Persamaan Diferensial

TKS 4003 Matematika II

Persamaan Diferensial

– Linier Homogen & Non Homogen Tk. n –

(Differential: Linier Homogen & Non Homogen Orde n ⁾

Dr. AZ

Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Pendahuluan

Bentuk umum PD linier orde n adalah :

𝒂_𝟎 𝒙 𝒚^𝒏 + 𝒂_𝟏 𝒙 𝒚^𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂_𝒏−𝟏 𝒙 𝒚^′+ 𝒂_𝒏 𝒙 𝒚 = 𝑭(𝒙) (1) Untuk PD yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk seperti Pers. (1), dikatakan PD non linier.

Jika F(x) pada persamaan PD Linier orde n sama dengan nol (F(x) = 0), maka disebut PD homogen atau PD tereduksi atau PD komplementer. Jika F(x) ≠ 0, maka disebut PD lengkap atau PD non homogen.

Pendahuluan

(lanjutan)

Jika a₀(x), a₁(x), ..., a_n(x) adalah konstanta, maka disebut PD Linier dengan koefisien konstanta. Jika a₀(x), a₁(x), ..., a_n(x) bukan berupa konstanta, maka disebut PD Linier koefisien variabel.

Bentuk ^𝒅𝒚

𝒅𝒙,^𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙^𝟐, … ,^𝒅𝒏𝒚

𝒅𝒙^𝒏, dapat dituliskan dengan lambang Dy, D²y, ..., Dⁿy, dengan D, D², ..., Dⁿ, disebut operator diferensial atau operator D. Sehingga persamaan PD Linier orde n dapat dinyatakan sebagai :

Pendahuluan

(lanjutan)

𝒂_𝟎 𝒙 𝐃^𝒏 + 𝒂_𝟏 𝒙 𝐃^𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂_𝒏−𝟏 𝒙 𝐃 + 𝒂_𝒏 𝒙 𝒚 = 𝑭(𝒙) (2) atau :

𝚽 𝐃 𝒚 = 𝑭(𝒙) (3)

dengan 𝚽 𝐃 = 𝒂_𝟎 𝒙 𝐃^𝒏 + 𝒂_𝟏 𝒙 𝐃^𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂_𝒏−𝟏 𝒙 𝐃 + 𝒂_𝒏 𝒙

dan disebut operator suku banyak dalam D.

Teorema Dasar

Untuk menyelesaikan PD linier berbentuk :

𝚽 𝐃 𝒚 = 𝑭(𝒙), dengan 𝑭(𝒙) ≠ 𝟎 (4)

Jika dimisalkan Y_c(x) adalah solusi umum PD homogen dari

(D)y = 0, maka penyelesaian umum PD linier adalah dengan menjumlahkan penyelesaian umum PD homogen dan penyelesaian khusus, yaitu :

y = Y_c(x) + Y_p(x) (5)

Teorema Dasar

(lanjutan)

Contoh :

Solusi umum PD homogen : 𝐃^𝟐− 𝟑𝐃 + 𝟐 𝒚 = 𝟎 adalah : 𝒚 = 𝒄_𝟏𝒆^𝒙+ 𝒄_𝟏𝒆^𝒙

dan solusi khusus PD : 𝐃^𝟐− 𝟑𝐃 + 𝟐 𝒚 = 𝟒𝒙^𝟐 adalah : 𝟐𝒙^𝟐+ 𝟔𝒙 + 𝟕

maka solusi umum PD lengkap/non homogen dari 𝐃^𝟐− 𝟑𝐃 + 𝟐 𝒚 = 𝟒𝒙^𝟐 adalah :

𝒚 = 𝒄_𝟏𝒆^𝒙+ 𝒄_𝟏𝒆^𝒙+ 𝟐𝒙^𝟐+ 𝟔𝒙 + 𝟕

Ketakbebasan Linier

Himpunan n fungsi y₁(x), y₂(x), …, y_n(x), dikatakan tak bebas linier pada suatu selang, jika ada n konstanta c₁, c₂, …, c_n yang tidak semua nol, sehingga berlaku :

c₁ y₁ (x) + c₂ y₂(x) + … + c_n y_n(x) = 0 (6) Jika tidak, maka himpunan fungsi tersebut dikatakan bebas linier.

Ketakbebasan Linier

(lanjutan)

Contoh :

1. Tak bebas linier

2e^3x, 5e^3x, e^-4x adalah tak bebas linier pada suatu selang, karena dapat ditentukan konstanta c₁, c₂, c₃ yang tidak semua nol, sehingga :

𝒄_𝟏 𝟐𝒆^𝟑𝒙 + 𝒄_𝟐 𝟓𝒆^𝟑𝒙 + 𝒄_𝟑 𝟐𝒆^−𝟒𝒙 = 𝟎 dengan :

Ketakbebasan Linier

(lanjutan)

2. Bebas linier

e^x, xe^x adalah bebas linier pada suatu selang, karena : 𝒄_𝟏 𝒆^𝒙 + 𝒄_𝟐 𝒙𝒆^𝒙 = 𝟎

hanya jika : c₁ = 0, c₂ = 0

Determinan Wronski

(lanjutan)

Himpunan fungsi y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x), yang mempunyai turunan adalah bebas linier pada suatu selang jika determinan :

𝑾 𝒚_𝟏, 𝒚_𝟐, … , 𝒚_𝒏 =

𝒚_𝟏(𝒙) 𝒚_𝟏′ (𝒙)

… 𝒚_𝟏^𝒏−𝟏 (𝒙)

𝒚_𝟐(𝒙) 𝒚_𝟐′ (𝒙)

… 𝒚_𝟐^𝒏−𝟏 (𝒙)

…

…

…

…

𝒚_𝒏(𝒙) 𝒚_𝒏′ (𝒙)

… 𝒚_𝒏^𝒏−𝟏 (𝒙)

≠ 𝟎 (7)

Pers. (7) dinamakan dengan determinan Wronski.

Determinan Wronski

(lanjutan)

Contoh :

Tentukan determinan Wronski (Wronskian) fungsi berikut : a. {sin 3x, cos 3x}

𝑾 𝒙 = 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒙

𝟑 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒙 −𝟑 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙 = −𝟑 𝐬𝐢𝐧^𝟐𝟑𝒙 − 𝟑 𝐜𝐨𝐬^𝟐𝟑𝒙 = −𝟑

b. {x, x², x³}

𝑾 𝒙 =

𝒙 𝒙^𝟐 𝒙^𝟑 𝟏 𝟐𝒙 𝟑𝒙^𝟐

𝟎 𝟐 𝟔𝒙

= 𝟏𝟐𝒙^𝟐+ 𝟎 + 𝟐𝒙^𝟑− 𝟎 − 𝟔𝒙^𝟑− 𝟔𝒙^𝟑= 𝟐𝒙^𝟑

Prinsip Superposisi

Jika y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) adalah n penyelesaian bebas linier dari PD linier orde n, 𝚽 𝐃 𝒚 = 𝟎, maka solusi umumnya :

y = c₁ y₁(x) + c₂ y₂(x) + … + c_n y_n(x) dengan :

c₁ , c₂ , …, c_n = konstanta

Prinsip Superposisi

(lanjutan)

Contoh :

Jika y₁(x) dan y₂(x) adalah solusi PD homogen : y” + P(x)y’ + Q(x)y = 0, maka kombinasi linier c₁ y₁(x) + c₂ y₂(x) juga merupakan solusi PD.

Bukti :

y₁(x) dan y₂(x) solusi y” + Py’ + Qy = 0, maka : y₁” + Py₁’ + Qy₁ = 0

dan

y₂” + Py₂’ + Qy₂ = 0

Prinsip Superposisi

(lanjutan)

Dari solusi y = c₁ y₁ + c₂ y₂, maka : y’ = c₁ y₁^’ + c₂ y₂^’

y” = c₁ y₁^” + c₂ y₂^” Substitusi ke PD diperoleh :

y” + P(x)y’ + Q(x)y = 0

c₁ y₁^” + c₂ y₂^” + P(c₁ y₁^’ + c₂ y₂^’) + Q(c₁ y₁ + c₂ y₂) = 0 c₁ y₁^” + c₂ y₂^” + c₁ Py₁^’ + c₂ Py₂^’ + c₁ Qy₁ + c₂ Qy₂ = 0 c₁ (y₁^” + Py₁^’ + Qy₁ ) + c₂ (y₂^” + Py₂^’ + Qy₂) = 0 c₁ (0) + c₂ (0) = 0

PD linier homogen orde n

PD linier homogen orde n dengan koefisien konstan mempunyai bentuk umum :

𝒂_𝒏𝒚^𝒏 + 𝒂_𝒏−𝟏𝒚^𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂_𝟏𝒚^′+ 𝒂_𝟎𝒚 = 𝟎, 𝒂_𝒏≠ 𝟎 (8) Jika y₁, y₂, ..., y_n adalah penyelesaian khusus PD linier homogen, maka kombinasi liniernya juga merupakan penyelesaian PD tersebut yang dapat dirumuskan :

𝒚 = 𝒌_𝟏𝒚_𝟏+ 𝒌_𝟐𝒚_𝟐+…+𝒌_𝒏𝒚_𝒏= ^𝒏_𝒊=𝟏𝒌_𝒊𝒚_𝒊, 𝒌_𝒊, 𝒌_𝒊, …., 𝒌_𝒊= konstanta

PD linier homogen orde n

(lanjutan)

Penyelesain PD linier homogen orde n dengan substitusi y = e^rx, sehingga didapatkan persamaan karakteristik :

𝒂_𝒏𝒓^𝒏+ 𝒂_𝒏−𝟏𝒓^𝒏−𝟏+ ⋯ + 𝒂_𝟏𝒓 + 𝒂_𝟎= 𝟎 (9)

Untuk selanjutnya dengan teknik faktorisasi dapat ditentukan akar-akar persamaan karakteristik, yaitu :

𝒂_𝒏𝒓^𝒏+ 𝒂_𝒏−𝟏𝒓^𝒏−𝟏+ ⋯ + 𝒂_𝟏𝒓 + 𝒂_𝟎= 𝟎

⟹ 𝒂_𝒏 𝒓 − 𝒓_𝟏 𝒓 − 𝒓_𝟐 … 𝒓 − 𝒓_𝒏 = 𝟎 (10)

PD linier homogen orde n

(lanjutan)

Akar-akar persamaan karakteristik pada Pers. (10) dapat bernilai sama atau disebut akar rangkap (multiplicity). Dua kasus akar rangkap untuk solusi PD linier homogen orde n : Kasus I : jika akar rangkap adalah r = bilangan riil, terdapat k penyelesaian bebas linier.

k solusi bebas linier :

𝒆^𝒓𝒙, 𝒙 𝒆^𝒓𝒙, … , 𝒙^𝒌−𝟏𝒆^𝒓𝒙; 𝒌 ≥ 𝟏 Solusi umumnya :

𝒚 = 𝒄_𝟏𝒆^𝒓𝒙+ 𝒄_𝟐𝒙 𝒆^𝒓𝒙+ … + 𝒄_𝒌𝒙^𝒌−𝟏𝒆^𝒓𝒙; 𝒄_𝒌= konstanta ke-k

PD linier homogen orde n

(lanjutan)

Kasus II : jika akar rangkap adalah r = bilangan kompleks (r =  E i), terdapat k penyelesaian bebas linier.

k solusi bebas linier :

𝒆^𝜶𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝜷𝒙, 𝒙𝒆^𝜶𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝜷𝒙, … , 𝒙^𝒌−𝟏𝒆^𝜶𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝜷𝒙 𝒆^𝜶𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝜷𝒙, 𝒙𝒆^𝜶𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝜷𝒙, … , 𝒙^𝒌−𝟏𝒆^𝜶𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝜷𝒙

Solusi umumnya :

𝒚 = 𝒆^𝒓𝒙 𝒄_𝟏𝐜𝐨𝐬 𝜷𝒙 + 𝒄_𝟐𝐬𝐢𝐧 𝜷𝒙 + 𝒙 𝒄_𝟑𝐜𝐨𝐬 𝜷𝒙 + 𝒄_𝟒𝐬𝐢𝐧 𝜷𝒙 + ⋯ + 𝒙^𝒌−𝟏 𝒄_𝒌−𝟏𝐜𝐨𝐬 𝜷𝒙 + 𝒄_𝒌𝐬𝐢𝐧 𝜷𝒙

PD linier homogen orde n

(lanjutan)

Contoh 1 :

𝒚^(𝟓)− 𝟑𝒚^𝟒 + 𝟑𝒚^′′′− 𝒚^′′ = 𝟎 Penyelesaian :

Persamaan karakteristik :

𝒓^𝟓− 𝟑𝒓^𝟒+ 𝟑𝒓^𝟑− 𝒓^𝟐= 𝟎 Akar-akar persamaan karakteristik :

𝒓_𝟏 = 𝒓_𝟐= 𝟎, 𝒓_𝟑 = 𝒓_𝟒= 𝒓_𝟓 = 𝟏 Solusi bebas linier :

𝒆^𝟎𝒙, 𝒙𝒆^𝟎𝒙, 𝒆^𝒙, 𝒙𝒆^𝒙, 𝒙^𝟐𝒆^𝒙 Solusi umum :

𝒚 = 𝒄_𝟏+ 𝒄_𝟐𝒙 + 𝒄_𝟑+ 𝒄_𝟒𝒙 + 𝒄_𝟓𝒙^𝟐 𝒆^𝒙

PD linier homogen orde n

(lanjutan)

Contoh 2 :

𝒚^(𝟒)− 𝟒𝒚^′′′+ 𝟏𝟒𝒚^′′− 𝟐𝟎𝒚^′+ 𝟐𝟓 = 𝟎 Penyelesaian :

Persamaan karakteristik :

𝒓^𝟒− 𝟒𝒓^𝟑+ 𝟏𝟒𝒓^𝟐− 𝟐𝟎𝒓 + 𝟐𝟓 = 𝟎 Akar-akar persamaan karakteristik :

𝒓_𝟏 = 𝒓_𝟐= 𝟏 + 𝟐𝒊, 𝒓_𝟑= 𝒓_𝟒= 𝟏 − 𝟐𝒊 Solusi bebas linier :

𝒆^𝒙𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙, 𝒙𝒆^𝒙𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙, 𝒆^𝒙𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙, 𝒙𝒆^𝒙𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙

PD linier homogen orde n

(lanjutan)

Latihan : 1. 𝒚^′′′− 𝒚^′ = 𝟎

2. 𝒚^(𝟒)− 𝟓𝒚^′′+ 𝟒𝒚 = 𝟎 3. 𝒚^′′′− 𝟑𝒚^′′+ 𝟑𝒚^′− 𝒚 = 𝟎

4. 𝒚^(𝟒)+ 𝟐𝒚^′′+ 𝟑𝒚^′′+ 𝟐𝒚^′+ 𝒚 = 𝟎

5. 𝒚^(𝟒)− 𝒚 = 𝟎, 𝒚 𝟎 = 𝟓, 𝒚^′ 𝟎 = 𝟐, 𝒚^′′ 𝟎 = −𝟏, 𝒚^′′′ 𝟎 = 𝟐 6. 𝒚^′′′− 𝟑𝒚^′′+ 𝟒𝒚^′− 𝟐𝒚 = 𝟎, 𝒚 𝟎 = 𝟏, 𝒚^′ 𝟎 = 𝟎, 𝒚^′′ 𝟎 = 𝟎

PD linier non homogen orde n

Prosedur umum penyelesaian PD linier non homogen adalah : Langkah I : menentukan solusi umum PD linier homogen,

y_h(x)

Langkah II : menentukan solusi umum PD linier non homogen, y_p(x)

Langkah III : menentukan solusi umum PD, y = y_h(x) + y_p(x)

PD linier non homogen orde n

(lanjutan)

Contoh :

Tentukan solusi umum PD berikut : y’’ + y = 1

Langkah I : solusi umum PD linier homogen.

y’’ + y = 0

Solusi umum : y_h = c₁ cos x + c₂ sin x Langkah II : solusi umum PD linier non homogen.

y’’ + y = 1

Solusi umum : y_p = 1 Langkah III : Solusi umum PD :

y = c₁ cos x + c₂ sin x + 1

PD linier non homogen orde n

(lanjutan)

Metode Koefisien Tak Tentu

Pada awalnya metode ini diterapkan pada PD linier non homogen orde 2 yang berbentuk :

ay’’ + by’ + cy = r(x), a, b, c = konstanta

Untuk selanjutnya metode ini juga berlaku untuk orde yang lebih tinggi (orde n). Kuncinya adalah y_p merupakan suatu ekspresi yang mirip dengan r(x), dimana terdapat koefisien- koefisien yang tidak diketahui yang dapat ditentukan dengan

PD linier non homogen orde n

(lanjutan)

Aturan untuk metode koefisien tak tentu :

1. Aturan Dasar : jika r(x) adalah salah satu fungsi yang ada dalam Tabel 1, pilih fungsi y_p yang bersesuaian dan tentukan koefisien tak tentunya dengan mensubstitusikan y_p pada persamaan.

2. Aturan Modifikasi : jika r(x) sama dengan solusi PD homogen, kalikan y_p yang bersesuaian dalam Tabel 1 dengan x (atau x², jika r(x) sama dengan solusi akar ganda PD homogen).

PD linier non homogen orde n

(lanjutan)

c. Aturan Penjumlahan : jika r(x) adalah jumlah fungsi- fungsi yang terdapat dalam Tabel 1 kolom pertama, y_p adalah jumlah fungsi pada baris yang bersesuaian.

Tabel 1. Metode koefisien tak tentu

Suku-suku dalam r(x) Pilihan untuk y_p

ke^x Ce^x

Kxⁿ (n = 0, 1, …) K_neⁿ + K_n-1e^n-1 + … + K₁x + K₀ kcos x atau ksin x Kcos x + Msin x

1. Aturan Dasar

Contoh :

Selesaikan PD linier non homogen berikut : y’’ + 4y = 8x²

Langkah I : solusi umum PD linier homogen.

y’’ + 4y = 0

Persamaan karakteristik : m² + 4 = 0

Akar-akar persamaan karakteristik : m₁ = 2i, m₂ = -2i

Solusi umum : y_h = Acos 2x + Bsin 2x

1. Aturan Dasar

(lanjutan)

Langkah II : solusi umum PD linier non homogen.

y’’ + 4y = 8x²

f(x) = 8x², sehingga dari Tabel 1 diperoleh : y_p = K₂x² + K₁x + K₀

y_p’ = 2K₂x + K₁ y_p’’ = 2K₂

substitusi y_p, y_p’, y_p’’ ke persamaan diperoleh : 2K₂ + 4(K₂x² + K₁x + K₀) = 8x²

dengan menyamakan koefisien-koefisien yang

1. Aturan Dasar

(lanjutan)

4K₂ = 8 4K₁ = 0

2K₂ + 4K₀ = 0 diperoleh konstanta : K₂ = 2, K₁ = 0, K₀ = -1

solusi umum PD non homogen : y_p = 2x²-1

Langkah III : solusi PD linier non homogen : y = y_h(x) + y_p(x)

= Acos 2x + Bsin 2x + 2x²-1

2. Aturan Modifikasi

Contoh :

Selesaikan PD linier non homogen berikut : y’’-3y’ + 2y = e^x

Langkah I : solusi umum PD linier homogen.

y’’-3y’ + 2y = 0

Persamaan karakteristik : m²-3m + 2 = 0

Akar-akar persamaan karakteristik : m₁ = 1, m₂ = 2

Solusi umum : y_h = c₁e^x + c₂e^2x

2. Aturan Modifikasi

(lanjutan)

Langkah II : solusi umum PD linier non homogen.

y’’-3y’ + 2y = e^x

f(x) = e^x, sehingga dari Tabel 1 diperoleh : y_p = ce^x

karena f(x) = e^x adalah solusi PD homogen pada Langkah I, maka sesuai Aturan Modifikasi : y_p = cxe^x

y_p’ = ce^x + cxe^x y_p’’ = 2ce^x + cxe^x

substitusi y_p, y_p’, y_p’’ ke persamaan diperoleh : 2ce^x + cxe^x-3(ce^x + cxe^x) + 2(cxe^x) = e^x

2. Aturan Modifikasi

(lanjutan)

dengan menyamakan koefisien-koefisien yang berpangkat sama diperoleh konstanta :

c = -1

solusi umum PD non homogen : y_p = -xe^x

Langkah III : solusi PD linier non homogen : y = y_h(x) + y_p(x)

= c₁e^x + c₂e^2x-xe^x

3. Aturan Penjumlahan

Contoh :

Selesaikan PD linier non homogen berikut : y’’-2y’ + y = e^x + x

Langkah I : solusi umum PD linier homogen.

y’’-2y’ + y = 0

Persamaan karakteristik : m²-2m + 1 = 0

Akar-akar persamaan karakteristik : m₁ = m₂ = 1

Solusi umum : y_h = c₁e^x + c₂e^2x

3. Aturan Penjumlahan

(lanjutan)

Langkah II : solusi umum PD linier non homogen.

y’’-2y’ + y = e^x + x

f(x) = e^x + x, sehingga dari Tabel 1 diperoleh : y_p = c₁e^x + c₂x + c₃

suku pada f(x) = e^x adalah solusi ganda PD homogen, maka solusi umum PD menjadi : y_p = c₁x²e^x + c₂x + c₃

y_p’ = 2c₁xe^x + c₁x²e^x + c₂

y_p’’ = 2c₁e^x + 2c₁xe^x + 2c₁xe^x + c₁x²e^x

3. Aturan Penjumlahan

(lanjutan)

substitusi y_p, y_p’, y_p’’ ke persamaan diperoleh : 2c₁e^x + 4c₁xe^x + c₁x²e^x-2(2c₁xe^x + c₁x²e^x + c₂)

+ c₁x²e^x + c₂x + c₃ = e^x + x

↔2c₁e^x + c₂x-2c₂ + c₃ = e^x + x

dengan menyamakan koefisien-koefisien yang berpangkat sama diperoleh konstanta :

c₁ = ½, c₂ = 1, c₃ = 2

solusi umum PD non homogen : y_p = c₁x²e^x + c₂x + c₃

= ½x²e^x + x + 2

3. Aturan Penjumlahan

(lanjutan)

Langkah III : solusi PD linier non homogen : y = y_h(x) + y_p(x)

= c₁e^x + c₂e^2x + ½x²e^x + x + 2

Contoh Soal

(lanjutan)

Tentukan penyelesaian PD berikut : y’’ + 2y’ + 5y = 16e^x + sin 2x Penyelesaian :

Langkah 1. Menentukan solusi PD homogen y’’ + 2y’ + 5y = 0

Persamaan karakteristik : m² + 2m + 5 = 0

Akar-akar persamaan karakteristik : m₁ =-1 + 2i, m₂ =-1-2i Solusi umum :

y_h = e^-x(Acos 2x + Bsin 2x)

Contoh Soal

(lanjutan)

Langkah 2. Menentukan solusi PD non homogen y’’ + 2y’ + 5y = 16e^x + sin 2x

f(x) = 16e^x + sin 2x, sesuai Tabel 1 : y_p = ce^x + Kcos 2x + Msin 2x

Substitusi y_p, y_p’, y_p’’ ke persamaan diperoleh :

8ce^x + (-4K + 4M + 5K)cos 2x + (-4K-4M + 5M)sin 2x = 16e^x + sin 2x

dengan menyamakan koefisien-koefisien yang berpangkat sama diperoleh konstanta :

c = 2, K = -4/17, M = 1/17

Contoh Soal

(lanjutan)

c = 2, K = -4/17, M = 1/17 solusi umum PD non homogen :

𝒚_𝒑= 𝒄𝒆^𝒙+ 𝑲𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 + 𝑴𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙

= 𝟐𝒆^𝒙− 𝟒

𝟏𝟕𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 + 𝟏

𝟏𝟕𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙

Langkah 3. Menentukan solusi PD :

𝒚 = 𝒚_𝒉 𝒙 + 𝒚_𝒑 𝒙

= 𝒆^−𝒙 𝑨𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 + 𝑩𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 + 𝟐𝒆^𝒙− 𝟒

𝟏𝟕𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 + 𝟏

𝟏𝟕𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙

Latihan

Tentukan penyelesaian PD berikut : 1. 𝒚^′′+ 𝟒𝒚^′ = 𝒙

2. 𝒚^′′+ 𝒚^′− 𝟐𝒚 = 𝟑 − 𝟔𝒙 3. 𝒚^′′− 𝒚^′− 𝟐𝒚 = 𝟔𝒆^𝒙 4. 𝒚^′′+ 𝒚 = 𝟔𝒆^𝒙+ 𝟑

5. 𝒚^′′+ 𝒚′ = 𝟐𝒙, 𝒚 𝟎 = 𝟏, 𝒚^′ 𝟎 = 𝟐 6. 𝒚^′′+ 𝒚^′− 𝟐𝒚 = 𝟐𝒙, 𝒚 𝟎 = 𝟎, 𝒚^′ 𝟎 = 𝟏

Terima kasih dan

Semoga Lancar Studinya!