Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3

Tim Ilmu Komputasi

Coordinator contact: Dr. Putu Harry Gunawan

phgunawan@telkomuniversity.ac.id

Persamaan Diferensial

Parsial CNH3C3

_{Week 3: Pengantar, konsep} dasar dan klasikasi PDP

1 Kontrak kuliah 2 Pendahuluan Konsep Dasar Kehomogenan Orde Kelinieran 3 Klasikasi PDP 4 Aplikasi

Kontrak kuliah Batasan materi

Pendahuluan Konsep dasar

Denisi (PDP)

Persamaan diferensial parsial (PDP) merupakan sebuah persamaan yang memfokuskan pada hubungan antara sebuah fungsi yang belum diketahui u(x1,x₂, · · · ,x_n) berdimensi n ≥ 2, dan turunan parsial fungsi terhadap variabel-variabel bebasnya.

Bentuk umum dari PDP diberikan sebagai berikut:

F  x1,x2, · · ·xn,u,_∂∂_xu 1, · · · , ∂u ∂x_n, ∂2u ∂x₁x₁, · · · , ∂2u ∂x₁x_n, · · ·  =0.

Pendahuluan Konsep dasar

Denisi (PDP)

Persamaan diferensial parsial (PDP) merupakan sebuah persamaan yang memfokuskan pada hubungan antara sebuah fungsi yang belum diketahui u(x1,x₂, · · · ,x_n) berdimensi n ≥ 2, dan turunan parsial fungsi terhadap variabel-variabel bebasnya. Bentuk umum dari PDP diberikan sebagai berikut:

F  x1,x2, · · ·xn,u,_∂∂_xu 1, · · · , ∂u ∂x_n, ∂2u ∂x₁x₁, · · · , ∂2u ∂x₁x_n, · · ·  =0.

Pendahuluan Contoh

Berikut beberapa contoh PDP sederhana dengan u sebagai fungsi yang belum diketahui (unknown function) dan hanya memiliki dua variabel bebas:

∂2u(x, y) ∂x2 +

∂2u(x, y)

∂y2 =0, persamaan Laplace (2.1)

∂u(t, x) ∂t − α ∂2u(t, x) ∂x2 =0, persamaan difusi (2.2) ∂2u(t, x) ∂t2 −c 2∂2u(t, x) ∂x2 =0, persamaan gelombang (2.3) dengan ∂u/∂t, ∂2_u/∂x2 _{menyatakan turunan partial terhadap}

Pendahuluan Contoh

Berikut beberapa contoh PDP sederhana dengan u sebagai fungsi yang belum diketahui (unknown function) dan hanya memiliki dua variabel bebas:

∂2u(x, y) ∂x2 +

∂2u(x, y)

∂y2 =0, persamaan Laplace (2.1)

∂u(t, x) ∂t − α ∂2u(t, x) ∂x2 =0, persamaan difusi (2.2) ∂2u(t, x) ∂t2 −c 2∂2u(t, x) ∂x2 =0, persamaan gelombang (2.3) dengan ∂u/∂t, ∂2_u/∂x2 _{menyatakan turunan partial terhadap}

Pendahuluan Contoh

Berikut beberapa contoh PDP sederhana dengan u sebagai fungsi yang belum diketahui (unknown function) dan hanya memiliki dua variabel bebas:

∂2u(x, y) ∂x2 +

∂2u(x, y)

∂y2 =0, persamaan Laplace (2.1)

∂u(t, x) ∂t − α ∂2u(t, x) ∂x2 =0, persamaan difusi (2.2) ∂2u(t, x) ∂t2 −c 2∂2u(t, x) ∂x2 =0, persamaan gelombang (2.3) dengan ∂u/∂t, ∂2_u/∂x2 _{menyatakan turunan partial terhadap}

Pendahuluan Contoh

Biasanya, dalam beberapa kajian pustaka, secara singkat PDP dapat juga ditulis dalam bentuk:

uxx+uyy =0, (2.4)

ut− αuxx =0, (2.5)

utt−c2uxx =0, (2.6)

Pendahuluan Contoh

Beberapa contoh lain PDP yang terkenal selain tiga contoh diatas adalah

ut+u_x =0, persamaan transport (2.7) ut+ux− αuxx =0, persamaan reaksi-difusi (2.8)

ut+uux =0, persamaan inviscid Burger (2.9)

uxx+u_yy =f (x, y), persamaan Poisson (2.10) ut+uu_x +u_xxx=0, persamaan KdV (2.11) iut+u_xx =0. persamaan Schrödinger (2.12)

Pendahuluan Notasi umum gradien (grad(u) = ∇u)

Gradien grad(u) = ∇u:

Notasi untuk menyatakan vektor gradien dari suatu fungsi u(x1,x₂, · · · ,x_n) pada n-dimensi ruang Euclidean.

Contohnya: ∇u(x₁,x₂, · · · ,x_n) =  ∂ ∂x₁, ∂ ∂x₂, · · · , ∂ ∂x_n  u(x1,x₂, · · · ,x_n).

Pendahuluan Notasi umum gradien (grad(u) = ∇u)

Gradien grad(u) = ∇u:

Notasi untuk menyatakan vektor gradien dari suatu fungsi u(x1,x₂, · · · ,x_n) pada n-dimensi ruang Euclidean. Contohnya:

∇u(x₁,x₂, · · · ,x_n) =  ∂ ∂x₁, ∂ ∂x₂, · · · , ∂ ∂x_n  u(x1,x₂, · · · ,x_n).

Pendahuluan Notasi umum divergent (div(u) = ∇ · u)

Divergent div(u) = ∇ · u:

Notasi untuk menyatakan divergensi (divergence) dari suatu fungsi u(x1,x2, · · · ,xn) pada n-dimensi ruang Euclidean (yaitu jumlah dari

suku-suku vektor gradiennya).

Contohnya: ∇ ·u(x₁,x₂, · · · ,x_n) =  ∂ ∂x₁ + ∂ ∂x₂ + · · · + ∂ ∂x_n  u. Misalkan terdapat fungsi u(x, y, z), maka didapat

∇ ·u(x, y, z) = ∂u ∂x + ∂u ∂y + ∂u ∂z  .

Pendahuluan Notasi umum divergent (div(u) = ∇ · u)

Divergent div(u) = ∇ · u:

Notasi untuk menyatakan divergensi (divergence) dari suatu fungsi u(x1,x2, · · · ,xn) pada n-dimensi ruang Euclidean (yaitu jumlah dari

suku-suku vektor gradiennya). Contohnya: ∇ ·u(x₁,x₂, · · · ,x_n) =  ∂ ∂x₁ + ∂ ∂x₂ + · · · + ∂ ∂x_n  u.

Misalkan terdapat fungsi u(x, y, z), maka didapat ∇ ·u(x, y, z) = ∂u ∂x + ∂u ∂y + ∂u ∂z  .

Pendahuluan Notasi umum divergent (div(u) = ∇ · u)

Divergent div(u) = ∇ · u:

Notasi untuk menyatakan divergensi (divergence) dari suatu fungsi u(x1,x2, · · · ,xn) pada n-dimensi ruang Euclidean (yaitu jumlah dari

suku-suku vektor gradiennya). Contohnya: ∇ ·u(x₁,x₂, · · · ,x_n) =  ∂ ∂x₁ + ∂ ∂x₂ + · · · + ∂ ∂x_n  u. Misalkan terdapat fungsi u(x, y, z), maka didapat

∇ ·u(x, y, z) = ∂u ∂x + ∂u ∂y + ∂u ∂z  .

Pendahuluan Notasi umum Laplace (∆u = ∇2_{u = ∇ · ∇u)} Laplace operator ∆u = ∇2_{u = ∇ · ∇u:}

Notasi untuk menyatakan turunan orde dua u(x1,x2, · · · ,xn) pada

n-dimensi ruang Euclidean.

Contohnya: ∆u(x1,x₂, · · · ,x_n) = ∂ 2 ∂x₁2 + ∂2 ∂x₂2 + · · · + ∂2 ∂x_n2  u. Misalkan terdapat fungsi u(x, y, z), maka didapat

∆u(x, y, z) = ∂ 2_u ∂x2 + ∂2u ∂y2 + ∂2u ∂z2  .

Pendahuluan Notasi umum Laplace (∆u = ∇2_{u = ∇ · ∇u)} Laplace operator ∆u = ∇2_{u = ∇ · ∇u:}

Notasi untuk menyatakan turunan orde dua u(x1,x2, · · · ,xn) pada

n-dimensi ruang Euclidean. Contohnya: ∆u(x1,x₂, · · · ,x_n) = ∂ 2 ∂x₁2 + ∂2 ∂x₂2 + · · · + ∂2 ∂x_n2  u.

Misalkan terdapat fungsi u(x, y, z), maka didapat ∆u(x, y, z) = ∂ 2_u ∂x2 + ∂2u ∂y2 + ∂2u ∂z2  .

Pendahuluan Notasi umum Laplace (∆u = ∇2_{u = ∇ · ∇u)} Laplace operator ∆u = ∇2_{u = ∇ · ∇u:}

Notasi untuk menyatakan turunan orde dua u(x1,x2, · · · ,xn) pada

n-dimensi ruang Euclidean. Contohnya: ∆u(x1,x₂, · · · ,x_n) = ∂ 2 ∂x₁2 + ∂2 ∂x₂2 + · · · + ∂2 ∂x_n2  u. Misalkan terdapat fungsi u(x, y, z), maka didapat

∆u(x, y, z) = ∂ 2_u ∂x2 + ∂2u ∂y2 + ∂2u ∂z2  .

Pendahuluan Solusi PDP

Secara umum, solusi PDP adalah nontrivial, akan tetapi ketika sebuah solusi ditemukan, akan sangat mudah untuk membuktikan apakah fungsi tersebut merupakan solusi atau bukan.

Sebagai contoh, untuk melihat u(x, t) = et−x _{merupakan solusi dari}

persamaan gelombang

utt−uxx =0, (2.13)

secara sederhananya fungsi solusi tersebut kita substitusikan ke dalam persamaan, sehingga didapat:

Pendahuluan Solusi PDP

Secara umum, solusi PDP adalah nontrivial, akan tetapi ketika sebuah solusi ditemukan, akan sangat mudah untuk membuktikan apakah fungsi tersebut merupakan solusi atau bukan. Sebagai contoh, untuk melihat u(x, t) = et−x _{merupakan solusi dari}

persamaan gelombang

utt−uxx =0, (2.13)

secara sederhananya fungsi solusi tersebut kita substitusikan ke dalam persamaan, sehingga didapat:

Pendahuluan Solusi PDP

Secara umum, solusi PDP adalah nontrivial, akan tetapi ketika sebuah solusi ditemukan, akan sangat mudah untuk membuktikan apakah fungsi tersebut merupakan solusi atau bukan. Sebagai contoh, untuk melihat u(x, t) = et−x _{merupakan solusi dari}

persamaan gelombang

utt−uxx =0, (2.13)

secara sederhananya fungsi solusi tersebut kita substitusikan ke dalam persamaan, sehingga didapat:

Pendahuluan Latihan

Tunjukkan apakah u(x, t) = sin(x − t) merupakan solusi dari persamaan gelombang dibawah ini ?

Pendahuluan Latihan

Tunjukkan apakah u(x, t) = f (x − ct) merupakan solusi dari persamaan gelombang dibawah ini ?

Pendahuluan Kehomogenan

Denisi (PDP tak-homogen)

Persamaan diferensial parsial (PDP) dengan fungsi yang belum diketahui (u) dikatakan tak-homogen jika dalam persamaan PDP-nya terdapat term/fungsi lain yang tidak bergantung pada fungsi u.

Sebagai contoh, persamaan Poisson:

uxx(x, y) + uyy(x, y) = f (x, y)

merupakan persamaan tak-homogen karena ada fungsi f (x, y) yang tidak bergantung pada fungsi u(x, y). Sedangkan persamaan Laplace:

uxx(x, y) + uyy(x, y) = 0

Pendahuluan Kehomogenan

Denisi (PDP tak-homogen)

Persamaan diferensial parsial (PDP) dengan fungsi yang belum diketahui (u) dikatakan tak-homogen jika dalam persamaan PDP-nya terdapat term/fungsi lain yang tidak bergantung pada fungsi u.

Sebagai contoh, persamaan Poisson:

uxx(x, y) + uyy(x, y) = f (x, y)

merupakan persamaan tak-homogen karena ada fungsi f (x, y) yang tidak bergantung pada fungsi u(x, y).

Sedangkan persamaan Laplace:

uxx(x, y) + uyy(x, y) = 0

Pendahuluan Kehomogenan

Denisi (PDP tak-homogen)

Persamaan diferensial parsial (PDP) dengan fungsi yang belum diketahui (u) dikatakan tak-homogen jika dalam persamaan PDP-nya terdapat term/fungsi lain yang tidak bergantung pada fungsi u.

Sebagai contoh, persamaan Poisson:

uxx(x, y) + uyy(x, y) = f (x, y)

merupakan persamaan tak-homogen karena ada fungsi f (x, y) yang tidak bergantung pada fungsi u(x, y). Sedangkan persamaan Laplace:

uxx(x, y) + uyy(x, y) = 0

Pendahuluan Latihan

Tentukan apakah persamaan-persamaan berikut homogen atau non-homogen!

ut+u_x =0, persamaan transport (2.16) ut+ux− αuxx =0, persamaan reaksi-difusi (2.17)

ut+uux =0, persamaan inviscid Burger (2.18)

uxx+u_yy =f (x, y), persamaan Poisson (2.19) ut+uu_x +u_xxx=0, persamaan KdV (2.20) iut+u_xx =0. persamaan Schrödinger (2.21)

Pendahuluan Orde

Denisi (Orde)

Orde (order) dari PDP adalah orde dari turunan tertinggi yang ada di dalam persamaan itu sendiri.

Secara umum, kita dapat menuliskan persamaan umum PDP orde satu untuk (x, y) sebagai

F (x, y, u(x, y), ux(x, y), uy(x, y)) = F (x, y, u, ux,u_y) =0, (2.22) sedangkan untuk PDP orde dua adalah:

Pendahuluan Orde

Denisi (Orde)

Orde (order) dari PDP adalah orde dari turunan tertinggi yang ada di dalam persamaan itu sendiri.

Secara umum, kita dapat menuliskan persamaan umum PDP orde satu untuk (x, y) sebagai

F (x, y, u(x, y), ux(x, y), uy(x, y)) = F (x, y, u, ux,u_y) =0, (2.22) sedangkan untuk PDP orde dua adalah:

Pendahuluan Latihan

Tentukan Orde dari:

ut+u_x =0, persamaan transport (2.24) ut+uu_x +u_xxx =0, persamaan KdV (2.25)

Pendahuluan Kelinieran

PDP dapat ditulis dalam bentuk:

L(u) = 0, (2.26)

dengan L disebut sebagai sebuah operator.

Maka contoh persamaan reaksi difusi (2.8), dapat kita tulis menjadi L= _∂∂_t +_∂∂_x + α_∂∂_x2₂, dan sehingga Lu sama dengan (2.8). Denisi (PDP Linier)

Operator L dikatakan linier jika memenuhi

L(u + v) = Lu + Lv, dan L(cu) = cLu, (2.27) untuk setiap fungsi u, v dan konstanta c.

Pendahuluan Kelinieran

PDP dapat ditulis dalam bentuk:

L(u) = 0, (2.26)

dengan L disebut sebagai sebuah operator. Maka contoh persamaan reaksi difusi (2.8), dapat kita tulis menjadi L= _∂∂_t +_∂∂_x + α_∂∂_x2₂, dan sehingga Lu sama dengan (2.8).

Denisi (PDP Linier)

Operator L dikatakan linier jika memenuhi

L(u + v) = Lu + Lv, dan L(cu) = cLu, (2.27) untuk setiap fungsi u, v dan konstanta c.

Pendahuluan Kelinieran

PDP dapat ditulis dalam bentuk:

L(u) = 0, (2.26)

dengan L disebut sebagai sebuah operator. Maka contoh persamaan reaksi difusi (2.8), dapat kita tulis menjadi L= _∂∂_t +_∂∂_x + α_∂∂_x2₂, dan sehingga Lu sama dengan (2.8). Denisi (PDP Linier)

Operator L dikatakan linier jika memenuhi

L(u + v) = Lu + Lv, dan L(cu) = cLu, (2.27) untuk setiap fungsi u, v dan konstanta c.

Pendahuluan Contoh

Sebagai contoh, kita akan menunjukkan bahwa apakah persamaan transport ut+u_x linier atau tidak?

Hal ini dapat ditunjukkan dengan,

L(u + v) = (u + v)_t+ (u + v)_x =u_t+v_t+u_x+v_x

= (ut+u_x) + (v_t+v_x) = Lu + Lv dan

L(cu) = (cu)_t+ (cu)_x =cu_t+cu_x =cLu.

Sehingga berdasarkan Denisi 2.4, persamaan ut+u_x merupakan persamaan linier.

Pendahuluan Contoh

Sebagai contoh, kita akan menunjukkan bahwa apakah persamaan transport ut+u_x linier atau tidak? Hal ini dapat ditunjukkan dengan,

L(u + v) = (u + v)_t+ (u + v)_x =u_t+v_t+u_x+v_x

= (u_t+u_x) + (v_t+v_x) = Lu + Lv

dan

L(cu) = (cu)_t+ (cu)_x =cu_t+cu_x =cLu.

Sehingga berdasarkan Denisi 2.4, persamaan ut+u_x merupakan persamaan linier.

Pendahuluan Contoh

Sebagai contoh, kita akan menunjukkan bahwa apakah persamaan transport ut+u_x linier atau tidak? Hal ini dapat ditunjukkan dengan,

L(u + v) = (u + v)_t+ (u + v)_x =u_t+v_t+u_x+v_x

= (u_t+u_x) + (v_t+v_x) = Lu + Lv dan

L(cu) = (cu)_t+ (cu)_x =cu_t+cu_x =cLu.

Sehingga berdasarkan Denisi 2.4, persamaan ut+u_x merupakan persamaan linier.

Pendahuluan Latihan

Tunjukkan apakah PDP-PDP berikut linier apa tidak!

1. ut+ux− αuxx =0

2. ut+uux =0

3. uxx+u_yy =f (x, y)

Klasikasi PDP Kalsikasi PDP orde dua

Pada PDP dengan turunan orde dua, klasikasi PDP dapat ditentukan dengan mudah.

Diberikan PDP quasilinier orde dua nonhomogen dengan dua variabel bebas:

Auxx+Buxy+Cuyy+Dux+Euy+Fu = G. (3.1)

Klasikasi (3.1) bergantung pada tanda (sign) dari nilai diskriminan, B2_{−4AC sebagai berikut:}

B2_{−4AC Klasikasi}

Negative Eliptik

Nol Parabolik

Klasikasi PDP Kalsikasi PDP orde dua

Pada PDP dengan turunan orde dua, klasikasi PDP dapat ditentukan dengan mudah. Diberikan PDP quasilinier orde dua nonhomogen dengan dua variabel bebas:

Auxx+Bu_xy+Cu_yy+Du_x+Eu_y+Fu = G. (3.1)

Klasikasi (3.1) bergantung pada tanda (sign) dari nilai diskriminan, B2_{−4AC sebagai berikut:}

B2_{−4AC Klasikasi}

Negative Eliptik

Nol Parabolik

Klasikasi PDP Kalsikasi PDP orde dua

Pada PDP dengan turunan orde dua, klasikasi PDP dapat ditentukan dengan mudah. Diberikan PDP quasilinier orde dua nonhomogen dengan dua variabel bebas:

Auxx+Bu_xy+Cu_yy+Du_x+Eu_y+Fu = G. (3.1) Klasikasi (3.1) bergantung pada tanda (sign) dari nilai

diskriminan, B2_{−4AC sebagai berikut:}

B2_{−4AC Klasikasi}

Negative Eliptik

Nol Parabolik

Klasikasi PDP Latihan

Klasikasikan PDP-PDP berikut ini!

1. ut+u_x− αu_xx =0

2. uxx+u_yy =f (x, y)

3. ut+u_x+u_xx

Aplikasi Aplikasi

Beberapa aplikasi PDP dalam kehidupan sehari-hari:

I Penyebaran panas pada suatu medium I Vibrasi senar gitar

I Pemberian harga Option (Financial Engineering) I Gelombang air laut

I Pertumbuhan bakteri pada media tertentu I Penyebaran polusi virus, atau gossip I dll