LAPORAN PRAKTIKUM PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA KELAS BP PERTEMUAN KE - 5 PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE 1 (LANJUTAN)

LAPORAN PRAKTIKUM PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

KELAS BP PERTEMUAN KE - 5

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE 1 (LANJUTAN)

Pinkan Akmay Wanda Pitaloka 221810101061

LABORATORIUM MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS JEMBER

2023

2

A. LANDASAN TEORI/TINJAUAN PUSTAKA

Maple merupakan sistem perangkat lunak matematika berbasis komputer, yaitu komputer sistem aljabar dari Waterloo Maple Software (WMS). Program yang ada pada maple sangat mendukung dalam menyelesaikan berbagai materi yang ada dalam matematika, seperti kalkulus, persamaan diferensial, aljabar linear, analisis numerik, dan grafik yang sangat mampu menvisualisasikan materi agar lebih real, yang meliputi grafik dalam berbagai bentuk plot, grafik dua dimensi, dan tiga dimensi. (Tung Y, 2003).

Komputasi yang terdapat dalam Maple Worksheet Environment berupa aneka solusi dari permasalahan teori grup, analisis tensor, dan aritmatika dasar.

Itulah yang menjadi salah satu alasan para matematikawan lebih menyukai software ini dibandingkan software lainnya. Terlebih lagi terdapat menu help sebagai tempat bertanya jika ada fungsi yang tidak dimengerti saat menjalankan aplikasi ini. Software maple sangat cocok untuk merumuskan, mencari solusi, dan memeriksa model matematika. Tampilan aneka grafik sangat membantu mahasiswa dalam menggali berbagai informasi dari masalah yang mereka visualkan. (Ramdhani V, 2021).

Persamaan Diferensial Biasa (ordinary differential equation) disingkat PDB adalah suatu persamaan diferensial yang hanya mempunyai satu variabel bebas. Jika y(x) adalah suatu fungsi satu variabel, maka x dinamakan variabel bebas dan y dinamakan variabel tak bebas. Terdapat 2 jenis persamaan diferensial, yaitu Persamaan Diferensial Biasa dan Persamaan Diferensial Parsial. (Marwan dan Said, 2019).Persamaan diferensial biasa orde satu dapat diklasifikasikan dalam beberapa bentuk persamaan, yaitu persamaan linier, persamaan Bernoulli, persamaan homogen, persamaan yang dapat dipisahkan, dan persamaan eksak serta faktor integrasi. (Darmawijoyo, 2011). Persamaan Diferensial Biasa (PDB) Orde 1 eksak adalah persamaan apabila daerah D merupakan ∃ fungsi f(x,y) = C (C = konstan), sehingga df(x,y)

= M(x,y)dx + N(x,y)dy. Solusi umum Persamaan Diferensial Biasa (PDB) Orde 1 eksak berbentuk :

3

F(x,y) = C (1)

Teorema Persamaan Diferensial Biasa (PDB) Orde 1 eksak :

Misalkan fungsi M(x, y) dan N(x, y) mempunyai turunan pertama yang kontinu pada daerah D, maka :

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (2) Kontinu di daerah D jika dan hanya jika untuk semua (x,y) dalam D.

𝜕𝑀

𝜕𝑦 = ^𝜕𝑁

𝜕𝑥 (3)

(Ibnas’, 2017).

Jika persamaan M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 adalah persamaan diferensial tak eksak. Akan tetapi, bila M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 dikaitkan dengan suatu fungsi 8(x, y), sehingga fungsi u(x, y) dinamakan faktor integrasi.

u(x, y) [M(x, y)dx + N(x, y) dy] = 0 (4)

B. HASIL PRAKTIKUM B.1 Pembahasan

Gambar B.1.1 Perintah restart

Perintah restart pada Maple digunakan untuk menghapus perintah sebelumnya. Perintah ini biasanya diberikan saat ingin memasukkan sintak baru pada dokumen yang ada di dalam Maple. Alasannya, karena jika perintah ini tidak digunakan sebelum sintak baru, maka akan mengakibatkan rumus baru tersebut tercampur dengan sintak sebelumnya.

4

Gambar B.1.2 PDB Eksak

Penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa (PDB) eksak diselesaikan dengan mendefinisikan persamaan terlebih dahulu. Persamaan didefinisikan ke dalam variabel M dan N. Pendefinisian dilanjutkan dengan menyelesaikan Persamaan Diferensial Biasa eksak tersebut dengan metode pengintegralan.

Gambar B.1.3 Perintah Integral

Perintah selanjutnya adalah perintah pengintegralan. Hasil pengintegralan ini diperoleh dari pendefinisian Persamaan Diferensial Biasa eksak. Sehingga, hasil dari persamaan tersebut dapat ditentukan jumlahnya.

Gambar B.1.4 Perintah Substitusi

Perintah selanjutnya adalah perintah substitusi. Hasil pengintegralan yang sudah didapatkan, langsung dilakukan proses substitusi. Substitusi ini dilakukan dengan cara memasukkan nilai yang dicari, sehingga hasil dapat ditentukan. Hasil hitung dipastikan kebenarannya dengan perintah odetest.

Perintah odetest memeriksa solusi eksplisit dan implisit untuk ODE dengan

5

menyederhanakan ODE secara hati-hati sehubungan dengan solusi yang diberikan. Jika solusinya valid, hasil yang dikembalikan adalah 0 ; jika tidak, ekspresi aljabar yang tersisa akan dikembalikan. Dalam kasus sistem ODE, odetest hanya dapat menguji solusi eksplisit, yang diberikan baik sebagai himpunan atau sebagai daftar himpunan.

Gambar B.1.5 PDB Tak Eksak

Pengerjaan Persamaan Diferensial Biasa (PDB) tak eksak dapat diselesaikan dengan faktor integrasi. Langkah awal untuk pengerjaan dapat dilakukan dengan melakukan pendefinisian terlebih dahulu persamaan ke dalam bentuk M dan N. Langkah selanjutnya adalah proses pengintegralan.

Gambar B.1.6 Perintah Integral

Perintah selanjutnya adalah perintah pengintegralan. Hasil pengintegralan ini diperoleh dari pendefinisian Persamaan Diferensial Biasa eksak. Sehingga, hasil dari persamaan tersebut dapat ditentukan jumlahnya.

Gambar B.1.7 Perintah Pendefinisian Persamaan

6

Perintah selanjutnya untuk menyelesaikan Persamaan Diferensial Biasa tak eksak adalah dengan kembali melakukan pemisalan pada persamaan yang.

Persamaan yang ada dilakukan pemisalan dengan M dan N sesuai dengan bentuk umum Persamaan Diferensial Biasa tak eksak. Persamaan di atas dimasukkan masing-masing untuk memudahkan proses penghitungan oleh program.

Gambar B.1.8 Perintah expand

Penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa (PDB) tak eksak dengan perintah expand. Perintah ini digunakan untuk menguraikan suatu ekspresi dalam hal ini adalah persamaan itu sendiri. Perintah ini dalam artian lain adalah untuk menyelesaikan persamaan dengan sifat asosiatif. Perintah expand dilanjutkan dengan pengintegralan.

Gambar B.1.9 Perintah Substitusi

Perintah selanjutnya adalah perintah substitusi. Tak jauh berbeda dengan proses penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa (PDB) eksak, hasil pengintegralan yang sudah didapatkan, langsung dilakukan proses substitusi.

Substitusi ini dilakukan dengan cara memasukkan nilai yang dicari, sehingga hasil dapat ditentukan. Hasil hitung dipastikan kebenarannya dengan perintah

7

odetest. Perintah odetest memeriksa solusi eksplisit dan implisit untuk ODE dengan menyederhanakan ODE secara hati-hati sehubungan dengan solusi yang diberikan. Jika solusinya valid, hasil yang dikembalikan adalah 0 ; jika tidak, ekspresi aljabar yang tersisa akan dikembalikan. Dalam kasus sistem ODE, odetest hanya dapat menguji solusi eksplisit, yang diberikan baik sebagai himpunan atau sebagai daftar himpunan.

B.2 Kesimpulan

Persamaan Diferensial Biasa (ordinary differential equation) disingkat PDB adalah suatu persamaan diferensial yang hanya mempunyai satu variabel bebas. Jika y(x) adalah suatu fungsi satu variabel, maka x dinamakan variabel bebas dan y dinamakan variabel tak bebas. Terdapat 2 jenis persamaan diferensial, yaitu Persamaan Diferensial Biasa dan Persamaan Diferensial Parsial. Persamaan diferensial biasa orde satu dapat diklasifikasikan dalam beberapa bentuk persamaan, yaitu persamaan linier, persamaan Bernoulli, persamaan homogen, persamaan yang dapat dipisahkan, dan persamaan eksak serta faktor integrasi. Persamaan Diferensial Biasa (PDB) Orde 1 eksak adalah persamaan apabila daerah D merupakan ∃ fungsi f(x,y) = C (C = konstan), sehingga df(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy.

B.3 Tugas

1.

Carilah satu persamaan PDB orde 1 (setiap mahasiswa tidak boleh sama), cek apakah PDB tersebut eksak atau tidak, kemudian carilah solusinya.

Jawab :

8

2.

Selesaikan PDB eksak berikut ini: (3x² + 4xy)dx + (2x² + 2y)dy = 0 Jawab :

9

3.

Selesaikan PDB tidak eksak berikut ini:

(6x²y + 5xy² + 12y)dx + (x³ + 2x²y + 3x)dy = 0 Jawab :

10 B.4 Error dan Solusi

Tulis error yang dialami selama mengerjakan tugas dan temukan solusinya (minimal 2).

a. Kurang tanda kurang dalam penulisan persamaan diferensial

Solusi : menambahkan tanda kurung yang awalnya

menjadi

supaya program dapat dijalankan.

b. Salah mendefinisikan persamaan diferensial

Solusi : Menyamakan definisi persamaan di dalam perintah, yang awalnya

odetest((18), pdb2) menjadi odetest((18), pdb3) menyesuaikan nama persamaan di atasnya.

11

DAFTAR PUSAKA

Darmawijoyo. 2011. Persamaan Diferensial Biasa. Palembang :Erlangga.

Marwan dan Munzir, S. 2019. Persamaan Diferensial. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Ramdhani, V. 2021. Penggunaan software maple pada pembelajaran persamaan diferensial biasa (the use of software maple in learning ordinary differential equations). GAUSS: Jurnal Pendidikan Matematika (01) : 72.

Tung Y, K. 2003. Visualisasi dan Simulasi Fisika dengan Aplikasi Program Maple.

Yogyakarta: Andi Yogyakarta.