Persamaan Diferensial Orde Satu (3)

(1)

PERSAMAAN DEFERENSIAL

ORDE SATU

(2)

2.2 Homogeneous Equation

(3)

2.2.1 Metode Identififkasi

 Bentuk umum persamaan diferensial orde pertama

persamaan disebut homogen jika

 untuk semua bilangan real

)

,

(

x

y

f

dx

dy



)

,

(

)

,

(

x y f x y

(4)

Definisi 2.2 (Pers Homogen)

 Persamaan diferensial

disebut persamaan homogen jika

f(x, y)=f(x,y), untuk setiap nilai real .

)

,

(

x

y

f

dx

dy

(5)

Contoh 2.1

 Tentukan apakah persamaan di bawah ini adalah homogen

(a) (b)

(c) (d)

x y

dx dy

 

 2 2

y x

xy

dx dy

 

y x

dx dy



 x(ln y ln x)

dx dy

(6)

solusi

(a)

homogen tersebut

persamaan jadi

(7)

(8)

(c)

homogen

tidak

persamaan

y)

-(x

y

-x

y)

x,

f(

s,

homogenita

cek

y

x

y)

f(x,

y

x

dx

dy





(9)

(d)

cek

(10)

Solusi persamaan homogen

dx

dv

x

v

dx

dy

xv

y





(11)

Teknik mencari solusi pers.

homogen

 Yakinkan bahwa persamaan homogen

 Subtitusi y = xv dan ke dalam persamaan awal

 Pisahkan variabel x dan v

 Integralkan kedua sisi

 Jika ada kondisi awal, maka subtitusikan

dx dv x v

dx dy

(12)

contoh

 Cari penyelesaian dari persamaan diferensial

dengan kondisi awal y(0) = 2 Penyelesaian:

2 cek

(13)

(14)

k

subtitusi

2v awal kondisi

(15)

 Temukan penyelesaian persamaan berikut

1) 2)

3) 4)

5) Dengan x = X dan y = Y+2, cari solusi pers berikut:

(16)

Persamaan Linear

 Definisi

persamaan diferensial

pertama orde

linear pers

sebagai disebut

atau

x dari kontinyu

fungsi c(x)

dan b(x),

a(x), mana

di

) ( )

( )

( b x y c x

dx dy x

(17)

contoh

(a)

(b)

(c)

(d)

1 2  

 y x

dy dx x

) sin

( )

1

( 2 x y 1 x

dx dy

x   



x

e y

dx dy



 2

x xe

dx dy

x y sin

(18)

Teknik penyelesaian pers. linear

1.

2. Cari p(x) dan menilai

3. Atur faktor integrasi

) ( )

(x y q x

p dx

dy

 



p(x)dx



 p x dx

e ( )

(19)

4. Kalikan (1) dengan faktor integrasi , sehingga

5. Integralkan kedua sisinya kemudian temukan y.

6. Jika ada kondisi awal, maka gunakan untuk mendapatkan nilai konstanta.

) ( ]

[ y q x

dx d



 

0 f(x)

for

f(x),

(20)

contoh

Temukan penyelesaian dari pers diferensial berikut:

1) , dengan y(0) = 1

2)

3) Dengan z=y2 _{, ubah pers. Diferensial}

ke pers. Linear dalam z. Cari penyelesaian pers. Awal dengan y(1)=1

x cos y tan x

dx dy

 

2 2

1 1 )

1 (

x xy

dx dy x

  



1

2 2  

xy dx

(21)

Persamaan Bernoulli

 Contoh

yang mengurangi pers. Linear dengan subtitusi z = y1-n

persamaan ini dinamakan James Bernoulli (1654 -1705).

1 n

, )

( )

(  

 n

y x q y

x p dx

(22)

 Tunjukkan jika z = sin y, pers. Diferensial

2 2

1 dx

dz

menjadi

dirubah

pers.

sec

tan

x

z

x

y

x

y

dx

dy





(23)

solusi

 Diberikan z = sin y, maka

 Subtitusikan ke pers. Awal

dx dz y

dx dy

dx dy y

dx dz

sec cos

 

2 sec tan

sec

x y x

y dx

dz

(24)

2 2

1

1 sin

x

Dengan persamaan llinear z. Maka dapat ditunjukkan faktor integrasi adalah

(x) = x Pers. Dapat dituliskan

Subtitusikan kembali, sehingga x sin y = ln x +A

(25)

contoh

A simple electrical circuit consist of s constant resistant R (in Ohm), a constant inductant L (in henrys) and an electromotive force E(t) (in volts). According to Kirchoff’s second law, the current i (in amperes) in the circuit satisfies the equation.

Solve the diffrential equation with the following conditions.

(a) E(t) = Eo is a constant and i = io when t = 0.

describe the current i when t  

(b) E(t) = 110 sin 120t, L=3 henrys, R = 15 Ohm

and i = 0 when t =0

) (t E Ri

dt di