Matematika
Matematika
Matematika
Matematika II
II
II
II
Sudaryatno Sudirham1 2
ISI
Turunan Fungsi-Fungsi: • Fungsi Polinom• Perkalian Fungsi, Pangkat dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit
• Fungsi Trigonometri, Trigonometri Inversi, Logaritmik, Eksponensial
Integral:
• Integral Tak-Tentu • Integral Tentu Persamaan Diferensial • Persamaan Diferensial Orde-1 • Persamaan Diferensial Orde-2
Turunan
Turunan
Turunan
Turunan Fungsi
Fungsi
Fungsi
Fungsi----Fungsi
Fungsi
Fungsi
Fungsi
3
Kita telah melihat bahwa kemiringan garis lurus adalah
) (
) (
1 2
1 2
x x
y y
x y m
− − = ∆ ∆ =
Bagaimanakah dengan garis lengkung?
∆x ∆y
0 1 2
-1
0 1 2 3 4x
y
4
Pengertian-Pengertian
P1 ∆y
∆x x y
P2 y = f(x)
Jarak kedua titik potong semakin kecil jika∆xdi perkecil menjadi∆x*
Pada kondisi ∆xmendekati nol, kita peroleh
) ( ) ( ) ( lim lim
0
0 x f x
x f x x f x y
x
x ∆ = ′
− ∆ + = ∆ ∆
→ ∆ → ∆
Ini merupakanfungsi turunandari
)
(x
f
di titik PEkivalen dengan kemiringan garis singgung di titik P P1 ∆y*
∆x* x y y = f(x)
∗
2 P
Garis Lengkung
Garis lurus dengan kemiringan∆y/∆x memotong garis lengkung di dua titik
(x1,y1) (x2,y2)
x y
f ′(x) di titik (x1,y1) adalah turunanydi titik (x1,y1),
f ′(x) di titik (x2,y2) adalah turunany di titik (x2,y2) ), (x f y=
Pada suatu garis lengkung
maka dikatakan bahwa fungsi f(x) “dapat didiferensiasi di titik tersebut”
x y
x ∆
∆ → ∆lim0
Jika pada suatu titik x1di mana benar ada
Penurunan ini dapat dilakukan jikaymemang merupakan fungsix. Jika tidak, tentulah penurunan itu tidak dapat dilakukan.
x y y dx
d dx dy
x ∆
∆ = =
→ ∆lim0 ) (
Jika dalam suatu domain suatu fungsif(x) dapat di-diferensiasi di semuaxdalam dalam domain tersebut kita katakan bahwa fungsif(x) dapat di-diferensiasi dalam domain.
kita baca “turunan fungsiyterhadapx”
7
k x f y0= ()=
0 0 ) ( ) ( lim
0
0 ∆ =∆ =
− ∆ + = ′
→
∆ x x
x f x x f y
x Contoh:
x x f y1=1()=2
2 2 2 ) ( 2 lim ) (
0
1 ∆ =
∆ = ∆
− ∆ + = ′
→
∆ x
x x
x x x x f
x Contoh:
0 2 4 6 8 10
0 1 2 3 x4 5
y
x y1=2
2 ) ( 1′x= f
Fungsi ramp
Fungsi tetapan
8
Mononom
2 2 2 f (x) 2x
y = =
x x x
x x x x x x x
x x x x f
x
x x
4 ) 2 2 2 ( lim
2 ) 2 ( 2 lim 2 ) ( 2 lim ) (
0
2 2 2
0 2 2
0 2
= ∆ + ×
= ∆
− ∆ + ∆ + = ∆
− ∆ + = ′
→ ∆
→ ∆ →
∆
Turunan fungsi mononom pangkat 2 berbentuk mononom pangkat 1 (kurva garis lurus) Contoh:
3 3 3 f(x) 2x
y= =
2 2 2 2 0
3 3 3 2 3
0
3 3
0 3
6 2 3 2 3 2 lim
2 ) 3 3 ( 2 lim
2 ) ( 2 lim ) (
x x x x x
x
x x x x x x x
x x x x x f
x x
x
= ∆ + ∆ × + × =
∆ − ∆ + ∆ + ∆ + =
∆ − ∆ + = ′
→ ∆
→ ∆
→ ∆
Turunan fungsi mononom pangkat 3 berbentuk mononom pangkat 2 (kurva parabola)
Contoh:
9
n
mx x f y= ()=
) 1 ( )
( × −
=
′ n
x n m y
Secara umum, turunan fungsi mononom
adalah
k x f y′= ′()= Jika n= 1 maka kurva fungsi berbentuk garis lurus dan turunannya berupa nilai konstan,
n
mx y=
) (x f y′= ′
Jika n> 1, maka turunan fungsi akan merupakan fungsi x,
n
mx y=
Fungsi turunan ini dapat diturunkan lagi dan kita mendapatkan fungsi turunan berikutnya, yang mungkin masih dapat diturunkan lagi
) (x f
y′′= ′′ turunan dari y′=f′(x)
) (x f
y′′′= ′′′ turunan dari y′′=f′′(x)
*)Untuk n berupa bilangan tak bulat akan
dibahas kemudian
*)
10
dx dy x f
y′= ′()= disebut turunan pertama,
2 2 ) (
dx y d x f
y′′= ′′ = turunan kedua,
3 3 ) (
dx y d x f
y′′′= ′′′ = turunan ke-tiga, dst.
3 4 4 f(x) 2x
y = =
12
; 12 ) 2 ( 6
; 6 ) 3 ( 2
4 ) 1 2 ( 4
2 ) 1 3 ( 4
= ′′′
= = ′′
= = ′
− −
y
x x y
x x y Contoh:
n
mx x f y= ()=
Kurva fungsi mononom yang memiliki beberapa turunan
akan berpotongan dengan kurva fungsi-fungsi turunannya.
-100 0 100 200
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
4 x y=
3 4x y′=
2 12x
y′′= y′′′=24x
24 = ′′′ ′ y
2 12x y′′=
3 4x y′= Contoh:
3 4x
y′= 2
12x
y′′= y′′′=24x y′′′′=24 4
x
Contoh: y1=f1(x)=4x+2
{
4( ) 2} {
4 2}
4 lim) (
1 ∆ =
+ − + ∆ + = ′ → ∆ x x x x x f x x
f1(x) = 4x+ 2
-4 -2 0 2 4 6 8 10
-1 -0,5 0 0,5 1 1,5x 2
y
4 ) ( ' 1x=
f Turunan fungsi ini
sama dengan turunanf(x)=4x karena turunan dari tetapan 2 adalah 0.
Secara Umum:JikaF(x) = f(x) + K makaFʹ(x) = f′(x)
13
Polinom
) 2 ( 4 ) ( 2 2=f x= x−y f2(x)=4x−8
4 ) ( 2′x= f ) 2 ( 4 ) ( 2x==== x−−−− f
4 ) ( 2′′′′x==== f -15 -10 -5 0 5 10
-1 0 1 2 3 x 4
y
Contoh:
14
Contoh: () 42 2 5
3 3=f x= x + x− y
{
} {
}
2 8 2 2 4 5 2 4 5 ) ( 2 ) ( 4 lim 2 2 0 3 + = + × = ∆ − + − − ∆ + + ∆ + = ′ → ∆ x x x x x x x x x y x 5 2 4 5 )( 3 2
4
4=f x= x+ x+ x− y
{
} {
}
2 8 15 2 2 4 3 5 5 2 4 5 5 ) ( 2 ) ( 4 ) ( 5 lim 2 2 2 3 2 3 0 4 + + = + × + × = ∆ − + + − − ∆ + + ∆ + + ∆ + = ′ → ∆ x x x x x x x x x x x x x x y x Contoh: Secara Umum:Turunan fungsi polinom, yang merupakan jumlah beberapa mononom, adalah jumlah turunan masing-masing mononom dengan syarat setiap mononom yang membentuk polinom itu
memang memiliki turunan.
15 dx dv w dx dw v dx vw d dx
dy= ( )= +
) ( ) )( ( ) ( v w v w w v vw w w v v y y ∆ ∆ + ∆ + ∆ + = ∆ + ∆ + = ∆ + x w v x v w x w v x vw v w v w w v wv x y y y x y ∆ ∆ ∆ + ∆ ∆ + ∆ ∆ = ∆ − ∆ ∆ + ∆ + ∆ + = ∆ − ∆ + = ∆ ∆ ) ( ) (
vw
y
=
Jika maka 16Fungsi Yang Merupakan
Perkalian Dua Fungsi
Contoh: 4 4 4 2 2 3 2 3 30 18 12 6 3 6 2 ) 3 2 ( x x x x x x x dx x x d
y′= × = × + × = + =
5 6x
y= y′=30x4
Turunan adalah
Jika dipandang sebagai perkalian dua fungsi
dx du vw dx dv uw dx dw uv dx du v dx dv u w dx dw uv dx uv d w dx dw uv dx w uv d dx uvw d ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( + + = + + = + = = Jika y=uvw
5 6x y= 4 4 4 4 2 2 2 2 30 12 12 6 ) 4 )( (3x ) 6 )( 2 ( ) 1 )( 3 2 ( ) ( x x x x x x x x x x x dx uvw d dx dy = + + = × + × + × = = Contoh:
Jika dipandang sebagai perkalian tiga fungsi
v v v v y1= 6= 3× 2× Contoh: dx dv v dx dv v dx dv v v dx dv v dx dv v dx dv v dx dv v dx dv v v dx dv v dx dv v v dx dv v dx dv v v dx dv v v dx dv v v dx dy 5 4 5 5 5 2 2 3 4 5 3 2 2 3 2 3 1 6 2 ) ( ) ( ) ( = + + + + = + + + + = + + = dx dv v dx dv dv dv dx
dv6 6 5
6 = = dx dv nv dx dvn= n−1 Contoh ini menunjukkan bahwa
Secara Umum:
Contoh: y=(x2+1)3(x3−1)2 ) 1 2 ( ) 1 )( 1 ( 6 ) 1 ( ) 1 ( 6 ) 1 ( ) 1 ( 6 2 ) 1 ( 3 ) 1 ( ) 3 )( 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 3 2 2 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 3 2 3 3 2 3 2 2 3 2 3 3 2 − + + − = + − + − + = + − + − + = + − + − + = x x x x x x x x x x x x x x x x x dx x d x dx x d x dx dy
Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian dua fungsi dan pangkat suatu fungsi
19
Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi
w v
y= y=vw−1
− = + − = + − = + = = = − − − − − dx dw v dx dv w w dx dv w dx dv w v dx dv w dx dv vw dx dv w dx dw v dx vw d w v dx d dx dy 2 2 1 2 1 1 1 1 1 ) ( 2 w dx dw v dx dv w w v dx
d
− = atau Jadi: 20
Fungsi Rasional
3 2 3 x xy= −
4 2 6 2 4 4 6 2 2 3 9 ) 9 3 ( 2 ) 3 )( 3 ( ) 2 ( x x x x x x x x x x x dx dy + − = − − = − − = Contoh: 2 2 1 x x
y= +
3 2 2 2 4 2 1 0 2 x x x x x dx
dy= + × − × = −
Contoh: 1 dengan ; 1 1 2 2 2 ≠ − + = x x x y 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 ) 1 ( 4 ) 1 ( 2 2 2 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( − − = − − − − = − + − − = x x x x x x x x x x x x dx dy
(agar penyebut tidak nol)
Contoh:
21
(vadalah fungsi yang bisa diturunkan) q
p
n= dengan pdan qadalah bilangan bulat dan q≠ 0 Bilangan tidak bulat
dx dv pv dx dy qyq−1 = p−1
Jika y≠ 0, kita dapatkan
dx dv qy pv dx v d dx dy q p q p 1 1 / ) ( − − = =
( )
/ 1 ( /)1 pqq p pq
q
v v
y− = − = −
dx dv v q p dx dv v q p dx dv qv pv dx v d dx dy q p q p p p q p p p q p 1 ) / ( ) / ( ) 1 ( ) / ( 1 / ) ( − + − − − − = = = = sehingga q p n v v
y= = / yq=vp
Formulasi ini mirip dengan keadaan jikan bulat,
hanya perlu persyaratan bahwa v≠ 0 untuk p/q < 1.
22
Fungsi Berpangkat Tidak Bulat
Kaidah rantai
) (t f
x= dapat diturunkan terhadap t,
) (x F
y= dapat diturunkan terhadap xdan Jika
( )
f(t) g(t) Fy= = dapat diturunkan terhadap tmenjadi maka dt dx dx dy dt dy=
Apabila kita mempunyai persamaan
maka relasi antara xdan ydapat dinyatakan dalam t. Persamaan demikian disebut persamaan parametrik, dan tdisebut parameter. Jika kita eliminasi tdari kedua persamaan di atas, kita dapatkan persamaan yang berbentuk
) ( dan )
(t y ft
f
x= =
) (x F y=
Fungsi Parametrik dan
Kaidah Rantai
Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisit namun sebagian yang lain tidak.
Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunan fungsi dapat dicari dengan cara seperti yang sudah kita pelajari di
atas.
Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah ke dalam bentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebutdiferensiasi implisit. Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsiydapat
didiferensiasi terhadapx.
Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan. Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri, maka operasi yang sama harus dilakukan pula di ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dan kita akan peroleh
8 2
2+ + =
y xy x Contoh:
y x dx dy y x
dx dy y dx dx y dx dy x x
− − = +
= + + +
2 ) 2 (
0 2 2
y x
y x dx dy
2 2
+ + − =
0 ) 2
(x+ y ≠ kita peroleh turunan Jika
25
4 3
4 3 4
4+ − =
y xy x
0 12 4 ) 3 ( 4 4
0 ) 3 ( ) 4 ( 4 4
3 3 2 3
4 3
3 3
= − + +
= − + +
dx dy y y dx dy y x x
dx y d dx
x d y dx dy x x
Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah persamaan. Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kita akan memperoleh
Contoh:
) ( 3
) (
3 2
3 3
y xy
y x dx dy
− + − = 0 )
(xy2−y3 ≠ kita dapat memperoleh turunan
Untuk
26
x
x x x x x
x x x x dx
x d dx dy
∆ − ∆ + ∆ =
∆ − ∆ + = =
sin sin cos cos sin
sin ) sin( sin
x y=sin maka Jika
Untuk nilai yang kecil, Δxmenuju nol, cos∆x = 1 dan sin∆x = ∆x. Oleh karena itu
x dx
x d
cos
sin =
27
Turunan Fungsi Trigonometri
x x x x x x
x x x x dx
x d dx dy
∆ − ∆ − ∆ =
∆ − ∆ + = =
cos sin sin cos cos
cos ) cos( cos
x y=cos maka Jika
Untuk nilai yang kecil, Δxmenuju nol, cos∆x = 1 dan sin∆x = ∆x. Oleh karena itu
x dx
x d
sin
cos =−
28
Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.
x x x
x x x x x dx d dx
x
d 2
2 2
2
sec cos
1 cos
) sin ( sin cos cos sin
tan = − − = =
=
x x x
x x x x x dx
d dx
x
d 2
2 2
2
csc sin
1 sin
) (cos cos sin sin cos
cot =− − = − =−
=
x x x x
x x x
dx d dx
x d
tan sec cos
sin cos
) sin ( 0 cos
1 sec
2
2 = =
− − =
=
x x x
x
x x x dx
d dx
x d
cot csc sin
cos sin
) (cos 0 sin
1 csc
2
2 =−
− = − =
=
Contoh:
Tegangan pada suatu kapasitor dengan kapasitansi C= 2×10-6farad
merupakan fungsi sinus vC= 200sin400tvolt. Arus yang mengalir pada
kapasitor ini adalah
Hubungan antara tegangan kapasitor vCdan arus kapasitor iCadalah
dt dv C
i C
C=
(
200sin400)
0,160cos400ampere 102 6 t t
dt d dt
dv C
i C
C= = × × =
-200 -100 0 100 200
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 vC iC
vC
iC
Contoh:
Arus pada suatu inductor L= 2,5 henry merupakan fungsi sinus iL= −0,2cos400t ampere.
Hubungan antara tegangan induktor vLdan arus induktor iLadalah
dt di L
v L
L=
(
t)
t tdt d dt di L
vL= L=2,5× −0,2cos400 =2,5×0,2×sin400×400=200sin400
vL
iL
vLiL
-200 -100 0 100 200
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05t[detik]
31
x
y=sin−1 x=siny dx=cosydy
y dx dy
cos 1 =
2 1
1
x dx dy
− = x
1
2
1
−
x
y
y dx dy
sin 1 −
= 2
1 1
x dx dy
− − =
x
1
1
−
x
2y x
y=cos−1 x=cosy dx=−sinydy
32
Turunan Fungsi Trigonometri Inversi
x
y=tan−1 x=tany
dy y
dx 2
cos 1 =
y dx dy=cos2
2 1
1 x dx dy
+ = x
1 2
1
+
x
y
x
y=cot−1 x=coty dy
y dx
2 sin
1 − =
y dx
dy 2
sin −
= 2
1 1 x dx dy
+ − =
x
1 2
1
+
x
y
33
x y=sec−1
y y x
cos 1
sec =
= dy
y x dx
2 cos
) sin ( 0−− =
1 1
1 1 sin cos
2 2 2 2
− =
− × = =
x x
x x
x y
y dx dy
1
x
1
2
−
x
y
x y=csc−1
y y x
sin 1
csc =
= dy
y x dx
2 sin
) (cos 0− =
1 1
1 1 cos sin
2
2 2 2
− − =
− × − = − =
x x
x x
x y y dx dy 1
x
1
2
−
x
y
34
dx dv v dx dv dv
v d dx
v d
cos ) (sin )
(sin = =
dx dv v dx dv dv
v d dx
v d
sin ) (cos )
(cos = =−
Jika v = f(x), maka
dx dv v dx dv
x x x v v dx
d dx
v
d 2
2 2 2
sec cos
sin cos cos sin )
(tan = + =
=
dx dv v v v dx d dx
v
d 2
csc sin cos )
(cot =−
=
dx dv v v dx dv
v v v dx
d dx
v d
tan sec cos
sin 0 cos
1 ) (sec
2 =
+ =
=
dx dv v v v dx
d dx
v d
cot csc sin
1 )
(csc =−
=
Fungsi Trigonometri dari Suatu Fungsi
dx dw
w dx
w d
2 1
1 1 ) (sin
− = −
dx dw
w dx
w d
2 1
1 1 ) (cos
− − = −
dx dw
w dx
w d
2 1
1 1 ) (tan
+ = −
dx dw w dx
w d
2 1
1 1 ) (cot
+ − = −
dx dw
w w dx
w d
1 1 ) (sec
2 1
− = −
dx dw
w w dx
w d
1 1 ) (csc
2 1
− − = −
Turunan Fungsi Logaritmik
) 0 ( 1 ln ) (
1 >
=
=
∫
dt xt x x
f x
x x
f()=ln didefinisikan melalui suatu integral Fungsi logaritmik
luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, dalam selang
antara t= 1 dan t= x
x t
1/x 1/t
x +∆x 1/(x+∆x)
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4
y
∫
= x dtt x
1 1 ln
∆ = ∆
− ∆ +
=
∫
x+∆xx tdt x x
x x x dx
x
dln ln( ) ln() 1 1
Luas bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (Δx×1/x). Namun jika Δx
makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati (Δx×1/x); dan jika Δx
mendekati nol luas tersebut sama dengan (Δx×1/x).
x dx
x dln =1 ln(x+∆x)−lnx
Tentang integral akan dipelajari lebih lanjut
37
Turunan Fungsi Eksponensial
x
e
y= lny=xlne=x
penurunan secara implisit di kedua sisi
1 1
ln = =
dx dy y dx
y d
x
e y dx
dy= =
atau Jadi turunan dari exadalah exitu sendiri
x
e
y′= y′′=ex y′′′=ex dst.
.
dx dv e dx dv dv de dx
dev= v = v
) (x v v=
Jika
x
e y= tan−1
2 tan 1 tan
1
tan 1
1
x e dx
x d e dx
dy x x
+ = =
−
− −
38
dxdandydidefinisikan sebagai berikut:
Turunan fungsi y(x) terhadap xdinyatakan dengan formulasi
) ( lim
0 x f x y dx dy
x ′ = ∆ ∆ =
→ ∆
Sekarang kita akan melihat dxdan dyyang didefinisikan sedemikian rupa sehingga rasio dy/dx, jika dx≠0, sama dengan turunan fungsi y
terhadap x. Hal ini mudah dilakukan jika xadalah peubah bebas dan
ymerupakan fungsi dari x:y=F(x)
dx x F dy= '()
2).dy, yang disebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dx yang dinyatakan dengan
1).dx, yang disebut sebagai diferensial x, adalah bilangan nyatadan merupakan peubah bebaslain selain x;
39
Diferensial
dx
dan
dy
Penjelasan secara grafisP dx
dy
θ y
x
Ini adalah peubah bebas
Ini adalah fungsi (peubah tak bebas)
dx x F
dy= '() P
dx dy
θ y
x
Jikadxberubah, makady
berubah sedemikian rupa sehinggady/dx sama dengan kemiringan garis singgung pada kurva
θ =tan dx
dy dy=(tanθ)dx adalahsepanjang garis singgung di besarperubahan nilai y
titik P pada kurva, jika nilai x
berubah sebesar dx
adalahlajuperubahan y
terhadap perubahan x.
40 P
dx
dy θ
x y
P dx dy
θ
x y
P dx
dy θ
x y
Diferensial dxdianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke kanan” dan negatif jika “mengarah ke kiri”.
Diferensial dydianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke atas” dan negatif jika “mengarah ke bawah”.
Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam tabel berikut.
Dalam tabel ini vadalah fungsi x.
konstan ;
0 =
= c dx dc
dx dv c dx dcv=
dx dw dx dv dx
w v d(+ )= +
cdv dcv=
konstan ;
0 =
= c dc
dw dv w v d(+ )= +
dx dv w dx dw v dx dvw= +
wdv vdw vw d( )= +
2 w
dx dw v dx dv w
dx w v
d −
=
2 w
vdw wdv
w v d = −
dx dv nv dx
dvn= n−1 dvn=nvn−1dv 1
−
= n n
cnx dx
dcx d(cxn)=cnxn−1dx Diferensial Turunan Fungsi
Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi.
1).Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri tabel), kemudian dikalikan dengan dx.
2). Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan tabel)
Contoh: = 3−3 2+5 −6
x x x y
5 6
32− +
=
′ x x
y
dx x x dy=(32−6 +5)
sehingga
Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan formula dalam tabel di atas
dx x x
dx xdx dx x d x d x d x d dy
) 5 6 3 (
5 6 3 ) 6 ( ) 5 ( ) 3 ( ) (
2
2 2
3
+ − =
Integral
43
Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta untuk mencari suatu fungsi ysedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x
tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan
) (x f dx dy=
Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi xseperti ini disebut persamaan diferensial.
0 3 6
6 5 2
2 2 2
2 2
= + +
+ + =
y x dx dy xy dx
y d
x x dx dy Contoh persamaan diferensial
Pengertian-Pengertian
44
1. Integral Tak Tentu
) (x F y=
Suatu fungsi dikatakan merupakansolusi dari persamaan diferensial jika dalam rentang tertentuia dapat diturunkan dan dapat
memenuhi
) ( ) (
x f dx
x
dF =
) (x f dx dy=
Tinjau persamaan diferensial
[
()+]
= ()+ = ()+0 dxx dF dx dK dx
x dF dx
K x F d
Karena maka
K x F y= ( )+
fungsi juga merupakan solusi
45
Integrasi ruas kiri dan ruas kanan memberikan secara umum
K x F dx x
f = +
∫
() ()dx x f x dF()= ()
Jadi integral dari diferensial suatu fungsiadalahfungsi itu sendiri ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral tak
tentudi mana masih ada nilai tetapan Kyang harus dicari
) ( ) (
x f dx
x dF =
46
dapat dituliskan
4 5x dx dy=
dx x dy=54
dx x x d(5)=54
K x x d dx x
y=
∫
54 =∫
(5)= 5+Cari solusi persamaan diferensial
ubah ke dalam bentuk diferensial
Kita tahu bahwa
Contoh:
oleh karena itu
Carilah solusi persamaan
y x dx dy= 2 Contoh:
dx y x
dy= 2 kelompokkan peubah sehingga
ruas kiri dan kanan mengandung peubah berbeda dx
x dy y−1/2 = 2
( )
y y dyd21/2 = −1/2 d x3 x2dx
3
1 =
( )
= 3
2 / 1
3 1
2y d x
d
Jika kedua ruas diintegrasi
2 3 1 2 / 1
3 1
2y +K= x +K
K x K K x
y = + − = 3+
1 2 3 2 / 1
3 1 3
Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untuk memiliki kemampuan mendugajawaban. Beberapa hal tersebut di bawah ini
dapat memperingan upaya pendugaan tersebut.
K y dy= +
∫
1. Integral dari suatu diferensial dyadalah yditambah konstantaK.
∫
∫
ady=a dy2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan
1 jika , 1 1
− ≠ + +
= +
∫
K nn y dy y
n n
3. Jika bilangan n≠ −1, maka integral dari yndydiperoleh dengan
menambah pangkat ndengan 1 menjadi (n+ 1) dan membaginya dengan (n + 1).
49
Penggunaan Integral Tak Tentu
Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai Kyang merupakan bilangan nyata sembarang.
Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal melainkan banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang
dimiliki oleh K.
kurva y=10x2
adalah kurva bernilai tunggal
50 100
-5 -3 -1 1 3x5 y = 10x2
y
50 100
-5 -3 -1 1 3 5 K1
K2 K3 yi= 10x2+Ki
y
x
K x dx
x = +
∫
3 102 3 10kurva
adalah kurva bernilai banyak
50
Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai Kdiperoleh dengan menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal.
Kecepatan sebuah benda bergerak dinyatakan sebagai
3 0= s
Posisi benda pada waktu t = 0 adalah ; tentukanlah posisi benda pada t= 4.
Contoh:
t at v= =3
kecepatan percepatan waktu
dt ds v=
Kecepatan adalah laju perubahan jarak,
dt dv a=
Percepatan adalah laju perubahan kecepatan,
.
vdt ds=
∫
= + = += atdt t K t K
s 2
2 5 , 1 2 3
27 4= s
sehingga pada t= 4 posisi benda adalah
K + =0
3 K =3
Kondisi awal: pada t = 0, s0= 3 s=1,5t2+3
51
Luas Sebagai Suatu Integral
) (x f y=
Kita akan mencari luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva sumbu-x, garis vertikal x= p, dan x= q.
Contoh:
y= f(x) =2 y
x 0
2
p x x+∆x q
Apx ∆Apx
) (
2 f x
x Apx= = ∆ ∆
atau
2 ) ( lim
0 ∆ = = =
∆ →
∆ dx f x
dA x
Apx px
x
K x dx dA
Apx=
∫
px=∫
2 =2 +Kondisi awal (kondisi batas) adalah Apx= 0untuk x= p K
p+ =2
0 atau K=−2p x Apx= ∆
∆ 2
p x
Apx=2 −2 Apq=2q−2p=2(q−p)
52
Kasus fungsi sembarang dengan syarat kontinyudalam rentang p≤x≤q
p x x+∆x q y
x y= f(x)
0
f(x) f(x+∆x)
Apx ∆Apx
∆Apxbisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan
∆Apx= f(x)∆x atau ∆Apx= f(x+∆x)∆x
x x x f x x f x x f
Apx= ∆ ≤ ∆ ≤ +∆ ∆
∆ () (0) ( )
x0adalah suatu nilai xyang
terletak antara xdan x+∆x
Jika ∆x→0: lim ()
0 dx f x
dA
x
Apx px
x ∆ = =
∆ →
∆ Apx=
∫
dApx=∫
f(x)dx=F(x)+K]
q ppq Fq Fp Fx
A = ()− ( )= ()
Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas. Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai suatu limit.
p x2 xk xk+1 xnq y
x y= f(x)
0
Bidang dibagi dalam segmen-segmen
Luas bidang dihitung sebagai jumlah luas segmen
p x2 xk xk+1 xnq y
x y= f(x)
0 p x2 xk xk+1 xnq
y
x y= f(x)
0 Luas tiap segmen dihitung
sebagaif(xk)×∆xk
Luas tiap segmen dihitung sebagaif(xk+∆x)×∆xk Ada dua pendekatan dalam menghitung luas segmen
k k k k k
k x f x x f x x x
x
f( )∆ ≤ (0)∆ ≤ ( +∆)∆
k n
k k n
k k k n
k k
k x f x x f x x x
x
f ∆ ≤
∑
∆ ≤∑
+∆ ∆∑
= =
= 1 1
0 1
) ( ) ( ) (
Jika∆xk→0 ketiga jumlah ini mendekati
suatu nilai limit yang sama
p x2 xk xk+1 xnq y
x y= f(x)
0 p x2 xk xk+1 xnq
y
x y= f(x)
0 Luas tiap segmen dihitung
sebagaif(xk)×∆xk
Luas tiap segmen dihitung sebagaif(xk+∆x)×∆xk
Jika x0kadalah nilai xdi antara xkdan xk+1maka
Nilai limit itu merupakan integral tentu
55
∫
= qp
pq fxdx
A ()
]
() ( ) )( )
(xdx Fx Fq Fp
f
A q
p q
p
pq=
∫
= = −p x2 xk xk+1 xnq y
x y= f(x)
0
Luas bidang menjadi
56
Apxadalah luas bidang yang dibatasi olehy=f(x) dan sumbu-x darip sampai
x, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di atas sumbu-x dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x.
Definisi
x x y= 3−12
Luas antara dan sumbu-x
darix = −3sampai x = +3. Contoh:
x x y= 3−12
-20 -10 0 10 20
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
75 , 33 ) 54 25 , 20 ( 0
6 4 ) 12 (
0
3 2 4 0
3 3
= − − − =
− = − =
− −
∫
x xdx x x Aa75 , 33 ) 0 ( 54 25 , 20
6 4 ) 12 (
3
0 2 4 3
0 3
− = − − =
− = −
=
∫
x xdx x x Ab5 , 67 ) 755 , 33 ( 75 ,
33 −− =
= −
= a b
pq A A
A
57
Luas Bidang
Contoh di atas menunjukkan bahwa dengan definisi mengenai Apx, formulasi
( )
) ) ( )(xdx Fq Fp
f
A q
p = −
=
∫
tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di bawah sumbu-x
p
q y
x A4 A1
A2 A3 y = f(x)
( )
) ) ( )(xdx Fq Fp
f A
q
p
pq=
∫
= −4 3 2
1 A A A
A
Apq=− + − +
58
Luas Bidang Di Antara Dua Kurva
) ( 1
1 f x
y= berada di atas y2=f2(x)
p q
y
x 0
y1
y2 x x+∆x
∆Apx
{
f x f x}
x AAsegmen=∆ px= 1()− 2()∆
Rentang p≤x≤q
dibagi dalam n segmen
{
}
∑
∑
=−∆=
∆ − =
x q x
p x n
segmen f x f x x
A 1() 2()
1
jumlah semua segmen:
{
}
∫
∑
= −= →∞ q
p n
segmen
pq A f x f x dx
A lim 1() 2()
1 Dengan membuat n menuju tak
hingga sehingga ∆x menuju nol kita sampai pada suatu limit
{
4 (2)}
6]
18 (12) 30( 32
3
2 −− = = −− =
= +
− +
−
∫
dx xApq
4 1=
y y2=−2
Jika dan
berapakah luas bidang antara y1dan y2
dari x1 = p = −2sampai x2= q = +3. Contoh:
2
1 x
y = y2=4
Jika dan
berapakah luas bidang yang dibatasi oleh y1dan y2.
Contoh:
Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada perpotongan antara y1dan y2.
2 , 2 4
2 1 2
2
1=y →x = ⇒x=p=− x =q= y
3 32 3 16 3 16 3
8 8 3 8 8
3 4 ) 4 (
2
2 -3 2
2 2
= − − =
− −− −
−
− = −
=
∫
− xx dx x Apq
0 2 4
-2 -1 0 1 2
y2
y1 y2
di atas y1 y
2 2 1=−x +
y y2=−x
Jika dan
berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1dan y2.
Contoh:
Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva
2 2
8 1 1 ; 1 2
8 1 1
0 2 atau 2
2 2 2 1
2 2
2 1
= −
+ − − = = − = −
+ + − = =
= + + − − = + − → =
q x p
x
x x x x y y
5 , 4 2 2 1 3
1 4 2 3 8
2 2 3 ) 2 (
2
1 2 3 2
1 2
=
−− + − −
− + +
=
+ + − = + + − =
− −
∫
x xdx x x xApq
-4 -2 0 2 4
-2 -1 0 1 2
y1di atasy2 y1
y2 y
x
61
Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan 200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8 jam ?
Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol pdan energi diberi simbol w, maka
yang memberikan
dt dw
p= w=
∫
pdt[kWh] hour Watt kilo 8 , 0
[Wh] r Watt.hou 800 100
100 80
8 0 8 0
= = = =
=
∫
pdt∫
dt tw Penerapan Integral
Contoh:
Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t.Kalau batas bawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8 jam adalah
62
dt dq
i= q=
∫
idtcoulomb 625 , 0 2 25 , 1 2 05 , 0 05 , 0 5 0
5
0 2 5
0 = = = =
=
∫
idt∫
tdt tq
Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai i(t) = 0,05tampere. Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t= 0sampait = 5detik ?
sehingga
Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah
Contoh:
Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.
63
Berikut ini kita akan melihat penggunaan integral untuk menghitung volume.
Balok
∆x
Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan
A(x+∆x) adalah luas irisan di sebelah kanan maka volume irisan ∆Vadalah
x x x A V x x
A()∆ ≤∆ ≤ ( +∆)∆
Volume balok Vadalah =
∑
∆q
p
x x A
V ()
luas rata-rata irisan antara
A(x) dan A(x+∆x).
Apabila ∆x cukup tipis dan kita mengambil
A(x) sebagai pengganti maka kita
memperoleh pendekatan dari nilai V,yaitu: ≈
∑
∆ qp
x x A
V ()
Jika ∆xmenuju nol dan A(x)
kontinyu antara pdan qmaka : =∆→
∑
∆ =∫
qp q
p o
x Ax x Axdx
V lim () ()
64
Volume Sebagai Suatu Integral
Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x
y
x
∆x
O Q
P
A(x) adalah luas lingkaran dengan jari-jari r(x); sedangkan r(x) memiliki persamaan garis OP.
[ ]
∫
∫
∫
= π = π= hAxdx h rx dx h mxdx V
0 2 2 0
2
0 () ()
m: kemiringan garis OP
h: jarak O-Q.
3 3
PQ/OQ) ( 3
2 3 2 3
2 kerucut
h r h h
m
V =π =π =π
Jika garis OP memotong sumbu-ymaka diperoleh kerucut terpotong
Rotasi Bidang Sembarang
y
x
∆x
0 a b
f(x)
( )
2(
)
2 ) ( ) ( )(x rx f x
A =π =π
(
)
∫
π = ba f x dx
V ()2
Rotasi Gabungan Fungsi Linier
Fungsi f(x) kontinyu bagian demi bagian. Pada gambar di samping ini terdapat tiga rentang xdimana fungsi linier kontinyu. Kita dapat menghitung volume total sebagai jumlah volume dari tiga bagian.
y
x
∆x
0 a b
f2(x) f1(x)
Persamaan Diferensial
67
Pengertian
Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau fungsi dengan satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi yang ada dalam persamaan.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.
x
e x
y
dx y d
dx y
d =
+ +
+
1 2 5
2 2 2
3 3 Contoh:
adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat satu atau lebih turunan fungsi.
68
1. Persamaan Diferensial Orde-1
Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya
y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.
0 = + −ke−x ke−x x
ke
y= − +y=0
dt dy
adalah solusi dari persamaan
x
ke
y= − kex
dt dy=− −
karena turunan adalah
dan jika ini kita masukkan dalam persamaan akan kita peroleh
Contoh:
Persamaan terpenuhi.
Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang mengandung ntetapan sembarang.
69
Pemisahan Peubah
Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaan diferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk
0 ) ( ) (ydy+gxdx= f
Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu
∫
∫
f(y)dy+ g(x)dx)=K Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda70 Persamaan Diferensial Orde-1 Dengan Peubah Yang
Dapat Dipisahkan
y x
e dx
dy= −
0 = −edx dy
ey x
y x
e e dx dy=
Persamaan ini dapat kita tuliskan
yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai persamaan dengan peubah terpisah
K e
ey− x= ey=ex+K
sehingga atau
Contoh:
K dx e dy
ey −
∫
x =∫
Integrasi kedua ruas memberikan:
Contoh: xy dx dy=1
0 = −
x dx ydy
K x dx
ydy−
∫
=∫
Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
K x
y − =
ln 2
2
K x y= ln 2+ ′
atau
x dx ydy= atau
Integrasi kedua ruas:
Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan dalam bentuk
= x y F dx dy
Ini dapat dijadikan sebagai peubah bebas baru
x y v=
vx y=
dx dv x v dx dy= + )
(v F dx dv x
v+ =
0 )
( =
− +
v F v
dv x dx
Pemisahan peubah:
yang akan memberikan
dan
v v F dx dv
x = ()−
x dx v v F
dv =
− ) (
Contoh: (x2+y2)dx+2xydy=0
0 2 ) 1
( 2
2
2 + + =
xydy dx x y x
Usahakan menjadi homogen
dy x y dx x y
2 ) 1 (
2 2
− = +
) / ( ) / ( 2
) / (
1 2
x y F x y
x y dx
dy=− + =
Peubah baru v = y/x
vx y=
dx dv x v dx
dy= + v
v dx dv x v
2 1+ 2 − = +
v v v v v dx dv x
2 3 1 2
1+ 2=− + 2
− − =
x dx
v vdv =−
+ 2
3 1
2
0 3 1
2 2= + +
v vdv x dx
Peubah terpisah atau
) ( 2
1 2
v F v v dx
dy=− + =
73
Kita harus mencari solusi persamaan ini untuk mendapatkan
vsebagai fungsi x.
0 3 1
2 2= + +
v vdv x dx
dx x d x
) (ln 1=
) 6 ( 3 1
1 ) 3 1 ( ) 3 1 (
) 3 1 ln( ) 3 1 ln(
2 2 2
2 2
v v dv
v d
v d
v d dv
v d
+ = + +
+ = +
Kita coba hitung
K K v
x+ + = = ln ′
3 1 ) 3 1 ln( 3 1
ln 2
0 ) 3 1 ln( 3
1 + 2 =
+ dv
dv v d x dx
K K v x+ln(1+3 )= =ln ′ ln
3 2
K v x3(1+32)= ′
(
yx)
Kx31+3( / )2= ′ x
(
x2+3y2)
=K′Suku ke-dua ini berbentuk 1/x dan kita tahu bahwa
Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah bentuk persamaan menjadi
Integrasi ke-dua ruas:
74
Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol
Pdan Qmerupakan fungsi x atau tetapan Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana Padalah suatu tetapan. Hal
ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.
Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum sebagai
) (t f by dt dy
a + =
Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi. Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyaibentuk sinyal utamayang hanya ada tiga, yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia
merupakanbentuk komposityang merupakan gabungan dari bentuk utama. Q Py dx
dy+ =
Oleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk:
75
Persamaan Diferensial Linier Orde Satu Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada
peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik. Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara
pendugaan
Persamaan diferensial linier mempunyai solusi totalyang merupakan jumlah dari solusi khususdan solusi homogen. Solusi khusus adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan
solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan homogen
0 = +by dt dy a
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai
a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk rangkaian.
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi
penggerak.
76
Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan
yang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen,
maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan,
sebab
(
)
0
) (
1 1 2 2 1 1
2 1 2 1
+ + = + + + =
+ + + = +
bf dt df a bf dt df a bf dt df a
f f b dt
f f d a by dt dy a
Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan
kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen.
Solusi Homogen
Persamaan homogen +by=0 dt dy a
Jika yaadalah solusinya maka
0 = + dt
a b y dy
a a
Integrasi kedua ruas memberikan
K t a b
ya+ =
ln
sehingga
K t a b ya=− +
ln
t a b a K t a b
a e Ke
y = − + = −(/)
) (t f by dt dy
a p
p+ =
Bentukf(t) ini menentukan bagaimana bentukyp.
t K t K y t A t f t A t f
Ke y
Ae t f
K y
A t f
y t f
s c p
t p
t
p p
ω + ω = → ω = ω =
= =
→ =
=
= = → = =
= → =
α α
sin cos
cos ) ( atau , sin ) ( Jika
al eksponensi
al, eksponensi )
( Jika
konstan konstan, )
( Jika
0 0 ) ( Jika
Jika solusi khusus adalahyp, maka
Dugaan bentuk-bentuk solusiypyang tergantung darif(t) ini
dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi
Jika dugaan solusi total adalah
This image cannot currently be display ed.
Masih harus ditentukan melalui kondisi awal.
79
Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
0 1000 =
+ v
dt dv
Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v= 12 V.
Contoh:
Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0.Solusi khusus bernilai nol.
0
1000 =
+ dt
v dv
K t v=−1000+ ln
t a K
t Ke
e
v= −1000+ = −1000
Penerapan kondisi awal: 12=Ka
Solusi total: v=12e−1000tV
80
Contoh: Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
12 10−3 +v=
dt dv
Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah tanggapan lengkap.
Solusi homogen: 10−3 a+va=0 dt dv
0 103 =
+ dt
v dv
a a
t a
a Ke
v = −1000
Solusi khusus: vp=12 karenaf(t) = 12
Solusi total (dugaan): vtotal=12+Kae−1000t
Penerapan kondisi awal: 0=12+Ka Ka=−12
Solusi total: 12 12 1000t V
total e
v = − −
81
Contoh:
t v dt dv
10 cos 100
5 =
+
Pada kondisi awal v= 0 V, suatu analisis transien menghasilkan persamaan
Carilah solusi total.
Solusi homogen: a+5va=0 dt dv
0
5 =
+dt v dv
a a
K t va+5=
ln va=Kae−5t
Solusi khusus:vp=Accos10t+Assin10t
t t A t A t A t
Acsin10 10 scos10 5ccos10 5 ssin10 100cos10
10 + + + =
−
t t A t
Ascos10 5 ccos10 100cos10
10 + = 10As+5Ac=100
0 10 sin 5 10 sin
10 + =
− Ac t As t −10Ac+5As=0
8 = s
A Ac=4
Solusi total (dugaan): t ae
K t t
v=4cos10+8sin10+ −5
Penerapan kondisi awal:0=4+Ka Ka=−4
Solusi total : t
e t t
v=4cos10+8sin10−4−5
82
Untuk sementara ini mengenai persamaan
diferensial orde-2 silahkan dilihat Buku
Analisis Rangkaian Listrik Jilid-2
Persamaan Diferensial Orde-2
Matematika
Matematika
Matematika
Matematika II
II
II
II