SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)

SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)

PENGERTIAN SISTEM PD

Pada pembahasan sebelum kita hanya membicarakan satu persamaan, pada tutorial ini kita akan membicarakan sistem persamaan diferensial yaitu sistem yang terdiri dari beberapa persamaan diferensial. Bentuk umum sistem PD seperti berikut

Sistem PD yang terdiri dari n fungsi atau n persamaan mempunyai bentuk umum

1 1 1 2

2 2 1 2

1 2

( , , ,..., ) ( , , ,..., )

( , , ,..., ),

n n

n n n

y f x y y y

y f x y y y

y f x y y y

  =

  =

 

   =



... (1)

di mana

y y

₁

,

₂

, , y

_n masing-masing fungsi dari x.

PD(1) disebut juga PD dimensi n.

Contoh 7.1

Contoh suatu sistem PD yang terdiri dari 3 persamaan adalah

2 2

1 1 2 3

2

2 1 2 3

3

3 1 2 3

2 3

.

y y y y x

y xy x y y x

y xy xy y x

  = − + +

   = − + −

 

  = + − +



Sistem PD (1) dikatakan linear apabila

f

₁

, f

₂

, , f

_n masing-masing linear dalam 1

,

2

, ,

_n

y y y

Jadi bentuk sistem PD linear dimensi n adalah

1 11 1 12 2 1 1

2 21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ).

n n

n n

n n n nn n n

y a x y a x y a x y g x

y a x y a x y a x y g x

y a x y a x y a x y g x

 = + + + +

 

 = + + + +

 

   = + + + +



…….... (2)

Contoh 7.2 Sistem PD:

2

1 1 2

3 4

2 1 2

sin

y x y xy x x

y xy x y x

  = + +

 

  = − +



adalah sistem PD linear yang terdiri dari 2 persamaan (dimensi dua).

Contoh 7.3 Sistem PD:

2

1 1 2

2

2 1 2

y xy y x

y xy y x

  = − +

 

  = + +



bukan sistem PD linear karena ada

y

²

Catatan:

Sistem PD linear (2) dikatakan homogen apabila

g x

_i

( ) = 0;

 = i 1, 2, 3, , n

dan dikatakan tak homogen apabila paling sedikit satu

g x

_i

( )  0, i = 1, 2, 3, , n

_.

Contoh 7.4 Sistem PD:

3

1 1 2

2

2 1 2

y xy x y

y y x y

  = −

 



 = +



adalah sistem PD linear dimensi dua homogen.

Contoh 7.5 Sistem PD:

3

1 1 2

2

2 1 2

y xy x y x

y y x y

  = − +

 



 = +



adalah sistem PD linear dimensi dua tak homogen karena ada

g x

₁

( ) = x

.

Catatan:

Bila semua

a

_ij

; , i j = 1, 2,3, , n

adalah konstanta-konstanta maka PD (2) disebut sistem PD linear dimensi n dengan koefisien konstanta.

Contoh 7.6 Sistem PD:

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2

3 4

4 5

7

y y y y

y y y y

y y y

 = − +

   = + −

 

 = −



adalah sistem PD linear homogen dimensi tiga dengan koefisien konstanta.

Perhatian

PD orde n berbentuk

( )

( )ⁿ

, , , , ,

(ⁿ 1)

y = f x y y y   y

⁻ ... (3)

dapat dituliskan sebagai sistem PD dimensi n . Untuk memperlihatkannya, ambil ( 1)

1

,

2

, ,

_n ⁿ

y = y y = y  y = y

⁻ . Maka PD (3) menjadi sistem PD dimensi n berbentuk:

1 2

2 3

1 2

( , , ,..., )

n n

y y

y y

y f x y y y

  =

  =

 

   =



... (4)

Contoh 7.7

PD:

y  + xy  − xy  + x y

²

+ sin x = 0

_.

Karena

1 1 1 2

2 2 2 3

2

3 3 3

2

3 2 1

atau atau

atau sin

sin ,

y y y y y y

y y y y y y

y y y y y xy xy x y x

xy xy x y x

  

=  = =

   

=  = =

     

=  = = − + − −

= − + − −

maka PD di atas dapat dituliskan sebagai sistem PD dimensi tiga berikut:

1 2

2 3

2

3 3 2 1

sin .

y y

y y

y xy xy x y x

  =

  =

 

  = − + − −



Contoh 7.8

PD:

y

^{( )iv}

− x y

²

 + xy  + 3 y − x

⁵

= 0

dapat dituliskan sebagai sistem PD dimensi empat berikut (lihat Contoh 7).

1 2

2 3

3 4

2 5

4 4 3

3

1

.

y y

y y

y y

y x y xy y x

  =

  =

   =

 

 = − − +



Perhatian:

Masalah mencari solusi sistem PD (1) pada selang I adalah mencari fungsi-fungsi

( ) ( ) ( )

1 1

,

2 2

, ,

_{n n}

y = y x y = y x y = y x

yang didefinisikan pada selang I sehingga

y

₁

 , y 

₂

, , y 

_n ada (terdefinisi) pada I dan memenuhi hubungan (1). Jadi fungsi-fungsi

( ) ( ) ( )

1 1

,

2 2

, ,

_{n n}

y = y x y = y x y = y x

adalah solusi sistem PD (1) pada selang I, apabila fungsi-fungsi tersebut beserta turunan-turunannya memenuhi (1). Mencari solusi sistem PD (1) pada selang I yang memenuhi syarat awal (nilai awal)

( ) ( ) ( )

1 0 1

,

2 0 2

, ,

_n 0 _n

:

0

y x = a y x = a y x = a x  I

disebut masalah nilai awal (MNA).

Contoh 7.9

Sistem PD dimensi dua :

1 1 2

2 1 2

7 2

24 7

y y y

y y y

 = − +

 

 = − +



mempunyai solusi

y

₁

= e

^−x

+ e

^x

, y

₂

= 3 e

^−x

+ 4 e

^x pada selang

( −  , )

(Periksa!).

Contoh 7.10

Sistem PD dimensi dua

1 1 2

2 1 2

3 10 6 1

4 4 1

x x

y y y e

y y y e

  = − − + +

 



 = + − −



mempunyai solusi

y

₁

= − 11 e

^x

− 3 dan y

₂

= 5 e

^x

+ 1

pada selang

( −  , )

dengan nilai awal

y

1

( ) 0 = − 14 dan y

2

( ) 0 = 6

(coba periksa!).

Eksistensi solusi sistem PD (1) diberikan oleh teorema berikut.

Teorema 1

Tinjau sistem PD (1). Misalkan

f

₁

, f

₂

, , f

_n dan turunan-turunan parsialnya k

j

f y





^{; k,}

j = 1,2,...,n kontinu pada daerah

   I R

ⁿ. Bila

( x a a

0

,

1

,

2

, , a

_n

)

titik dalam (interior) dari  maka sistem PD (1) mempunyai solusi tunggal

( ) ( ) ( )

1 1

,

2 2

, ,

_{n n}

y = y x y = y x y = y x

yang memenuhi nilai awal

( ) ( ) ( )

1 0 1

,

2 0 2

, ,

_n 0 _n

y x = a y x = a y x = a

_.

Contoh 7.11

Tinjau sistem PD dimensi dua:

2 3 2 5

1 1 2

2 2

2 1 2

sin .

y x y xy x

y xy x y x x

  = + +

 

  = − +



Dalam kasus ini

2 3 2 5

1

( ,

1

,

2

)

1 2

f x y y = x y + xy + x

;

2 2

2

( ,

1

,

2

)

1 2

sin

f x y y = xy − x y + x x

_;

2 2 1

1 1

f 3 y x y



 ⁼

^;

1

2 2

f 2 y xy



 ⁼

^;

2

1 1

f 2 y xy



 ⁼

^{dan 2}₂ ²

f x

y



 ^{= −}

^;

semua fungsi ini kontinu pada

R R 

².

Jadi menurut Teorema 1, untuk setiap

(

x0,a a1, 2

)

 R R² terdapat solusi tunggal sistem PD tersebut yang memenuhi nilai awal y1

( )

x0 =a1 dan y2

( )

x0 =a2.

Contoh 7.12

Perhatikan sistem PD linear (2). Terlihat bahwa jika

a

kj

( ) x ^;

k j , = 1, 2, , n

dan

( ) ^{; 1, 2, ,}

g

j

x j = n

kontinu pada

I  R

ⁿ maka

f

₁

, f

₂

, , f

_n dan turunan parsialnya

( ) ^{; , 1, 2, ,}

k kj j

f a x k j n

y



 ^{= =}

adalah kontinu pada

I  R

ⁿ. Jadi menurut Teorema 1, sistem PD (2) untuk setiap

( ^x

₀

^{, a a}

₁

^,

₂

^{, , a}

_n

) ^{  I R}

ⁿ mempunyai solusi tunggal

( ) ( ) ( )

1 1

,

2 2

, ,

_{n n}

y = y x y = y x y = y x

yang memenuhi nilai awal

( ) ( ) ( )

1 0 1

,

2 0 2

, ,

_n 0 _n

y x = a y x = a y x = a

_.

Perhatian

Sistem PD (1) dapat ditulis dalam bentuk vektor atau matriks n1 dengan cara berikut.

Ambil 1 2

n

y y y

y

   

=    

   

 

dan

1 2

n

f f f

f

   

=    

   

 

.

Maka sistem PD (1) dapat dituliskan dalam bentuk PD vektor

( , ) y  = f x y

.

Bila dalam sistem PD linear (2) kita mengambil matriks A dan vektor g sebagai berikut

1 1

11 12 1

2 2

21 22 2

1 2

, dan

n n

n n nn

n n

g y

a a a

g y

a a a

A g y

a a a

g y

   

     

     

 

=       =         =        

,

maka sistem PD linear (2) dapat ditulis sebagai PD vektor y = A(x) y + g(x) .

Contoh 7.13

Sistem PD linear dimensi dua

2 3

1 1 2

2 1

3

2 ^x

y x y y x

y xy y e

  = − +

 

  = + −



dapat ditulis dalam bentuk PD vektor y = A(x) y + g(x), di mana

2 3 1

2

, ( ) 1 dan ( )

3

^x

y x x

y A x g x

y x e

 

   −   

=   =   =

 

 

    −

   

^.

Contoh 7.14

PD vektor y = A(x) y + g(x),

di mana

1 3 2

, ( ) dan ( )

2 4 sin

y x x x

y A x g x

x

y x

     

=   =   =  

   

     

 

memberikan sistem PD linear dimensi dua:

1 3 1

2 2

3 3

1 2 1 2

1 2 1 2

2 4 sin

2 4 sin 2 4 sin

y x x y x

y x y x

xy x y x xy x y x

y xy x y xy x

        

= +

       

    

       

   

 +     + + 

   

= +   =

 +       + + 

   

yaitu

3

1 1 2

2

2

1

4

2

sin .

y xy x y x

y y xy x

  = + +

 

 = + +



SISTEM PD LINEAR DIMENSI DUA

Sekarang akan kita bahas sistem PD linear dimensi dua dan salah satu cara menyelesaikan sistem PD linear dimensi dua apabila koefisiennya konstanta.

Tinjau sistem PD linear dimensi dua homogen

1 1

2 2

( ) ( )

( ) ( )

dx a t x b t y dt

dy a t x b t y dt

 = +

 

 = +



... (1)

Eksistensi solusi sistem PD ini telah dibahas sebelumnya. Kita memisalkan

( ) ( ) ( ) ( )

1

,

2

,

1

dan

2

a t a t b t b t

kontinu pada selang I. Dari bahasan sebelumnya diperoleh bahwa sistem PD (1) mempunyai solusi tunggal dalam selang I yang memenuhi syarat awal yang diberikan. Pertama-tama kita menunjukkan teorema berikut.

Teorema 1

Misalkan:

1 1

( ) ( ) x x t y y t

 =

 =



^dan

2 2

( ) ( ) x x t y y t

 =

 =



dua solusi sistem PD (1) pada selang I. Maka

( ) ( )

1 1 2 2

1 1 2 2

( ) ( )

( ) ( )

x t c x t c x t y t c y t c y t

 = +

 

= +



adalah solusi sistem PD (1).

Bukti: 1 ¹ 2 ²

dx dx

dx c c

dt = dt + dt

   

   

1 1 1 1 1 2 1 2 1 2

1 1 1 2 2 1 1 1 2 2

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

c a t x t b t y t c a t x t b t y t a t c x t c x t b t c y t c y t a t x t b t y t

= + + +

= + + +

= +

1 ¹ 2 ²

dy dy

dy c c

dt = dt + dt

   

   

1 2 1 2 1 2 2 2 2 2

2 1 1 2 2 2 1 1 2 2

2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ).

c a t x t b t y t c a t x t b t y t a t c x t c x t b t c y t c y t a t x t b t y t

= + + +

= + + +

= +

Jadi, terlihat bahwa

( ) ( )

1 1 2 2

1 1 2 2

( ) ( )

( ) ( )

x t c x t c x t y t c y t c y t

 = +

 

= +



adalah solusi sistem PD (1).

Sekarang kita berikan definisi berikut:

Definisi 1

Dua solusi sistem PD (1) 1

1

( ) ( ) x x t y y t

 =

 =



^dan

2 2

( ) ( ) x x t y y t

 =

 =



... (2) dikatakan bebas linear pada I apabila untuk setiap t  I, sistem persamaan

1 1 2 2

1 1 2 2

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

c x t c x t c y t c y t

+ =

 

+ =



hanya mempunyai solusi

c

₁

= 0 dan c

₂

= 0

.

Dapat diperlihatkan bahwa kedua solusi (2) untuk sistem PD (1) adalah bebas linear pada I, jika dan hanya jika determinan

1 2

1 2

( ) ( ) ( ) ( ) 0 x t x t

y t y t 

, pada I.

Determinan ini dikenal sebagai determinan Wronsky dari kedua solusi (2) dan ditulis dengan notasi W(t). Jadi,

W(t) =

1 2

1 2

( ) ( ) ( ) ( ) x t x t y t y t

^.

Dengan bantuan Definisi 1 dan Teorema 1 dapat diperlihatkan teorema berikut.

Teorema 2

Misalkan

1 1

( ) ( ) x x t y y t

 =

 =



^dan

2 2

( ) ( ) x x t y y t

 =

 =



dua solusi sistem PD (1) yang bebas linear pada

selang I. Maka

1 1 2 2

1 1 2 2

( ) ( )

( ) ( )

x c x t c x t y c y t c y t

= +

 

= +



adalah solusi umum sistem PD (1) pada selang I.

Bukti : Cukup diperlihatkan bahwa untuk sebarang solusi

( ) ( ) x x t y y t

 =

 =



yang memenuhi syarat awal

x t ( )

0

= x

0

, y t ( )

0

= y

0

, t

0

 I

, terdapat konstanta-konstanta c₁danc₂ sehingga

1 1 2 2

1 1 2 2

( ) ( )

( ) ( )

x c x t c x t

t I y c y t c y t

= +

  

 = +



^.

Sekarang tinjau sistem persamaan

( ) ( )

( ) ( )

0 1 1 0 2 2 0

0 1 1 0 2 2 0

x c x t c x t y c y t c y t

 = +

 

= +



Karena kedua solusi bebas linear pada I maka W(t0) = ^{1 0 2 0}

1 0 2 0

( ) ( )

( ) ( ) 0

x t x t

y t y t 

_.

dan menurut Aturan Cramer, dari sistem persamaan diperoleh

( ) ( )

( ) ( )  ( ) ( ) 

0 2 0

0 2 0

1 0 2 0 0 2 0

0 0

1

x x t

y y t

c x y t y x t

W t W t

= = −

... (3)

( ) ( )

( ) ( )  ( ) ( ) 

1 0 0

1 0 0

2 0 1 0 0 1 0

0 0

1

x t x

y t y

c y x t x y t

W t W t

= = −

... (4)

Menurut Teorema 1

1 1 2 2

1 1 2 2

( ) ( )

( ) ( )

x c x t c x t y c y t c y t

= +

 

= +



di mana c₁danc₂ diberikan oleh (3) dan (4), adalah solusi sistem PD (1) dengan syarat awal

x t ( )

₀

= x

₀

, y t ( )

₀

= y

₀.

Berdasarkan ketunggalan solusi diperoleh

1 1 2 2

1 1 2 2

( ) ( )

( ) ( ),

x c x t c x t y c y t c y t

= +

 

= +



di mana

c

₁

dan c

₂ diberikan oleh (3) dan (4).

Contoh 7.15

Sistem PD dimensi dua:

4

2

dx x y

dt

dy x y

dt

 = −

 

 = +



mempunyai solusi

3 3 t

t

x e y e

 = 

  =



^dan

2

2

2 t

t

x e

y e

 = 

  =



yang bebas linear (periksa!). Maka solusi umum

PD di atas adalah

3 2

1 2

3 2

1

2

2

.

t t

t t

x c e c e y c e c e

 = +

 

 = +



Sekarang kita meninjau sistem PD linear dimensi dua tak homogen

1 1 1

2 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ).

dx a t x b t y f t dt

dy a t x b t y f t dt

 = + +

 

 = + +



... (5)

Seperti pada PD linear orde n tak homogen, kita memperoleh teorema berikut.

Teorema 3

Misalkan

1 1 2 2

1 1 2 2

( ) ( )

( ) ( )

x c x t c x t y c y t c y t

= +

 

= +



adalah solusi umum sistem PD homogen yang berkaitan

dengan sistem PD (5), yaitu sistem PD homogen

1 1

2 2

( ) ( ) ( ) ( ) dx a t x b t y dt

dy a t x b t y dt

 = +



 = +



. Bila

( ) ( )

p p

x x t y y t

 =

 =



suatu solusi khusus untuk sistem PD (5) maka

1 1 2 2

1 1 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

p p

x c x t c x t x t y c y t c y t y t

= + +

 

= + +



adalah solusi umum sistem PD (5).

Contoh 7.16

Tinjau sistem PD tak homogen

4 2 3

2 4 .

dx x y t

dt

dy x y t

dt

 = − − −

 

 = + −



Dengan mudah Anda dapat memeriksa bahwa

1 2 x t y t

 = +

 =



adalah solusi khusus sistem PD di atas. Dalam Contoh 1,

3 2

1 2

3 2

1

2

2

t t

t t

x c e c e

y c e c e

 = +

 

 = +



adalah solusi umum sistem PD homogen yang berkaitan dengan sistem PD tak homogen di atas. Jadi,

3 2

1 2

3 2

1 2

1

2 2

t t

t t

x c e c e t

y c e c e t

 = + + +

 

 = + +



adalah solusi umum sistem PD tak homogen tersebut.

Perhatian:

Serupa seperti PD orde n, menyelesaikan sistem PD (5) maupun (1) sangatlah sukar apabila koefisien-koefisien a1

( )

t , a2

( )

t , b t1

( )

dan b2

( )

t merupakan fungsi-fungsi yang bukan konstanta. Bila koefisien-koefisien ini adalah konstanta-konstanta maka solusi sistem PD (5) dan (1) masih mungkin dapat dicari. Salah satu cara menentukan solusi sistem PD (5) dan (1) ialah dengan mengubah salah satu variabel menjadi PD orde dua, seperti yang diberikan contoh-contoh berikut.

Contoh 7.17

Tentukan solusi umum sistem PD dimensi dua (lihat Contoh 1)

4

2 dx x y dt

dy x y dt

 = −

 

 = +



Penyelesaian:

Dengan menurunkan persamaan pertama, diperoleh 2

2

4

d x dx dy

dt dt

dt = −

_.

Dengan menggunakan persamaan kedua, diperoleh:

2

2

4 (2 ) 4 2

d x dx dx

x y x y

dt dt

dt = − + = − −

dan dari persamaan pertama, didapat

2

2

4 2 4 5 6

d x dx dx dx

x x x

dt dt dt

dt = − + − = −

_atau

d x

²₂

5 dx 6 0

dt x

dt − + =

_.

Persamaan karakteristik PD ini adalah

2

5 6

m − m + ⁼ ( ^{m − 3} )( ^{m − = 2} ) ⁰

.

Akar-akar karakteristiknya: m1 = 3 dan m2 = 2.

Jadi solusi bebas linearnya adalah 1

( )

³

x t = e

t _dan 2

( )

²

x t = e

t.

Dengan memasukkan masing-masing ke dalam persamaan pertama, didapat:

3 3 3

1

1 1

2 2 2

2

2 2

4 4 3

4 4 2 2 .

t t t

t t t

y x dx e e e

dt

y x dx e e e

dt

= − = − =

= − = − =

Jadi,

3 3 t t

x e y e

 = 

  =



^dan

2

2

2 t

t

x e

y e

 = 

  =



adalah dua solusi yang bebas linear dan solusi umumnya

adalah

3 2

1 2

3 2

1

2

2

.

t t

t t

x c e c e y c e c e

 = +

 

 = +



Contoh 7.18

Tentukan solusi umum PD tak homogen (lihat Contoh 2):

4 2 3

2 4 .

dx x y t

dt

dy x y t

dt

 = − − −

 

 = + −



Penyelesaian:

Penurunan persamaan pertama memberikan 2

2

4 2

d x dx dy

dt dt

dt = − −

_.

Dengan menggunakan berturut-turut persamaan kedua dan persamaan pertama, diperoleh

2

2

4 (2 4 ) 2

d x dx

x y t dt = dt − + − −

4 dx 2 4 2

x y t

= dt − − + −

4 2 4 2 3 4 2

5 6 6 1

dx dx

x x t t

dt dt

dx x t dt

= − + − + + + −

= − + +

atau 2

2

5 6 6 1

d x dx

x t

dt − dt + = +

. ... (7) Solusi komplementer PD ini adalah

( )

1 ³ 2 ²

t t

x

k

t = c e + c e

dan solusi pengandaian (lihat Modul 3, kegiatan belajar 1) ialah

x

p

( ) t = At + B

_.

Dengan memasukkan ini ke dalam PD (7) didapat

( )

^{6 6 1}

5 6 6 1

5 6 1 1.

A A

A At B t

A B B

= → =

− + + = +  

− + = → =



Jadi,

x

p

( ) t = + t ¹

dan solusi umum PD (7) adalah

3 2

1 ^t 2 ^t

1

x = c e + c e + + t

. Dari persamaan pertama didapat:

(

^{1 3 2 2}

) (

^{1 3 2 2}

)

3 2

1 2

4 2 3

4 1 3 2 1 2 3

2 2 .

t t t t

t t

y x dx t

dt

c e c e t c e c e t

c e c e t

= − − −

= + + + − + + − −

= + +

Jadi, solusi umum sistem PD (6) adalah

3 2

1 2

3 2

1 2

1

2 2 .

t t

t t

x c e c e t

y c e c e t

 = + + +

 

 = + +



SOLUSI SISTEM PD LINEAR DIMESDI DUA DENGAN KOEFISIEN KONSTANTA

Pada bagian ini akan dipelajari cara lain untuk menyelesaikan sistem PD linear dimensi dua dengan koefisien konstanta yang mirip dengan cara penyelesaian PD orde n dengan koefisien konstanta.

A. SISTEM PD HOMOGEN

Pertama-tama kita meninjau sistem PD homogen dimensi dua:

1 1

2 2

dx a x b y dt

dy a x b y dt

 = +

 

 = +



... (1)

di mana

a a b

₁

,

₂

,

₁

dan b

₂ konstanta-konstanta. Kita bermaksud menentukan solusi bebas linear yang berbentuk:

.

mt mt

x Ae y Be

 = 

  =



... (2) Bila (2) dimasukkan ke dalam sistem PD (1) maka diperoleh

1 1

2 2

.

mt mt mt

mt mt mt

mAe a Ae b Be mBe a Ae b Be

= +

= +

Dengan membagi sistem ini dengan faktor mt

e

maka diperoleh sistem persamaan aljabar

1 1

2 2

( ) 0

( ) 0,

a m A b B

a A b m B

− + =

 

+ − =



... (3)

dengan A dan B variabel-variabel yang tidak diketahui. Jelas bahwa sistem (3) akan mempunyai solusi untuk A dan B yang tidak semuanya nol apabila determinan

1 1

2 2

a m b 0

a b m

− =

−

^{, atau}

( ) ( )

2

1 2 1 2 2 1

0

m − a + b m + a b − a b =

. ... (4)

Persamaan (4) ini dikenal sebagai persamaan pembantu untuk sistem PD (1). Eksistensi dan bentuk dua solusi bebas linear yang membangun solusi umum sistem PD (1) tergantung dari akar-akar persamaan (4). Ada tiga kasus berdasarkan akar-akar persamaan (4), yaitu sebagai berikut.

1. Akar real berlainan

Misalkan m₁ dan m₂ dua akar berlainan. Dengan mengambil m=m₁ dalam (3), sistem (3) akan memberikan solusi, misalnya

A = A

₁ dan

B = B

₁. Demikian juga untuk

m = m

₂

, sistem (3) memberikan solusi, misalnya,

A = A

₂ dan B=B₂. Maka

1

1

1 1

m t m t

x A e y B e

 = 

  =



^dan

2

2

2 2

m t m t

x A e y B e

 = 

  =



merupakan dua solusi bebas linear (Periksa!) dan solusi umum sistem PD (1) adalah

1 2

1 2

1 1 2 2

1 1 2 2

.

m t m t

m t m t

x c A e c A e y c B e c B e

 = +

 

 = +



Contoh 7.19

Tentukan solusi umum sistem PD dimensi dua

2

2 3 . dx x y dt

dy x y

dt

 = +

 

 = +



Penyelesaian:

Persamaan pembantu untuk sistem PD ini adalah

( ) ( ) ( )( )

2 2

2 3 6 2 5 4 4 1 0

m − + m + − = m − m + = m − m − =

_.

Akar-akarnya adalah

m

₁

= 4, m

₂

= 1 dan m

₁

 m

₂, yaitu dua akar real yang berlainan.

Untuk m = 4, sistem (3) menjadi

(2 4) 0

2 (3 4) 0.

A B

A B

− + =

 

+ − =



^atau

2 0

2 0.

A B A B

− + =

 

 − =

Salah satu solusi sistem persamaan ini ialah

A

₁

= 1 dan B

₁

= 2

. Untuk m = 1, sistem (3) menjadi

(2 1) 0

2 (3 1) 0

A B

A B

− + =

 

+ − =



^atau

0

2 2 0.

A B

A B

 + =

 + =



Salah satu solusi sistem persamaan ini adalah A₂=1 dan B₂= −1.

Maka

4

2

4 t

t

x e

y e

 = 

  =



^dan

t t

x e

y e

 = 

  = −



adalah dua solusi bebas linear untuk sistem PD (1) (Periksa!).

Jadi, solusi umumnya adalah

4

1 2

4 .

1 2

2

t t

t t

x c e c e y c e c e

 = +

 

 = −



2. Dua akar sama

Misalkan

m

₁

= m

₂

= r

merupakan dua akar yang sama untuk persa-maan (4).

Misalkan pula untuk m = r, sistem (4) memberikan solusi

A = A

₁ dan

B = B

₁. Maka 1

1 rt rt

x A e y B e

 = 

  =



adalah salah satu solusi sistem PD (1).

Solusi lain yang bebas linear dengan solusi ini, dimisalkan berbentuk

2 3

2 3

( )

( ) .

rt rt

x A A t e y B B t e

+ +

 = 

  =



Dengan memasukkan ini ke dalam sistem PD (1) kita akan dapat menentukan

2, 3, 2 dan 3

A A B B sehingga solusi umum adalah

1 1 2 2 3

1 1 2 2 3

( )

( ) .

rt rt

rt rt

x c A e c A A t e y c B e c B B t e

+ +

 = +

 

 = +



Contoh 7.20

Tentukan solusi umum sistem PD

3 4

.

dx x y

dt

dy x y dt

 = −

 

 = −



... (5)

Penyelesaian:

Persamaan pembantu adalah

( )

²

2

2 1 1 0

m − m + = m − =

. Akar-akarnya adalah

m

₁

= m

₂

= 1

. Untuk m = 1, sistem (3) menjadi sistem

2 4 0

2 0.

A B

A B

− =

 

− =



Salah satu solusi sistem ini ialah A = 2, B = 1. Maka

2

^t

t

x e

y e

 = 

  =



adalah solusi sistem PD (5).

Solusi lain yang bebas linear dengan solusi ini dimisalkan berbentuk:

2 3

2 3

( )

( ) .

t t

x A A t e y B B t e

 = +

 

 = +



Dengan mensubstitusikan ini ke dalam sistem PD (5) maka diperoleh

(

A3+A2+A t e3

)

^t =3

(

A2+A t e3

)

^t−4

(

B2+B t e3

)

^t

(

3 2 3

) (

2 3

) (

2 3

)

t t t

B + B + B t e = A + A t e − B + B t e

. Pencoretan e^t dari sistem ini menghasilkan

(

2A3−4B3

) (

t+ 2A2−A3−4B2

)

=0

(

A3−2B3

) (

t+ A2−2B2−B3

)

=0.

Dengan menyamakan koefisien dari t, diperoleh sistem persamaan

3 3

2 A − 4 B = 0

3

2

3

0

A − B =

2 3 2

2 A − A − 4 B = 0

2

2

2 3

0

A − B − B =

.

Dua persamaan paling atas memberikan salah satu solusi

A

₃

= 2

dan

B

₃

= 1

. Untuk nilai- nilai ini dua persamaan terbawah menjadi sistem persamaan

2 2

2 A − 4 B = 2

A

₂

− 2 B

₂

= 1

.

Salah satu solusi sistem persamaan ini ialah

A

₂

= 1 dan B

₂

= 0

_.

Jadi solusi yang kedua ialah

(1 2 )

^t

t

x t e

y te

 = +

 

 = 

dan solusi umum sistem PD (5) adalah

1 2

1 2

2 (1 2 )

.

t t

t t

x c e c t e

y c e c te

 = + +

 

 = +



Perhatian

Ternyata

A B

₁

,

₁

dan A B

₃

,

₃ memenuhi sistem persamaan yang serupa. Jadi, dapat diambil

A

₁

= A

₃

dan B

₁

= B

₃ untuk solusi umum sistem PD.

III. Akar Kompleks

Misalkan m12 =   i akar-akar kompleks dari persamaan pembantu (4). Untuk m1 =  +

i, sistem (3) merupakan sistem persamaan dengan koefisien kompleks dan kita misalkan solusinya

A=A1 = A11 + A12i dan B=B1 = B11 + B12i.

Maka salah satu solusi sistem PD (1) adalah

( )

1 11 12

( )

1 11 12

( ) (cos sin )

( ) (cos sin )

i t t

i t t

x A e A A i e t i t

y B e B B i e t i t

  

  

 

 

+ +

 = = + +

 

 = = + +



atau

( ) ( )

( ) ( )

11 12 12 11

11 12 12 11

cos sin cos sin

cos sin cos sin .

t t

x e A t A t i A t A t

y e B t B t i B t B t





   

   

 =   − + +  

 

 

 =  − + + 



Ini memberikan solusi real

11 12

11 12

( cos sin )

( cos sin )

t t

x e A t A t

y e B t B t





 

 

 = −

 

 = −



... (6) dan

12 11

12 11

( cos sin )

( cos sin ).

t t

x e A t A t

y e B t B t





 

 

 = +

 

 = +



... (7) Dapat diperlihatkan (periksa!) bahwa kedua solusi ini bebas linear.

Jadi solusi umum sistem PD (1) adalah

( ) ( )

( ) ( )

1 11 12 2 12 11

1 11 12 2 12 11

cos sin cos sin

cos sin cos sin .

t t

x e c A t A t c A t A t

y e c B t B t c B t B t





   

   

 =   − + +  

 

 

 =  − + + 



Contoh 7.21

Tentukan solusi umum sistem PD

4 2

5 2 .

dx x y

dt

dy x y

dt

 = −

 

 = +



... (8)

Penyelesaian:

Persamaan pembantu sistem PD ini adalah m²− 6m + 18 = 0 Akar-akarnya adalah 12

6 36 72

2 3 3

m  − i

= = 

_.

Untuk m = m1 = 3 + 3i, sistem (3) menjadi:

(1 − 3i)A − 2B = 0 5A + (−1−3i)B = 0 .

Salah satu solusinya ialah A1 = 1 dan B1 =

1

2

(1 3 ) − i

_.

Di sini A11 = 1, A12 = 0, B11 = ¹₂ , B12 =−³₂ .

Dari (6) dan (7) diperoleh dua solusi bebas linear :

( )

3

1 3

3

2 2

cos 3

cos 3 sin 3

t t

x e t

y e t t

 = 

 = +



^dan

( )

3

3 1

3

2 2

sin 3

cos 3 sin 3 .

t t

x e t

y e t t

 = 

 = − +



Jadi, solusi umum sistem PD (8) adalah 3

1 2

1 3 3 1

3

1 2 2 2 2 2

( cos 3 sin 3 )

( cos 3 sin 3 ) ( cos 3 sin 3 ) .

t t

x e c t c t

y e c t t c t t

 = +

  =  + + − + 

  



B. SISTEM PD TAK HOMOGEN

Sekarang tinjau sistem PD tak homogen dimensi dua

1 1 1

2 2 2

( )

( ) dx a x b y f t

dt

dy a x b y f t dt

 = + +

 

 = + +



... (9)

dan sistem PD homogen kaitannya

1 1

2 2

.

dx a x b y dt

dy a x b y dt

 = +

 

 = +



... (10)

Pencarian solusi khusus sistem PD (9) dapat dilakukan dengan metode variasi parameter seperti berikut.

Misalkan 1

1

( ) ( ) x x t y y t

 =

 =



^dan

2 2

( ) ( ) x x t y y t

 =

 =



dua solusi bebas linear sistem PD (10). Maka dapat diperlihatkan bahwa

1 1 2 2

1 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x v t x t v t x t y v t y t v t y t

= +

 

= +



... (11)