Polinomial
Tujuan pembelajaran :
1.Menjelaskan algoritma pembagian sukubanyak.
2.Menentukan derajat sukubanyak hasil bagi dan sisa pembagian dalam algoritma pembagian.
3.Menentukan hasil bagi dan sisa pembagian sukubanyak oleh bentuk linear atau kuadrat.
4.Menentukan sisa pembagian sukubanyak dengan teorema sisa atau teorema faktor.
A. Pengertian Polinomial dan Operasinya
Polinomial
Kolah kamar mandi Andi berbentuk balok. Dengan panjang kolah adalah 2 dm lebih dari lebarnya, Sedangkan tingginya 1 dm lebih dari lebarnya. Jika kolah tersebut diisi air hingga penuh, volume Air yang mampu ditampung adalah 120 liter.
Bagaimana model matematikanya?
Penyelesaiannya :
Misal, x = lebar kolah dan V(x) = volumenya, sehingga Panjang = x + 2 dan tinggi = x + 1
Volume = panjang x lebar x tinggi V(x) = (x + 2)(x)(x + 1)
= x3 +3x2 + 2x
Disebut polinomial/
sukubanyak Bentuk x3 + 3x2 + 2x
Bentuk umum :
a
nx
n+ a
n-1x
n-1+ a
n-2x
n-2+ ...+ a
2x
2+ a
1x + a
0Coba :
1. (x – 1)(x + 2) = x2 + x - 2
2. x(x – 1)(x + 2) = x(x2 + x – 2)=x3 + x2 – 2x 3. x2 (x – 1)(x + 2) = x2(x2 + x – 2)=x4 + x3 – 2x2
Operasi-operasi polinomial
1. (3x2 + 4x – 1) + (2x4 + x2 – 5x + 4) 2. (3x2 + 4x + 1) - (4x4 + x2 + x + 3)
3. (7x2 + 4x – 8) + (2x4 + x2 – 5x ) Ex 1.
4. (x2 + 4x) + (x4 + 3x2 – 5x )
Ex 2. Diketahui :
p(x) = ax2 + bx + 7
q(x) = 3x2 + (a + b)x2 + (a – b)x – 8 r(x) = 3x3 + 7x2 + 2x – 1
Jika r(x) = p(x) + q(x), tentukan nilai a dan b.
Ex 3. Diketahui :
3 4
) 3 )(
4 (
14 7
x B x
A x
x x
Tentukan nila A dan B
Tugas 1 15 Juli 2014
1. Tentukan nilai a dan b pada sukubanyak berikut jika berlaku p(x) + q(x)= r(x).
a. p(x) =4x5 + ax2 + (a – 3)x + 3
q(x) = 2x4 – x3 + 2bx2 + (2b + 1)x + 1 r(x) = 4x5 + 2x4 – x3 + 5x2 + 3x + 4 b. p(x) =x4 + (a + b)x3 – 2x2 + x – 1 q(x) = 2bx3 + 2x2 + (a – 3b)
r(x) = x4 + 7x3 + x – 6
2. Tentukan nilai a, b, dan c :
a. 2ax2 + (a + 2b)x + (c – 2a) ≡ 3x2 – x + 8
b.
) 1 )(
2 (
5 8
5
2 1 2
2
2
x x x
x x
x x
c bx x
a
3. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian berikut : a.(2x3 + 3x2 + 4x + 1) : (x + 1)
b x4 + 2x3 – 4x2 + 7x – 4 : (x – 3)
B. Pembagian Sukubanyak
1. Pembagian Bersusun
Ex. 4 .Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian :
1 4
3 2
1
.) x x
3 x
2 x a
4 8
3 4
1 2
.) x x
3 x
2 x b
2. Pembagian dengan cara Horner a. Pembagi bentuk linear ( x – k )
Bentuk : f(x) = ( x – k ) H(x) + S
Misal :
f ( x ) ax
3 bx
2 cx d
dibagi ( x – k ) Makahasil baginya : Sisa :
) (
) (
)
( x ax
2ak b x ak
2bk c
H
d ck
bk ak
S
3
2
Ex. 5 .Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian :
) 3 (
: ) 15 3
6 (
) 1 (
: ) 2 10
(
2 3
3
x x
x x
x x
x b).
a).
b. Pembagi bentuk linear ( ax + k )
) ) (
) ( (
) ( )
( ) 1(
) (
) ( ) (
) (
a f b a
x b H
ax
a f b x
H b a ax
a f b x
a H x b
x f
Ex. 6 .Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian :
) 1 2
( : ) 2 7
9 8
4 (
) 3 2
( : ) 1 2
(
2 3
4
2 3
x x
x x
x
x x
x b).
a).
c. Pembagi bentuk kuadrat ax2 + bx + c, a ≠ 0
Ex. 7 .Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian 2x4 – 4x3 + 11x2 – 3x + 9 oleh x2 – 2x + 3
Sehingga :
f(x) = (x2 – 2x + 3)H(x) + (px + q) C. Teorema Sisa
Jika sukubanyak P(x) berderajat n dibagi ( x – h ) maka sisa pembagiannya adalah P(h)
Bukti : pandang P(x) = ( x – h ).H(x) + S Dengan x – h = 0 atau x = h, diperoleh : P(h) = 0 . H(h) + S
P(h) = 0 + S S = P(h)
Ex. 7 .Tentukan sisa dari pembagian sukubanyak P(x) = x2 – 6x – 8 dengan x + 1.
Ex. 8 .Jika sukubanyak f(x) dibagi ( x – 1 ) bersisa 2 dan f(x) dibagi dengan ( x + 2) bersisa – 1, tentukan sisanya jika f(x) dibagi ( x – 1 )(x + 2 ).
Tugas 2 kelompok
1. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagiannya : a. (2x4 – 3x3 + 5x – 2) : (x2 – x – 2 )
b. (3x8 – 4x4 – 5 ) : (x2 – 3x – 4 )
2. Jika P(x) dibagi oleh (x– 2) dan (x +3) masing-masing bersisa 5 dan - 10. tentukan sisanya jika P(x) dibagi (x2 + x – 6 ).
3. Tentukan nilai p agar 4x2 – 12x + p habis dibagi 2x – 1.
4. Tentukan nilai p dan q jika sukubanyak
P(x) = 2x3 – px 2 + 4x + q habis dibagi 2x2 + x – 1 .
5. Sukubanyak P(x) habis dibagi x + 1 dan dibagi x2 – 4 bersisa 4x + 16. tentukan sisa pembagian P(x) oleh (x2 – 4)(x + 1).
D. Teorema Faktor
Jika f(x) adalah sukubanyak;
(x – k) merupakan faktor dari P(x) jika dan hanya jika P(k) = 0
Artinya:
1. Jika (x – k) merupakan faktor, maka nilai P(k) = 0 sebaliknya,
2. jika P(k) = 0 maka (x – k) merupakan faktor
Ex. 9
Tunjukan (x + 1) faktor dari x3 + 4x2 + 2x – 1
Jawab:
(x + 1) faktornya, berarti P(-1) = 0 P(-1) = (-1)3 + 4(-1)2 + 2(-1) – 1 = -1 + 4 – 2 – 1 = 0
Jadi, (x + 1) adalah faktornya.
Ex. 10
Tentukan faktor-faktor dari P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6
Jawab:
Misalkan faktornya (x – k), maka nilai k yang mungkin adalah
pembagi bulat dari 6, yaitu
pembagi bulat dari 6 ada 8 yaitu: ±1, ±2, ±3, dan ±6.
Nilai-nilai k itu kita substitusikan ke P(x), misalnya k = 1 diperoleh:
P(1) = 2.13 – 1.12 – 7.1 + 6 = 2 – 1 – 7 + 6
= 0
Oleh karena P(1) = 0, maka (x – 1) adalah salah satu faktor dari P(x) = 2x3 – x2 -7x + 6
Untuk mencari faktor yang lain, kita tentukan hasil bagi P(x) oleh (x – 1) dengan pembagian horner:
Koefisien sukubanyak P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6 adalah
2 -1 -7 6 k = 1
Hasil baginya: H(x) = 2x2 + x - 6 + 2
2 1
1 -6
-6
Koefisien hasil bagi0Karena hasil baginya adalah
H(x) = 2x2 + x – 6 = (2x – 3)(x + 2) dengan demikian
2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x2 + x – 6) 2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x – 3)(x + 2)
Jadi faktor-faktornya adalah (x – 1), (2x – 3 ) dan (x + 2)
E. Akar-akar Rasional Persamaan Sukubanyak
Salah satu penggunaan teorema faktor adalah mencari akar- akar sebuah persamaan sukubanyak, karena ada hubungan antara faktor dengan akar-akar persamaan sukubanyak
Jika P(x) adalah sukubanyak; (x – k) merupakan faktor dari P(x) jika dan hanya jika k akar dari persamaan P(k) = 0
k disebut akar atau nilai nol dari persamaan sukubanyak:
P(x) = 0
Teorema Akar-akar Rasional Jika P(x) =anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + ao dan
(x – k) merupakan faktor dari P(x) maka
n 0
a dari bulat
a dari bulat
faktor
faktor
k
Ex. 11
Tunjukan -3 adalah salah satu akar dari x3 – 7x + 6.
Kemudian tentukan akar-akar yang lain.
Jawab:
Untuk menunjukan -3 akar dari P(x), cukup kita tunjukan bahwa P(-3) = 0
P(x) = x3 – 7x + 6.
P(-3) = (-3)3 – 7(-3) + 6 = -27 + 21 + 6 = 0
Oleh karena P(-3) = 0, maka -3 adalah akar dari
Persamaan P(x) = x3 – 7x + 6 = 0
P(x) = x3 – 7x + 6
berarti koefisien P(x) adalah 1 0 -7 6
k = -3
Hasil baginya: H(x) = x2 – 3x + 2
=(x – 1)(x – 2) +
1
-3 -3
9 2
-6
0Koefisien hasil bagi
Untuk menentukan akar-akar yang lain, kita tentukan terlebih dahulu hasil bagi P(x) = x3 – 7x + 6 dengan x + 3 dengan
pembagian Horner sebagai berikut
Hasil baginya: H(x) = x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)
sehingga persamaan sukubanyak tsb dapat ditulis menjadi (x + 3)(x – 1)(x – 2) = 0.
Jadi akar-akar yang lain adalah x = 1 dan x = 2
Ex. 12
Tentukan akar-akar rasional dari persamaan x4 – 3x2 + 2 = 0.
Karena persamaan sukubanyak berderajat 4, maka akar
akar rasionalnya paling banyak ada 4 yaitu faktor-faktor bulat dari 2. Faktor-faktor bulat dari 2 adalah 1, -1, 2 dan -2
Algoritma penentuan akar rasional polinom P(x) = 0 ii). 1. Selidiki apakah jumlah koefisien P(x) = 0
@ Jika ya, maka x = 1 merupakan akar dari P(x) = 0 ? @ Jika tidak, lakukan langkah berikut.
2. Periksa apakah jumlah koefisien variabel berpangkat genap sama dengan jumlah koefisien berpangkat ganjil.
@ Jika ya, maka x = -1 merupakan akar dari P(x) = 0 @ Jika tidak, lakukan langkah berikut.
3. Tentukan faktor-faktor dari nilai nutlak a0, lakukan dengan cara coba-coba.
Misal : an xn +an-1 xn-1 +....+ a1x + a0 = 0, dengan a0 ≠ 0 i). Jika sebuah bilangan rasional,
Dimana b = faktor bulat dari a0 c = faktor bulat dari an
c b
1 0 -3 0 2 k = 1
Ternyata P(1) = 0, berarti 1 adalah akar rasionalnya, Selanjutnya kita coba -1.
Koefisien hasil bagi: 1,1,-2, dan -2 +
1
1 1
1 -2
-2 -2 0
-2
Dari 4 kemungkinan yang akan menjadi akar-akar rasional persamaan sukubanyak tsb, kita coba nilai 1
Koefisien x4 – 3x2 + 2 = 0 adalah 1, 0, -3, 0, dan 2
1 1 -2 -2 k = -1
Ternyata P(-1) = 0, berarti -1 adalah akar rasionalnya, Sehingga: (x – 1)(x + 1)(x2 – 2) = 0
1 +
-1 0
0 -2
2 0
Untuk :
(x2 – 2) dapat difaktorkan lagi menjadi (x - √2)(x + √2) = 0
Berarti akar yang lain: √2 dan -√2, tapi bukan bilangan rasional.
Jadi akar-akar rasionalnya hanya ada 2 yaitu 1 dan -1.
(x – 1)(x + 1)(x
2– 2) = 0
(x
2– 2) difaktorkan lagi menjadi (x - √2)(x + √2) = 0
Berarti akar yang lain: √2 dan -√2, tapi bukan bilangan rasional.
Jadi akar-akar rasionalnya hanya ada 2 yaitu 1 dan -1.
Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar
Persamaan Sukubanyak
Jika akar-akar
Persamaan Sukubanyak:
ax
3+ bx
2+ cx + d = 0
adalah x
1, x
2, dan x
3maka x
1+ x
2+ x
3=
x
1.x
2+ x
1.x
3+ x
2.x
3= x
1.x
2.x
3=
a
b
a c a
d
Contoh 1:
Jumlah akar-akar persamaan x
3– 3x
2+ 2 = 0 adalah….
Jawab:
a = 1, b = -3, c = 0, d = 2 x
1+ x
2+ x
3=
=
a
b 1
3
-
= 3
Contoh 2:
Hasilkali akar-akar persamaan 2x
3– x
2+ 5x – 8 = 0 adalah….
Jawab:
a = 2, b = -1, c = 5, d = -8 x
1.x
2.x
3=
=
a d
2 8
-
= 4
Contoh 3:
Salah satu akar persamaan
x
3+ px
2– 3x – 10 = 0 adalah -2
Jumlah akar-akar persamaan
tersebut adalah….
Jawab:
-2 adalah akar persamaan x
3+ px
2– 3x - 10 = 0 →
-2 memenuhi persamaan tsb.
sehingga:
(-2)
3+ p(-2)
2– 3(-2) - 10 = 0
-8 + 4p + 6 – 10 = 0
-8 + 4p + 6 – 10 = 0
4p – 12 = 0 4p = 12 p = 3 Persamaan tersebut:
x
3+ 3x
2– 3x – 10 = 0 Jumlah akar-akarnya:
x
1+ x
2+ x
3= =
a
b
1
3
= -3
Contoh 4:
Akar-akar persamaan
x
3– 4x
2+ x – 4 = 0 adalah x
1, x
2,
dan x
3. Nilai x
12+ x
22+ x
32=….
Jawab:
x
12+ x
22+ x
32= (x
1+ x
2+ x
3)
2- 2(x
1x
2+ x
1x
3+ x
2x
3) x
3– 4x
2+ x – 4 = 0
x
1+ x
2+ x
3= -(-4)/1 = 4
x
1x
2+ x
1x
3+ x
2x
3= 1/1 = 1
x
1+ x
2+ x
3= 4
x
1x
2+ x
1x
3+ x
2x
3= 1 Jadi:
x
12+ x
22+ x
32= (x
1+ x
2+ x
3)
2- 2(x
1x
2+ x
1x
3+ x
2x
3)
