Mp,φ₍_µ₎

µZ

Q

|W(x)|nα dµ(x)

¶α n µZ

Q

dµ(x)

¶1

q

=C(r)α−np k_fk

Mp,φ₍_µ₎kWk

Lnα (µ(Q))

1

q

≤C(r)α−np+ n q k_fk

Mp,φ₍_µ₎kWk

Lnα

≤CkWk_Ln

α kfkMp,φ(µ), dan akibatnya

kW I_αnf2kMp,φ₍_µ₎≤CkWk

Lαn₍µ)kfkMp,φ(µ). (3.2)

Dengan demikian dari (3.1), (3.2), dan ketaksamaan Minkowski, diperoleh

kW I_αnfkMp,φ₍_µ₎≤CkWk

(44)

Bab 4

Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan pada bab-bab sebelumnya diperoleh bahwa hasil utama yang dibicarakan dalam tesis ini adalah keterbatasan operator In

α di

ruang Morrey tak homogen yang diperumum, yang tertuang pada Teorema 2.8. Untuk membuktikan sifat ini dipergunakan hasil dari Garcia-Cuerva dan Martell [5] yaitu operatorIn

α terbatas dariLp(µ) keLq(µ) untukq= np n−αp, dan

dalam pembuktiannya keterbatasan operator maksimal Mn _{di ruang} _Lp₍_µ₎

memegang peranan yang penting. Terilhami oleh hasil Gunawan and Eridani [6] tentang ketaksamaan Olsen diLp _dan_Mp,φ_{, dapat dibuktikan ketaksamaan}

Olsen di ruang Lp₍_µ_{) dan} _Mp,φ₍_µ_{). Kedua hasil ini berturut-turut tertuang}

di dalam Teorema 3.1 dan Teorema 3.2. Di sini tampak bahwa konsep kunci dalam penurunan hasil-hasil tersebut adalah ukurangrowth yang mendeﬁnisi-kan ruang tak homogen Lp₍_µ_{) dan} _Mp,φ₍_µ_).

(45)

Daftar Pustaka

[1] F. Chiarenza and M. Frasca (1987), ”Morrey spaces and Hardy-Littlewood maximal function”, Rend. Mat. 7, 273-279.

[2] J. Duoandikoetxea (2001),Fourier Analysis, Graduate Studies in Math, 29, AMS, Providence, Rhode Island.

[3] G. B. Folland (1992), Fourier Analysis and Its Applications, Wadsworth and Brooks/Cole Advanced Book and Software, Pasivic Grove, Califor-nia.

[4] J. Garcia-Cuerva and A. E. Gatto (2004), ”Boundedness properties of fractional integral operators associated to non-doubling measures”, Stu-dia Math 162, no. 3, 245-261.

[5] J. Garcia-Cuerva and J. M. Martell (2001),”Two weight norm inequali-ties for maximal operators and fractional integrals on non-homogeneous spaces”, Indiana University Mathematics Journal50, no. 3, 1241-1280.

[6] H. Gunawan and Eridani,”Fractional integral and generalized Olsen in-equalities”, to appear in Kyungpook Math. J.

(46)

[8] S. G. Krantz (1999), A Panorama of Harmonic Analysis, The Carus Mathematical Monographs, no. 27, The Mathematical Association of America, USA.

[9] E. H. Lieb and M. Loss (1997),Analysis, Graduate Studies in Math,14, AMS, Providence, Rhode Island.

[10] F. Nazarov, S. Treil, and A. Volberg (1998), ”Weak type estimates and Cotlar inequalities for Calderon- Zygmund operators on non-homogeneous spaces”, Internat. Math. Res. Notices, no. 9, 463-487.

[11] J. Peetre (1969), ”On the theory of Lp,λ spaces”, Journal of Functional

Analysis, no. 4, 71-87.

[12] I. Sihwaningrum dan H.P. Suryawan (2008), ”Operator integral fraksio-nal dan ketaksamaan Olsen di ruang Lebesgue tak homogen”, Makalah dipresentasikan pada Simposium Analisis dan Aplikasinya, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta.

[13] E. M. Stein (1970), Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton University Press, Princeton, New Jersey.

[14] E. M. Stein (1993),Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Orthogo-nality, and Oscilatory Integrals, Princeton University Press, Princeton, New Jersey.