LAPORAN PRAKTIKUM PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
KELAS BP PERTEMUAN KE - 6
PENGAPLIKASIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE 1
Pinkan Akmay Wanda Pitaloka 221810101061
LABORATORIUM MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS JEMBER
2023
2
A. LANDASAN TEORI/TINJAUAN PUSTAKA
Maple merupakan sistem perangkat lunak matematika berbasis komputer, yaitu komputer sistem aljabar dari Waterloo Maple Software (WMS). Program yang ada pada maple sangat mendukung dalam menyelesaikan berbagai materi yang ada dalam matematika, seperti kalkulus, persamaan diferensial, aljabar linear, analisis numerik, dan grafik yang sangat mampu menvisualisasikan materi agar lebih real, yang meliputi grafik dalam berbagai bentuk plot, grafik dua dimensi, dan tiga dimensi. (Tung Y, 2003).
Komputasi yang terdapat dalam Maple Worksheet Environment berupa aneka solusi dari permasalahan teori grup, analisis tensor, dan aritmatika dasar.
Itulah yang menjadi salah satu alasan para matematikawan lebih menyukai software ini dibandingkan software lainnya. Terlebih lagi terdapat menu help sebagai tempat bertanya jika ada fungsi yang tidak dimengerti saat menjalankan aplikasi ini. Software maple sangat cocok untuk merumuskan, mencari solusi, dan memeriksa model matematika. Tampilan aneka grafik sangat membantu mahasiswa dalam menggali berbagai informasi dari masalah yang mereka visualkan. (Ramdhani V, 2021).
Persamaan Diferensial Biasa (ordinary differential equation) disingkat PDB adalah suatu persamaan diferensial yang hanya mempunyai satu variabel bebas. Jika y(x) adalah suatu fungsi satu variabel, maka x dinamakan variabel bebas dan y dinamakan variabel tak bebas. Terdapat 2 jenis persamaan diferensial, yaitu Persamaan Diferensial Biasa dan Persamaan Diferensial Parsial. (Marwan dan Said, 2019).Persamaan diferensial biasa orde satu dapat diklasifikasikan dalam beberapa bentuk persamaan, yaitu persamaan linier, persamaan Bernoulli, persamaan homogen, persamaan yang dapat dipisahkan, dan persamaan eksak serta faktor integrasi. (Darmawijoyo, 2011).
Persamaan diferensial memegang peranan penting dalam rekayasa, fisika, ilmu ekonomi dan berbagai macam disiplin ilmu. Persamaan diferensial muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi, bilamana hubungan deterministik yang melibatkan besaran yang berubah secara kontinu
3
dimodelkan oleh fungsi matematika dan laju perubahannya dinyatakan sebagai turunan diketahui atau dipostulatkan. Salah satu aplikasi turunan dalam kehidupan sehari-hari adalah untuk mengkonstruksi model matematika dari fenomena perubahan dalam kehidupan sehari-hari yang melibatkan laju perubahan sesaat atau laju perubahan rata-rata. Persamaan diferensial merupakan dasar dalam pengembangan ilmu pengetahuan dan teknologi.
Contohnya peluruhan zat radioaktif, pertumbuhan dan penyusutan populasi, pemanasan dan pendinginan, penguapan, perilaku arus listrik dalam suatu rangkaian listrik, gerak dalam medan gravitasi, dinamika harga pasar, pertumbuhan keuangan dan dinamika harga saham, pengaturan dosis obat, pembelahan sel dan sebagainya. (Iswanto, 2012).
B. HASIL PRAKTIKUM B.1 Pembahasan
Gambar B.1.1 Perintah Restart
Perintah restart pada Maple digunakan untuk menghapus perintah sebelumnya. Perintah ini biasanya diberikan saat ingin memasukkan sintak baru pada dokumen yang ada di dalam Maple. Alasannya, karena jika perintah ini tidak digunakan sebelum sintak baru, maka akan mengakibatkan rumus baru tersebut tercampur dengan sintak sebelumnya.
4
Gambar B.1.2 Trayektori Ortogonal
Trayektori orthogonal adalah sebuah kurva yang memotong kumpulan kurva yang berada pada koordinat kartesius. Trayektori ini dapat dijalankan dengan memasukkan perintah plot pada Maple. Persamaan yang ada didefinisikan terlebih dahulu dan dimasukkan dalam perintah plot dan rhs di sebelah kanan supaya program berjalan..
Gambar B.1.3 Proses Penyelesaian Persamaan
Perintah selanjutnya adalah mengintegralkan persamaan tadi hingga mencapai hasil yang dimaksud. Ada beberapa perintah yang digunakan, yaitu diff yang digunakan untuk mencari turunan persamaan, subs untuk melakukan
5
substitusi pada persamaan, dan rhs untuk membaca persamaan yang ada di sebelah kanan tanda sama dengan (=). Persamaan tadi lantas kembali dilakukan diferensial hingga mendapat hasil yang paling sederhana.
Gambar B.1.4 Solusi Trayektori Ortogonal
Perintah dsolve digunakan untuk menyelesaikan persamaan pada trayektori orthogonal. Trayektori ortogonal dari keluarga kurva adalah yang berbentuk lingkaran, sehingga bisa diubah menjadi persamaan lingkaran, keluarga kurvanya adalah selain plot lingkaran. Perintah tersebut digunakan untuk penyelesaian trayek orthogonal.
Gambar B.1.5 Aplikasi Persamaan Diferensial Biasa (Peluruhan)
6
Pengaplikasian Persamaan Diferensial Biasa (PDB) yang pertama adalah peluruhan. Contoh yang diambil adalah proses peluruhan yang terjadi pada radioaktif. Hal yang biasa ditanyakan adalah jumlah zat radioaktif mula-mula dan jumlah di akhir setelah beberapa waktu. Hasil penghitungan yang ada pada Gambar B.1.5 adalah sebesar 24.50975217 untuk radioaktif meluruh setengah mula.
Gambar B.1.6 Aplikasi Persamaan Diferensial Biasa (Pertumbuhan) Pengaplikasian Persamaan Diferensial Biasa (PDB) yang kedua adalah pertumbuhan. Contoh yang diambil adalah proses pertumbuhan populasi.
Tidak jauh berbeda dengan Gambar B.1.5, penghitungan populasi juga mencari bagaimana pertumbuhan populasi sebuah tempat dalam kurun waktu tertentu. Perbedaan hanya terletak pada variabel yang ditanyakan saja.
Gambar B.1.7 Aplikasi Persamaan Diferensial Biasa (Hukum Maltus) Pengaplikasian Persamaan Diferensial Biasa (PDB) yang ketiga adalah penggunaan Hukum Maltus. Penggunaan Hukum Maltus biasanya digunakan untuk menghitung jumlah bakteri dalam kurun waktu tertentu. Hal yang biasa ditanyakan adalah jumlah koloni bakteri setelah didiamkan beberapa waktu.
Hukum Maltus masuk ke dalam kategori penghitungan populasi.
7
Gambar B.1.8 Aplikasi Persamaan Diferensial Biasa (Hukum Pendinginan Newton)
Pengaplikasian Persamaan Diferensial Biasa (PDB) yang ketiga adalah penggunaan Hukum Pendinginan Newton. Aplikasi hokum ini biasanya digunakan pada sebuah logam yang dibiarkan pada suhu ruang yang telah dipanaskan sebelumnya. Hal yang ditanyakan biasanya adalah perubahan suhu yang terjadi dari suhu awal dan akhir sebuah logam tadi dengan lingkungan.
B.2 Kesimpulan
Persamaan Diferensial Biasa (ordinary differential equation) disingkat PDB adalah suatu persamaan diferensial yang hanya mempunyai satu variabel bebas. Persamaan diferensial memegang peranan penting dalam rekayasa, fisika, ilmu ekonomi dan berbagai macam disiplin ilmu. Persamaan diferensial muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi.
Persamaan diferensial merupakan dasar dalam pengembangan ilmu pengetahuan dan teknologi. Contohnya peluruhan zat radioaktif, pertumbuhan dan penyusutan populasi, pemanasan dan pendinginan, penguapan, perilaku
8
arus listrik dalam suatu rangkaian listrik, gerak dalam medan gravitasi, dinamika harga pasar, pertumbuhan keuangan dan dinamika harga saham, pengaturan dosis obat, pembelahan sel dan sebagainya. Praktikum kali ini membahas aplikasi Persamaan Diferensial Biasa (PDB), yaitu peluruhan radioaktif, Hukum Maltus, penghitungan populasi, dan Hukum Pendinginan Newton.
B.3 Tugas
1.
Carilah satu contoh aplikasi PDB orde satu dan buatlah penyelesaiannya Jawab :B.4 Error dan Solusi
Tulis error yang dialami selama mengerjakan tugas dan temukan solusinya (minimal 2).
a. Kurang perintah subs
Solusi : Memberikan perintah subs untuk menyelesaikan substitusi pada variabel yang ada dalam persamaan, yang awalnya x(t) = 2000, xa = 1000, t
= 1, (2)) menjadi subs(x(t) = 2000, xa = 1000, t = 1, (2)).
9
b. Kurang tanda kurung untuk memisahkan perintah dengan variabel
Solusi : Memberikan tanda kurung untuk memisahkan perintah dengan variabelnya, awalnya simplify(subsxa = 1000, t = 20, k = ln(2), (2))) menjadi simplify(subs(xa = 1000, t = 20, k = ln(2), (2))).
10
DAFTAR PUSAKA
Darmawijoyo. 2011. Persamaan Diferensial Biasa. Palembang :Erlangga.
Marwan dan Munzir, S. 2019. Persamaan Diferensial. Yogyakarta: Graha Ilmu.
R. J. Iswanto, 2012. Pemodelan Matematika (Aplikasi dan Terapannya). Graha Ilmu: Yogyakarta.
Ramdhani, V. 2021. Penggunaan software maple pada pembelajaran persamaan diferensial biasa (the use of software maple in learning ordinary differential equations). GAUSS: Jurnal Pendidikan Matematika (01) : 72.
Tung Y, K. 2003. Visualisasi dan Simulasi Fisika dengan Aplikasi Program Maple. Yogyakarta: Andi Yogyakarta
