PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE n
PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE n
A.
A. Persamaan Linear Orde n
Persamaan Linear Orde n
Bentuk umum PD orde n : Bentuk umum PD orde n :
Dapat diasumsikan fungsi-fungsi
Dapat diasumsikan fungsi-fungsi dan G adalah fungsi-fungsi kontinudan G adalah fungsi-fungsi kontinu bernilai real pada interval
bernilai real pada interval dalam interval ini.dalam interval ini.
Pada persamaan ini
Pada persamaan ini
dibagidibagi dengan
dengan sehingga diperoleh :sehingga diperoleh :
O
O pertator persamaan diferensial linear L dengan orde n dalam persamaan pertator persamaan diferensial linear L dengan orde n dalam persamaan
adalah sama operator orde dua yang telah dipelajari sebelumnya. Karena persamaan adalah sama operator orde dua yang telah dipelajari sebelumnya. Karena persamaan mempunyai
mempunyai nn buah turunan datribuah turunan datri y y maka diperlukanmaka diperlukan nn buah integrasi untuk buah integrasi untuk
memnyelesiakan persamaan memnyelesiakan persamaan
dan setiap integralnya akan memuat dan setiap integralnya akan memuat sebuah konstanta sebarang.sebuah konstanta sebarang.
Ada sebuah solusi tunggal dari persamaan dengan n buah kondisi, yaitu :
Ada sebuah solusi tunggal dari persamaan dengan n buah kondisi, yaitu :
dimanadimana sebarang titik pada intervalsebarang titik pada interval I I dandan
adalah nilai-nilai konstanta. Maka akan terdapat sebuah solusi yang tunggaladalah nilai-nilai konstanta. Maka akan terdapat sebuah solusi yang tunggal seperti teorema berikut ini :
seperti teorema berikut ini :
Teorema 4.1.1. Teorema 4.1.1.
J
Jika fungsi-fungsiika fungsi-fungsi adalah kontinu pada interval terbuka I makaadalah kontinu pada interval terbuka I maka
terdapat tepat sebuah solusi
terdapat tepat sebuah solusi dari persamaan diferensialdari persamaan diferensial
yang memenuhi kondisi awal
yang terdapat pada interval I.
P
ersamaan Diferensial Linear Orde n meliputi :
1. Persamaan Homogen
Jika fungsi-fungsi adalah solusi persamaan
maka kombinasi linear
,
dimana adalah sebarang konstanta yang juga merupakan solusi
. Khususnya untuk
sebarang , dan untuk sebarang , sehingga dapat menententukan merupakan persamaan :
, , . . . , Terpenuhi. Persamaan mempunyai penyelesaian tunggal jika determinan dari koefisiannya tidak nol. Dilain pihak jika determinan dari koefisien sama dengan nol, maka sangat mungkin untuk
memilih nilai sehingga persamaan tidak mempunyai sebuah solusi. Oleh karena itu syarat
cukup dan syarat perlu untuk keberadaan solusi persamaan
Tidak sama dengan nol untuk . Karena sebarang titik pada I , maka perlu dan cukup bahwa tidak nol pada setiap titik pada interval.
Terdapat juga dalam persamaan linear orde dua, dapat ditunjuk bahwa jika
solusi-solusi persamaan
, maka adalah nol untuk setiap t
dalam intervalI atau tidak nol.
Teorema 4.1.2.
Jika fungsi-fungsi dan g adalah kondisi pada interval I, jika funisi-fungsi solusi dari persamaan
dan jika untuk paling tidak
sebuah titik dalam interval I, maka setiap solusi persamaan
dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linear dari solusi-solusi .
Himpunan solusi-solusi dari persamaan
yang Wronskiannya tidak nol
disebut sebagai fundamental dari solusi-solusi. Keberadan dari himpunan fundamental dari solusi-solusi dapat dinyatakan dengan cara yang sama seperti persamaan orde dua. Karena semua solusi persamaan
dalam bentuk
, kita menggunakan pengertian solusi umum untuk menyatakan sebuah sebarang kombinasi linear dari sebarang himpunan fundamental solusi persamaan
2. Persamaan Tak Homogen
Persamaan tan homogen :
. Jika
adalah sebarang solusi persamaan
merupakan solusi persamaan homogen
. Kerana setiap solusi dari
persamaan homogen dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari himpunan
fundamental dari solusi , maka sebarang solusi persamaan
dapat ditulis sebagai :
Dimana adalah suatu solusi khusus dari persamaan tak homogen
. Kombinasi linear
disebut solusi umum persamaan tak
homogen .
B
. Persamaan Linear dengan Koefisien Konstan
Persamaan diferensial linear orde n :
Dimana adalah konstanta real. Pada persamaan linear orde dua merupakan solusi untuk suatu nilai r . Gantilah nilai y dengan , maka hasilnya :
,
Untuk semua r dengan
Untuk nilai r dimana maka dan merupakan solusi
disebut polinimial karakteristik dan persamaan disebut persamaan
karakteristik dari persamaan diferensial . Sebuah polynomial berdarajat n mempunyai n akar, katakan beberapa mungkin sama sehingga bisa dinyatakan polynomial
karakteristiknya adalah sebagai berikut :
1. Akar-akar Real dan Tak Sama
Jika akar-akar persamaan karakteristik adalah real tidak sama maka dipunyai n
solusi berbeda dari persamaan
. Jika fungsi-fungsi ini bebas linear maka
solusi umum persamaan adalah :
2. Akar-akar Komplek
Jika akar-akar persamaan karakteristik mempunyai akar-akar komplek, maka
harus terjadi juga pada pasangan konju gatenya. karena
koefisien-koefisien adalah bilanagn real. Solusi umum dari persamaan
masih dalam bentuk
. Akan tetapi seperti dalam persamaan linear
orde dua bisa diganti solusi-solusi berniali komplek dan dengan solusi-solusi bernilai real.
Yang diperoleh dari bagian real dan imajiner dari . Jadi meskipun
sebagian dari akar-akar persamaan karakteristik bernilai komplek, masih memungkinkan untuk menyatakan solusi umum persamaan sebagai kombinasi linear dari solusi-solusi bernilai real.
3. Akar-akar Berulang
Jika akar-akar persamaan karakteristik tidak berbeda, yakni mempunyai
beberapa akar yang berulang, maka persamaan
bukab merupakan solusi umum persamaan
. Jika adalah akar yang berulang untuk
persamaan linear orde dua maka dua solusi yang bebas adalah dan. Untuk sebuah persamaan orde n, jika sebuah akar
dari , katakan mempunyai s buah maka :
Adalah solusi yang bersesuaian dengan persamaan . Jika akar komplek berulang s
kali, maka komplek konju gatenya juga akan berulang s kali. Oleh
karena itu dari 2s solusi komplek kita temukan 2s solusi bernilai real dengan catatan bagian real dan imajiner dari
juga solusi yang bebas linear, yakni
C
.
Metode Koefisien Tak Tentu
Sebuah solusi Y dari persamaan linear tak homogeny orde ke n dengan
