BAB II LANDASAN TEORI. persamaan yang mengandung diferensial. Persamaan diferensial

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Persamaan Diferensial

Dari kata “persamaan” dan “diferensial”, dapat dilihat bahwa Persamaan Diferensial berkaitan dengan penyelesaian suatu bentuk persamaan yang mengandung diferensial. Persamaan diferensial merupakan suatu persamaan yang memuat turunan satu atau beberapa dari suatu fungsi yang tak diketahui. Persamaan tersebut layaknya disebut

“persamaan turunan“ karena memuat turunan akan tetapi istilah

“persamaan diferensial” (aequatio differentialis) yang dikenalkan oleh Leibniz pada tahun 1676 sudah umum digunakan sehingga untuk selanjutnya dikenal dengan nama persamaan diferensial.

Definisi 1:Suatu persamaan yang mengandung turunan dari satu atau beberapa variabel tak bebas terhadap satu atau beberapa variabel bebas, dinamakan Persamaan Diferensial (PD).

Contoh 1:

Berikut merupakan beberapa contoh bentuk persamaan diferensial:

1. 0,

2

2 2

 



 



  dx xy dy dx

y

d 3. 5 ₂ 3 0,

2 4 4





 x

dt x d dt

x d

2. v,

t v s

v 









4.

2 0

2 2 2 2 2

 











z u y

u x

u

5

B. Klasifikasi Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial dapat diklasifikasikan berdasarkan tipe, orde dan kelinearannya.

1. Klasifikasi berdasarkan tipe

Berdasarkan tipenya, persamaan diferensial di bedakan menjadi dua tipe yaitu :

a. Persamaan Diferensial Biasa

Definisi 2: Suatu persamaan diferensial yang hanya melibatkan satu atau beberapa turunan dari suatu fungsi tak tentu y terhadap x dan mungkin fungsi y sendiri, fungsi tertentu dari x, dan konstan-konstan disebut Persamaan Diferensial Biasa.

Jika sebuah persamaan hanya mengandung turunan biasa dari satu atau beberapa variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas, maka persamaan diferensial yang bersangkutan dinamakan Persamaan Diferensial Biasa (Ordinary Differential Equations, ODE).

Contoh 2:

Persamaan diferensial:

ex

dx y

dy10 

dan

0

2 6

2





 y

dx dy dx

y d

merupakan persamaan diferensial biasa.

b. Persamaan Diferensial Parsial

Sebuah persamaan diferensial yang mengandung turunan- turunan parsial dari satu atau beberapa variabel tak bebas terhadap dua atau beberapa variabel bebas, dinamakan Persamaan Diferensial Parsial (Partial Differential Equations, PDE).

Contoh 3:

Berikut merupakan contoh persamaan diferensial parsial.

y v x u





 



dan

t u t

u x

u



 







 ₂ 2

2 2 2

2. Klasifikasi berdasarkan orde

Persamaan diferensial memiliki orde dan derajat tertentu.

Tingkat (orde) persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi turunan yang timbul. Sedangkan derajat (pangkat) persamaan diferensial yang dapat ditulis sebagai polinomial dalam turunan, adalah derajat turunan tingkat tertinggi yang terjadi (Ayres, 1995:1).

Contoh 4:

Persamaan (y - x) dx + 4x dy = 0 dapat dinyatakan dalam bentuk:

x dx y

xdy  4

yang terdiri dari diferensial orde pertama, jadi persamaan diferensial tersebut dinamakan persamaan diferensial orde pertama.

Contoh 5:

Persamaan diferensial

2 2

2 2

4

5 y e

dx dy dx

y

d   



 



 

terdiri atas PD orde kedua, yatu:

2 2

dx y d

dan diferensial orde pertama



 



 dx dy

tetapi secara keseluruhan persamaan diferensial tersebut dikatakan persamaan diferensial orde kedua, karena orde tertinggi dalam persamaan tersebut adalah diferensial orde kedua.

Bentuk umum persamaan diferensial biasa orde ke-n seringkali dituliskan secara simbolis sebagai berikut:

F(x, y, y, y, . . . , y ⁽ⁿ⁾) = 0

Secara umum persamaan diferensial tersebut memiliki penyelesaian yang berbentuk

y ⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y, y, . . . ,y ^{(n – 1)})

3. Klasifikasi berdasarkan kelinearan

Berdasarkan kelinearannya terdapat dua bentuk persamaan diferensial yaitu :

a. Persamaan Diferensial Linear

Suatu persamaan diferensial y ⁽ⁿ⁾= f(x, y, y, y,...,y ^{(n – 1)}) dikatakan linear jika f merupakan fungsi linear dari y, y, y,...,y ^(n-1).

Ini berarti bahwa suatu persamaan dikatakan linear jika dapat dituliskan dalam bentuk:

) ( ) ( )

( )

( )

( )

( _{2 1 0}

2 1 2

1

1 a x y g x

dx x dy dx a

y x d dx a

y x d dx a

y x d

a _n

n n n

n n n

n

n   _    



 



 

Dari persamaan tersebut dapat dilihat adanya tiga karakteristik persamaan diferensial linear, yaitu:

1) Variabel terikat y dan semua turunannya merupakan diferensial berderajat satu.

2) Masing-masing koefisien hanya bergantung pada variabel bebas x.

3) Tidak mengandung bentuk perkalian antara sebuah variabel terikat dengan variabel terikat lainnya.

Contoh 6 :

Persamaan diferensial:

1) (yx)dx4xdy0 PD Linear orde satu 2) y2yy0 PD Linear orde dua

3) y e^x

dx xdy dx

y

x d ₃ 4 6 

3

3 PD Linear orde tiga

b. Persamaan Diferensial Non Linear

Definisi 3: Persamaan Diferensial Non Linear adalah persamaan diferensial yang bukan persamaan diferensial linear.

Contoh 7:

Persamaan diferensial berikut:

1) y e^x

dx

y dy 

 ) 2

1 (

 PD Non Linear orde satu.

2) ₂ sin 0

2



 y

dx y d

 PD Non Linear orde dua.

3) ₄ ² 0

4

 dx  y

y d

 PD Non Linear orde empat.

Dengan demikian persamaan diferensial F( x, y, ... , y ⁽ⁿ⁾) = 0 adalah persamaan diferensial non-linear, jika salah satu dari berikut dipenuhi oleh F :

1) F tidak berbentuk polinom dalam y, y, ... , y ⁽ⁿ⁾

2) F tidak berbentuk polinom berpangkat lebih dari 2 dalam y, y,..., y⁽ⁿ⁾

Contoh 8:

1) Persamaan yy + xy =0 adalah persamaan diferensial non linear karena F(x, y, y,y) = yy + xy polinom berpangkat dua dalam y, y,y.

2) Persamaan sin cos ₂ 0

2









 

dx y d dx

xydy adalah non linear, karena F

tidak berbentuk polinom dalam y, , ₂ .

2

dx y d dx dy

3) Persamaan ₂ 5 6 ² 0

2





 y

dx dy dx

y

d merupakan persamaan diferensial

non linear karena variabel y bergantung pada 6 y yang berderajat ² dua.

4) Persamaan 5 6 0

3

2 2



 



 



  y

dx dy dx

y

d merupakan persamaan

diferensial non linear karena ada fungsi

3

5 



 



 dx

dy , yang mana

melibatkan derajat tiga pada turunan pertama.

5) Persamaan Riccati ^ya

 

^{x yb}

 

^{x y2 c}

 

^x _.

C. Penyelesaian Persamaan Diferensial

Terdapat dua penyelesaian persamaan diferensial yaitu penyelesaian umum PD dan penyelesaian khusus PD.

1. Penyelesaian Umum Persamaan Diferensial

Definisi 4:Penyelesaian umum persamaan diferensial adalah suatu fungsi f(x) atau keluarga fungsi f(x) yang memenuhi persamaan diferensial, yaitu jika f(x) disubstitusikan untuk y dalam Persamaan Diferensial maka akan menghasilkan suatu pernyataan yang benar.

Banyaknya parameter dalam penyelesaian umum sama dengan orde persamaaan diferensialnya.

(Zuhair(2009:3))

Contoh 9:

Diberikan persamaan diferensial :

0

 dx  y xdy

(1) Tentukan penyelesaian umumnya!

Jawab:

Persamaan (1) dibawa ke bentuk : xdy dxy 0

 1 1 0



 dx dy x y

 dx C

dy x

y 







^{1 1}

 ln y lnx lnC₁, C ln C₁

 ln lnC₁ x

y 

 C₁

x y 

 y C₁x

Jadi penyelesaian umumnya adalah yC₁x

2. Penyelesaian Khusus Persamaan Diferensial

Definisi 5 : Penyelesaian khusus persamaan diferensial linear adalah fungsi yang merupakan anggota dari keluarga fungsi penyelesaian umum persamaan diferensialnya.

Penyelesaian khusus diperoleh dengan mensubstitusikan parameter pada penyelesaian umum oleh suatu konstanta. Pada kasus yang paling sederhana, biasanya penyelesaian persamaan diferensial dapat diselesaikan dengan menggunakan aturan sederhana.

(Zuhair (2009:3))

Masalah Nilai Awal

Bentuk umum persamaan diferensial orde satu sebagai berikut:

y  f(x,y) (2)

dari persamaan diferensial tersebut akan diketahui kedudukan y0 pada saat x0, yaitu jika

y(x0) = y0 (3)

persamaan (2) mempunyai penyelesaian yang memenuhi syarat (3). Syarat (3) disebut syarat awal dari persamaan (2) bersama dengan syarat (3) disebut Masalah Nilai Awal (MNA). Dalam persamaan (3) y0 adalah kedudukan pada saat awal x0.

Contoh 10:

Carilah penyelesaian khusus dari persamaan diferensial berikut:

(1 + x ³) dy – x ²y dx = 0

dengan syarat awal x = 1 , y = 2. (4)

Jawab :

(1 + x ³) dy – x ²y dx = 0

 0

1 1

3 2

 

 dx

x dy x

y (5)

Persamaan (5) diintegrlakan



_y^dy



_^x_x^{3 dxc}

2

1 1

 y  ln1x³ c 3

ln 1

 y  x ³ c

1

1 3

ln ln

 c

x

y 

 ³

1 3) 1 ( ln

diperoleh penyelesaian umum PD

3 1 3) 1

( x

y



= A dimana A e^c

 ³

1 3) 1

( x

A

y  

penyelesaian khusus diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan (4) diperoleh:

³

1 3) 1

( x

A

y 

 ³

1 3) 1 1 ( 2 A 

 ³

1

2 2 A



3 1

2

 2 A

 ³

2

2

 A

 A³ 4

Jadi penyelesaian khususnya adalah :

³

1 3 3 4(1 x )

y 

Contoh 11:

Tentukan interval dimana persamaan diferensial berikut

y2

y 

(6)

dengan syarat awal y(0)1,mempunyai solusi tunggal!

Jawab :

Untuk menemukan penyelesaian pertama nyatakan persamaan (6) dalam bentuk

y²

dy dx 

 y ^{– 2}dy = dx , (7)

penyelesaian diperoleh dengan mengintegralkan persamaan (7)



^y2dy



^dx

diperoleh

y ^{– 1} = x + c

 1 ,

c y x

 

 (8)

substitusi y(0) = 1 untuk x=0 diperoleh

 ,

0 1 1

c

 





1, 1c



c = 1

dengan mensubstitusikan c = 1 ke persamaan (8) diperoleh

 , ) 1 ( 1



 

 x

y

 ,

1 1

 

 x

y (9)

Penyelesaian seperti pada persamaan (9) menjadi takterhingga untuk x1 karena penyelesaian tersebut ada pada interval   < x < 1 dan pada interval 1< x <  penyelesaian terbatas karena jika x=1 maka hasilnya tak terdefinisi.

Jika nilai awal diganti dengan y(0) = y₀, maka konstanta c dalam persamaan (8) menjadi c =

0

1 y

 , sehingga penyelesaiannya menjadi













 





0

1 1

x y y



0

1 1 x y y









0 0

0 1

1 y y

x y y









0

0 1

1 y x y y

 



 ₀ 1

0

 

 y x

y y (10)

penyelesaiannya menjadi takterhingga jika x

0

1

y , sehingga interval keberadaan penyelesaiannya menjadi   < x <

0

1

y jika y₀ > 0 dan

0

1

y < x <

jika y0 < 0.

(Waluya (2006))

D. Penyelesaian Persamaan Diferensial Secara Numerik

Metode secara numerik dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial dengan menggunakan bantuan komputer sebagai alat hitung, ketika metode analitik sulit digunakan. Pada beberapa bentuk persamaan diferensial, khususnya pada diferensial non-linier, penyelesaian analitik sulit sekali dilakukan sehingga metode secara numerik dapat menjadi metode penyelesaian yang disarankan. Pemakaian metode-metode pendekatan dengan metode numerik menjadi suatu alternatif yang dapat digunakan.

1. Metode Numerik

Definisi 6 : Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan / aritmetika biasa (tambah, kurang, kali dan bagi).

Metode artinya cara, sedangkan numerik artinya angka. Jadi metode numerik secara harfiah berarti cara berhitung dengan menggunakan angka-angka.

Perbedaan antara metode numerik dengan metode analitik terletak pada dua hal. Pertama, penyelesaian dengan metode numerik selalu

berbentuk angka. Sedangkan dengan metode analitik menghasilkan penyelesaian dalam bentuk fungsi matematik kemudian dievaluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka. Kedua, dengan metode numerik diperoleh penyelesaian berupa hampiran atau mendekati penyelesaian sejati (solusi tepat) sehingga penyelesaian numerik dinamakan juga penyelesaian hampiran (approximation) atau solusi pendekatan, penyelesaian hampiran jelas tidak tepat sama dengan penyelesaian sejati (solusi tepat) sehingga ada selisih antara keduanya. Selisih tersebut yang disebut dengan galat (error).

2. Metode Deret Taylor

Definisi 7 : Diberikan fungsi f dan semua turunannya, f, f, f, ..., f ⁽ⁿ⁾ di dalam selang [a, b]. Misalkan x0 [a, b], maka untuk nilai- nilai x di sekitar x0 dan x  [a, b], f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret Taylor:

)

! ( ) ) (

! ( 2

) ) (

! ( 1

) ) (

( )

( ₀ ^{0 ( )} ₀

2 0 0

0

0 f x

n x x x

x f x x

x f x x

f x

f ⁿ

 n



 

 

 



  (11)

Misalkan x – x₀ = h, maka :

)

! ( )

! ( ) 2

! ( ) 1 ( )

( ₀ ^{( )} ₀

2 0

0 f x

n x h

h f x h f x f x

f ⁿ

n



 

 



  (12)

(Munir, 2011)

Definisi 8 : Metode Taylor adalah suatu metode pendekatan yang menggunakan deret Taylor sebagai bentuk perbaikan nilai

untuk nilai fungsi secara keseluruhan pada penyelesaian persamaan diferensial.

Deret Taylor digunakan untuk memperoleh suatu hampiran pada nilai penyelesaian dari suatu MNA pada nilai-nilai dari x tertentu.

Diberikan MNA

y f(x,y), x₀  xb (13)

y(x0) = y0 , (14)

akan diperoleh barisan



(xi,yi)



ⁿ_i0yang terletak dekat pada kurva penyelesaian selang [x0, b]. Deret Taylor dari di sekitar x0 berbentuk









x

n

n n

x n x

x x y

y

0

0 0

) (

)

! ( ) ) (

( (15)

dengan mengambil x = xi = x0 + h, di peroleh y(xi) = y (x0 + h)











x

n

n n

x h n x

x y

0

0 0

0 ) (

)

! ( ) (







x

n

n n

n h x y

0

0 ) (

! ) (



 

 

 

 

 _{0 0} ^{0 2 0 3}

! 3

) (

! 2

) ) (

( )

( y x h

x h h y

x y x y



 

 

 



 _{0 0 0} ^{0 2 0 3}

! 3

) (

! 2

) ) (

,

( y x h

x h h y

y x f y

Secara umum jika deret Taylor dihampiri oleh

,

! ) ) (

( )

( ⁰

) ( 0

0

n n

n h x h y

x y x

y   

hampiran tersebut merupakan hampiran Taylor orde n.

(Finizio, 1988:267)

Contoh 12:

Tentukan hampiran dari fungsi f (x) = sin (x) ke dalam deret Taylor di sekitar x0 = 1 !

Jawab :

f (x) = sin (x)

 f (x) = cos (x)

 f (x) =  sin (x)

 f (x) =  cos (x)

 f ⁽⁴⁾(x) = sin (x) dst.

f (x) = sin (x) dan x₀ = 1 disubstitusikan ke dalam bentuk deret Taylor (11) )

! ( ) ) (

! ( 2

) ) (

! ( 1

) ) (

( )

( ₀ ^{0 ( )} ₀

2 0 0

0

0 f x

n x x x

x f x x

x f x x

f x

f ⁿ

 n



 

 

 



 

diperoleh :



 



 



 

 





) 1

! sin(

4 ) 1 (

)) 1 cos(

! ( 3

) 1 )) (

1 sin(

! ( 2

) 1 ) (

1

! cos(

1 ) 1 ) (

1 sin(

) sin(

4

3 2

x

x x

x x

Jika x – 1 = h, maka :

4 3

2

4 3

2

4 3

2

0351 . 0 0901 . 0 4207 . 0 5403 . 0 8415 . 0

) 1 24sin(

)) 1 cos(

6 ( )) 1 sin(

2 ( ) 1 cos(

) 1 sin(

) 1

!sin(

)) 4 1 cos(

!( )) 3 1 sin(

! ( ) 2 1

!cos(

) 1 1 sin(

) sin(

h h

h h

h h

h h

h h

h x h















































Kasus khusus: jika x0 = 0, maka deretnya dinamakan deret Maclaurin, yang merupakan deret Taylor baku.

)

! ( ) ) (

! ( 2

) ) (

! ( 1

) ) (

( )

( ₀ ^{0 ( )} ₀

2 0 0

0

0 f x

n x x x

x f x x

x f x x

f x

f ⁿ

 n



 

 

 



 

) 0

! ( ) 0 ) (

0

! ( 2

) 0 ) (

0

! ( 1

) 0 ) (

0 ( )

( ^{( )}

2

n n

n f f x

f x f x

x

f 



 

 

 



  (16)

Contoh 13:

Tentukan hampiran fungsi f(x) = sin (x) pada deret Maclaurin!

Jawab :

f(x) = sin (x)

 f (x) = cos (x)

 f (x) =  sin (x)

 f (x) =  cos (x)

 f ⁽⁴⁾(x) = sin (x) dst.

dari turunan tersebut disubstitusikan pada persamaan (16)



 



 



 

 





)) 0 (sin(

! 4

) 0 (

)) 0 cos(

! ( 3

) 0 )) (

0 sin(

! ( 2

) 0 ) (

0

! cos(

1 ) 0 ) (

0 sin(

) sin(

4

3 2

x

x x

x x

          (0)

! 4

) ) ( 1

! ( 3

) 0 (

! 2

) 1 (

! 1

) 0 ( ) sin(

4 3

2 x x

x x x

   

! ) 3

sin(

x3

x x

Suku-suku deret Taylor tak terhingga banyaknya, maka(untuk alasan praktis) deret Taylor dipotong sampai suku orde tertentu.

DeretTaylor yang dipotong sampai suku orde ke-m dinamakan deret Taylor terpotong dan dinyatakan oleh :

) ( )

( )

! ( ) (

)

! ( 2

) ) (

! ( 1

) ) (

( ) (

0 ) 0 (

0 2 0 0

0 0

17 x

R x n f

x x

x x f

x x x f x x

f x f

n n

n

 



 

 

 



 

x c x c

n f x x x

R ⁿ

n

n  



  ^



0 )

1 ( ) 1 (

0 ( ),

)!

1 (

) ) (

( (18)

Persamaan (18) merupakan galat/residu/sisa untuk turunan tertentu. Deret Taylor terpotong di sekitar x₀ = 0 disebut deret Maclaurin terpotong.

Contoh 14:

Hitung hampiran nilai f (x) = sin (0,3) dengan deret maclaurin terpotong sampai turunan ke -5!

Jawab:

)

! ( 5

! ) 3

sin( ₅

5 3

x x R

x x

x     (19)

x c x c

x f

c x f

x R









  ^



0 6

6

) 1 5 ( ) 1 5 ( 5

)

! ( 6

) )! (

1 5 (

) 0 ) (

(

(20)

Untuk f (x) = sin (0,3) disubstitusikan ke dalam persamaan (19)

120 ) 3 , 0 ( 6

) 3 , 0 3 ( , 0 ) 3 , 0 sin(

5 3







≈ 0,3 – 0,0045+0,00002025 = 0,2955

3. Metode Transformasi Diferensial

Metode transformasi diferensial merupakan suatu penyelesaian persamaan diferensial secara numerik yang berlandaskan pada deret Taylor. Othman (2010 : 63-64) menjelaskan beberapa definisi mengenai transformasi diferensial sebagai berikut:

a. Transformasi Diferensial Dimensi Satu

Definisi 9: Sebuah Transformasi Diferensial (Differential Transformation(DT)) orde k dari fungsi y(x)=f(x) terdefinisi jika x = x0, berbentuk:

0

)

! ( ) 1 (

x x k

k

x dx y

d x k

Y









  (21)

dimana k anggota himpunan bilangan bulat tak-negatif yang disebut K-domain.

Definisi 10: Fungsi y(x) dapat dinyatakan dalam transformasi diferensial (Differential Transformation), Y (x) sebagai berikut:











0

0) ( )

( ) (

k

kY k x x x

y (22)

Dengan mensubstitusikan persamaan (21) ke persamaan (22), diperoleh:







 





 



0

0

) 0

! ( ) ) (

(

k

x k x

k k

x dx y

d k

x x x

y

(23) yang merupakan rangkaian deret Taylor (15) untuk fungsi y (x) jika x = x0.

Biazar (2010) menyebutkan bahwa jika di ambil x0 = 0 kemudian fungsi y(x) dinyatakan oleh serangkaian terbatas k, maka persamaan (22) dapat ditulis sebagai berikut:









0

) ( )

(

k

xk

k Y x

y

(24)

Untuk menentukan suatu transformasi diferensial dapat menggunakan tabel berikut:

Tabel 1: Bentuk Transformasi Diferensial No Bentuk Fungsi

y(x)

Bentuk Transformasi Diferensial Y(k)

1. f (x)  g (x) F(k)  G (k)

2. g (x) G (k)

3. dx

x g d ( )

(k + 1)G(k +1)

4. _n

n

dx x g d ( )

)

! ( )!

( G k n

k n

k 

5. ₂

2 ( ) )

( dx

x h x d

g

















k

r

r k F r F r k r k

0

) 2 (

) ( ) 2 )(

1 (

6. x ⁿ







 

 k n

n n k

k 0,

, ) 1

(

7. exp(x)

! 1 k

8. sin(x) )

sin( 2

!  

 k 

k

k

9. ^cos(x⁾ )

cos( 2

!  

 k 

k

k

10.



0^xg(^x)^dx ( 1),

k k

G 

dimana k  1

11. ^g(^x)



0^xh(^x)^dx





 

k

r r

r r H k

1g

) 1 ) (

(

, dimana r  1

12. f (x) g (x)



^k 

r F r G k r

0 ( ) ( )

13. f1 (x) f2 (x)…fn (x)







 





k 

k

k

k n

m

k k Fn k k F k

0 0F1 1 2 2 1 1

1 2

1

) (

)...

( ) ( ...

14. g(x + a) ^{1 1} ( ₁),

1

h G k a

h _{h k}

n

k h





 







 untuk n

15. ( ), a1 a

g x





 











 



n

k h

k k h

h h

k h k

h a G h

k x h a a

1

1 1 1

1

1 ( 1) ( )

) 1

( ₀ ¹ ₁

,untuk n

16. y(x) = (1+x)^b

!

) 1 (

) 1 ) (

( k

k b b

k b

Y   

 

b. Transformasi Diferensial Dimensi Dua

Metode ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial non linear. Dengan cara yang sama, dipertimbangkan suatu fungsi dari dua variabel w(x,y) analitik pada daerah K-domain dan memisalkan (x,y) = (x₀,y₀).

Bentuk transformasi diferensialnya adalah sebagai berikut:

) 0 0, (

) ,

! (

! ) 1 , (

y x h

k h k

y x y w h x

h k k

W 













 



(25) dimana w(x,y) adalah fungsi awal dan W(k,h) adalah fungsi transformasi. Invers dari transformasi diferensial W(k, h) didefinisikan sebagai berikut:

















0 0

0

0) ( )

)(

, ( )

, (

k h

h

k y y

x x h k W y

x w

(26)

Dari persamaan (25) dan (26) diperoleh:

   















 



 

0 0

0 0

) , ( 0 0

)}

, (

!{ 1

! ) 1

, (

k h

h k

y h x

k h k

y y x x y

x y w x h y k

x w

(27) Ketika (x₀,y₀) = (0,0) diterapkan pada persamaan (26) maka persamaan akan seperti berikut:



 



M

k N

h

h ky x h k W y

x w

0 0

) , ( )

, (

(28)

Dari kedua bentuk transformasi tersebut diatas yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial non linear adalah metode transformasi diferensial dimensi satu.

4. Transformasi Diferensial Umum

Metode transformasi diferensial umum merupakan salah satu metode untuk menyelesaikan persamaan diferensial non linear orde n.

Teorema 1.1:

Transformasi Diferensial Umum untuk persamaan diferensial non linear dengan bentuk y⁽ⁿ⁾(x)e^xy^m(x) diberikan oleh:

( + ) = !

( + )! ⋯ (−1)

! ( − ( − )

(29) 5. Adomian Dekomposisi Laplace

Metode Adomian Dekomposisi Laplace merupakan salah satu alternatif selesaian untuk persamaan diferensial non linear dan metode

tersebut merupakan gabungan dari aplikasi transformasi Laplace dan polinomial Adomian.

Definisi 11 : Transformasi Laplace (Spiegel, 1999:1)

Diberikan F(x) suatu fungsi dari x yang tertentu untuk x > 0.

Maka transformasi Laplace dari F(x) yang dinyatakan oleh ℒ[ ( )]

didefinisikan sebagai :

ℒ[ ( )] = ( ) = ( )

(30)

Polinomial Adomian

Suatu bentuk fungsi non linear f (y) didekomposisi menjadi bentuk sebagai berikut:

( ) =

(31)

dimana = ( , , , ⋯ , ) merupakan polinomial Adomian, dengan

= ( )

= ′( )

= ( ) + 1

2! ( )

= ( ) + ( ) +

! ( ) (32)

(NN,2007)