BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

(1)

BAB II

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

Tujuan Pembelajaran Umum:

1. Mahasiswa mampu memahami konsep dasar persamaan diferensial.

2. Mahasiswa mampu menggunakan konsep dasar persamaan diferensial untuk menyelesaikan masalah-masalah teknik.

Tujuan Pembelajaran Khusus:

1. Mahasiswa mampu menjelaskan pengertian persamaan diferensial.

2. Mahasiswa mampu menyelesaikan persamaan diferensial orde satu dengan metode pemisahan variabel, substitusi, faktor pengintegralan, dan persamaan Bernoulli.

3. Mahasiswa mampu menyelesaikan persamaan diferensial linear orde dua dengan metode koefisien tak tentu tentu dan metode variasi parameter.

4. Mahasiswa mampu menyelesaikan masalah penerapan persamaan diferensial dalam bidang teknik mesin, seperti mekanika dan lenturan pada batang.

3.1 Pendahuluan

Beberapa pemodelan pada masalah teknik dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial, misalnya masalah mekanika dan lenturan pada batang. Oleh karena itu, materi persamaan diferensial penting dipelajari oleh mahasiswa jurusan teknik agar dapat menyelesaikan masalah teknik yang ditekuninya.

Sebuah persamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung turunan atau diferensial. Orde sebuah persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan. Persamaan diferensial orde satu adalah persamaan dengan turunan tertingginya turunan pertama, demikian seterusnya. Sebagai contoh, dapat dilihat persamaan-persamaan berikut ini.

( )( ) adalah persamaan diferensial orde satu.

adalah persamaan diferensial orde dua.

Persamaan diferensial biasa (ordinary differential equation) adalah persamaan yang hanya melibatkan satu variabel bebas, sedangkan persamaan diferensial yang melibatkan lebih dari satu variabel bebas disebut persamaan diferensial parsial (partial differential equation). Persamaan diferensial yang disertai nilai awal disebut masalah nilai awal, sedangkan yang disertai nilai batas disebut masalah nilai batas.

Nilai awal sebuah persamaan diferensial adalah nilai fungsi ataupun nilai turunan fungsi yang diberikan pada kondisi awal, misalnya y(0) = 2 , y’(0) = 1, dan

(2)

seterusnya. Nilai batas adalah nilai fungsi ataupun nilai turunan fungsi yang diberikan pada kondisi tertentu, misalnya y(1) = 0 , y’(5) = 12, dan seterusnya.

Penyelesaian persamaan diferensial adalah persamaan berbentuk ( ) atau berbentuk ( ) , dengan C konstanta. Penyelesaian persamaan diferensial ada dua macam, yaitu

1. penyelesaian umum yaitu penyelesaian yang masih mengandung konstanta, penyelesaian ini diperoleh jika tidak diberikan nilai awal ataupun nilai batas;

2. penyelesaian khusus yaitu penyelesaian yang tidak mengandung konstanta karena telah disubstitusi oleh nilai awal dan nilai batas yang diberikan.

Metode penyelesaian persamaan diferensial bergantung pada orde dan bentuk persamaannya. Untuk persamaan diferensial orde satu terdapat beberapa metode.

Metode penyelesaian yang cocok untuk persamaan pada contoh nomor satu di atas adalah metode pemisahan variabel. Teknik penyelesaiannya akan diuraikan dibawah ini.

3.2 Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Satu

Metode penyelesaian persamaan diferensial orde satu bergantung pada bentuk persamaannya. Pembahasan akan diawali dari bentuk persamaan yang paling sederhana yang dapat diselesaikan dengan pemisahan variabel, sampai pada persamaan yang agak rumit yaitu persamaan Bernoulli.

3.2.1 Persamaan dengan Variabel Terpisah

Persamaan diferensial ini berbentuk ( ) ( ). Penyelesaian persamaan ini diperoleh dengan metode pemisahan variabel, yaitu:

∫ ( ) ∫ ( )

Contoh 1:

Soal: Tentukan penyelesaian persamaan diferensial orde satu

( )( ) Jawab:

Langkah 1. Pisahkan suku-suku yang mengandung variabel dan variabel ,

(3)

Penyelesaian yang diperoleh adalah .

Contoh 2:

Jawab:

Langkah 1. Pemisahan suku-suku yang mengandung variabel dan variabel , menghasilkan persamaan ^{( )} ^{( )}

Langkah 2. Sebelum menghitung integral, sederhanakan dulu fungsi-fungsi integran di kedua ruas, sehingga persamaan di atas menjadi

( ) ( )

Setelah diintegralkan dan disederhanakan bentuknya maka penyelesaian yang diperoleh adalah

.

3.2.2 Persamaan yang Direduksi menjadi Persamaan Terpisah (Pemisalan)

Proses reduksi dari persamaan yang variabelnya tidak dapat dipisahkan menjadi dapat dipisahkan adalah dengan substitusi. Secara khusus pada subbab ini dibahas persamaan yang berbentuk

( ) sehingga disubstitusi oleh persamaan

Metode ini dikenakan pada persamaan diferensial linear orde satu homogen yaitu persamaan diferensial yang mengandung variabel x dan variabel y yang berderajat sama (pangkat tertinggi variabel x dan y sama). Persamaan diferensial homogen ini disubstitusi oleh persamaan , dengan ( ) dan oleh turunannya yaitu

sehingga hasilnya dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel. Uraiannya dapat dilihat pada contoh berikut.

Contoh 1:

(4)

Jawab:

Langkah 1. Substitusi persamaan dan pada persamaan diferensial, sehingga persamaan menjadi atau

. Ini adalah persamaan diferensial baru yang dihasilkan setelah substitusi. Perhatikan, variabelnya sekarang adalah v dan x ! Langkah 2. Lakukan penyelesaian dengan metode pemisahan variabel!

Penyelesaian yang diperoleh adalah ( ) .

Contoh 2:

Jawab:

Langkah 1. Substitusi persamaan dan pada persamaan diferensial sehingga persamaan menjadi

. Langkah 2. Lakukan penyelesaian dengan metode pemisahan variabel.

3.2.3 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu

Metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear (persamaan diferensial yang variabel y -nya berderajat satu) yaitu metode faktor pengintegralan.

Bentuk umum persamaan diferensial linear ini yaitu

dengan P dan Q masing-masing konstanta atau fungsi dalam x.

Faktor pengintegralan (Fi) adalah eksponen pangkat integral dari fungsi P terhadap variabel x. Ditulis

(5)

Langkah-langkah penyelesaian:

1. Kalikan Fi dengan semua suku pada persamaan diferensial, yaitu

.

Perhatikan bahwa ruas kiri ekivalen dengan

( ) sehingga diperoleh ( )

jika kedua ruas dikalikan dengan dx.

2. Integralkan ruas kiri dan ruas kanan, diperoleh ∫ .

Karena setiap penyelesaian langkah-langkahnya sama, untuk selanjutnya setelah diperoleh Fi, persamaan yang diperoleh pada langkah kedua dapat langsung digunakan. Perhatikan contoh-contoh berikut ini!

Contoh 1:

! Jawab:

Langkah 1. Bandingkan persamaan diferensial pada soal dengan bentuk umum persamaan diferensial Linear, diperoleh fungsi dan fungsi .

Langkah 2. Tentukan Fi yaitu ^∫ . Perhatikan, walaupun integral tak tentu, hasil akhirnya tidak ditambahkan konstanta C.

Langkah 3. Tuliskan persamaan ∫ , dalam hal ini ekivalen dengan persamaan ∫

Langkah 4. Selesaikan integral pada ruas kanan dengan metode pengintegralan parsial.

Contoh 2:

!

(6)

Jawab:

Langkah 1. Tuliskan persamaan diferensial pada soal sesuai dengan bentuk umum persamaan diferensial Linear. Hal ini penting dilakukan untuk mendapatkan fungsi P dan Q dengan tepat. Untuk persamaan diferensial pada contoh ini, bagi setiap sukunya dengan x sehingga persamaan diferensial menjadi

Langkah 2. Bandingkan persamaan diferensial ini dengan bentuk umum persamaan diferensial Linear maka diperoleh fungsi dan fungsi . Langkah 3. Tentukan Fi yaitu ^∫ .

Langkah 5. Selesaikan integral pada ruas kanan.

Contoh 3:

Jawab:

Langkah 1. Bandingkan persamaan diferensial ini dengan bentuk umum persamaan diferensial linear maka diperoleh fungsi dan fungsi

.

Langkah 2. Tentukan Fi yaitu ^∫ .

Langkah 4. Selesaikan integral pada ruas kanan.

(7)

3.2.4 Persamaan Bernoulli

Bentuk umum Persamaan Bernoulli adalah

dengan P dan Q masing-masing konstanta atau fungsi dalam x, dan n bilangan asli.

Langkah-langkah Penyelesaian:

1. Bagi setiap suku persamaan diferensial dengan . 2. Misalnya , kemudian tentukan

.

3. Substitusi persamaan diferensial dengan y dan dy pada langkah 2 sehingga diperoleh persamaan yang baru yaitu

4. Selesaikan dengan metode faktor pengintegralan.

Untuk lebih jelas, perhatikan contoh berikut ini!

Contoh 1:

Jawab:

Langkah 1. Bandingkan persamaan diferensial pada soal dengan bentuk umum persamaan bernoulli, diperoleh . Bagilah persamaan diferensial dengan , diperoleh

Langkah 2. Misalnya , diperoleh

Langkah 3. Substitusikan hasil langkah 2 pada persamaan diferensial di langkah 1, diperoleh persamaan diferensial yang baru yaitu

Langkah 4. Selesaikan persamaan diferensial di langkah 3 dengan metode faktor

(8)

pengintegralan.

Penyelesaian yang diperoleh adalah

Contoh 2:

Jawab:

Langkah 1. Tuliskan persamaan diferensial pada soal dalam bentuk umum persamaan bernoulli, untuk mendapatkan n yang tepat, yaitu

diperoleh . Bagilah persamaan diferensial ini dengan , diperoleh

Langkah 2. Misalnya , diperoleh

Langkah 3. Substitusikan hasil langkah 2 pada persamaan diferensial di langkah 1 sehingga diperoleh persamaan diferensial yang baru yaitu

Langkah 4. Selesaikan persamaan diferensial di langkah 3 dengan metode faktor pengintegralan.

Penyelesaian yang diperoleh adalah

(9)

Latihan 1

A. Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial orde satu berikut ini dengan metode pemisahan variabel atau metode substitusi !

( )

√

B. Tentukan penyelesaian khusus persamaan diferensial orde satu berikut ini dengan metode pemisahan variabel atau metode substitusi !

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 5 ( )

(10)

Latihan 2

A. Tentukan Penyelesaian Umum dari Persamaan Diferensial Orde Satu berikut ini dengan Metode Faktor Pengintegralan atau Metode untuk Persamaan Bernoulli !

( )

( ) ( )

( )

B. Tentukan penyelesaian khusus persamaan diferensial orde satu berikut ini dengan metode faktor pengintegralan!

( )

3.3 Penerapan Persamaan Diferensial Orde Satu

Pada subbab ini akan dibahas penerapan persamaan diferensial orde satu untuk masalah mekanika (gerak lurus) dan tekanan udara.

Langkah-langkah penyelesaian:

1. Rumuskan model matematika soal yang diberikan, yaitu dalam bentuk persamaan diferensial orde satu!