ABSTRAK
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK LIMA VARIABEL
Oleh
MARIAM RAMADHONA
Persamaan diferensial adalah ilmu yang dikembangkan melalui konsep kalkulus.
Persamaan diferensial terbagi menjadi dua, yaitu : persamaan diferensial biasa
(PDB) dan persamaan diferensial parsial (PDP). Berdasarkan orde (tingkat)-nya,
terdapat persamaan diferensial orde satu, persamaan diferensial orde dua, sampai
dengan persamaan diferensial orde-n (orde tinggi).
Persamaan yang digunakan pada penelitian ini adalah persamaan diferensial eksak
orde satu dengan lima variabel yang berbentuk sebagai berikut:
Dalam penelitian ini, akan membahas penyelesaian persamaan diferensial eksak
lima variabel dan mencari faktor integrasi dari persamaan diferensial yang tidak
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK LIMA VARIABEL
(Skripsi)
Oleh
MARIAM RAMADHONA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
DAFTAR ISI
Halaman
I. PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang dan Masalah ... 1
1.2. Rumusan Masalah ... 3
1.3. Batasan Masalah ... 3
1.4. Tujuan Penelitian... 4
1.5. Manfaat Penelitian... 4
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Turunan ... 5
2.2 Definisi Integral... 6
2.3 Persamaan Diferensial ... 6
2.4 Orde dan Derajat Pada Persamaan Diferensial ... 7
2.5 Persamaan Diferensial Orde Pertama ... 7
2.6 Persamaan Diferensial Eksak Orde Satu dengan Dua Peubah ... 8
2.7 Faktor Integrasi PD Tidak Eksak Dua Peubah ... 8
2.8 Persamaan Diferensial Eksak Orde Satu dengan Tiga Peubah ... 9
2.9 Faktor Integrasi PD Tidak Eksak Tiga Peubah ... 11
2.10 Metode Untuk Mencari Fungsi ... 12
2.11 Persamaan Diferensial Eksak Orde Satu dengan Empat Peubah ... 14
2.12 Faktor Integrasi PD Tidak Eksak Empat Peubah ... 17
2.13 Definisi Persamaan Diferensial Total ... 20
III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Tempat dan Waktu Penelitian ... 21
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Persamaan Diferensial Eksak Orde Satu Lima Variabel ... 22 4.2 Metode Penyelesaian Umum Persamaan Diferensial Eksak .... 23 4.3 Menentukan Faktor Integrasi Persamaan Diferensial yang
Tidak Eksak Lima Variabel... 31
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan... 40 5.2 Saran ... 42
“Sebutlah nama Tuhanmu, dan beribadahlah kepada
-Nya dengan
penuh ketekunan”
(Qs. Al-Muzzammil : 8)
“Barang siapa merintis jalan mencari ilmu, maka Allah akan
memudahkan baginya jalan ke syurga”
(HR. Muslim)
“…maka apabila kamu telah sel
esai (dari sesuatu urusan),
kerjakanlah dengan sungguh-
sungguh (urusan) yang lain.”
MOTO
Sesusah apapun yang kita hadapi, jika dijalani dengan ikhlas dan
Ridho Allah SWT, Maka Semua akan menemui titik terangnya.
Semakin banyak tetesan air matamu terjatuh, maka semakin banyak
pula caramu membahagiakan orang lain.
Jangan berhenti berharap dan berdoa karena Allah hanya mencari
PERSEMBAHAN
Alhamdulillahirobbil alamin, puji syukur kepada Allah SWT dan shalawat serta
salam kepada Rasulullah SAW, atas semua rahmat dan ridho-Nya yang
memberikan ku kesempatan untuk menuntut ilmu di Universitas Lampung.
Dalam pengorbanan waktu, haru, bahagia serta tiap tetesan air mata yang telah
terjatuh, kini skripsi ini akhirnya telah selesai. Kupersembahkan karya ini kepada
Ibundaku Ir. Rame Sinambela dan Ayahku Ir. Syaiful Bahri, M.Si. dengan tugas
yang Allah berikan sebagai kedua orang tuaku. Orang tua yang tak kenal lelah
mendidikku, membesarkanku hingga kini, dan memarahiku dalam setiap
kesalahanku. Tak lupa pula aku persembahkan karya ku ini untuk uniku
tersayang Iswatun Hasanah Surohaya, Amd. Keb. yang selalu menjadi tempat
bertanya untukku dengan segala kelebihannya. Uni yang selalu bertukar pikiran
dan mendengarkan keluh kesahku.
Terima kasih Ayah, Bunda,Uni untuk kasih sayang tak pernah pudar yang selalu
tertanam dalam hati ini. Menguatkan ku dalam semua keadaan yang tak
membiarkanku jatuh sedikitpun. Ketulusan dalam kebersamaan yang dirasakan
dari tiap detik ke detik adalah kebahagiaan terindah yang Allah berikan kepadaku.
Karya ini ku persembahkan juga untuk semua orang yang menyayangiku dan ku
vi
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Palembang, pada 17 Maret 1993 sebagai anak kedua dari dua
bersaudara, dari pasangan Bapak Ir. Syaiful Bahri, M.Si. dan Ibu Ir. Rame
Sinambela.
Penulis menyelesaikan pendidikan Taman Kanak-kanak (TK) Al-Azhar 1 Bandar
Lampung pada tahun 1999, Sekolah Dasar (SD) di SDN 1 Segalamider Bandar
Lampung pada tahun 2005, Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMP N 10
Bandar Lampung pada tahun 2008, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di
SMA YP UNILA Bandar Lampung pada tahun 2011.
Tahun 2011, penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur
SNMPTN Undangan. Selama menjadi mahasiswa penulis pernah menjadi
anggota muda HIMATIKA pada tahun 2011. Kemudian pada periode 2012-2013
penulis aktif menjadi Anggota Kaderisasi HIMATIKA dan Magang di UKMF
NATURAL. Kemudian pada Periode 2013-2014 penulis menjadi reporter media
cetak UKMF NATURAL dan Anggota Kaderisasi HIMATIKA.
Pada tahun 2014 penulis melakukan kerja praktek di Badan Pusat Statistika (BPS)
Kota Bandar Lampung guna mengaplikasikan ilmu yang telah didapatkan sewaktu
SANWACANA
Assalamualaikum Wr. Wb.
Puji syukur penulis ucapkan kehadirat Allah SWT atas berkat rahmat dan
hidayahNya, sehingga penulis dapat menyelesaikan Skripsi yang berjudul
“Penyelesaian Persamaan Diferensial Eksak Lima Variabel “ ini tepat waktu.
Skripsi ini adalah salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sains di
Universitas Lampung. Pada penulisan skripsi ini, penulis menyadari tidak
terlepas dari bantuan dan dukungan dari orang lain. Oleh karena itu, dalam
kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bapak Agus Sutrisno, M.Si., selaku dosen pembimbing utama yang telah
meluangkan waktu beliau untuk membimbing saya hingga skripsi ini selesai.
2. Bapak Amanto, M. Si., selaku dosen pembimbing kedua yang telah banyak
membantu, mengoreksi dan memberikan pengarahan dalam proses
penyusunan skripsi ini.
3. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M. Sc., Ph. D., selaku dosen penguji yang
memberi penulis masukan dan saran untuk skripsi ini serta selaku Ketua
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.
4. Ibu Dian Kurniasari, M.Sc., selaku pembimbing akademik yang selalu
5. Bapak Prof. Suharso, Ph. D., selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung.
6. Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Unila yang telah
memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.
7. Ayah, bunda dan uni yang selalu mendoakan dan menyemangati tanpa lelah.
Serta memotivasi setiap langkahku untuk menggapai cita-cita.
8. Sahabat yang kini menjadi saudara yaitu Rika, Yanti, Meri, Dela, Nova, Novi
yang selalu berbagi canda tawa dan air mata.
9. Teman seperjuangan menyelesaikan skripsi dan berjuang menuju wisuda
yaitu Rika Aprianti Nurillah, Nuryanti Simarmata dan Helmi Firdaus.
10. Teman-teman matematika 2011 yang telah banyak menghabiskan waktu
bersama-sama dalam menuntut ilmu.
11. Keluarga Besar HIMATIKA yang telah mendidik karakter diri dalam
pengkaderan dan memberikan keluarga yang baru.
12. Seluruh pihak yang terkait dalam penulisan laporan ini yang tidak dapat
disebutkan satu persatu, atas peran dan dukungannya dalam menyusun
laporan ini.
Akhir kata, Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan,
akan tetapi sedikit harapan semoga skripsi yang sederhana ini dapat berguna dan
bermanfaat bagi kita semua. Aamiin.
Bandar Lampung, Januari 2015
Penulis
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Matematika adalah sebuah cabang ilmu yang berkembang dari zaman ke zaman.
Dalam kehidupan sehari-hari, matematika mempunyai peranan penting yaitu
menyelesaikan masalah yang ada. Oleh karena itu matematika juga berkaitan
dengan ilmu pengetahuan lain seperti fisika, biologi, kimia, ekonomi, dan
lain-lain.
Persamaan diferensial merupakan cabang dari matematika yang digunakan untuk
memecahkan masalah-masalah yang dihadapi dalam bidang-bidang sains dan
teknik. Dalam sains dan teknik sering ditemukan masalah-masalah yang
penyelesaiannya tidak dapat diatasi dengan hanya menggunakan rumus atau
konsep yang sudah ada. Banyak fenomena-fenomena yang melahirkan model
matematika, namun model matematika membutuhkan penyelesaian atau
perhitungan matematika secara khusus. Sehingga, perhitungan-perhitungan
tersebut memerlukan solusi dengan menggunakan persamaan diferensial.
Persamaan diferensial adalah ilmu yang dikembangkan melalui konsep kalkulus.
Persamaan diferensial terbagi menjadi dua, yaitu : persamaan diferensial biasa
2
diferensial parsial (PDP) adalah persamaan yang memuat dua atau lebih peubah
bebas. Selain itu, berdasarkan orde (tingkat)-nya, terdapat persamaan diferensial
orde satu, persamaan diferensial orde dua, persamaan diferensial orde tiga,
sampai dengan persamaan diferensial orde-n (orde tinggi).
Persamaan diferensial orde satu terbagi dalam beberapa bentuk persamaan yaitu
persamaan homogen, persamaan linier, persamaan Bernouli, dan persamaan
eksak. Dalam penelitian ini, peneliti akan membahas tentang penyelesaian
persamaan diferensial eksak lima variabel.
Penelitian ini dilakukan karena peneliti sebelumnya telah membahas tentang
penyelesaian persamaan diferensial eksak empat variabel. Sedangkan persamaan
diferensial eksak dua variabel dan tiga variabel telah dibahas dalam buku dan
jurnal-jurnal matematika yang terkait masalah ini. Maka, penulis melanjutkan
penelitian ini ke dalam bentuk penyelesaian persamaan diferensial eksak orde satu
pada lima variabel.
Persamaan diferensial orde satu dengan lima variabel yang berbentuk
Persamaan tersebut dapat disebut eksak apabila terdapat fungsi
Sehingga
3
Untuk persamaan diferensial eksak lima variabel dapat dilihat bahwa berlaku
hubungan :
Dalam penelitian ini, penulis akan memfokuskan pembahasan penelitian
mengenai penyelesaian persamaan diferensial eksak lima variabel serta penentuan
faktor integrasi suatu persamaan diferensial yang tidak eksak menjadi eksak.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka dapat dibuat rumusan masalah yaitu
bagaimana menyelesaikan persamaan diferensial eksak orde satu dengan lima
variabel.
1.3 Batasan Masalah
Penelitian ini hanya membahas bagaimana menyelesaikan bentuk persamaan
4
1.4 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk menjelaskan langkah-langkah penyelesaian
persamaan diferensial eksak dengan lima variabel dan penentuan faktor integrasi
dari suatu bentuk persamaan diferensial yang tidak eksak menjadi eksak.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat penulisan laporan penelitian ini adalah untuk menjelaskan suatu
penyelesaikan persamaan diferensial eksak dengan lima variabel, serta
menyajikan teknik mencari faktor integrasi dari suatu bentuk persamaan
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Definisi Turunan
Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain (dibaca “ f aksen “) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah
Asalkan limit ini ada dan bukan atau . Jika limit ini memang ada, dikatakan
bahwa f terdiferensiasikan (terturunkan) di c.
Contoh :
Andaikan , carilah
Penyelesaian:
[ ] [ ]
6
2.2 Definisi Integral
Integral adalah sebuah konsep penjumlahan. Kata integral juga dapat digunakan
untuk merujuk pada antiturunan. F suatu antiturunan f pada selang I jika
pada yakni, jika untuk semua x dalam I. (Jika
x suatu titik ujung I, hanya perlu turunan sepihak).
Contoh:
Carilah antiturunan umum dari pada .
Penyelesaian :
Fungsi tidak akan berhasil karena turunannya adalah . Tetapi itu
menyarankan yang memenuhi .
Akan tetapi, antiturunan umumnya adalah .
(Purcell,1987)
2.3 Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan satu (atau
beberapa) fungsi yang tak diketahui (Finizio dan Ladas, 1988).
Suatu persamaan yang melibatkan suatu fungsi yang dicari turunannya. Jika
fungsi yang tidak diketahui hanya terdiri dari satu peubah independen disebut
persamaan diferensial biasa. Jika fungsi yang dicari dari dua atau lebih peubah
7
2.4 Orde dan Derajat Pada Persamaan Diferensial
Suatu persamaan diferensial orde n adalah persamaan bentuk
( ) yang menyatakan hubungan antara perubah bebas x,
perubah tak bebas y(x) dan turunannya yaitu .
Jadi, suatu persamaan diferensial disebut mempunyai orde (tingkat) n jika
turunan yang tertinggi dalam persamaan diferensial itu adalah turunan ke n. Dan suatu persamaan diferensial disebut mempunyai degree (derajad) k jika
turunan yang tertinggi dalam persamaan diferensial itu berderajad k.
Contoh:
1.
; orde satu, derajat satu.
2.
; orde tiga, derajat satu.
3.
; orde tiga, derajat dua
Karena turunan tertingginya berderajat dua (Kartono, 1994).
2.5 Persamaan Diferensial Orde Pertama
Bentuk standar dari persamaan diferensial orde pertama dalam fungsi yang
dicari adalah (2.1)
Dimana turunan muncul hanya di sisi kiri dari (2.1). Walaupun tidak semua
persamaan diferensial orde pertama dapat dituliskan dalam bentuk standar
melalui penyelesaian secara aljabar dan menetapkan sama dengan sisi
8
Sisi kanan dari (2.1) dapat selalu dituliskan sebagai pembagian dua fungsi
lainnya dan . Dengan demikian (2.1) menjadi
yang ekuivalen dengan bentuk diferensial
(Bronson dan Costa, 2007).
2.6 Persamaan Diferensial Eksak Orde Satu dengan Dua Peubah
Suatu persamaan diferensial
(2.2)
Adalah eksak jika ada suatu fungsi sehingga
Jika dan merupakan fungsi kontinu dan memiliki turunan
parsial pertama yang kontinu pada sebuah segiempat bidang maka (2.2)
adalah eksak hanya jika
(Bronson dan Costa, 2007).
2.7 Faktor Integrasi PD Tidak Eksak Dua Peubah
Jika persamaan diferensial bukan eksak pada
domain D, tetapi persamaan diferensial
(2.3)
Adalah eksak domain D, maka merupakan faktor integrasi dari
9
2.8 Persamaan Diferensial Eksak Orde Satu dengan Tiga Peubah
Persamaan diferensial orde satu dengan tiga peubah yang berbentuk :
(2.4)
Disebut eksak apabila terdapat fungsi , sehingga
(2.5)
Dengan berlaku hubungan :
(Sugiarto dan Mario, 2002).
Teorema
Persamaan diferensial
Merupakan persamaan diferensial eksak tiga peubah.
Misalkan terdapat fungsi-fungsi : sebagai berikut :
dengan
dengan
dan
∫
Maka penyelesaian umum persamaan diferensial
adalah
11
Jadi, ∫ ∫ ∫ merupakan solusi umum dari
persamaan diferensial eksak
Catatan :
1. Dalam pemilihan dan harus diperhatikan kondisi :
dan ∫
Untuk mempermudah perhitungan, pilih dan sehingga dapat
diambil dan
2. PD eksak yang diberikan dapat dipisahkan menjadi dua atau lebih PD
eksak, dan dikerjakan masing-masing. Penjumlahan dari solusi ini
adalah solusi umum dari PD eksak awal.
(Sugiarto dan Mario, 2002).
2.9 Faktor Integrasi PD Tidak Eksak Tiga Peubah
Definisi : Misal PD tak eksak.
Fungsi disebut faktor integrasi jika
[ ] menjadi eksak.
12
2.10 Metode Untuk Mencari Fungsi
Missal ∫ dengan
13
Bagi menjadi tiga kasus, yaitu :
Kasus 1
14
2.11 Persamaan Diferensial Eksak Orde Satu dengan Empat Peubah
Persamaan diferensial orde satu dengan empat peubah yang berbentuk :
(2.7)
Merupakan persamaan diferensial eksak empat peubah.
15
Maka penyelesaian umum persamaan diferensial
adalah
dengan ∫ ∫ ∫ ∫ (2.9)
Bukti : untuk menunjukkan
dengan ∫ ∫ ∫ ∫
Merupakan penyelesaian PD di atas, cukup ditunjukkan
16
Akan ditunjukkan
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
∫
Akan ditunjukkan
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
∫
Jadi, ∫ ∫ ∫ ∫ merupakan
penyelesaian umum dari persamaan diferensial eksak
17
2.12 Faktor Integrasi PD Tidak Eksak Empat Peubah
Misal PD
dengan a berupa fungsi konstan atau fungsi a(x),
b berupa fungsi konstan atau fungsi b(y), c berupa fungsi konstan atau fungsi c(z), dan d berupa fungsi konstan atau fungsi d(t).
18
Bagi menjadi empat kasus, yaitu :
20
2.13 Definisi Persamaan Diferensial Total
Suatu persamaan : (2.10)
dengan C adalah konstan sebarang, maka persamaan diferensial :
(2.11)
dengan
persamaan diferensial total dari (2.10) dan (2.11) merupakan persamaan
diferensial eksak.
Jadi, persamaan diferensial eksak merupakan persamaan diferensial total dari
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung pada semester ganjil tahun akademik
2014/2015.
3.2 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah kajian pustaka seperti
buku-buku penunjang matematika, internet dan jurnal-jurnal matematika yang
berhubungan dengan persamaan diferensial eksak.
Adapun tahapan penelitian yang dilakukan adalah sebagai berikut :
1. Mempelajari definisi dan teorema yang menjadi landasan pada penelitian
ini.
2. Mencari bentuk persamaan diferensial eksak lima variabel dengan
menggunakan definisi dan teorema yang ada.
3. Menyelesaikan persamaan diferensial eksak orde satu dengan lima variabel.
4. Menentukan faktor integrasi persamaan diferensial yang tidak eksak
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Dari hasil pembahasan yang telah dilakukan, maka dapat diambil kesimpulan
sebagai berikut:
1. Bentuk persamaan diferensial orde satu lima variabel sebagai berikut :
dan berlaku hubungan sebagai berikut :
41
2. Misalkan terdapat fungsi-fungsi: sebagai berikut:
a. dengan
dengan
dan
dengan
,
dan
b.
∫
∫
∫ dengan
,
,
dan
penyelesaian umum persamaan diferensial
adalah dengan
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
3. Jika persamaan diferensial lima variabel tidak eksak, maka fungsi
disebut faktor integrasinya. Sehingga
[
]
42
5.2 Saran
Persamaan diferensial eksak yang sudah dibahas dapat dilanjuti oleh pembaca
yang ingin melanjutkan penelitian ini pada orde yang lebih tinggi yaitu orde dua.
Selain pada orde nya, penelitian ini juga dapat dilanjutkan dengan bertambahnya
variabel menjadi enam variabel dan seterusnya. Sehingga dapat membentuk
sebuah pola agar pembaca dapat menyelesaikan persamaan diferensial eksak serta
DAFTAR PUSTAKA
Ayres, F dan Ault, J.C. 1999. Persamaan Diferensial dalam Satuan SI Metric. Alih Bahasa Lyli Ratna. Erlangga, Jakarta.
Bronson, R dan Costa, G. 2007. Persamaan Diferensial . Erlangga, Jakarta.
Edwin J. Purcell. 1987. Kalkulus Dan Geometri Analitis Edisi Kelima. Erlangga, Jakarta.
Finizio, N dan Ladas, G. 1998. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern. Penerjemah Widiarti. ITB, Bandung.
Herlani, A. 2010. Teknik Menyelesaikan Persamaan Diferensial Eksak Empat Peubah. (Skripsi). Universitas Lampung. Bandar Lampung.
Kartono. 2002. Penuntun Belajar Persamaan Diferensial. Andi Offset, Yogyakarta.
Shepley L. Ross. 1966.Introduction To Ordinary Differential Equations, Third Edition. New York.
