Integral Fungsi Kompleks

Integral Fungsi

Kompleks

Turunan dan Integral Tentu dari Fungsiw(t)

Indikator Pencapaian Hasil Belajar

Mahasiswa menunjukkan kemampuan dalam :

1. Menghitung turunan dari fungsi 𝑤(𝑡) = 𝑢(𝑡) + 𝑖𝑣(𝑡)

2. Menghitung integral tak tentu dari fungsi 𝑤(𝑡) = 𝑢(𝑡) + 𝑖𝑣(𝑡) Materi Ajar

Untuk mengenalkan fungsi f(z) dalam cara yang sederhana, pertama kita perlu meninjau turunan dari fungsi fungsi bernilai kompleks w dari variabel riil t . Kita menuliskannya sebagai :

(1) dimana fungsi u dan v adalah fungsi bernilai riil t . Turunan w' t( ) atau

dt t w

d[ ( )] dari fungsi (1) pada titik t didefinsikan sebagai

(2) asalkan 'u dan v ada pada ' t .

Dari definsi (2), untuk setiap konstanta kompleks z₀ = x +iy₀kita punyai

(3)

(4)

Berbagai aturan yang telah dipelajari di kalkulus, seperti pencarian turunan jumlah dan hasil kali, dapat diterapkan seperti pada fungsi bernilai riil. Sebagai contoh (3) dan (4). Tetapi perlu di catat bahwa tidak semua aturan turunan di kalkulus dapat diterapkan pada fungsi (1) . Contoh berikut adalah ilustrasi untuk hal itu.

Contoh 1 :

Misal w(t)kontinu pada interval atb, sehingga fungsi komponen u(t) dan v(t) kontinu pada interval tersebut. Meski w' t( )ada pada atb, namun teorema nilai rata-rata tidak dapat diterapkan, yakni tidaklah benar terdapat bilangan riil cdalam interval atb demikian sehingga

untuk melihat hal ini, tinjau fungsi w(t)=e^it pada interval 0 t 2. Perhatikan bahwa 1

) (

' t = ie^it =

w dan ini berarti w'(t)0 untuk setiap t dalam interval 0 t 2. Tetapi 0

) 0 ( ) 2

( − w =

w  .

Jika w(t)fungsi peubah riil bernilai kompleks seperti pada (1), integral tentu dari )

(t

w pada interval at b didefinisikan sebagai

(5) asalkan masing-masing integral pada ruas kanan ada. Sehingga

(6)

Contoh 2 :

Integral tak wajar dari w(t) pada interval tak terbatas didefinsikan dengan cara yang serupa. Keberadaan dari integral dari u dan v pada definisi (5) dijamin jika kedua fungsi kontinu sepotong demi sepotong pada atb. Artinya kedua fungsi kontinu di mana-mana pada interval yang diberikan kecuali pada berhingga titik , dan walau pun tidak kontinu tapi masih punya limit satu sisi. Tentu saja, hanya limit dari arah kanan yang dibutuhkan pada a dan hanya limit dari arah kiri yang dibutuhkan pada b . Jika u dan v kontinu sepotong-sepotong maka w juga dikatakan kontinu sepotong-sepotong.

Selanjutnya kita punyai

Teorema Dasar Kalkulus, melibatkan anti turunan dapat diperluas sehingga dapat diterapkan pada integral tipe (5). Secara spesifik , misal fungsi

kontinu pada interval at b. Jika W'(t)=w(t) jika at b, maka U'(t)=u(t) dan )

( ) ( ' t v t

V = . Sehingga, menurut definisi (2)

yakni

(7) Contoh 3 :

Karena (e^it)'=ie^it

Berikut adalah ketaksamaan yang terkait dengan nilai mutlak integral,

(8) asalkan w terintegralkan pada selang [a,b], dan

(9) asalkan kedua integral tak wajar ada.

Latihan :

1. Gunakan aturan yang bersesuaian di kalkulus untuk membuktikan aturan yang berikut jika

adalah fungsi bernilai kompleks dari peubah riil t dan w' t( ) ada

2. Hitung integral berikut

3. Tunjukkan bahwa jika m dan n bilangan bulat

4. Berdasarkan definsi (5) ,

Hitung dua integral di sebelah kanan dengan menghitung integral pada sebelah kiri dan menggunakan bagian riil dan imajiner dari nilai yang diperoleh.

5. Misal w(t) fungsi kontinu bernilai kompleks dari peubah t terdefinisi pada interval at b. Dengan memperhatikan kasus w(t)=e^it pada interval 0 t2 tunjukkan bahwa tidak benar terdapat bilangan riil c pada interval at b demikian sehingga

Jadi tunjukkan bahwa teorema nilai rata-rata untuk integral di kalkulus tidak dapat diterapkan pada fungsi yang demikian.

6. Misal w(t)=u(t)+iv(t) adalah fungsi kontinu bernilai kompleks pada interval a

t a 

− ,

(a) Misal w(t) adalah genap, yakni w(−t)=w(t) untuk setiap t pada interval yang diberikan. Tunjukkan bahwa :

(b) Misal w(t) adalah ganjil, yakni w(−t)=−w(t) untuk setiap t pada interval yang diberikan. Tunjukkan bahwa :

7. Terapkan ketidaksamaan (8) untuk menunjukkan semua nilai x pada interval 1

1 

− x fungsi

memenuhi persamaan P_n(x) 1

Lintasan

Indikator Pencapaian Hasil Belajar

Mahasiswa menunjukkan kemampuan dalam :

1. Mendeskripsikan suatu lintasan yang persamaannya diberikan

2. Menentukan persamaan lintasan yang memenuhi kriteria yang diberikan Materi Ajar

Integral bernilai komplek dari variabel kompleks didefinisikan pada kurva di bidang kompleks dari pada hanya pada garis riil. Kurva-kurva yang demikian akan di kenalkan pada bagian ini.

Himpunan dari titik z =(x,y) pada bidang kompleks dikatakan suatu busur jika (1) dengan x(t) dan y(t) fungsi kontinu dengan parameter riil t . Definisi ini menentukan suatu fungsi kontinu pada interval atb ke bidang-xy atau bidang- z , dan titik-titik bayangannya adalah pasangan-pasangan terurut berkaitan dengan bertambahnya nilai dari t . Biasanya titik-titik tersebut dideskripsikan sebagai C yang ditentukan dengan persamaan

(2) dengan

(3)

Busur C dikatakan sederhana atau Jordan jika dia tidak memotong dirinya sendiri , yakni C sederhana jika z(t₁)z(t₂) jika t ₁ t₂. Jika busur C sederhana tapi

) ( ) (b z a

z = , kita katakan bahwa C adalah kurva tertutup sederhana atau kurva Jordan.

Perilaku geometris dari busur menyarankan notasi yang berbeda untuk paramater t pada (2). Hal tersebut dapat dilihat pada contoh-contoh berikut

Contoh 1 :

Garis poligonal yang ditentukan persamaan

(4) dan terdiri dari ruas garis dari 0 ke 1+i dilanjutkan dengan dari 1+i ke 2+iadalah busur sederhana

Gambar 1 Contoh 2 :

Lingkaran satuan

(5)

dengan pusat titik asal adalah kurva tertutup sederhaan, dengan orientasi berlawanan perputaran jarum jam. Demikian juga dengan lingkaran

(6) dengan pusat z₀ dan jari-jari R.

Himpunan titik yang sama dapat membuat busur yang berbeda, hal tersebut dapat dilihat pada contoh yang berikut

Contoh 3 : Busur

(7) tidak sama dengan persamaan yang dideskripsikan pada (5) . Himpunan titik-titiknya

sama tetapi lingkarannya dikelilingi berlawanan dengan arah perpuran jarum jam.

Contoh 4 :

Titik-titik pada busur

(8) adalah sama dengan (5) dan (7) . Busurnya dalam hal ini berbeda dengan kedua busur tersebut karena lingkaran dikelilingi dua kali berlawanan arah perputaran jarum jam.

Sekarang misal komponen x' t( ) dan y' t( ) dari turunan

(9)

dari fungsi (3) , yang digunakan untuk merepresentasikan C , adalah kontinu pada interval at b. Maka busur tersebut dikatakan busur yang terdifferensial, dan fungsi bernilai riil

terintegralkan pada interval at b. Berdasarkan definisi panjang kurva di kalkulus, panjang C adalah bilangan

(10) Jika persamaan (2) merepresentasikan suatu kurva yang dapat diturunkan dan jika z'(t)0 di mana-mana di interval atb, maka vektor singgung satuan

didefinisikan dengan baik untuk semua t pada interval buka tersebut, dengan sudut yang dibentuk dengan sumbu riil positif adalah argz'(t). Selanjutnya Tbergerak secara kontinu seraya parameter t bergerak sepanjang interval atb. Ekspresi untuk Tdalam hal ini sama seperti yang dipelajari di kalkulus ketika z(t)diinterpretasikan sebagai vektor. Busur yang demikian dikatakan mulus. Merujuk kepada busur mulus

) (t

z , at b maka kita sepakat bahwa turunan z' t( ) kontinu pada interval at b dan tidak nol pada interval atb.

Lintasan atau busur yang mulus bagian demi bagian terdiri dari sejumlah hingga busur mulus yang dihubungkan ujung ke ujung. Jika persamaan (2) merepresentasikan lintasan, maka z(t) kontinu dengan turunannya z' t( ) kontinu bagian demi bagian. Garis poligonal (4) adalah contoh lintasan. Jika hanya awal dan akhir lintasan yang sama, maka C disebut lintasan tertutup sederhana. Misalnya lingkaran (5) dan (6) atau batas dari daerah segitiga atau persegi panjang yang ditentukan dengan arah tertentu.

Panjang suatu lintasan atau lintasan tertutup sederhana adalah jumlah dari panjang busur-busur mulus yang membentuk lintasan.

Titik-titik pada sebarang kurva tertutup sederhana atau lintasan tutup sederhana adalah batas dari dua domain, yang satu adalah bagian dalam dari C dan terbatas dan yang lainnya adalah bagian luar dari C yang tidak terbatas. Pernyataan ini dikenal sebagai Teorema Kurva Jordan.

Latihan :

1. Misal suatu fungsi f(z)analitik pada suatu titik z =₀ z(t₀) yang terletak pada busur mulus z =z(t), at b. Tunjukkan bahwa jika ^{w(t)= f} ^{z(t) maka}

jika t =t₀

Saran :

Tulis f(z)=u(x,y)+iv(x,y) dan z(t)=x(t)+iy(t) demikian sehingga

^w(t)=u^x(t),y(t) ^+ivx(t),y(t) . Kemudian gunakan aturan rantai untuk fungsi dua peubah untuk membuktikan

dan gunakan persamaan Cauchy-Riemann

2. Misal y(x) fungsi bernilai riil yang didefinisikan pada interval 0 x1 dengan

(a) Tunjukkan bahwa persamaan

Merepresentasikan suatu busur C yang beriirisan dengan sumbu- x pada titik-titik

z= n1 ( =n 1,2,...) dan z=0 seperti yang ditunjukkan Gambar 3 berikut

Gambar 3 (b) Buktikan bahwa busur C pada (a) adalah busur mulus

Saran :

Untuk menunjukkan kekontinuan dari y(x)pada x=0 perhatikan bahwa

jika x0. Catatan serupa diterapkan untuk mencari y'(0) dan menunjukkan bahwa y' x( ) kontinu pada x=0

Integral Lintasan

Indikator Pencapaian Hasil Belajar

Mahasiswa menunjukkan kemampuan dalam : Menghitung integral atas suatu lintasan Materi Ajar

Sekarang kita akan menghitung integral dari fungsi variabel kompleks z . Integral yang demikian pendefinisiannya bergantung pada nilai f(z) sepanjang lintasan C , dari titik z = z₁ ke titik z = z₂ pada bidang kompleks. Sehingga ini adalah integral garis dan nilainya secara umum bergantung pada lintasan C dan fungsi f . Ditulis sebagai

Notasi yang disebelah kanan seringkali digunakan jika nilai integral tidak bergantung pada lintasan yang dipilih diantara dua titik tetap. Meski integral dapat didefinisikan sebagai limit dari suatu jumlah, kita memilih pendefinisian seperti integral yang telah dikenalkan sebelum ini.

Misal persamaan

(1) merepresentasikan suatu lintasan C dari titik z(a) ke titik z(b). Misal fungsi

) (z

f kontinu bagian demi bagian pada interval atb. Kita mendefinisikan integral garis atau integral lintasan dari f sepanjang C sebagai :

(2) Catat bahwa, karena C lintasan, z' t( )juga kontinu bagian demi bagian , sehingga integral (2) dijamin eksistensinya.

Nilai dari integral lintasan tetap meski representasi dari lintasannya berubah. Hal tersebut dapat ditunjukkan melalui prosedur umum yang sama untuk menunjukkan tetapnya panjang selang.

Selanjutnya dari definisi (2) dan sifat integral fungsi bernilai kompleks w(t)kita mempunyai

atau

(3)

(4) Berkaitan dengan lintasan C yang digunakan pada (2) adalah lintasan C− yang terdiri dari himpunan semua titik-titik yang sama tapi dengan urutan yang dibalik sedemikian sehingga lintasan dari dimulai dari z₂ ke titik z₁.

Gambar 1 Lintasan C− memiliki representasi parametrik

dan sehingga

dengan z − menyatakan turunan dari '( t) z(t) terhadap t dievaluasi pada t− . Dengan substitusi  =−t , kita peroleh

yang sama dengan

(5) Tinjau suatu lintasan C , dengan representasi (1), yang terdiri dari lintasan C₁ dari z1ke z₂ diikuti dengan lintasan C₂dari z₂dan z₃, yakni titik awal C₂adalah titik ujung dari C₁

untuk sebarang konstanta kompleks z₀

Gambar 2

Terdapat nilai cdari t , dengan acb sedemikian sehingga z(c)= z₂. Akibatnya C1 dinyatakan sebagai

dan C₂ dinyatakan sebagai

dengan aturan untuk integral fungsiw(t) ,

maka diperoleh

Terkadang lintasan C disebut jumlah dari kaki-kakinya C₁ dan C₂ dan dituliskan sebagai C +₁ C₂. Jumlah dari dua lintasan C₁ dan −C₂ terdefinisi dengan baik jika C₁ dan C₂memiliki titik ujung yang sama, dan dituliskan sebagai C −₁ C₂.

Definisi integral di kalkululuas dapat diinterpretasikan sebagai luas, tidak ada interpretasi geometrik atau fisik yang dapat dibuat untuk integral dalam bidang kompleks.

Contoh 1 :

Mari kita hitung integral

dengan C adalah setengah lingkaran sebelah kanan dari lingkaran z =2 dari z =−2ike i

z= 2

Gambar 3 C dapat direpresentasikan sebagai

Sesuai dengan definisi (2),

dan karena

Ini berarti,

Contoh 2 :

Misal C₁ menyatakan lintasan OAB seperti gambar berikut

Gambar 4 Kita akan menghitung

dengan

dan

OA dapat dinyatakan secara parametrik sebagai z =0+iy (0 y1), maka )

(z y

f = (0 y1), sehingga

Pada AB, z =x+i(0 x1), sehingga

Diperoleh

Jika C₂ menyatakan segmen OB pada garis y = x, dengan representasi parametrik )

1 0

(  

+

= x ix x

z , maka

Dapat dilihat bahwa integral sepanjang dua lintasan C₁ dan C₂memiliki nilai yang berbeda meski mereka memiliki titik awal dan titik ujung yang berbeda.

Latihan : 1. Hitung

dengan fungsi f dan lintasan C yang diberikan berikut ini a. f(z)=(z+2)/z dan C adalah lintasan z=2e^i (  2) b. f(z)= z−1 dan C adalah lintasan dari z=0 ke z=2 berupa

(i) z= 1+e^i (  2) (ii) ruas garis 0 x2

c. f(z)=exp(z) dan C adalah batas dari persegi dengan titik-titik sudut +i

1 , 1 ,

0 dan i dengan arah berlawanan dengan arah perputaran jarum jam

d. 0

0 jika

jika 4 ) 1

( 





=

y y z y

f dan C dari z = 1− −i ke z= 1+isepanjang kurva y =x³ e. f(z) adalah cabang dari fungsi pangkat

dan C adalah lingkaran satuan dengan arah positif

2. Hitung

jika C adalah lintasan yang persamaannya diberikan sebagai

3. Hitung

dengan m,n bilangan bulat dan C lingkaran satuan z =1 dengan arah berlawanan perputaran jarum jam

4. Misal C dan C₀ adalah lingkaran

Gunakan representasi parametrik tersebut untuk menghitung

jika f adalah fungsi yang kontinu bagian demibagian pada C

5. Misal C₀ adalah lingkaran z−z₀ =R dengan arah berlawanan perputaran jarum jam. Gunakan representasi parametrik z =z₀ +Re^i , −   untuk C₀ untuk menurunkan rumus integrasi