Slide Persamaan Diferensial Orde 2

(1)

Persamaan Diferensial Orde 2

Kalkulus 2

(2)

Persamaan Diferensial Orde Dua

 Bentuk umum persamaan orde dua adalah:

𝒚" + 𝒑(𝒙)𝒚′ + 𝒒(𝒙)𝒚 = 𝒓(𝒙)

atau

𝑑

²

𝑦

𝑑𝑥 + 𝑝 𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥 + 𝑞 𝑥 𝑦 = 𝑟(𝑥)

dengan p(x), q(x) dan r(x) fungsi kontinu.

 Jika r(x) = 0, p(x) dan q(x) konstan disebut persamaan homogen

 Jika r(x)  0, disebut persamaan nonhomogen.

(3)

Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen

 Misalkan solusi persamaan diferensial adalah

 Jika p(x) = k₁ dan q(x) = k₂, maka persamaan diferensial homogen menjadi

 Akar persamaan

2 0

2 1

2 ^st  ^st  k Ae^st 

dt k dAe dt

Ae d

Aest

t y( ) 



1 2



⁰

2  sk  k Ae^st  s

2 0

1

2  k s  k  s

2

4 ₂

2 1 1

2 , 1

k k

s  k  



(4)

Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen

Akar persamaan diferensial homogen telah

 Ada 3 (tiga) kemungkinan nilai akar 2

 s dua nilai riil berbeda saat

 s dua nilai riil sama saat

 s dua nilai kompleks yang saling konyugasi saat 2

4 ₂

2 1 1

2 , 1

k k

s  k  



0 4 ₂

2

1  k 

k

0 4 ₂

2

1  k 

k

0 4 ₂

2

1  k 

k

(5)

Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen

 Saat s dua nilai riil berbeda dan , solusi umum disebut overdamped:

 Saat s dua nilai kompleks saling konjugasi , solusi umum disebut underdamped:

 Saat s dua nilai riil yang sama , solusi umum disebut critically damped:

 Ada dua konstanta A dan B yang harus ditentukan sehingga diperlukan juga dua syarat batas (boundary condition)

t s t

s Be

Ae t

y( )  ¹  ²

j o

s₁_,₂   

   



^A ^t ^B ^t



e t

y( )  ^^t cos _o  sin _o



^At ^B



^e^st

t

y( )  

s1 s₂

s s

s₁  ₂ 

(6)

Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen

 Secara alamiah nilai riil pada s akan selalu negatif.

 Untuk menentukan A dan B diperlukan syarat batas.

 Syarat batas dikenakan pada solusi bentuk umum

 Saat dua akar riil berbeda

) 0 (

y dt

dy(0)

B A

y(0)  

t s t

s Be

Ae t

y( )  ¹  ²

t s t

s t

s Be s Ae s Be

dt Ae d dt

t

dy ₁ ₂ ₁ ₂

2 1

)

(    

sehingga

sehingga s A s B

dt dy

2 1

) 0

(  



^A ^t ^B ^t



e t

y( )  ^^t cos _o  sin _o sehingga y(0)  A

   

A t B t  e A B    t B A   t 

dt e d dt

t dy

o o

t o

o

t   ^    

 cos sin cos sin

)

(      

sehingga ^A ^B _o

dt

dy(0)   

(8)

Contoh 1

Carilah solusi untuk persamaan diferensial homogen berikut

bila diketahui y(0)=3 dan y’(0)=1 Jawab:

0 )

) ( 5 (

) 4 ₂(

2   y t 

dt t dy dt

t y d

Persamaan diferensial: ( ) ( ) 0 ) 5

4 ₂(

2   y t 

dt t dy dt

t y d

Bila y(t)  Ae^st maka

Sehingga persamaan menjadi dan diperoleh dua akar riil:

𝑦^′ 𝑡 = 𝐴𝑠𝑒^𝑠𝑡 dan 𝑦^" 𝑡 = 𝐴𝑠²𝑒^𝑠𝑡 4𝑠²+5s+1=0

𝑠₁ = −1 dan 𝑠₂ = −¹₄

(9)

Contoh 1 (lanj)

Dengan adanya 2 akar riil -1 dan -1/4 maka solusi umumnya berbentuk:

Diketahui y(0)=3 maka

Diketahui juga y’(0)=1 maka

sehingga

Dari pers. (1) dan (2) didapatkan:

Solusi persamaan diferensial:

𝑦 𝑡 = 𝐴𝑒^−𝑡+𝐵𝑒⁻¹⁴^𝑡

𝑦 0 = 𝐴 + 𝐵 = 3

𝑦^′(𝑡) = −𝐴𝑒^−𝑡 − ¹₄𝐵𝑒⁻¹^4𝑡 𝑦^′ 0 = −𝐴 − ¹₄𝐵 = 1

 (1)

 (2) 𝐴 = −⁷₃ dan 𝐴 = ¹⁶₃ 𝑦 𝑡 = −⁷₃𝑒^−𝑡+¹⁶₃ 𝑒⁻¹⁴^𝑡

(10)

Contoh 2

bila diketahui v(0)=2 dan v’(0)=5 0 )

4 ( 1 )

( )

(

2

2   v t 

dt t dv dt

t v d

Solusi:

𝑣 𝑡 = 2𝑒⁻¹^2𝑡 + 6𝑡𝑒⁻¹^2𝑡

Petunjuk: menggunakan rumus dua akar riil sama

(11)

Contoh 3

bila diketahui i(0)=3 dan i’(0)=3 Solusi:

0 )

) ( 4 (

) 6 (₂

2  i t 

dt t di dt

t i d

𝑖 𝑡 = 3𝑒¹^3𝑡cos⁽¹_{6 2𝑡)}+6 2𝑒¹^3𝑡sin⁽¹_{6 2𝑡)}

Petunjuk: menggunakan rumus dua akar kompleks

(12)

Solusi Persamaan Non Homogen

 Bila adalah solusi untuk persamaan diferensial homogen dan adalah solusi tertentu untuk persamaan diferensial

nonhomogen maka kombinasi juga

merupakan solusi persamaan diferensial nonhomogen

 Persamaan Nonhomogen )

2(t y

x y

k y k

y '' ₁ ' ₂ 

) ( )

( )

(t y₁ t y₂ t

y  

x y

k y

y k y

k

y₁ '' ₁ ₁' ₂ ₁  ₂ '' ₁ ₂' ₂ ₂ 

) ( )

) ( ( )

(

2 2 1

2

t x t

y dt k

t k dy

dt t y

d   

x y

k y

k

y₂ '' ₁ ₂' ₂ ₂ 

=0 atau

gunakan maka

) ( )

( )

(t y₁ t y₂ t

y  

y₁ solusi persamaan homogen )

1(t y

(13)

Solusi Persamaan Non Homogen

 Untuk menentukan solusi persamaan diferensial nonhomogen tertentu gunakan persamaan yang

menyerupai dengan konstanta bentuk umum.

Misalnya untuk pilih

 Masukkan bentuk solusi ke persamaan diferensial dan selesaikan untuk konstantanya

)

2(t y

) (t x

t t

x( )  5 y₂(t)  At  B

(14)

Contoh 4

bila diketahui i(0)=3 dan i’(0)=3 Jawab:

Persamaan diferensial homogennya adalah

Solusi persamaan diferensial homogen ini sudah diperoleh pada Contoh 3 yaitu:

t t

dt i t di dt

t i

d ( ) ( ) 2

) 4 6 (₂

2   

0 )

) ( 4 (

) 6 (₂

2  i t 

dt t di dt

t i d

𝑖₁ 𝑡 = 3𝑒¹^3𝑡cos⁽¹_{6 2𝑡)}+6 2𝑒¹^3𝑡sin⁽¹_{6 2𝑡)}

(15)

Contoh 4 (lanj)

Mencari solusi tertentu persamaan diferensial nonhomogen

Pilih dan masukkan ke persamaan di atas

sehingga didapat dan

dan diperoleh dan

t t

dt i t di dt

t i

d ( ) ( ) 2

) 4 6 (₂

2   

B At

t

i₂( )  

t B

dt At B At

d dt

B At

d ( ) ( ) 2

) 4

6 ( ₂

2      

t B

At

A 2

4

0    

𝐴𝑡 + −4𝐴 + 𝐵 = 2𝑡 𝐴 = 2 −4𝐴 + 𝐵 = 0

𝐴 = 2, 𝐵 = 8 𝑖₂ 𝑡 = 2𝑡 + 8

(16)

Contoh 4

Solusi persamaan diferensial homogen

Solusi tertentu persamaan diferensial nonhomogen

Dengan demikian solusi persamaan diferensial nonhomogen adalah

𝑖₁ 𝑡 = 3𝑒¹^3𝑡cos⁽¹_{6 2𝑡)}+6 2𝑒¹^3𝑡sin⁽¹_{6 2𝑡)}

𝑖₂ 𝑡 = 2𝑡 + 8

𝑖 𝑡 = 𝑖₁ 𝑡 + 𝑖₂ 𝑡

𝑖 𝑡 = 3𝑒¹^3𝑡 cos ¹_{6 2𝑡} + 6 2𝑒¹^3𝑡 sin ¹_{6 2𝑡} + 2𝑡 + 8

(17)

TABEL SOLUSI PARTIKULAR

PD orde 2: y” + p(x)y’ + q(x)y = r(x) Solusi: y=y_h+y_p

(26)