LAPORAN PRAKTIKUM PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
KELAS BP PERTEMUAN KE - 7
PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA ORDE DUA HOMOGEN
Pinkan Akmay Wanda Pitaloka 221810101061
LABORATORIUM MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS JEMBER
2023
2
A. LANDASAN TEORI/TINJAUAN PUSTAKA
Maple merupakan sistem perangkat lunak matematika berbasis komputer, yaitu komputer sistem aljabar dari Waterloo Maple Software (WMS). Program yang ada pada maple sangat mendukung dalam menyelesaikan berbagai materi yang ada dalam matematika, seperti kalkulus, persamaan diferensial, aljabar linear, analisis numerik, dan grafik yang sangat mampu menvisualisasikan materi agar lebih real, yang meliputi grafik dalam berbagai bentuk plot, grafik dua dimensi, dan tiga dimensi. (Tung Y, 2003).
Komputasi yang terdapat dalam Maple Worksheet Environment berupa aneka solusi dari permasalahan teori grup, analisis tensor, dan aritmatika dasar.
Itulah yang menjadi salah satu alasan para matematikawan lebih menyukai software ini dibandingkan software lainnya. Terlebih lagi terdapat menu help sebagai tempat bertanya jika ada fungsi yang tidak dimengerti saat menjalankan aplikasi ini. Software maple sangat cocok untuk merumuskan, mencari solusi, dan memeriksa model matematika. Tampilan aneka grafik sangat membantu mahasiswa dalam menggali berbagai informasi dari masalah yang mereka visualkan. (Ramdhani V, 2021).
Persamaan Diferensial Biasa (ordinary differential equation) disingkat PDB adalah suatu persamaan diferensial yang hanya mempunyai satu variabel bebas. Jika y(x) adalah suatu fungsi satu variabel, maka x dinamakan variabel bebas dan y dinamakan variabel tak bebas. Terdapat 2 jenis persamaan diferensial, yaitu Persamaan Diferensial Biasa dan Persamaan Diferensial Parsial. (Marwan dan Said, 2019). PDB digunakan ketika persamaan diferensial hanya mengandung satu variabel bebas, sedangkan PDP digunakan ketika lebih dari satu variabel bebas.
Persamaan diferensial dapat juga di kelompokkan berdasarkan bentuknya, yaitu homogen dan tak homogen. Selain itu berdasarkan ordenya, terbagi atas persamaan diferensial orde satu, orde dua, orde tiga, sampai dengan orde-𝑛 (orde tertinggi). Terakhir, berdasarkan sifat kelinearannya, PDB terbagi atas dua yaitu linear dan tak linear. (Nisa, K., dkk. 2023). Persamaan diferensial biasa dengan turunan orde dua terbesar disebut persamaan diferensial biasa
3
orde dua. Bentuk umum dari Persamaan diferensial biasa orde dua berbentuk sebagai berikut.
p(x) y” + q(x) y’ + r (x)y = s(x) (1) (Resmawan, 2018).
B. HASIL PRAKTIKUM B.1 Pembahasan
Praktikum kali ini membahas tentang Persamaan Diferensial Biasa (PDB) Orde 2. PDB orde 2 merupakan persamaan diferensial yang memiliki derajat dua. Ada beberapa hal yang dibahas dalam praktikum kali ini, sebagai berikut.
Gambar B.1.1 Perintah restart
Perintah restart pada Maple digunakan untuk menghapus perintah sebelumnya. Perintah ini biasanya diberikan saat ingin memasukkan sintak baru pada dokumen yang ada di dalam Maple. Alasannya, karena jika perintah ini tidak digunakan sebelum sintak baru, maka akan mengakibatkan rumus baru tersebut tercampur dengan sintak sebelumnya.
Gambar B.1.2 PDB Orde Dua
Penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa (PDB) orde dua diawali dengan dengan mendefinisikan persamaan terlebih dahulu. Pendefinisian dilakukan dengan cara memasukkan masing-masing persamaan ke dalam bentuk diff(y(x),r$2) + diff(y(x), x + y(x) = 0. Pendefinisian ini dilakukan untuk memudahkan proses selanjutnya.
4
Gambar B.1.3 Solusi Umum PDB Orde Dua
Proses penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa (PDB) orde dua, bisa dilakukan dengan mencari solusi umum. Solusi umum penyelesaiannya, terdiri atas beberapa tahap. Tahap tersebut, yaitu pendefnisian persamaan, perintah solve, penentuan alpha dan beta pada persamaan, serta hasil akhir berupa solusi umum.
Gambar B.1.4 Pendefinisian PDB Orde Dua
Tahap awal dalam penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa (PDB) orde dua adalah pendefinisian. Pendefinisian ini dapat dilakukan dengan bebas dalam menentukan variabelnya. Proses ini juga turut mempermudah langkah selanjutnya dalam menyelesaikan masalah melalui perintah solve.
Gambar B.1.5 Perintah solve
Perintah solve pada Maple digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan pada fungsi yang sudah dimasukkan dalam dokumen. Perintah ini dituliskan dengan solvef(z,r) pada fungsi. Selanjutnya, tinggal menekan tombol Enter supaya mendapatkan hasil perhitungan persamaan dalam bentuk pecahan.
5
Gambar B.1.6 Penentuan alpha dan beta
Tahap selanjutnya adalah penentuan nilai alpha dan beta. Nilai dari dua unsur ini didapatkan dari perintah solve sebelumnya. Hasil masing-masing dapat berupa bilangan real maupun imajiner, makanya masing-masing menyesuaikan sesuai hasil yang diperoleh pada perintah solve tadi.
Gambar B.1.7 Solusi Umum PDB Orde Dua
Langkah selanjutnya adalah berupa hasil akhir, yaitu solusi umum dari Persamaan Diferensial Biasa (PDB) orde dua. Hasil akhir ini diperoleh dari proses-proses sebelumnya. Hasil akhir ini nanti akan sesuai dengan bentuk umum dari PDB orde dua yang ada pada persamaan (1).
Gambar B.1.8 Kebebaslinieran dari Dua Komponen Solusi Umum
6
Tahap setelah menentukan solusi umum adalah dengan menentukan kebebaslinieran dari dua komponen solusi umum. Ada banyak tahap dalam proses ini, yaitu pemisahan kedua komponen solusi umum, penentuan matriks wronskian, pendefinisian baris kedua matrik wronskian, penggabungan kedua nilai w menjadi matriks wronskian dengan package ‘VectorCalculus’, dan mencari nilai determinan matriks menggunakan package ‘LinearAlgebra’.
Hasil akhir dari proses ini adalah dimana nilai determinan matriks wronskian tidak nol.
Gambar B.1.9 Pemisahan Kedua Komponen Solusi Umum
Tahap selanjutnya adalah pemisahan kedua komponen dari solusi umum yang didapatkan. Kedua komponen tadi didefinisikan dengan variabel z1 dan z2. Hasil yang didapatkan akan dimasukkan ke dalam matriks wronskian.
Gambar B.1.10 Menentukan Matriks Wronskian
Langkah selanjutnya adalah penentuan matriks wronskian. Langkah ini dilakukan dengan melakukan pendefinisian baris pertama dan baris kedua dari matriks wronskian. Mendefinisikan matriks ini menggunakan variabel w1
sebagai baris pertama matriks wronskian dan w2 sebagai baris keduanya.
7
Gambar B.1.11 Menggabungkan Nilai w1 dan w2 menjadi Matriks Wronskian
Tahap berikutnya adalah penggabungan nilai w1 dan w2 menjadi matriks wronskian. Penggabungan ini menggunakan sintak Matrix([w1, w2]). Terdapat beberapa cara penggabungan ini, yaitu dengan menggunakan Package
‘VectorCalculus’ dan Package ‘LinearAlgebra’.
Gambar B.1.12 Package ‘VectorCalculus’
Tahap penggabungan nilai w1 dan w2 menjadi matriks wronskian bisa dilakukan dengan mengaktifkan Package ‘VectorCalculus’. Pengaktifan package ini dapat dilakukan dengan langsung mengetikkan sintak pada worksheet. Hasil yang didapatkan juga tak sama dengan yang ada pada Gambar B.1.11. Penulisan sintaknya adalah with(VectorCalculus) yang diikuti dengan Wronskian(w1, t).
Gambar B.1.13 Package ‘LinearAlgebra’
Tahap penggabungan nilai w1 dan w2 menjadi matriks wronskian bisa dilakukan dengan mengaktifkan Package ‘LinearAlgebra’. Pengaktifan package ini dapat dilakukan dengan langsung mengetikkan sintak pada worksheet. Hasil yang didapatkan juga tak sama dengan yang ada pada Gambar B.1.11. Penulisan sintaknya adalah with (LinearAlgebra) yang diikuti dengan simplify(Determinant(w))).
8
Gambar B.1.14 Solusi Khusus dan Plot
Proses penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa (PDB) orde dua, bisa dilakukan dengan mencari solusi khusus. Solusi khusus penyelesaiannya, terdiri atas beberapa tahap. Tahap tersebut, yaitu pendefinisian syarat awal, mencari solusi khusus dengan menggunakan syarat awal, mengubah syarat awal menjadi fungsi x1, dan hasil akhir berupa plot fungsi x1.
Gambar B.1.15 Pendefinisian Syarat Awal
Tahap awal dalam penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa (PDB) orde dua adalah pendefinisian. Pendefinisian ini dapat dilakukan dengan bebas dalam menentukan variabelnya. Proses ini juga turut mempermudah langkah selanjutnya dalam menyelesaikan masalah melalui perintah dsolve. Sintaknya dituliskan dengan sal := y(0) = 0, D(y)(0) = 1.
9
Gambar B.1.16 Solusi Khusus Menggunakan Syarat Awal
Tahap selanjutnya adalah mencari solusi khusus dengan menggunakan syarat awal yang telah ditentukan tadi. Penentuan solusi khusus ini menggunakan sintak dsolve. Hasil akhir dari penggunaan sintak ini, nantinya akan berguna di langkah berikutnya.
Gambar B.1.17 Mengubah Solusi Awal Menjadi Fungsi x1
Langkah berikutnya sebelum plotting adalah dengan mengubah solusi awal menjadi fsebuah fungsi x1. Sintak yang digunakan untuk menentukan hal tersebut adalah sintak unapply dan rhs. Sintak unapply dapat digunakan untuk mengubah suatu ekspresi menjadi fungsi, sedangkan rhs untuk menyatakan persamaan yang berada di sebelah kanan tanda sama dengan (=).
Gambar B.1.18 Plot Fungsi x1
Tahap akhir dari plotting adalah menggambar hasil grafik yang sesuai dengan persamaan. Penggambaran grafik ini harus diikuti dengan rentang yang ada pada sumbu-sumbu koordinatnya. Plotting dituliskan dalam sintak plot(x1(t), t = 0..20).
10 B.2 Kesimpulan
Persamaan diferensial biasa dengan turunan orde dua terbesar disebut persamaan diferensial biasa orde dua. Persamaan diferensial dapat juga di kelompokkan berdasarkan bentuknya, yaitu homogen dan tak homogen.
Penyelesaian PDB dapat dilakukan dengan beberapa cara, yaitu dengan cara solusi umum dengan kebebaslinieran dari dua komponen, solusi khusus, dan plot.
Solusi umum penyelesaiannya, terdiri atas beberapa tahap. Tahap tersebut, yaitu pendefnisian persamaan, perintah solve, penentuan alpha dan beta pada persamaan, serta hasil akhir berupa solusi umum. kebebaslinieran dari dua komponen bisa dilakukan dengan beberapa tahap, yaitu pemisahan kedua komponen solusi umum, penentuan matriks wronskian, pendefinisian baris kedua matrik wronskian, penggabungan kedua nilai w menjadi matriks wronskian dengan package ‘VectorCalculus’, dan mencari nilai determinan matriks menggunakan package ‘LinearAlgebra’. Hasil akhir dari proses ini adalah dimana nilai determinan matriks wronskian tidak nol. Penyelesaian dengan plot dilakukan dengan beberapa langkah, yaitu pendefinisian syarat awal, mencari solusi khusus dengan menggunakan syarat awal, mengubah syarat awal menjadi fungsi x1, dan hasil akhir berupa plot fungsi x1.
B.3 Tugas
1. y” – y’ – 2y = 0 Jawab :
11 2. y” – 9y = 0
Jawab :
12 B.4 Error dan Solusi
Tulis error yang dialami selama mengerjakan tugas dan temukan solusinya (minimal 2).
a. Kurang menambahkan rentang pada sintak plot
Solusi: Menambahkan rentang pada sintak supaya plot dapat muncul. Sintak
awalnya menjadi , sehingga program
dapat dijalankan.
b. Kurang menambahkan keterangan bilangan (real atau imajiner) di dalam sintak
Solusi: Menambahkan keterangan Re di dalam sintak supaya program dapat
berjalan. Sintak awalnya menjadi
supaya tidak terjadi error.
13
DAFTAR PUSAKA
Marwan dan Munzir, S. 2019. Persamaan Diferensial. Yogyakarta: Graha Ilmu.
Nisa, K., Kiftiah, M., & Yudhi, Y. 2023. PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA TAK LINEAR ORDE DUA MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI NATURAL. Bimaster: Buletin Ilmiah
Matematika, Statistika dan Terapannya, 12(4).
Ramdhani, V. 2021. Penggunaan software maple pada pembelajaran persamaan diferensial biasa (the use of software maple in learning ordinary differential equations). GAUSS: Jurnal Pendidikan Matematika (01) : 72.
Resmawan. 2018. PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Persamaan Diferensian Biasa Orde n Koefsien Konstan. Universitas Negeri Gorontalo.
Tung Y, K. 2003. Visualisasi dan Simulasi Fisika dengan Aplikasi Program Maple. Yogyakarta: Andi Yogyakarta.
