modul persamaan diferensial 2

TUGAS

PERSAMAAN DIFERENSIAL II

Modul ini diajukan untuk melengkapi persyaratan tugas akhir mata kuliah Persamaan Direfensial II

Disusun Oleh:

NAMA : LINDA TRI ANDAYANI NPM : 200913500170

KELAS : 7 A

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS INDRAPRASTA PGRI Jl. Nangka No.58C Tanjung Barat Jakarta Selatan

KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah SWT yang telah melimpahkan Rahmat dan Hidayah-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini dengan penuh kemudahan dan tepat waktu.

Makalah ini disusun agar pembaca dapat menambah wawasan pada mata kuliah PERSAMAAN DIFERENSIAL II, yang kami sajikan berdasarkan pengamatan dari berbagai sumber. Dalam menyusun makalah ini kami banyak menemukan berbagai rintangan. Baik itu yang datang dari kami maupun yang datang dari luar. Namun dengan penuh kesabaran akhirnya makalah ini dapat terselesaikan.

Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada: • ALLAH SWT .

• Kedua orang tua kami yang telah membantu kami

• Bpk Huri Suhendri selaku dosen Persamaan Direfensial II yang telah membimbing kami dalam penyusunan malakah ini sehingga makalah kami dapat terselesaikan dengan baik.

• Teman – teman yang telah membantu kami untuk menyelesaikan modul kami.

Jakarta, 14 September 2012 Penyusun

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR...i

DAFTAR ISI...ii

A.Persamaan Diferensial Linier Orde-n dengan koefisien konstan...1

1. P. D. L orde-n homogen dengan koefisien konstan...2

2. P. D. L orde-n tak homogen a) Metode Wronsky...5

b) Metode inveres cara ke-1...10

c) Metode invers cara ke-2...14

d) Metode dalam bentuk sederhana...20

B.Persamaan Diferensial Linier Orde-n dengan koefisien variabel 1. P. D. L Cauchy...22

2. P. D. L Legendre...23

Daftar Pustaka...33

A. Persamaan Diferensial Linier Orde-n dengan koefisien konstan  Bentuk umum

 Bentuk umum dalam operator diferensial

Dan seterusnya

Sehingga dapat disingkat menjadi

Keterangan :



merupakan fungsi dari variabel x

Jika merupakan konstanta disebut persamaan diferensial linier orde-n dengan koefisien konstanta

Jika orde bukan koefisien konstanta disebut persamaan diferensial liner orde-n dengan koefisien variabel Jika maka disebut persamaan diferensial homogen orde-n Jika maka disebut persamaan diferensial tidak homogen orde-n

Contoh:

1. 1

2.

Jawab:

1. Persamaan diferensial linier homogen orde-4 dengan variabel konstan.

2. Persamaan diferensial linier tak homogen orde -2 dengan koefisien konstan.

3. Persamaan diferensial linier tidak homogen orde-5 dengan koefisien variabel.

Latihan

1.

1

1. Bentuk homogennya

Atau dapat disingkat menjadi

Atau dapat dikeluarkan variabel x nya

2. Langkah-langkah penyelesaian

1. Membuat persamaan karakteristik

2. Menentukan akar-akar dari persamaan karakteristik

a. Jika akar-akar rill berbeda

Solusi umumnya adalah

b. Jika akar-akar rill dan akar kembar

Solusi umumnya adalah

c. Jika akar-akar rill dan campuran

d. Jika akar-akar bilangan kompleks

Dan

Solusi umumnya adalah

Contoh:

1.

2.

Jawab: 1.

Jadi solusi umumnya adalah

Jadi solusi umumnya adalah

3. Tinjau

Solusi umunnya adalah

Latihan

I.P. D. L. Tak Homogen orde-n dengan koefisien konstan 1. Bentuk umum metode wronsky

Karena jawab umum dari

Atau (dengan subtitusi (2) dalam (1).

Tinjau :

Dimana akan ditentukan lebiih lanjut.

Pilih sehingga

Dari (2) maka

memenuhi sistempersamaan, (4)

(7)

Dimana :

Disebut determinan WRONSKY

Jadi

Maka solusi umumnya dari

Adalah

+ Contoh soal:

Jawab : Tinjau Persamaan karakteristik Adalah Jadi Determinan WRONSKY : Jadi

Jadi solusi umumnya dari PD adalah :

2.

Tinjau Persamaan karakteristik Jadi w w w Jadi

Solusi umumnya adalah (

3.

Persamaan karakteristik :

Jadi

Maka solusi umumya adalah Latihan: 1) 2) 2. Bentuk umum: Po P₁ P_{2 . . .} + Pn_-1 Pny = Q dengan Q ≠ 0 Po Dny _{+ P} 1 Dn-1 y + P2 Dn-2y + . . . + Pn-1 Dy + Pn y = Q Atau (Po Dn _{+ P} 1 Dn-1 + P2 Dn-2 + . . . + Pn-1 D + Pn)y = Q

Solusi umum: Y = Yc +Yp

Yc= solusi komplementer (solusi dari P.D. L. Homogen) Yp= solusi partikuler

Menentukan Yp:

a. Metode Invers Operator

Bentuk umum P. D. L. tak homogen ditulis dalam bentuk F (D) y = Q sehingga:

Yp = atau Yp = 1. Cara pertama

Berdasarkan faktor’’ riil linier dari F (D): Yp =

Langkah’’ penyelesaian

a. Tentukan invers operator dari f (D) yaitu

b. Tentukan faktor’’ riil linier dari yaitu:

Yp=

c. Secara berabtai tentukan Yp: Tahap 1:

Misalnya: U = Q (P.D.L Orde satu) U = e λ1x – 1x λ _dx

Tahap 2: Misalnya: V=

Tahap terakhir: Misal: S=

S= e λ x 1 _. – 1x λ _dx

d. Yp merupakan hasil dari tahap terakhir Yp = s Contoh: +29 + 100y = Persamaan karakteristiknya: ( + 25 ) ( + 4 ) = 0 maka solusi : y = mencari Misal : u u u u misal v = v v

v

maka solusi umumnya adalah

1. +2 + =10 Jawab: Persamaan karakteristiknya: ( + 1 ) ( + 1 ) ( + 2 )= 0 maka solusi : y = mencari Misal : u u u u misal v = v v v

miasal w = w

w w

maka solusi umumnya adalah 2. Jawab: Persamaan karakteristiknya: ( 15 ) ( 4 ) = 0 maka solusi : y = mencari Misal : u u u u misal v = v

v v

maka solusi umumnya adalah Latihan:

1) 2)

2. Cara kedua

Bentuk dinyatakan sebagai jumlah n pecahan bagian dari fakta’’ sehingga:

Yp = . Q = (

Langkah’’ penyelesaian

a. Tentukan invers operator: Tentukan jumlah n pecahan bagian dari

Dengan menggunakan koefisien kedua ruas, tentukan nilai N₁, N₂, . . . , Nn Subtitusikan N₁, N₂, . . . , Nn ke Yp: Yp = ( ) . Q b. Tentukan Yp: Yp = N₁ . e λ1x _. -λ1x _{dx + . . . + Nn . e}λnx _. λnx _dx Contoh: + 4 + 3y = Jawab: Persamaan karakteristiknya: maka : mencari dieliminasi menjadi

maka solusi umumnya adalah

+ 14 + 4y =

Jawab:

Persamaan karakteristiknya:

mencari

maka solusi umumnya adalah 1) + 6y = Jawab: Persamaan karakteristiknya: maka : mencari

maka solusi umumnya adalah

Metode dalam bentuk sederhana

Metode koefisien tak-tentu dapat diterapkan haya jika dan semua turunanya dapat dituliskan dalam suku-suku himpunan finit yang sama dari fungsi-fungsi yang dapat indepanden secara linier, yang kita lambangkan dengan . Metode ini diawali dengan mengansumsikan bahwa solusi tertentunya memiliki bentuk

Dimana melambangkan konstanta multiplikatif sembarang. Konstanta-kontanta sembarang ini kemudian ditentukan dengan melalui solusi yang diajukan kedalam persamaan diferensial yang ditentukan dan menyertakan koefisien-koefisien yang memiliki suku yang sama.

Kasus 1. polonominal tingkat ke-n dalam x. Asumsikan solusinya membentuk

Dimana adalah konstan yang harus ditentukan. Kasus 2. dimana ka dan adalah

konstanta-konstanta yang diketahui. Asumsikan solusinya memiliki bentuk

Kasus 3. dimana adalah

konstanta-konstanta yang diketahui. Asumsikan solusinya memiliki bentuk

Dimana A dan B adalah konstanta-konstanta yang harus ditentukan.

Contoh

a. selesaikan Jawab:

Persamaan karakteristik

Jadi

Suatu polinominal tingkat kedua. Dengan menggunakan kasus 1.kita mengansumsikan

Jadi . Dengan memasukkan haisl-hasil

ini kedalam persamaan diferensil, kita memperoleh

Atau ekuivalen dengan

Dengan menyertakan koefisisen-koefisien yang memiliki pangkat x yang sama, kita memperoleh

Jika sistem ini diselesaikan, kita memperoleh

b. selesaikan

Persamaan karakteristik

Jadi

Suatu polinominal tingkat kedua. Dengan menggunakan kasus 2 dimana variabel independen x digantikan oleh

dan . Dengan menggantikan . Kita mengansumsikan

Jadi . Dengan memasukkan haisl-hasil ini

kedalam persamaan diferensil, kita memperoleh

Atau ekuivalen dengan

, maka , sehingga

menjadi

Dan solusi umumnya adalah

c. selesaikan

Jadi

Suatu polinominal tingkat kedua. Dengan menggunakan kasus 2 dimana variabel independen x digantikan oleh

dan . Dengan menggantikan . Kita mengansumsikan

Dengan demikian

Dan

Dengan hasil-hasil ini masukkan kedalam persamaan diferensial, kita memperoleh

Yang ekuivalen dengan

Dengan menyertaka koefisien-koefisien dari suku-suku yang sama, kita memperoleh

Maka menjadi

Dan solusi umumnya adalah

B. Persamaan Diferensial Linier Orde-n dengan koefisien variabel 1. Persamaan Diferensial Linier Cauchy

Bentuk P.D:

Po xn

Atau dapat ditulis dalam polonom operator (Po x2 _D2 _{+ P}

1 xn-1 Dn-1 + . . . +

Pn-₁ x D +Pn)y = Q(x) dimana Po,P_{1, . . . ,}Pn adalah konstan.

Untuk menyelesaikan P.D ini dilakukan transformasi x = e2 _untuk

mereduksi P. D semula menjadi P.D unier orde n dengan koefisien konstan yaitu:

Tranformasi x = e2 _{atau In x = z kemudian jika D didefinisikan oleh D =}

:

xDy =Dy

x2_D2_{y = D (D-1) y}

x3_D3_{y = D (D-1) (D-2) y}

xn_Dn_{y = D (D-1) (D-2) (D-3) . . . (D-n + 1)y}

[Po D (D-1)(D-2)(D-3) . . . (D-n + 1)+P₁D (D-1)(D-2) . . . (D-n +2)+ . . . +Pn-₁ D +Pn]y = Q(e2₎

P. D baru inni diselesaikan dengan cara telah dibahas pada v langkah’’ menghitung solusi umum P.D chauchy

1. lakukanlah transformasi x = e2_{dan D =}

2. P. D tereduksi menjadi P. D liner orde n dengan koefisien konstan didalam polinominal operator D

3. Selesaikanlah P. D baru ini dengan cara-cara pada bab v

4. gunakan transformasi Z = In x atau e2 _{= x untuk mendapatkan variabel}

semua

5. solusi umum P. D cauchy ditentukan 2. Persamaan Diferensial Linier Legendre

Bentuk P. D

Po (ax + b)n _P

1 (ax + b)n-1 Pn-1 (ax + b) + Pn y = Q(x)

dimana Po, P_{1, . . . ,}P_n adalah konstan

Untuk menyelesaikan P. D ini dilakukan tranformasi ax+b=e2 _untuk

mereduksi P. D semula menjadi P. D linier orde dengan koefisien konstan yaitu:

Transformasi ax + b = e2 _{atau In (ax + b) = z jika D =}

(ax +b)Dy = aDy

(ax +b)2_D2_{y = a}2_{D (D-1) y}

(ax +b)3_D3_{y = a}3 _{D(D-1) (D-2) y}

tereduksi menjadi:

[Po an _{D (D-1)(D-2) . . . (D-n +1) + P}

1 an-1D (D-1)(D-n+2) + . . . +Pn-1 Ad + Pn]y

= Q [ ]

P. D baru ini diselesaikan dengan cara’’ yang telah dibahas pada bab 5 Langkah’’ menghitung solusi umum P.D linier legendre:

1. Lakukanlah transformasi ax + b = e2 _{dan d =}

2. P. D tereduksi menjadi P.D linier orde n dengan koefisien konstan didalam polinomial operator D

3. Selesaikanlah P.D baru ini dengan cara pada v

4. Gunakanlah transformasi Z = In (ax b) dan e2 _{= ax + b untuk}

mendapatkan variabel semula

5. Solusi umum P.D legerdre ditemukan

Contoh:

1. Selesaikan

Transformasi mengubah menjadi

2. [4D(D (4 (4 (4 (2 2 Yc Tahap I: Yp Misal U: u u u 4z Misal V: v

v v Tahap II: Yp Misal U: u u Misal V: v v v

Solusi umumnya adalah

3.

Mencari Ganti Mis U: u u u u u V: V= v v v

4. Jawab: Mencari Ganti Mis U: u u u u u V:

V= v v v

solusi umumnya adalah

5.

Jawab:

Mencari Ganti Mis U:

u u u u u V: V= v v v

solusi umumnya adalah

Latihan

1)

y′ ′ + 7xy′ + 9y = sin x 4 y′ ′ + 8xy′ −15y = x

C. Sistem Persamaan Diferensial Linier Simultan 1. Pengertian dari sistem persamaan linier simultan

Sistem P.D Linier simultan adalah suatu sistem dari persamaan diferensial dengan dua atau lebih variabel tak bebas dan satu variabel bebas. Jumlah dari persamaan simultan sama dengan jumlah dari variabel tak bebasnya. Misalnya:

(D-1) x + (D-5) y = e-t

Atau

(D+3) x + y = 2

Jumlah dari persamaan simultan = 2 dan jumlah dari variabel tak bebas = 2 (yaitu x dan y). Solusi umum dari P.D simultan dapat diperoleh dengan cara menggunakan eliminasi dari variabel tak bebasnya. Jumlah konstanta sembarang yang ditampilakan dalam solusi umum derajat dalam simultan:

Didalam melakukan eliminasi variabel tak bebas determinan ini harus

diperhatikan. Jika sistem itu adalah tak bebas sehingga sistem ini tidak akan dipikirkan disini. Langkah’’ mencari solusi umum sistem P.D Linier simultan:

1. Tulislah P.D didalam polinomial operator D untuk P. D. Linier dengan koefisien konstan, tetapi untuk P.D.L dengan koefisien variabel , tulislah P.D ini didalam polinomial D.

2. Hitunglah determinan D

Dengan memperhatikan determinan ini, lakukanlah eliminasi variabel tak bebasnya

Selesaikanlah P.D hasil eliminasi itu dengan metode yang telah dibahas pada bab sebelumnya

Hitung juga untuk variabel tak bebas yang lain

Solusi umum sistem merupakan kumpulan dari variabel tak bebas yang telah diperoleh melalui eliminasi tadi

Contoh: 1. Selesaikan sistem : • (D + 1)x + (D – 1)y = et • (D2 _{+ D + 1)x + (D}2 _{+ D + 1)y = t}2 Jawablah : (D + 1)x + (D – 1)y = et _...(1) (D2 _{+ D + 1)x + (D}2_{- D + 1)y = t}2 _...(2)

Kenakanlah operator D2_{+ D + 1 pada pers(1) dan (D + 1) pada pers(2) dan}

kurangkanlah. Diperoleh :

2y = t2 _{+ 2t – 3e}t _{dan y = t}2 _{+ t - e}t

Kenakanlah operator D2_{- D + 1 pada pers (1) dan D – 1 pada pers(2) dan}

kurangkanlah, diperoleh :

2x + t2 _{– 2t + e}t _{dan x = t}2 _{– t + e}t

catatlah = 2 adalah derajat 0 pada D, dengan demikian tak ada konstanta sebarang pada penyelesaiannya

• D2_{x – a}2_{y = 0}

• D2_{y + a}2_{x = 0}

Jawab :

D2_{x – a}2_{y = 0 ...(1)}

D2_{y + a}2_{x = 0 ...(2)}

Kenakan operator D2 _{pada pers(1) dan substitusikan D}2_{y = -a}2_{x dari pers}

(2), diperoleh :

D4_{x – a}2_(-a2_{x) = D}4_{x + a}4_{x = (D}4 _{+ a}4_{)x = 0, maka D = (1 )}

dan x = ( ) + ( )

substitusikan untuk x pada pers (1) dan selesaikan

y = x = ( ) + ( )

3. Selesaikan sistem : •

Carilah persamaan khusus dimana ! Jawab :

...(1) ...(2)

...(3)

Pertama, kenakanlah D pada pers(2) sehingga ...(4) ,

selanjutnya tambahkan dua kali pers(3) pada pers(1) dan kurangkan pers(4) diperoleh ( , maka

dan Dari pers(2),

Dari pers(3) , ; maka

, karena berderajat

2 dalam D terdapatlah dua konstanta sebarang dan penyelesaian umumnya

Latihan a) b) c) d)

21 e)

DAFTAR PUSTAKA

Arjuna,Lilik.1983.Pengantar Penyelesaian Deret Integral Lipat Persamaan Diferensial.Bandung:ARMICO.

Finizio. 1982. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern, terjemahan oleh Widiarti Santoso. Jakarta : Erlangga

Kartono. 2012. Persamaan Diferensial Biasa. Yogyakarta : Graha Ilmu Marga, M dan Ismail Bestari. 1985. Matematika Universitas. Bandung :

Armico

Nababan. 2005. Persamaan Diferensial Biasa. Jakarta : Universitas Terbuka

Nugraha, Didit Budi. 2009. Persamaan Diferensial Biasa. Jakarta : Universitas Kristen Satya Wacana