Matematika Teknik 2 – Bab 5 – Persamaan Diferensial Non Homogen

PERSAMAAN DIFERENSIAL

LINIER NON HOMOGEN

Cont oh PD linier non homogen orde 2. Bent uk umum persamaan PD Linier Non Homogen Orde 2, adalah sebagai berikut :

y” + f (x) y’ + g(x) y = r(x) ( 2- 35)

Solusi umum y(x) akan didapat kan bila solusi umum y_h(x) dari PD homogen diket ahui.

PD homogen :

y” + f (x) y’ + g(x) y = 0 (2-36)

Kemudian y(x) dibent uk dengan penambahan y_h(x) sembarang solusi t ermasuk konst ant a t ak t et apnya.

Sehingga y(x) = y (x) + (x) (2-37)

y

Theorema 1 :

f (x), g(x) dan r(x) merupakan f ungsi kont inyu pada int erval I. y(x) merupakan solusi dari PD di at as yang berisikan konst ant a yang t et ap. y(x) dibent uk oleh dua konst ant a. Konst ant a pert ama, berubah-ubah, t erdapat pada solusi umum (homogen) y_h(x). Konst ant a kedua,

t et ap, t erdapat pada f ungsi (x), yait u sembarang solusi PD pada int erval I.

Theorema 2 :

Solusi umum dari PD sepert i di at as adalah penj umlahan solusi persamaan homogen y_h(x) dengan solusi part ikular yang t et ap (t ak ber-ubah-ubah) y_P(x).

Sehingga y(x) = y_h(x) + y_P(x) (2-38)

1. METODE KOEFISIEN TAK TENT U. Bent uk Persamaan Umum :

y” + ay’ + by = r(x) ( 2-39 )

⊕ Fungsi r(x) yang merupakan bent uk solusi part ikular y_P(x) diperoleh dng cara

menebak, sepert i misalnya : f ungsi cos, f ungsi sin, f ungsi exponensial at au j umlah dari beberapa f ungsi.

⊕ r(x) berisikan koef isien t ak t ent u.

⊕ Turunkan y_P sesuai persamaan umum (2-39) di at as.

⊕ Subst it usikan y_P dan seluruh t urunannya ke dalam persamaan (2-39).

At uran :

⊕ Bila r(x) merupakan salah sat u f ungsi

sepert i dalam t abel, maka pilih bent uk y_P yang sesuai dan merupakan kombinasi linier dengan konst ant a t ak t ent u. Turunan r(x) harus bebas linier pula.

⊕ Bila r(x) merupakan penj umlahan, maka pilih y_P yang merupakan penj umlahan f ungsi yang sesuai.

⊕ Bila r(x) adalah solusi dari persamaan

homogen, maka pilihan dapat dimodif ikasi sepert i berikut

At uran Modif ikasi

Kalikan pilihan pada kolom 2 dengan x at au x2

t ergant ung dari apakah pada kolom 3 berupa akar t unggal at au akar-akar ganda dari

Cont oh-cont oh Soal

1. Selesaikan persamaan berikut :

y” – 4y’ + 3y = 10e-2x

Jawab :

Jawab part ikular y_P

Turunan e-2x _{adalah ke}-2x

maka y_P = ke-2x

y_P’ = -2ke-2x _{dan y}

P” = 4 ke-2x

4ke-2x_-4(-2ke-2x _{) + 3ke}-2x _{= 10e}-2x _{; k= 2/ 3}

y_P = (2/ 3)e-2x

Jawab homogen y_h

λ2 _{- 4}λ _{+ 3 = 0 ;} λ

1 = 3 dan λ2 = 1

y_h= k₁eλ1x _{+ k}

2eλ2x = k1e3x+ k2ex

Solusi Umum

y = y_h + y_P y = k₁e3x _{+ k}

2. Selesaikan y” + 4y = 8x2

Jawab :

Jawab homogen : λ2 _{+ 4 = 0}

λ₁ = p + j q = +j 2 ; λ₂ = p – j q = -j 2 ; p= 0

Solusi umum PD homogen unt uk D < 0 : y_h = epx_{[ A cos qx + B sin qx]}

y_h = [ A cos 2x + B sin 2x]

Jawab part ikular :

Misal 1 : y = kx2 _{; y” = 2k}

2k + 4 kx2 _{= 8x}2 _{; 2k = 0 ; 4k = 8}

Gagal, t idak konsist en.

Misal 2 : y_P = kx2 _{+ Lx + m ; y” = 2k}

2k + 4(kx2 _{+ Lx + M) = 8x}2

4kx2 _{+ 4Lx +(2k + 4m) = 8x}2

dengan met ode ident if ikasi : k = 2 ; L = 0 ; m = 1 maka y_P = 2x2 _{+ 1}

Solusi umum y = y_P + y_h

3. Selesaikan y” – y’ – 2y = 10 cos x Jawab :

Jawab homogen

λ2 _- λ _{- 2 = 0}

y_h = c₁eλ2x _{+ c}

2 eλ2x

y_h = c₁e2x _{+ c}

2 e-x

Jawab part ikular

y_P = k cos x + m sin x y_P’ = -k sin x + m cos x y_P” = -k cos x – m sin x (-k cos x – m sin (-k sin x + m cos x)-2(k cos x + m sin x) = 10 cos x

(-3k – m) cos x + (k-3m) sin x = 10 cos x -3k – m = 10 ; k – 3m = 0 ;

k = -3 ; m = -1 y_P = -3 cos x – sin x

Solusi umum : y = y_h + y_P

Jawab part ikular :

Lihat t abel k₁x + k₀

karena akar ganda cx2_ex

sehingga yp = k₁x + k₀ + cx2_ex

Bila disubst it usikan ke dalam persamaan : yp” – 2yp’ + yp = ex _{+ x}

maka didapat kan :

2cex _{+ k}

1x – 2k1 + k0 = ex + x

c = ½ ; k₁ = 1 ; k₀ = 2

Solusi umum :

SOAL-SOAL LATIHAN 6

Selesaikan PD non homogen berikut ini : 1. y” + 4y = e-x

2. y” + 2y + y = 2x2

3. y” + y – 2y = 3ex

4. y” + y = 2 sin x

5. y” + y’ – 6y = 52 cos 2x 6. y” ” -5y” + 4y = 10 cos x 7. y” – 2y’ + 2y = 2ex _{cos x}

8. y” + y = x2 _{+ x}

9. y” + 5y + 6y = 9x4 _{– x}

10. y” – 2y’ + y = 2x2 _{– 8x + 4}

11. y’ ’ ’ + 2y” – y’ – 2y = 1 – 4x3

12. y” – 4 y’ + 9y = 10 e2x _{– 12 cos 3x}

2 . METODE KOMPLEKS UNTUK MENENTUKAN SOLUSI PARTIKULAR

Bent uk umumnya sepert i persamaan (2-35) Cont oh :

(2-40)

Dengan met ode koef isien t ak t ent u akan diperoleh :

I_P(t ) = 3 cos t + 3 sin t

Menurut hukum Euler, ruas kanan pers (2-40), 6 cos t , adalah komponen nyat a

(riel), karena :

6 eit _{= 6 (cos t + i sin t )}

Sehingga persamaan (2-40) dapat dit ulis dengan :

( 2-41)

.. .

I + I + 2I = 6 cos t

.. .

Solusi part ikular kompleks dapat dibuat dalam bent uk :

Ip*(t ) = keit _(2-42)

dan * = ikeit _{* = -ke}it

Bila disubst it usikan ke dalam pers (2-41) :

(-1 + I +2) keit _{= 6 e}it

= 3 – i 3

Sehingga solusi umum pers. (2-41) adalah :

I_P*(t ) =(3-i3)eit = (3-i3)(cos t + i sin t )

dan komponen nyat anya adalah :

I_P(t ) = 3 cos t + 3 sin t .

P

I

6

k =

1 + i

.. p

3. METODE UMUM

Bent uk umum PD non homogen

y” + f (x)y’ + g(x)y = r(x) (2-43)

f , g dan r kont inyu pada int erval t erbuka I

Sedangkan bent uk umum PD homogen :

y” + f (x)y’ + g(x)y = 0 (2-44)

maka solusi umumnya y_h(x) pada int erval t erbuka I berbent uk :

Y_h(x) = c₁ y₁(x) + c₂ y₂(x)

Bila c₁ dan c₂ digant i dengan u(x) dan v(x) maka diperoleh solusi part ikular pada

int erval t erbuka I, sbb :

Jika pers. (2-45) dit urunkan, hasilnya :

y_P’ = u’ y₁ + uy₁‘ + v’ y₂ + vy₂’

Karena u(x) dan v(x) adalah penggant i c₁ dan c₂, maka :

u’ y₁ + v’ y₂ = 0 (2-46)

Sehingga y_P’ menj adi :

y_P’ = uy₁’ + vy₂’ (2-47)

Bila pers. (2-43) dit urunkan, hasilnya :

y_P” = u’ y₁’ + uy₁” + v’ y₂’ + vy₂” (2-48)

u(y₁” + f y₁’ + gy₁) + v(y₂” + f y₂’ + gy₂) + u’ y₁’ +v’ y₂’ = r

Bila y₁ dan y₂ merupakan solusi homogen dari pers. (2-44), sehingga t erj adi

penyederhanaan persamaan, menj adi ;

u’ y₁’ +v’ y₂’ = r

Pers. (2-46) : u’ y₁ + v’ y₂ = 0

Sebuah sist em dari 2 persamaan alj abar linier dengan 2 f ungsi u’ dan v’ yang t ak diket ahui.

Penyelesaian selanj ut nya dengan memakai at uran Cramer, sehingga :

Dengan int egrasi diperoleh :

dan

y_P = cos x ln| cos x| + x sin x

maka solusi umumnya adalah : y = y_h + y_P

y = [ c₁ + ln| cos x| ] cos x + (c₂ + x) x sin x

SOAL-SOAL LATIHAN 7

Selesaikan PD non homogen berikut ini : 1. y” + y = cosec x + x

2. y” + 9y = sec 3 x

3. y” – 4y’ + 4y = [ e2x_{] / x}

4. y” + 2y’ + y = e-x _{ln x}

5. y” + 6y’ – 9y = [ e-3x_{] / [ x}2 _{+ 1]}

6. y” + 2y’ + y = e-x _{cos x}

7. x2_{y” – 5xy’ + 9 = 3x}2

8. x2_{y” – 4xy’ + 6y = 1/ [ x}2_]

9. x2_{y” – (1-2x)y’ + (6-4x}2_{)y = x}2 _{cos x}