MATEMATIKA II Erwani Merry Sartika Persamaan Diferensial

MATEMATIKA II

Erwani Merry Sartika

Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial

• Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan variabel-variable tak bebas dan derivatif-derivatifnya terhadap variabel-variabel bebas.

• Persamaan diferensial ini dibagi menjadi dua

yaitu, Persamaan Diferensial Biasa/PDB (Ordinary

Differential Equation) dan Persamaan diferensial

Parsial/PDP (Partial DifferentialEquation).

Persamaan Diferensial Biasa

• PDB adalah persamaan diferensial yang hanya mempunyai satu variabel bebas. Jika y(x) adalah suatu fungsi satu variabel, maka x dinamakan variabel bebas dan y dinamakan variabel tak bebas.

• Persamaan Diferensial Parsial (disingkat PDP)

adalah suatu persamaan diferensial yang

mempunyai dua atau lebih variabel bebas.

Persamaan Diferensial Biasa Orde n

• Bentuk umum Persamaan Diferensial Linier Orde n:

𝑎

_𝑛

𝑥 𝑦

^𝑛

+ ⋯ + 𝑎

₁

𝑥 𝑦

^′

+ 𝑎

₀

𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥 ; 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎

_𝑛

𝑥

≠ 0

• Bila 𝑓 𝑥 = 0 , maka disebut Persamaan Diferensial Linier Homogen.

• Bila 𝑓 𝑥 ≠ 0 , maka disebut Persamaan Diferensial Linier tidak Homogen.

• Jika 𝑎

₀

𝑥 , 𝑎

₁

𝑥 , … , 𝑎

_𝑛

𝑥 adalah konstanta maka PD

disebut PD linier dengan koefisien konstanta, jika tidak

disebut PD linier koefisien variabel.

PD homogen dan linier

• PD yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk di atas dikatakan PD tidak linier.

PD Solusi umum dan khusus

• Ada 2 jenis solusi PD yaitu solusi umum ( general solution) yang memuat semua solusi yang mungkin dan solusi khusus (particular solution) jika solusi tersebut bebas dari sembarang konstan.

Contoh

Persamaan Diferensial Biasa Orde 1

Persamaan Diferensial Ruas Kanan = nol

Dalam menyelesaikan persamaan diferensial dengan ruas kanan sama dengan nol dilakukan dengan teknik separasi variabel (variabelnya dapat dipisahkan), sering disebut Metode Pemisahan Peubah.

Contoh:

Selesaikan persamaan diferensial berikut dengan menggunakan teknik separasi variabel

Solusi

Persamaan Diferensial Eksak

• Misalkan suatu fungsi P(x,y) dan Q(x,y) dalam persamaan

• 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 ...(1)

• adalah diferensial eksak pada suatu fungsi diferensial 𝐹(𝑥, 𝑦) jika

• ^{𝜕𝑃(𝑥,𝑦)}

𝜕𝑦 = ^{𝜕𝑄(𝑥,𝑦)}

𝜕𝑥 ...(2)

• Jika Persamaan (2) dipenuhi, maka Persamaan (1) dapat ditulis

• 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 𝐹 𝑥, 𝑦 = 0

• Persamaan di atas disebut eksak dan solusi dari persamaan tersebut adalah

• 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛

Contoh

• Karena memenuhi syarat maka persamaan tersebut eksak.

• Maka ^𝜕𝐹

𝜕𝑥 = 𝑃(𝑥, 𝑦) atau ^𝜕𝐹

𝜕𝑦 = 𝑄(𝑥, 𝑦); sehingga

Contoh