PERSAMAAN PERSAMAAN
DIFERENSIAL ORDE 2
DIFERENSIAL ORDE 2
YUSRIL RANTE|225060100111021YUSRIL RANTE|225060100111021DAFTAR ISI DAFTAR ISI
PDB NON HOMOGEN PDB NON HOMOGEN
SOAL SOAL
TIPE TIPE
= =
TIPE TIPE
= = , ,
TIPE TIPE . .
+ + . .
+ + . . = = 0 0
TIPE TIPE . .
+ + . .
+ + . . = = ( () )
TIPE-TIPE
TIPE-TIPE
APLIKASI APLIKASI
Gerak harmonic pada pegas Gerak harmonic pada pegas
+ +
+
+ = ( = () )
Momen pada perletakan Momen pada perletakan
= =
Hukum Hooke Hukum Hooke
+ + = = 0 0
HOMOGEN HOMOGEN
NON HOMOGEN NON HOMOGEN
PDB PDB ORDE ORDE
2 2
. .
+ + . .
+ + . . = = ( () )
= = 0 0
. .
+ + . .
+ + . . = = ( () )
≠ ≠ 0 0
NON HOMOGEN NON HOMOGEN
+ +
+ + = ( = ( ) )
≠ ≠ 00
= ℎ = ℎ
= =
Fungsi homogen Fungsi homogen
Fungsi komplementer Fungsi komplementer
=
=
+ +
SOLUSI HOMOGEN SOLUSI HOMOGEN
+ +
+
+ = ( = () )
RUAS RUAS KANAN KANAN DIJADIKAN DIJADIKAN NOLNOL
+ +
+ + = 0 = 0
Jika Jika ≠ ≠ > > 0 ,0 , maka solusi umummaka solusi umum tersebut adalah tersebut adalah = =
+ +
Jika Jika = = = = = = 00 , Maka solusi um, Maka solusi umumum tersebut adalah tersebut adalah = = + +
Jika akarnya imajiner Jika akarnya imajiner < < 0 ,0 , Maka solusi umum Maka solusi umum tersebut tersebut adalah
adalah = = ((ssiinn ++cocoss)) Diperoleh de
Diperoleh dengan memecahkangan memecahkan n persamaapersamaan bila f(x)=0n bila f(x)=0
SOLUSI PARTIKULAR SOLUSI PARTIKULAR
+ +
+ + = ( = () )
RUAS RUAS KANAN KANAN DENGAN DENGAN INTEGRAL INTEGRAL KHUSUKHUSUSSTABEL PERKIRAAN SOLUSI PARTIKULAR TABEL PERKIRAAN SOLUSI PARTIKULAR
()
()
= =
= =
= = = = + + −− −−+ ⋯+ + ⋯+ + +
= = sinsin = = cocoss + + ssinin
= = sisinn = = (( ccooss + + ssiinn ))
= = coscos = = (( ccooss + + ssiinn )) Diperoleh den
Diperoleh dengan menggunagan menggunakan bentuk umum kan bentuk umum dari fungsi ruas kanan persamdari fungsi ruas kanan persamaan yangaan yang diberikan, ya
diberikan, yaitu dengan itu dengan mensubtitusmensubtitusikan bentuk umum terseikan bentuk umum tersebut ke dalambut ke dalam persamaann
persamaannya dan ya dan kemudian mekemudian menyamakan koenyamakan koefisien-koefisiennyafisien-koefisiennya
SOAL 1 SOAL 1
Carilah penyelesain persamaan berikut Carilah penyelesain persamaan berikut
55dd
d
d
+
+66y = xy = x Penyelesaian :
Penyelesaian :
PenyelesaiPenyelesaian an HomogenHomogen
55dd
d
d + +6y = 0 6y = 0 → → 55 + + 6 = 06 = 0
2 2 3 3 = = 00
= 2
= 2 = 3 = 3 → = → = ++
PenyelesaiaPenyelesaian n Komplementer Komplementer
Karena ruas kanan adalah fungsi berderajat dua Karena ruas kanan adalah fungsi berderajat dua (
())sehingga bentuk umum persamaan berderajat duasehingga bentuk umum persamaan berderajat dua adalah --->
adalah ---> = = ++ ++ M
Maaka ka --->->
= 2 = 2 ++ ---> --->
= = 22
SOAL 1 LANJUTAN SOAL 1 LANJUTAN
Carilah penyelesain persamaan berikut Carilah penyelesain persamaan berikut
55dd
d
d
+
+66y = xy = x Penyelesaian :
Penyelesaian : Harga
Harga ,,
, dan, dan
dimasukkan kedalam persamaan semula dimasukkan kedalam persamaan semula (soal), yaitu:
(soal), yaitu:
55
+ +66 = = 2
2 5 25 2 + + + 6 + 6 ++ ++ = = 2
2 1010 + +55 ++66 ++66 + +66 = = 6
6 + + 66 1100 + + 22 55 ++66 = = •• 66 = =
•
• 6 6 10 = 010 = 0
•
• 2 2 5 + 5 + 6 = 06 = 0
•
• ==
•
• ==
•
• = = 11
SOAL 1 LANJUTAN SOAL 1 LANJUTAN
Carilah penyelesain persamaan berikut Carilah penyelesain persamaan berikut
55dd
d
d
+
+66y = xy = x Penyelesaian :
Penyelesaian : Harga
Harga ,, ,,dandan disubtitusikadisubtitusikann
=
=
+
+ ++
== 11 6
6 ++ 11 10
10 + + 11
MAKA SOLUSI = SOLUSI HOMOGEN + SOLUSI KOMPLENTER MAKA SOLUSI = SOLUSI HOMOGEN + SOLUSI KOMPLENTER
= = ++ ++ 11 6
6 ++ 11 10
10 + + 11
•
• ==
•
• ==
•
•
= = 11
SOAL 2 SOAL 2
Carilah penyelesain persamaan berikut
Carilah penyelesain persamaan berikut ""33′ ′ ++22 = = −− ++ccooss Penyelesaian :
Penyelesaian : Dipisahkan Dipisahkan
•
• ""33′ ′ ++22 = = −−
•
• ""33′ ′ ++22 = = ccooss PENYELESAIAN UNTUK :
PENYELESAIAN UNTUK : "" 3 3′ +′ +2 = 2 = −−
-
- PersPersamaaamaan n homohomogenngennyaya
"" 33′′++22 = = 0 0 → →
33 ++2 = 2 = 0 0 → (→ ( 2)2)(( 11) = 0 →) = 0 → = = 22 d danan = = 11 Maka solusi homogenya adalah
Maka solusi homogenya adalah
= = ++ -
- PersPersamaaamaan n PartiPartikulakular r
= = −− → → = = −− → → = = −− → → " = " = −−
SOAL 2 LANJUTAN SOAL 2 LANJUTAN
Carilah penyelesain persamaan berikut
Carilah penyelesain persamaan berikut "" 33′ ′ ++22 = = −− ++ccooss Penyelesaian :
Penyelesaian : Harga
Harga = = −− → → = = −− → → " = " = −− disubtitusikan kepersamaan soaldisubtitusikan kepersamaan soal
"" 33′ ′ ++22 = = −−
−− ++33−− ++22−− = = −− → 6→ 6−− = = −− → =→ =
Maka didapatkan Maka didapatkan
= = −− → → == 1 1 6 6−−
Solusi umumnya Solusi umumnya
= = ++ ++11 6 6−−
SOAL 2 LANJUTAN SOAL 2 LANJUTAN
Carilah penyelesain persamaan berikut
Carilah penyelesain persamaan berikut ""33′ ′ ++22 = = −− +c os +c os Penyelesaian :
Penyelesaian :
Untuk persamaan kedua Untuk persamaan kedua
"" 33′ ′ ++22 = c = cooss
•
•
Persamaan Persamaan homogenyahomogenya
"" 33′′++22 = = 0 0 → → 33 ++2 = 2 = 0 0 → (→ ( 22))(( 11) = 0 →) = 0 → Maka solusi homogenya adalah
Maka solusi homogenya adalah
= = ++
•
• Persamaan Persamaan particular particular
= Ac = Acooss + +ssiinn → → = = ssiinn + +ccooss → → " = " = c cosos si sinn
Subtitusitan kepersamaan Subtitusitan kepersamaan
"
" 33′ ′ ++2 = c2 = cosos
ccooss s siinn 33 ssiinn + +ccooss + +22AAccooss = c = cosos
= = 22 d danan = = 11
SOAL 2 LANJUTAN SOAL 2 LANJUTAN
Carilah penyelesain persamaan berikut
Carilah penyelesain persamaan berikut "" 33′ ′ ++22 = = −− +c os +c os Penyelesaian :
Penyelesaian :
Untuk persamaan kedua Untuk persamaan kedua
""33′ ′ ++22 = c = cooss
ccooss s siinn + +33ssiinn 33ccos +os + 22AAccooss = co = coss
3 3 coscos + + 3 3 sinsin = = coscos → → 3 3 coscos = = coscosx x → → 3 3 sinsin ==00 -
- 33 = = 11 33 99 = 3 = 3 -
- 33 = = 00 33 = = 00 _ _
-
- Maka Maka solussolusi i partpartikulikularnyarnya a adaadalahlah
== 1 1 8
8cocoss 33 8 8sinsin
8 = 3
8 = 3
= = 33 8
8,, == 1 1 8 8
SOAL 2 LANJUTAN SOAL 2 LANJUTAN
Carilah penyelesain persamaan berikut
Carilah penyelesain persamaan berikut "" 33′ ′ ++22 = =
−
−
+c os +c os Penyelesaian :
Penyelesaian :
MAKA SULUSI UMUMNYA ADALAH:
MAKA SULUSI UMUMNYA ADALAH:
= = ++ ++ 1 1 6
6−− ++ 1 1 8
8cocoss 3 3 8 8sinsin
SOAL 3 SOAL 3
Carilah penyelesain persamaan berikut
Carilah penyelesain persamaan berikut "" 33′ ′ ++22 = =
dengan
dengan 0 0 = = 11dandan
0
0 = = 11 Penyelesaian :
Penyelesaian :
•
• Persamaan Persamaan HomogenHomogen
""33′′++22 = 0 = 0 → → 33 ++2 2 = = 00→ → 2 2 1 1 = = 00 → → = = 22 dan dan = = 11 Jadi solusi homogennya :
Jadi solusi homogennya : = = + +
•
• Persmaan Persmaan PartikulPartikular ar
= = → → = = → → = = ++ → → " = 2" = 2 ++ Subtitusikan ke persamaan soal
Subtitusikan ke persamaan soal 2
2 ++ 3 3 ++ ++22 = = → → = = → = 1→ = 1 Maka
Maka = =
•
• Maka Maka Solusi Solusi UmumnyaUmumnya = = ++
SOAL 3 LANJUTAN SOAL 3 LANJUTAN
Carilah penyelesain persamaan berikut
Carilah penyelesain persamaan berikut "" 33′ ′ ++22 = =
dengan
dengan 0 0 = = 11dandan
0
0 = = 11 Penyelesaian :
Penyelesaian :
•
• Dari Dari soal soal diketahuidiketahui 0 0 = = 11dandan 0 0 = = 11
= = ++ → 1 = C→ 1 = C + + CC → 2 = 2 → 2 = 2 + + 22
= = 22 ++ → 0 = 2→ 0 = 2 + + → 0 = 2 → 0 = 2 + + _ _
MAKA SOLUSI KHUSUNYA MAKA SOLUSI KHUSUNYA
=
= ++22
= = 2 2 CC = = 11
SOAL 4 SOAL 4
Carilah penyelesain persamaan berikut
Carilah penyelesain persamaan berikut "" ++33′ ′ ++22 = s = siin n Penyelesaian :
Penyelesaian :
•
• Solusi Solusi HomogenHomogen
""++33′′++22 = = 00→ → ++33 ++2 = 02 = 0→ (→ ( + +1)1)(( + + 22) = ) = 00→ → = = 11 dan dan = = 22 Didapatkan solusi homogeny
Didapatkan solusi homogeny
= = −− ++−−
•
• Solusi Solusi Partikular Partikular
= = sinsin → → = = ccooss + +ssiinn → → = = ssiinn + +ccooss → → " = " = cocos s s sin in
ccoos s s siin n + +33((ssiinn + +ccooss))++22((ccooss + +ssiinn) = ) = ssiin n
3 3 coscos + + 3 3 sinsin = = sinsin
33 = 1 = 1
3 3 = = 00 = =
3 3 8
8,, == 1 1 8 8
SOAL 4 LANJUTAN SOAL 4 LANJUTAN
Carilah penyelesain persamaan berikut
Carilah penyelesain persamaan berikut "" ++33′ ′ ++22 = s = siin n Penyelesaian :
Penyelesaian :
= = ssinin + +
= =
sisinn + +
Sehingga Solusi Umumnya Sehingga Solusi Umumnya
= = −− ++−− 33 8
8sisinn + +11 8
8
