PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA slide

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

Persamaan Diferensian Biasa Orde n Koe…sien Konstan

Resmawan

UNIVERSITAS NEGERI GORONTALO

November 2018

4 PDB Orde n 4.1 Pengertian dan Klasi…kasi

4.1 Pengertian dan Klasi…kasi

4.1 Pengertian dan Klasi…kasi

4 PDB Orde n 4.1 Pengertian dan Klasi…kasi

4.1 Pengertian dan Klasi…kasi

De…nition

Persamaan Diferensial linear biasa orde n adalah persamaan diferensial yang memuat turunan ke-n dari suatu fungsi yang tak diketahui

y⁽ⁿ⁾ = ^d

ny dxⁿ yang secara umum dapat ditulis dalam bentuk

a_n(x)y⁽ⁿ⁾+a_{n 1}(x)y^{(n 1)}+ +a₂(x)y⁰⁰+a₁(x)y⁰+a₀(x)y =r(x) (1) dimanaa_n,a_{n 1}, ,a₁,a₀ dengana_n 6=0 dan r adalah fungsi darix.

PD ini dikatakanlinear karena pangkat tertinggi dari fungsi dan turunan-turunannya,y⁽ⁿ⁾,y^{(n 1)}, ,y⁰⁰,y⁰,dan y yang tak diketahui berderajat satu.

4 PDB Orde n 4.1 Pengertian dan Klasi…kasi

4.1 Pengertian dan Klasi…kasi

Berdasarkan nilai koe…sien pada persamaan (1),Persamaan Diferensial Linear diklasi…kasikan sebagai berikut:

1 Persamaan Diferensial Homogen Koe…sien Konstan, jika koe…sien a_n,a_{n 1}, ...,a₁,a₀ adalah konstan danr(x) =0.

any⁽ⁿ⁾+an 1y^{(n 1)}+ +a2y⁰⁰+a1y⁰+a0y =0

2 Persamaan Diferensial Homogen Koe…sien Variabel, jika koe…sien an,an 1, ...,a1,a0 merupakan fungsi-fungsi x,an 6=0,danr(x) =0.

Contoh PD jenis ini adalah persamaan Cauchy homogen orde ke n anxⁿy⁽ⁿ⁾+an 1x^{n 1}y^{(n 1)}+ +a2x²y⁰⁰+a1xy⁰+a0y =0

4 PDB Orde n 4.1 Pengertian dan Klasi…kasi

4.1 Pengertian dan Klasi…kasi

3. Persamaan Diferensial Non Homogen Koe…sien Konstan, jika koe…sien a_n,a_{n 1}, ...,a₁,a₀ adalah konstan,a_n 6=0,dan r(x)6=0.

any⁽ⁿ⁾+an 1y^{(n 1)}+ +a2y⁰⁰+a1y⁰+a0y =r(x) 4. Persamaan Diferensial Non Homogen Koe…sien Variabel, jika

koe…sien an,an 1, ...,a1,a0 merupakan fungsi-fungsix,an 6=0,dan r(x)6=0.Contoh PD jenis ini adalah persamaan Cauchy non homogen orde ke n

a_nxⁿy⁽ⁿ⁾+a_{n 1}x^{n 1}y^{(n 1)}+ +a₂x²y⁰⁰+a₁xy⁰+a₀y =r(x)

4 PDB Orde n 4.2 PD Linear Orde Dua Homogen Koe…sien Konstan

4.2 PD Linear Orde Dua Homogen Koe…sien Konstan

4.2 PD Linear Orde Dua Homogen Koe…sien Konstan

4 PDB Orde n 4.2 PD Linear Orde Dua Homogen Koe…sien Konstan

4.2 PD Linear Orde Dua Homogen Koe…sien Konstan

Misal PD Linear Orde Dua Koe…sien Konstan

ay⁰⁰+by⁰+cy =r(x) (2) Persamaan (2)disebut linear karena pangkat tertinggi dari y⁰⁰,y⁰,dan y adalah satu.

Jika r(x) =0,maka persamaan(2) disebut PD homogen dengan bentuk

ay⁰⁰+by⁰+cy =0 (3)

dengana,b,c konstanta.

Solusi umum dari PD homogen (3)berbentuk y =c1y1+c2y2

dimanac1,c2 konstan dany1,y2 fungsi-fungsi darix,yang disebut basis penyelesaiany.Andaikan basis penyelesaian berbentuk

y =e^λx (4)

4 PDB Orde n 4.2 PD Linear Orde Dua Homogen Koe…sien Konstan

4.2 PD Linear Orde Dua Homogen Koe…sien Konstan

maka

y⁰ =λe^λx dan y⁰⁰ =λ²e^λx (5) Jika persamaan(4)dan(5) disubtitusi ke persamaan(3),maka

aλ²+bλ+c e^λx =0 Karenae^λx 6=0,maka

aλ²+bλ+c =0 (6)

Persamaan (6)disebut Persamaan Karakteristik yang akar-akarnya diberikan oleh

λ12 = ^b

pb² 4ac

2a (7)

4 PDB Orde n 4.2 PD Linear Orde Dua Homogen Koe…sien Konstan

4.2 PD Linear Orde Dua Homogen Koe…sien Konstan

Selanjutnya, solusi umumpersamaan diferensial homogen akan bergantung pada akar-akar persamaan karakteristik (7)yang terdiri atas 3 kasus:

1 λ1 danλ2 merupakan dua akar real berbeda.

Kasus ini terjadi jika

D =b² 4ac>0

2 λ1 danλ2 merupakan dua akar real kembar.

Kasus ini terjadi jika

D =b² 4ac=0

3 λ1 danλ2 merupakan dua akar kompleks.

Kasus ini terjadi jika

D =b² 4ac<0

4 PDB Orde n 4.2.1 Kasus Pertama Dua Akar Real Beda

4.2.1 Kasus Pertama: Dua Akar Real Beda

4.2.1 Kasus Pertama: Dua Akar Real Beda

4 PDB Orde n 4.2.1 Kasus Pertama Dua Akar Real Beda

4.2.1 Kasus Pertama: Dua Akar Real Beda

Jika diskriminan persamaan karakteristik lebih besar dari nol D =b² 4ac >0

Maka persamaan karakteristik mempunyai akar-akar real berbeda, yaitu

λ1 = ^b+p

b² 4ac

2a ; λ2 = ^b

pb² 4ac 2a Dalam kasus ini, basis-basis solusi diberikan oleh

y₁ =e^λ1x dan y₂ =e^λ2x

Dengan demikian, solusi umum persamaan diferensial homogen(3) diberikan oleh

y(x) =c₁e^λ1x+c₂e^λ2x (8) dimanac₁ danc₂ konstanta.

4 PDB Orde n 4.2.1 Kasus Pertama Dua Akar Real Beda

4.2.1 Kasus Pertama: Dua Akar Real Beda

Examples

Carilah solusi umum dari persamaan diferensial berikut:

1 y⁰⁰+4y⁰ 12y =0

2 y⁰⁰ 4y⁰+3y =0

3 2y⁰⁰ 5y⁰+3y =0; y(0) =6,y⁰(0) =13

4 PDB Orde n 4.2.1 Kasus Pertama Dua Akar Real Beda

4.2.1 Kasus Pertama: Dua Akar Real Beda

Solution

1 Persamaan karakteristik yang bersesuaian

λ²+4λ 12=0 λ1 =2 (λ 2) (λ+6) =0 λ2 = 6 sehingga solusi umum PD adalah

y =c₁e^2x+c₂e ^6x

2 Dengan cara sama

λ² 4λ+3=0 λ1 =1 (λ 1) (λ 3) =0 λ2 =3 sehingga diperoleh solusi y =c₁e^x+c₂e^3x

4 PDB Orde n 4.2.1 Kasus Pertama Dua Akar Real Beda

4.2.1 Kasus Pertama: Dua Akar Real Beda

Solution

3. Persamaan karakteristik yang bersesuaian

2λ² 5λ+3=0 λ1 = ³₂ (2λ 3) (λ 1) =0 λ2 =1 sehingga solusi umum PD adalah

y = c₁e^32x+c₂e^x y⁰ = ³

2c₁e^32x+c₂e^x Dengan nilai awal y(0) =6,y⁰(0) =13 diperoleh

6 = c₁+c₂

4 PDB Orde n 4.2.1 Kasus Pertama Dua Akar Real Beda

4.2.1 Kasus Pertama: Dua Akar Real Beda

Solution

3. Dengan demikian,

26 = c₁+2c₂

26 = 3c₁+2(6 c₁) c1 = 14

c2 = 8 sehingga solusi kuhusus PD adalah

y =14e^32x 8e^x

4 PDB Orde n 4.2.2 Kasus Kedua Akar Real Kembar

4.2.2 Kasus Kedua: Akar Real Kembar

4.2.2 Kasus Kedua: Akar Real Kembar

4 PDB Orde n 4.2.2 Kasus Kedua Akar Real Kembar

4.2.2 Kasus Kedua: Akar Real Kembar

Jika diskriminan persamaan karakteristik sama dengan nol D =b² 4ac =0

Maka persamaan karakteristik mempunyai akar-akar real kembar, yaitu

λ12 = ^b 2a

Dalam kasus ini, basis-basis solusi diberikan oleh y1 =e^λx dan y2 =xe^λx

Dengan demikian, solusi umum persamaan diferensial homogen(3) diberikan oleh

y = (c1+xc2)e^λx (9) dimanac₁ danc₂ konstanta.

4 PDB Orde n 4.2.2 Kasus Kedua Akar Real Kembar

4.2.2 Kasus Kedua: Akar Real Kembar

Examples

Carilah solusi umum dari persamaan diferensial berikut:

1 y⁰⁰ 8y⁰+16y =0

2 y⁰⁰ 4y⁰+4y =0; y(0) =4,y⁰(0) =3

4 PDB Orde n 4.2.2 Kasus Kedua Akar Real Kembar

4.2.2 Kasus Kedua: Akar Real Kembar

Solution

1 Diketahui persamaan karakteristik

λ² 8λ+16 = 0 (λ 4) (λ 4) = 0 λ12 = 4 Maka solusi umum PD adalah

y = (c1+xc2)e^4x

4 PDB Orde n 4.2.3 Kasus Ketiga Akar-Akar Kompleks

4.2.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks

4.2.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks

4 PDB Orde n 4.2.3 Kasus Ketiga Akar-Akar Kompleks

4.2.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks

Jika diskriminan persamaan karakteristik kurang dari nol D =b² 4ac <0

Maka persamaan karakteristik mempunyai akar-akar kompleks, yaitu λ1 = α+βi dan λ2 =α βi

dimana

α= ^b

2a; β=

pb² 4ac 2a Dalam kasus ini, basis-basis solusi diberikan oleh

y1 =e^(α+βi)x dan y2 =e^{(α βi)x}

Dengan demikian, solusi umum persamaan diferensial homogen(3) diberikan oleh

y = (c₁cosβx+c₂sinβx)e^αx (10) dimanac1 danc2 konstanta.

4 PDB Orde n 4.2.3 Kasus Ketiga Akar-Akar Kompleks

4.2.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks

Problem

Buktikan kebenaran persamaan (10)

4 PDB Orde n 4.2.3 Kasus Ketiga Akar-Akar Kompleks

4.2.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks

Examples

Carilah solusi umum dari persamaan diferensial berikut:

1 y⁰⁰ 6y⁰+13y =0

2 4y⁰⁰ 4y⁰+5y =0; y(0) =2,y⁰(0) =11

4 PDB Orde n 4.2.3 Kasus Ketiga Akar-Akar Kompleks

4.2.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks

Solution

1 Persamaan karakteristik

λ² 6λ+13 = 0 λ12 = ^b

pb² 4ac 2a

= ⁶

p 16 2

= 3 2i sehingga solusi umum adalah

y = (c₁cos 2x+c₂sin 2x)e^3x

4 PDB Orde n 4.2.3 Kasus Ketiga Akar-Akar Kompleks

4.2.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks

Solution

2. Persamaan karakteristik

4λ² 4λ+5 = 0 λ12 = ^b

pb² 4ac 2a λ12 = ⁴

p 64 8

= ¹ 2 i sehingga solusi umum adalah

y = (c₁cosx+c₂sinx)e^12x

4 PDB Orde n 4.2.3 Kasus Ketiga Akar-Akar Kompleks

4.2.3 Kasus Ketiga: Akar-Akar Kompleks

Solution

2. Dengan nilai awal y(0) =2,y⁰(0) =11 dan selanjutnya y⁰ = ¹

2e^12x(c1cosx+c2sinx) + ( c1sinx+c2cosx)e^12x Maka

2 = (c₁cos 0+c₂sin 0)e⁰ ,^c1 =2 11 = ¹

2c₁+c₂ ()^c2=10 Solusi Khusus PD

y = (2 cosx+10 sinx)e^12x

4 PDB Orde n * Soal-Soal Latihan 7

* Soal-Soal Latihan 7

Problem

Carilah solusi umum dari persamaan diferensial berikut:

1 y⁰⁰ 4y⁰+3y =0

2 y⁰⁰ 2y⁰+10y =0

3 2y⁰⁰+7y⁰ 4y =0

4 4y⁰⁰ 4y⁰+y =0

Carilah solusi umum dan solusi khusus dari persamaan diferensial dengan nilai awal berikut

5 y⁰⁰+2y⁰ 3y =0; y(0) =2,y⁰(0) =8

6 y⁰⁰ 6y⁰+25y =0; y(0) =6,y⁰(0) =8

7 y⁰⁰+4y⁰ 5y =0; y(0) =3,y⁰(0) =2

8 y⁰⁰+4y⁰+4y =0; y(0) =2,y⁰(0) =5

3. Penutup

" Terima Kasih, Semoga Bermanfaat "